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M6 Fö - Teiler durch Gruppen finden

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Einleitung

M6 Fö - Teiler durch Gruppen finden

Mathematik – Klasse 6 – Förderschwerpunkt Lernen – Einstieg

Du hast 12 Steine. Du möchtest sie in gleich große Gruppen legen.

Kannst Du immer 2 Steine zusammenlegen? Oder 3? Oder 4?

Du lernst, wie Du Teiler mit Steinen und Bildern findest.

Unser Ziel: Du kannst 12 Steine ohne Rest aufteilen und erklären, warum das klappt.

Du brauchst 12 Steine oder Plättchen, kleine Schalen, Papier und einen Stift. Du kannst auch Punkte zeichnen oder mit Zahlenkarten arbeiten.

Dein Lernweg: Es gibt drei kurze Einheiten. Jede dauert ungefähr 5 bis 10 Minuten. Du darfst jede Einheit wiederholen, Pausen machen und Hilfen nutzen. Es gibt keinen Zeitdruck.

So kannst Du antworten

Du entscheidest selbst: Zeige auf eine Antwort, höre eine Zahl, sage die Lösung, lege Steine, zeichne Punkte, tippe eine Zahl oder rechne.

Du kannst die Aufgabenmenge und den Zahlenraum mit Deiner Lehrkraft ändern. Starte zum Beispiel mit 6 Steinen. Nutze später 12 oder 16 Steine. Das ist eine Wahl für die Aufgabe, keine Einstufung von Dir.

Du musst nichts über Dich eingeben. Der Kurs sammelt keine persönlichen Angaben.

Lernschritt 1: Immer zwei Steine zusammen

Dauer: etwa 5 bis 10 Minuten.

Schritt 1: Im Alltag

Stell Dir vor: 12 Spielsteine sollen in kleine Schalen.

In jede Schale kommen 2 Steine.

Wie viele Schalen brauchst Du?

Schritt 2: Lege mit

Nimm genau 12 Steine. Lege immer 2 in eine Schale.

So sieht das als Textbild aus:

(● ●) (● ●) (● ●) (● ●) (● ●) (● ●)

Zähle die Schalen: 6 Schalen.

Der Rechenweg:

12 : 2 = 6

Die Probe:

6 · 2 = 12

Es bleibt kein Stein übrig. Darum ist 2 ein Teiler von 12.

Textalternative: Es sind sechs Gruppen. Jede Gruppe enthält zwei Punkte. Zusammen sind es zwölf Punkte.

Schritt 3: Du bist dran

Lege sechs Zweiergruppen noch einmal. Zeige oder sage dann: Wie viele Gruppen sind es?

Prüfe sofort: 6 Gruppen sind richtig, denn 6 mal 2 ergibt 12.

Hast Du eine andere Zahl? Zähle erst alle 12 Steine. Lege danach in jede Schale genau 2 Steine. Versuche es erneut.

Lernschritt 2: Drei oder vier Steine in einer Gruppe

Dauer: etwa 5 bis 10 Minuten.

Schritt 1: Im Alltag

12 Kekse sollen gerecht verteilt werden.

In eine Tüte passen 3 Kekse. Wie viele Tüten werden voll?

In eine andere Tüte passen 4 Kekse. Wie viele Tüten werden dann voll?

Schritt 2: Lege und sieh

Immer 3 Steine:

(● ● ●) (● ● ●) (● ● ●) (● ● ●)

Das sind 4 Dreiergruppen.

12 : 3 = 4

Probe: 4 · 3 = 12

Immer 4 Steine:

(● ● ● ●) (● ● ● ●) (● ● ● ●)

Das sind 3 Vierergruppen.

12 : 4 = 3

Probe: 3 · 4 = 12

Bildauftrag: Zähle alle Punkte im Bild. Du erhältst 12. Das Punktefeld zeigt eine Anordnung mit 3 mal 4 Punkten.

Textalternative: Drei Reihen mit je vier Punkten ergeben zwölf Punkte. Drehst Du die Anordnung gedanklich, siehst Du vier Reihen mit je drei Punkten.

Merke: „Vier Gruppen mit je drei Steinen“ ist nicht dasselbe Bild wie „Drei Gruppen mit je vier Steinen“. Beide enthalten aber 12 Steine.

Schritt 3: Du bist dran

Nimm 12 Steine. Lege zuerst Dreiergruppen. Lege dann Vierergruppen. Male die Gruppen auf.

Kontrolle: Bei Dreiergruppen bekommst Du 4 Gruppen. Bei Vierergruppen bekommst Du 3 Gruppen.

Stimmt Dein Bild noch nicht? Sieh nach, ob jede Gruppe gleich viele Steine hat. Dann zähle alle Steine neu.

Lernschritt 3: Teiler finden und prüfen

Dauer: etwa 5 bis 10 Minuten.

Schritt 1: Im Alltag

Du hast 12 Steine. Jetzt möchtest Du auch andere Gruppengrößen ausprobieren.

Eine Zahl ist ein Teiler von 12, wenn Du alle 12 Steine in gleich große Gruppen legen kannst und nichts übrig bleibt.

Schritt 2: Die Teiler mit Zahlenkarten finden

Lege Zahlenkarten mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 12 neben Deine Steine.

Prüfe jede Gruppengröße.

Steine pro Gruppe	Zahl der vollen Gruppen	Bleibt etwas übrig?	Teiler von 12?
1	12	Nein	Ja
2	6	Nein	Ja
3	4	Nein	Ja
4	3	Nein	Ja
5	2	Ja, 2 Steine	Nein
6	2	Nein	Ja
12	1	Nein	Ja

Warum ist 5 kein Teiler von 12?

(● ● ● ● ●) (● ● ● ● ●) ● ●

Zwei Fünfergruppen sind 10 Steine. 2 Steine bleiben übrig.

Das heißt: 12 : 5 = 2 Rest 2.

Die Teiler von 12 sind: 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

Du kannst sie auch in Paaren finden:

1 · 12 = 12

2 · 6 = 12

3 · 4 = 12

Zahlenkarten von Wikimedia Commons zum Ausdrucken

Textalternative: Schreibe die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 12 selbst auf Papierstücke.

Schritt 3: Du bist dran

Probiere mit 12 Steinen die Gruppengröße 5 aus. Sage oder zeige, was übrig bleibt.

Kontrolle: Es bleiben 2 Steine übrig. Darum ist 5 kein Teiler von 12.

Sind bei Dir mehr oder weniger Steine übrig? Prüfe: Hast Du am Anfang wirklich 12? In jede volle Gruppe gehören genau 5.

Deine Hilfen: Wähle selbst

Du kannst jede Hilfe öffnen und wieder schließen. Nutze eine Hilfe oder mehrere. Versuche die Aufgabe danach noch einmal.

Hilfe 1 – Bildhinweis

Stell Dir 12 Punkte vor. Male um immer gleich viele Punkte einen Kreis. Zähle dann die Kreise.

Hilfe 2 – Materialdarstellung

Nimm 12 Steine und leere Schalen. Für Vierergruppen legst Du vier Steine in die erste Schale, vier in die zweite und vier in die dritte. Jetzt sind alle 12 Steine verteilt.

Hilfe 3 – Einfache Wörter und Rechenplan

Erstens: Zähle alle Steine. Zweitens: Lege gleich große Gruppen. Drittens: Zähle die Gruppen. Viertens: Prüfe mit Malnehmen. Ohne Rest bedeutet: Die Gruppengröße ist ein Teiler.

Hilfe 4 – Vollständig vorgemachtes Beispiel

Aufgabe: 12 Steine, immer 3 pro Gruppe.

Legen: (●●●) (●●●) (●●●) (●●●)

Zählen: Es gibt 4 Gruppen.

Rechnen: 12 : 3 = 4.

Prüfen: 4 · 3 = 12.

Ergebnis: Kein Rest. Die 3 ist ein Teiler von 12.

Weitere Bilder und Hörübungen

Hunderterfeld

Suche die Zahl 12 auf dem Hunderterfeld. Suche auch 2, 3, 4 und 6.

Aufgabe: Schreibe 12 auf ein Blatt. Zähle mit Zweierschritten bis 12: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Textalternative: Ein Hunderterfeld ordnet Zahlen in einem Raster. Du kannst statt des Bildes Deine Zahlenkarten benutzen.

Hör zu: Zahlen erkennen

Hier hörst Du gesprochene deutsche Zahlwörter von Wikimedia Commons. Die Aufnahmen sprechen einzelne Zahlen, keine ganzen Rechenaufgaben.

Höraufgabe: Höre eine Zahl. Zeige auf die passende Zahlenkarte. Sage danach: „Ich lege so viele Steine in eine Gruppe.“

Ohne Ton: Lies die Wörter zwei, drei, vier, sechs und zwölf. Lege jeweils die passende Anzahl.

Du darfst die Aufnahmen wiederholen. Du kannst die Zahl auch sprechen statt sie aufzuschreiben.

Video: Teiler finden

Dieses Lernvideo von „3 Minuten für Mathe“ erklärt Teilermengen. Schau nur so viel an, wie Du gerade brauchst. Lege danach wieder selbst 12 Steine.

Ohne Video: Prüfe mit Steinen: 12 : 2 = 6, 12 : 3 = 4 und 12 : 4 = 3.

Freiwilliger Ausblick: Primzahlen und Potenzen

Die nächsten Ideen sind eine freiwillige Erweiterung. Du kannst sie auch später bearbeiten.

Die 12 in kleine Faktoren zerlegen

Du weißt: 12 = 3 · 4.

Die 4 kannst Du noch zerlegen: 4 = 2 · 2.

Also gilt: 12 = 2 · 2 · 3.

Die Zahlen 2 und 3 sind Primzahlen. Sie haben jeweils genau zwei positive Teiler: die 1 und sich selbst.

Das nennt man Primfaktorzerlegung.

Textalternative: Die 12 teilt sich in 3 und 4. Die 4 teilt sich in 2 und 2. Am Ende stehen 2, 2 und 3.

Quadratbilder und Potenzen

Lege vier Steine als Quadrat:

● ●

Das sind 2 · 2 = 4 Steine.

Dafür schreiben wir auch 2² = 4. Wir sagen: „Zwei hoch zwei.“

Textalternative: Ein Quadrat hat gleich viele Punkte in jeder Reihe und jeder Spalte. Zwei mal zwei sind vier Punkte. Drei mal drei sind neun Punkte.

Auch in der 12 steckt eine Potenz:

12 = 2² · 3 = 4 · 3.

Ein Rechteck aus 3 mal 4 Punkten enthält 12 Punkte, ist aber kein Quadrat.

Zusatzvideo zu Primfaktoren

Das folgende Video von MathemaTrick ist anspruchsvoller. Für das Beispiel mit der 12 kannst Du ungefähr den Abschnitt von 0:21 bis 3:17 anschauen und danach stoppen.

Ohne Video: Lege 12 als drei Vierergruppen. Zerlege jede Vierergruppe in zwei Zweiergruppen. Die Rechnung 12 = 2 · 2 · 3 beschreibt diese Faktoren.

Ein weiteres bewegtes Beispiel

Diese vorhandene Commons-Animation zeigt ein anderes Beispiel: 20 Äpfel werden in 4 gleich große Gruppen geteilt. Jede Gruppe bekommt 5 Äpfel.

20 : 4 = 5

Textalternative: Zeichne vier Teller. Male auf jeden Teller fünf Äpfel. Insgesamt sind es 20. Wenn sich die Datei nicht bewegt, kannst Du diese Zeichenaufgabe nutzen.

Interaktive Aufgaben

Du kannst die Aufgaben wiederholen. Bei einer falschen Antwort hilft Dir der passende Rechenweg in den Lernschritten. Probiere es ohne Zeitdruck noch einmal.

Quiz: Teste Dein Wissen

Du legst 12 Steine in Zweiergruppen. Wie viele Gruppen entstehen? (6) (!2) (!3) (!4)

Du legst 12 Steine in Dreiergruppen. Wie viele Gruppen entstehen? (4) (!3) (!5) (!6)

Du legst 12 Steine in Vierergruppen. Wie viele Gruppen entstehen? (3) (!2) (!4) (!6)

Welche Zahl ist ein Teiler von 12? (3) (!5) (!7) (!8)

Wie viele Steine bleiben bei zwei vollen Fünfergruppen aus 12 Steinen übrig? (2) (!0) (!1) (!3)

Welche Malaufgabe passt zu vier Gruppen mit je drei Steinen? (4 mal 3) (!4 mal 2) (!3 mal 3) (!2 mal 3)

Welche Zahl ist kein Teiler von 12? (5) (!2) (!3) (!6)

Wie viele Steine liegen in drei Vierergruppen zusammen? (12) (!7) (!9) (!16)

Wie viel ist zwei mal zwei? (4) (!2) (!6) (!8)

Welche Primzahlen brauchst Du für die Primfaktorzerlegung von 12? (2 und 3) (!3 und 4) (!2 und 6) (!1 und 12)

Rückmeldung: Eine richtige Antwort passt zu den gelegten Gruppen. War die Antwort falsch, ist das ein Hinweis: Lege die Steine erneut, zähle die Gruppen und prüfe mit Malnehmen. Du darfst jede Frage wiederholen.

Memory

Finde die passenden Paare. Du kannst die Rechenwege mit 12 Steinen nachlegen.

Zwölf geteilt durch zwei	Sechs Zweiergruppen
Zwölf geteilt durch drei	Vier Dreiergruppen
Zwölf geteilt durch vier	Drei Vierergruppen
Zwei mal sechs	Zwölf Steine
Rest	Übrig gebliebene Steine
Teiler	Gruppengröße ohne Rest
Primzahl	Zahl mit genau zwei positiven Teilern

Drag and Drop

Ordne jedem Begriff die passende Erklärung zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Erklärung
Zweiergruppe	In jeder Gruppe liegen zwei Steine.
Dreiergruppe	In jeder Gruppe liegen drei Steine.
Vierergruppe	In jeder Gruppe liegen vier Steine.
Teiler	Die Gruppengröße passt ohne Rest.
Rest	Diese Steine bleiben übrig.

Kreuzworträtsel

Teiler	Wie heißt eine Zahl, mit der Du ohne Rest teilen kannst?
Gruppe	Wie heißt eine Menge zusammengelegter Steine?
Rest	Wie heißen die Steine, die übrig bleiben?
Quadrat	Wie heißt eine Form mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln?
Primzahl	Wie heißt eine natürliche Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern?
Punktefeld	Wie heißt eine geordnete Anordnung von Punkten zum Rechnen?

LearningApps

Hier kannst Du nach weiteren Übungen suchen. Es ist eine Suchseite, keine bereits geprüfte Einzelaufgabe.

Lückentext

Lies jeden Satz. Setze ein passendes Wort ein. Wenn Du möchtest, lege zuerst die Steine.

Wir starten mit

Steinen.

Bei Zweiergruppen bekommen wir

Gruppen.

Bei Dreiergruppen bekommen wir

Gruppen.

Bei Vierergruppen bekommen wir

Gruppen.

Alle Gruppen sollen gleich

sein.

Die Zahl 3 ist ein

von 12.

Bei Fünfergruppen bleiben zwei Steine als

übrig.

Mit dem

kannst Du Zahlen suchen.

Zwei mal zwei ergibt

.

Ein Bild mit gleich vielen Reihen und Spalten kann ein

zeigen.

Die Zahlen 2 und 3 sind

.

Die Schreibweise zwei hoch zwei ist eine

.

Offene Aufgaben

Wähle die Aufgaben passend zu Deiner Übung. Die Überschriften beschreiben nur die Aufgaben, nicht Deine Fähigkeiten. Du kannst jede Aufgabe wiederholen und Hilfen verwenden.

Leicht

Zweiergruppen: Lege 12 Steine in Zweiergruppen. Zeige die sechs Gruppen.
Dreiergruppen: Lege 12 Steine in Dreiergruppen. Zähle die vier Gruppen laut oder still.
Vierergruppen: Male drei Kreise. Zeichne in jeden Kreis vier Punkte. Zähle alle Punkte.
Zahlenkarten: Höre oder lies die Wörter zwei, drei und vier. Zeige jeweils die passende Karte.

Standard

Teiler: Finde mit 12 Steinen weitere Gruppengrößen ohne Rest. Nutze auch 1, 6 und 12.
Punktefeld: Zeichne ein Punktefeld aus drei Reihen mit je vier Punkten. Schreibe die Malaufgabe dazu.
Division: Lege 12 : 3 und 12 : 4. Erkläre den Unterschied zwischen Gruppenanzahl und Gruppengröße.
Hundertertafel: Suche die Zahlen 2, 4, 6, 8, 10 und 12. Beschreibe, wie Du in Zweierschritten zählst.

Schwer

Division mit Rest: Lege 12 Steine in Fünfergruppen. Zeige die zwei übrigen Steine und erkläre den Rest.
Teilbarkeit: Vergleiche 12 und 16 Steine. Prüfe mit Material, welche Gruppengrößen bei beiden Zahlen ohne Rest passen.
Faktorenpaar: Finde zu 12 die drei Faktorenpaare 1 und 12, 2 und 6 sowie 3 und 4. Zeichne passende Gruppen.
Primfaktorzerlegung: Zerlege 12 zuerst in 3 mal 4 und dann in 2 mal 2 mal 3. Erkläre Deine Schritte mit Steinen oder Zahlenkarten.

Lernkontrolle

Hier geht es um Verstehen und Anwenden. Du kannst legen, zeichnen, sprechen, zeigen oder schreiben.

Alltagsmathematik: Zwölf Kinder brauchen Zweiergruppen für ein Spiel. Wie viele Gruppen entstehen? Zeige Deinen Rechenweg mit Steinen oder einem Bild.
Vergleichen: Zwei Kinder teilen jeweils 12 Steine auf. Ein Kind legt Vierergruppen, das andere Dreiergruppen. Erkläre, warum beide keinen Rest haben, obwohl sie unterschiedlich viele Gruppen bekommen.
Fehler finden: Jemand sagt: „5 ist ein Teiler von 12, weil ich zwei Fünfergruppen legen kann.“ Erkläre mit den übrigen Steinen, warum die Aussage nicht stimmt.
Übertragen: Du hast nun 18 Steine. Prüfe mit Dreiergruppen. Wie viele Gruppen entstehen? Erkläre, wie Du die Antwort prüfst.
Darstellen: Zeige die Rechnung 12 : 4 = 3 auf zwei Arten: als Gruppen aus Steinen und als Punktebild.
Begründen: Warum sind 2 und 6 beide Teiler von 12? Nutze die Rechnung 2 · 6 = 12.
Neue Situation: Für ein Fest sollen 16 Becher auf Tische mit je 4 Bechern verteilt werden. Bestimme die Tischanzahl und erkläre, wie die Aufgabe mit unseren Steinen zusammenhängt.

Selbstkontrolle und nächster Schritt:

Bei Aufgabe 1 entstehen 6 Zweiergruppen: 6 · 2 = 12. Bei Aufgabe 2 entstehen 3 Vierergruppen oder 4 Dreiergruppen. Bei Aufgabe 3 bleiben 2 Steine übrig. Bei Aufgabe 4 entstehen 6 Dreiergruppen: 6 · 3 = 18. Bei Aufgabe 5 sind es 3 Vierergruppen. Bei Aufgabe 6 gilt 2 · 6 = 12. Bei Aufgabe 7 entstehen 4 Tische: 4 · 4 = 16.

Passt Dein Ergebnis? Gut: Erkläre nun auch die Probe. Passt es noch nicht? Lege die Aufgabe neu, prüfe die Steinezahl und versuche es wieder.

Lernnachweis

Du kannst Deinen Lernweg mit Steinen, Zeichnungen oder wenigen Wörtern zeigen.

Du kannst 12 Steine in gleich große Gruppen legen.
Du kannst Zweier-, Dreier- und Vierergruppen unterscheiden.
Du kannst zu einer gelegten Aufgabe eine passende Geteiltaufgabe nennen.
Du kannst Dein Ergebnis durch Malnehmen prüfen.
Du kannst erklären, wann eine Zahl ein Teiler von 12 ist.
Du kannst an einem Beispiel zeigen, was ein Rest ist.
Du kannst eine ähnliche Aufgabe mit einer anderen Steinezahl bearbeiten.
Wenn Du die Erweiterung gewählt hast, kannst Du 12 als 2 · 2 · 3 darstellen.

Wichtig: Du brauchst keine Aufnahme, keinen Namen und keine persönlichen Daten. Eine Zeichnung oder eine Erklärung am Material reicht. Dieser Lernnachweis ist keine diagnostische oder schulrechtliche Einstufung.

OERs zum Thema

Wikipedia: Teilermenge

Bildungsplanbezug: Bildungsplan 2022 Baden-Württemberg, Förderschwerpunkt Lernen, Mathematik, Abschnitt 2.2.1 Leitidee Zahl – Variable – Operation. Die Arbeit mit Mengen, anschaulichen Darstellungen, Operationen und passenden Rechenwegen wird hier als praxisnaher Einstieg umgesetzt. Primfaktoren und Potenzen sind freiwillige mathematische Anschlüsse.

Weitere Informationen: Division, Teilbarkeit, Primzahl, Primfaktorzerlegung und Potenz (Mathematik).

Mediennachweise und Lizenzen

Alle hier eingebetteten Bilder, Tondateien und Animationen sind bereits vorhandene Dateien von Wikimedia Commons. Die folgenden Links führen direkt zu ihren Dateiseiten. Es wurden keine neuen Medien erstellt.

Three by Four.svg – Urheber: Jim.belk; Lizenz: gemeinfrei (Public Domain).
100 Number Square.svg – Urheber: Ant Beck; Lizenz: CC0 1.0.
Printable-number-cards.pdf – Urheber: AriThull; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
Factor Tree 12.svg – Urheber: Hadithfajri; Lizenz: CC0 1.0.
SquareNumbers.svg – Urheber: Yoni Toker; Lizenz: CC BY-SA 3.0.
Division with apples.gif – Urheber: WikiPacifist; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
De-Zwei.ogg – Sprecher/Urheber: Jeuwre; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
De-Drei.ogg – Sprecher/Urheber: Jeuwre; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
De-Vier.ogg – Sprecher/Urheber: Jeuwre; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
De-Sechs.ogg – Sprecher/Urheber: Jeuwre; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
De-Zwölf.ogg – Sprecher/Urheber: Jeuwre; Lizenz: CC BY-SA 4.0.

Videonachweise: 3 Minuten für Mathe – Teilermenge und MathemaTrick – Teilermenge mit Primfaktorzerlegung. Die YouTube-Videos sind externe Angebote und keine Wikimedia-Commons-Dateien.

Textalternative für alle Medien: Die Aufgaben mit zwölf Steinen, die Punktebilder und die Rechenwege im Kurs können auch vollständig ohne Bild, Ton, Animation oder Video bearbeitet werden.