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M8 M - Realsituationen mathematisch modellieren

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Einleitung

M8 M - Realsituationen mathematisch modellieren

Klasse 8 · Mathematik · Baden-Württemberg · M-Niveau

Welches Fahrradangebot ist günstiger? Wie viel Platz braucht ein Beet? Ein Mathematisches Modell hilft Dir, solche Fragen mit Zahlen, Formeln, Graphen oder Daten zu beantworten. Wichtig: Prüfe das Ergebnis immer in der Realsituation.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

wichtige Angaben, gesuchte Größen und Annahmen erkennen.
zwischen Term, Gleichung, Gleichungssystem, Graph, geometrischem Modell und Statistik begründet wählen.
rechnen, Darstellungen wechseln, Ergebnisse mit Einheiten prüfen und Lösungswege vergleichen.

Vorwissen-Check

Feedback: Noch unsicher? Wiederhole Grundrechenarten, einfache Gleichungen und Flächeninhalt.

Modelle auswählen

Realsituation	Geeignete Darstellung
Kosten berechnen	Term
Gesuchte Anzahl finden	Gleichung
Zwei Preisregeln vergleichen	Gleichungssystem
Veränderung sichtbar machen	Graph
Fläche oder Rand berechnen	Geometrisches Modell
Messwerte zusammenfassen	Statistik

Modellierungskreislauf:

Schritt	Deine Leitfrage
1. Verstehen	Was ist bekannt, was gesucht?
2. Modellieren	Was kann ich vereinfachen? Welche Darstellung passt?
3. Berechnen	Wie löse ich das mathematische Problem?
4. Prüfen	Sind Einheit, Größenordnung und Annahmen sinnvoll?

Merke: Ein Modell bildet nur ausgewählte Eigenschaften der Wirklichkeit ab. Nicht jede Zahl, die man berechnen kann, ist im Alltag sinnvoll.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Fahrradverleih – Term und Gleichung

Anbieter A verlangt 4 € Grundpreis und 3 € je volle Stunde. $x$ ist die Anzahl der berechneten Stunden.

Schritt 1 – Term: $K_{A} (x) = 4 + 3 x$

Stunden $x$	Kosten in €
0	4
1	7
2	10
4	16
6	22

Schritt 2 – Gleichung: Du hast 22 € Budget.

$4 + 3 x = 22$

$3 x = 18$

$x = 6$

Schritt 3 – Probe: $4 + 3 \cdot 6 = 22$ . Ergebnis: 6 volle Stunden.

Schritt 4 – Kontext: Wir nehmen an, dass es keine Zusatzkosten und keine Ermäßigung gibt. Negative Stunden sind ausgeschlossen.

Commons-Grafik zum allgemeinen Zusammenhang zwischen Steigung und Startwert; sie zeigt nicht die konkreten Zahlen des Fahrradbeispiels.

Commons-Animation: So wird eine Steigung im Koordinatensystem eingezeichnet.

Hilfestufe 1: Beginne jeweils mit den 4 € Grundpreis.

Hilfestufe 2: Setze die Stundenzahl ein oder ziehe zuerst 4 € ab.

Feedback: Kontrolliere mit der Tabelle und einer Probe im ursprünglichen Term.

Mathe by Daniel Jung: Lineare Funktionen und ihre Graphen.

Beispiel 2: Zwei Angebote – Gleichungssystem und Graph

Anbieter B verlangt 10 € Grundpreis und 2 € je volle Stunde.

$K_{A} (x) = 4 + 3 x$

$K_{B} (x) = 10 + 2 x$

Frage: Bei welcher Leihdauer sind beide Angebote gleich teuer?

Schritt	Rechnung
Gleichsetzen	$4 + 3 x = 10 + 2 x$
Auflösen	$x = 6$
Preis	$K_{A} (6) = 22$
Probe	$K_{B} (6) = 22$

Als Gleichungssystem beschreiben $y = 4 + 3 x$ und $y = 10 + 2 x$ dieselbe Vergleichsfrage. Der gemeinsame Punkt beider Graphen ist $S (6 ∣ 22)$ .

Dauer	A	B	Günstiger
4 h	16 €	18 €	A
6 h	22 €	22 €	gleich
8 h	28 €	26 €	B

Commons-Beispiel für den Schnittpunkt zweier Geraden; andere Gleichungen als in unserer Aufgabe.

Commons-Grafik: Lineare Funktionsgleichungen und ihre Geraden.

Dynamischer Graph: Öffne GeoGebra Grafikrechner. Trage $y = 4 + 3 x$ und $y = 10 + 2 x$ ein. Suche den Schnittpunkt. Die waagerechte Achse bedeutet Stunden, die senkrechte Achse Euro. Überprüfe den Punkt rechnerisch.

Feedback: Vor 6 Stunden ist A günstiger, nach 6 Stunden B. Das gilt nur unter den angegebenen Preisregeln.

MathemaTrick: Aus einer Textaufgabe ein lineares Gleichungssystem aufstellen.

Beispiel 3: Schulgarten – geometrisches Modell

Ein rechteckiges Beet ist 8 m lang und 5 m breit. Wir nehmen gerade Seiten und rechte Winkel an.

Commons-Skizze eines Rechtecks ohne die Maße dieser Aufgabe.

Gesucht	Rechnung
Fläche	$A = 8 \cdot 5 = 40 m^{2}$
Randlänge	$U = 2 \cdot (8 + 5) = 26 m$

Kontextprüfung: 40 Quadratmeter beschreiben die Fläche, 26 Meter den Rand. Für ein Tor müsste die Zaunlänge angepasst werden.

Dynamische Geometrie: Konstruiere in GeoGebra Geometrie ein Rechteck. Ändere eine Seitenlänge und vergleiche die Auswirkungen auf Fläche und Umfang. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Beispiel 4: Bibliothek – Statistik

An fünf Tagen wurden in einer Schulbibliothek diese fiktiven Besuchszahlen notiert:

Tag	Besuche
Mo	12
Di	18
Mi	16
Do	14
Fr	20

Summe: $12 + 18 + 16 + 14 + 20 = 80$

Arithmetischer Mittelwert: $\bar{x} = \frac{80}{5} = 16$ Besuche pro Tag.

Commons-Beispiel für ein Säulendiagramm; es zeigt nicht die Bibliotheksdaten.

Deine Aktion: Zeichne aus der Tabelle ein eigenes Säulendiagramm mit beschrifteten Achsen. Prüfe, ob 16 tatsächlich an jedem Tag erreicht wurden. Nein: Der Mittelwert beschreibt nicht jeden einzelnen Tag.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A – Eintrittskarten

Ein Freizeittreff kostet 7 € Grundgebühr plus 2 € pro Besuch. Wie viele Besuche sind mit 27 € möglich?

Hilfestufe 1: Wähle eine Gleichung mit $x$ für die Besuchszahl.

Hilfestufe 2: $7 + 2 x = 27$

Feedback / Kontrolle: $x = 10$ , denn $7 + 2 \cdot 10 = 27$ . Zehn ist eine sinnvolle ganze Anzahl.

Übung B – Zwei Fahrpreise

Fahrpreis A: $A (x) = 3 + 2 x$ ; Fahrpreis B: $B (x) = 9 + x$ . $x$ steht für Kilometer. Bestimme den Gleichpreis und den günstigeren Tarif bei 8 km.

Hilfestufe 1: Setze die beiden Preisregeln gleich.

Hilfestufe 2: $3 + 2 x = 9 + x$

Feedback / Kontrolle: Bei $x = 6$ km kosten beide 15 €. Bei 8 km: A = 19 €, B = 17 €, also B.

Übung C – Rechteck statt Schätzung

Ein Platz ist 6 m lang und 4 m breit. Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang.

Hilfestufe 1: Fläche und Umfang brauchen unterschiedliche Formeln.

Hilfestufe 2: $A = a \cdot b$ und $U = 2 (a + b)$ .

Feedback / Kontrolle: $A = 24 m^{2}$ , $U = 20 m$ . Die Einheiten sind verschieden.

Übung D – Messwerte

Vier fiktive Wartezeiten lauten 6, 8, 7 und 9 Minuten. Berechne den Mittelwert. Wie gut beschreibt er einen fünften Tag?

Hilfestufe 1: Addiere die Werte und teile durch die Anzahl.

Hilfestufe 2: $(6 + 8 + 7 + 9) : 4$

Feedback / Kontrolle: Der Mittelwert ist 7,5 Minuten. Für den fünften Tag ist er nur eine Orientierung, keine sichere Vorhersage.

Typische Fehler und Selbstkontrolle

Fehler	Besser so
Grundpreis vergessen	Startwert im Term mitnehmen.
Achsen vertauscht	Größe und Einheit an beide Achsen schreiben.
Fläche mit Umfang verwechselt	Einheiten prüfen: Quadratmeter oder Meter?
Mittelwert als festen Tageswert deuten	Einzelwerte zusätzlich betrachten.
Nur eine Rechneranzeige glauben	Einsetzen, überschlagen, Kontext prüfen.

Selbstkontrolle – hake gedanklich ab:

Ich habe die Frage und die Annahmen benannt.
Meine Variable hat eine klare Bedeutung.
Ich kann erklären, warum mein Modell passt.
Rechenweg und Darstellung stimmen überein.
Ergebnis, Einheit und Plausibilität sind geprüft.

Digitale Ergebnisse: Vergleiche Taschenrechner-, GeoGebra- oder KI-Ausgaben mit eigenem Rechenweg und Probe. KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis. Gib keine Namen, Fotos oder andere personenbezogene Daten ein.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viel kostet Anbieter A für drei volle Stunden? (13 Euro) (!9 Euro) (!12 Euro) (!15 Euro)

Was bedeuten die 4 Euro im Term des Anbieters A? (Grundpreis) (!Stundenanzahl) (!Preisnachlass) (!Besucherzahl)

Welche Dauer ergibt sich bei Anbieter A für 22 Euro? (6 Stunden) (!5 Stunden) (!7 Stunden) (!9 Stunden)

Welche Darstellung eignet sich für zwei Preisregeln, die gleichzeitig gelten sollen? (Gleichungssystem) (!Kreisfläche) (!Würfelnetz) (!Zufallsexperiment)

Welcher Wert gehört bei Anbieter A zur Stundenzahl zwei? (10 Euro) (!6 Euro) (!7 Euro) (!12 Euro)

Welcher Anbieter ist bei acht Stunden günstiger? (Anbieter B) (!Anbieter A) (!Beide immer gleich) (!Keiner der beiden)

Bei welcher Dauer schneiden sich die beiden Kostengraphen im Beispiel? (6 Stunden) (!3 Stunden) (!4 Stunden) (!8 Stunden)

Wie groß ist die Fläche des Beets mit acht Metern Länge und fünf Metern Breite? (40 Quadratmeter) (!13 Quadratmeter) (!26 Quadratmeter) (!80 Quadratmeter)

Welcher Mittelwert ergibt sich aus den fünf Besuchszahlen der Bibliothek? (16 Besuche) (!14 Besuche) (!18 Besuche) (!80 Besuche)

Warum ist eine negative Leihdauer als Ergebnis ungeeignet? (Negative Leihzeit ist im Kontext unmöglich) (!Jede Gleichung hat nur positive Zahlen) (!Ein Graph darf keine negativen Werte haben) (!Die Grundgebühr muss verschwinden)

Memory

Realsituation	Ausgangslage aus dem Alltag
Variable	veränderliche Größe
Term	Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen
Gleichung	Beziehung mit Gleichheitszeichen
Graph	zeichnerische Darstellung
Statistik	Untersuchung von Daten
Kontextprüfung	Vergleich mit der Wirklichkeit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Passende Aufgabe
Term	Preis für eine gegebene Dauer berechnen
Gleichung	Dauer aus einem bekannten Preis bestimmen
Gleichungssystem	Gleichpreis zweier Angebote finden
Graph	Preisverlauf sichtbar machen
Geometrisches Modell	Fläche eines rechteckigen Beets bestimmen
Statistik	Besuchszahlen mehrerer Tage auswerten

Kreuzworträtsel

Variable	Wie heißt eine veränderliche oder unbekannte Größe?
Graph	Wie nennt man die zeichnerische Darstellung eines Zusammenhangs?
Term	Wie heißt ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen?
Modell	Wie heißt die vereinfachte mathematische Darstellung der Wirklichkeit?
Umfang	Wie heißt die gesamte Länge der Randlinie einer Figur?
Mittelwert	Wie heißt der rechnerische Durchschnitt von Messwerten?

LearningApps

Lückentext

Eine vereinfachte mathematische Darstellung der Wirklichkeit heißt

.

Ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen heißt

.

Wenn Du eine unbekannte Dauer berechnen willst, hilft oft eine

.

Zwei zusammengehörende Gleichungen bilden ein

.

Einen funktionalen Zusammenhang kannst Du als

darstellen.

Bei Anbieter A beträgt der Grundpreis

Euro.

Fünf volle Stunden bei Anbieter A kosten

Euro.

Beide Fahrradangebote kosten nach

Stunden gleich viel.

Das rechteckige Beet hat eine Fläche von

Quadratmetern.

Der mittlere Tagesbesuch in der Bibliothek beträgt

Personen.

Zum Schluss prüfst Du die

des Ergebnisses.

Offene Aufgaben

Leicht

Informationen entnehmen: Markiere in einer selbst erfundenen Preisaufgabe die bekannten und gesuchten Größen.
Term: Stelle für einen Verleih mit 5 € Grundpreis und 2 € je Stunde einen Term auf und erstelle eine Wertetabelle.
Rechteck: Zeichne ein Beet mit 7 m und 3 m im geeigneten Maßstab und beschrifte Deine Skizze.
Säulendiagramm: Erstelle aus fünf selbst gewählten, fiktiven Zahlen ein beschriftetes Diagramm.

Standard

Lineare Funktionen: Vergleiche zwei selbst erfundene Kostenmodelle mit Tabelle und Graph und erkläre den Schnittpunkt.
Gleichung: Entwickle eine Budgetaufgabe, löse sie und führe die Probe im Alltagstext aus.
Dynamische Geometrie: Verändere in GeoGebra die Seiten eines Rechtecks und dokumentiere Fläche und Umfang.
Statistik: Erfrage ohne Namen nur zusammengefasste, freiwillig verfügbare Nutzungszahlen eines Schulraums oder arbeite mit fiktiven Werten; beurteile den Mittelwert.

Schwer

Modellannahme: Vergleiche ein lineares Fahrpreismodell mit einer Regel, die einen Höchstpreis enthält; benenne seine Gültigkeitsgrenzen.
Modellvergleich: Löse eine selbst entwickelte Tariffrage rechnerisch und grafisch; bewerte die Unterschiede beider Wege.
Dateninterpretation: Zeige an zwei fiktiven Datensätzen mit gleichem Mittelwert, warum derselbe Mittelwert nicht dieselbe Verteilung bedeutet.
Mathematische Argumentation: Prüfe eine absichtlich falsche digitale Musterlösung, erkläre den Fehler und formuliere eine korrigierte Begründung.

Lernkontrolle

Modellwahl: Ein Schulfest bietet Einzeltickets und eine Pauschale an. Entwickle passende Preisregeln und begründe Deine Darstellungswahl.
Darstellungswechsel: Erstelle zu einer linearen Kostenregel eine Tabelle und einen Graphen; erkläre, wie der Grundpreis in beiden sichtbar wird.
Transfer: Eine Rechnung ergibt 3,4 benötigte Packungen Material. Entscheide mit Begründung, welche Anzahl gekauft werden muss.
Geometrie: Plane ein rechteckiges Beet bei festem Umfang und untersuche, wie sich die Fläche mit den Seitenlängen verändert.
Datenkritik: Vergleiche zwei fiktive Wochen mit gleichem Mittelwert, aber unterschiedlicher Streuung; leite Grenzen einer Aussage ab.
Fehleranalyse: Ein KI-Text behauptet, dass zwei Tarife bei 6 Stunden immer denselben Preis haben. Prüfe die Behauptung anhand frei gewählter Tarifregeln.

Kompetenzcheck und Reflexion

Kann ich ...	Nachweis
ein Modell wählen?	Wahl mit einem Satz begründen
zwischen Darstellungen wechseln?	Term, Tabelle und Graph verbinden
mathematisch korrekt rechnen?	Rechenweg und Probe zeigen
das Resultat prüfen?	Einheit und Annahmen nennen

Reflexion: Wann war ein Graph hilfreicher als eine Gleichung? Welche Annahme Deines Modells ist besonders wichtig? Wann würdest Du einer digitalen Lösung misstrauen?

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis zeigst Du:

eine verständliche Fragestellung aus einer Realsituation.
benannte Größen, Einheiten und begründete Annahmen.
eine passende mathematische Darstellung und einen nachvollziehbaren Rechenweg.
mindestens einen Darstellungswechsel oder einen Vergleich zweier Lösungswege.
eine Probe, eine Kontextinterpretation und eine begründete Einschätzung der Modellgrenzen.

OERs zum Thema

Fachliche Grundlagen: Bildungsplan Baden-Württemberg: Mathematisch modellieren und Mathematisches Modell.

Wikimedia-Commons-Mediennachweise

Die folgenden vorhandenen Commons-Dateien wurden auf ihren Dateiseiten geprüft. Die Grafiken zeigen zum Teil allgemeine Beispiele, nicht die Zahlen dieses Kurses.

Datei / Dateiseite	Urheber	Lizenz
Funktionsgraph	Gallaecio	CC BY-SA 3.0
Steigungsanimation	Lerothas	CC BY-SA 4.0
Zwei Geraden	Jim.belk	Gemeinfrei
Geraden und Gleichungen	Kmhkmh	CC BY 3.0
Rechteck	Krishnavedala	Gemeinfrei
Säulendiagramm	Brigban	CC0 1.0

Lizenzhinweis: Für CC BY und CC BY-SA gelten Namensnennung und Lizenzbedingungen gemäß Dateiseite; hier wurden die Dateien unverändert eingebunden. YouTube-Videos sind externe Einbettungen und nicht automatisch offen lizenziert. Es wurden keine eigenen Medien erzeugt.