ABI LF - Stochastik hilfsmittelfrei trainieren

aiMOOC

ABI LF - Stochastik hilfsmittelfrei trainieren

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Einleitung

Mini-Beschreibung: Löse überschaubare, aber leistungsfachgerechte Aufgaben zu Baumdiagrammen, bedingter Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und einfachen Binomialwahrscheinlichkeiten ohne WTR. Trainiert werden exakte Brüche, saubere Modellierung, begründete Verfahrenswahl und prüfungstaugliche Rechenwege für das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg.

Zielgruppe: Leistungsfach Mathematik, gymnasiale Oberstufe, Vorbereitung auf den schriftlichen Abiturteil ohne WTR.

Trainingsmodus: Rechne die Kernaufgaben zunächst ohne wissenschaftlichen Taschenrechner und ohne Formeldokument. Nutze GeoGebra, Videos und andere digitale Werkzeuge erst zur Kontrolle oder Vertiefung. Übungswerkzeuge sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

Prüfungsbezug 2027: Nach dem Facherlass Baden-Württemberg für die Abiturprüfung 2027 wird Teil A ohne Formeldokument und ohne WTR bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben. Der gesamte schriftliche Prüfungsteil im Leistungsfach umfasst 300 Minuten. Prüfe vor Deiner eigenen Prüfung immer den für Deinen Jahrgang gültigen Erlass.

Offizielle Informationen zum Abitur Baden-Württemberg

Facherlass Abitur 2027

Arbeitsregel: KI-Ausgaben, Musterlösungen und digitale Berechnungen musst Du mathematisch prüfen. Sie ersetzen keine Begründung und keinen Beweis.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Baumdiagramm: Pfadwahrscheinlichkeiten exakt berechnen und Pfadregeln begründen.
2. Bedingte Wahrscheinlichkeit: $P(A\mid B)$ korrekt aus Schnitt- und Bedingungswahrscheinlichkeit bestimmen.
3. Erwartungswert: Erwartungswerte diskreter Zufallsgrößen als gewichtete Mittelwerte berechnen und deuten.
4. Binomialverteilung: Bernoulli-Situationen erkennen und einfache Einzel-, Gegen- und Summenwahrscheinlichkeiten ohne WTR bestimmen.
5. Mathematisches Modellieren: selbst entscheiden, welches Verfahren zur Situation passt.
6. Mathematisches Argumentieren: Rechenwege, Voraussetzungen und Ergebnisse formal nachvollziehbar begründen.

Vorwissen-Check

Check 1: Brüche

$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Kontrolle: Kürzen vor dem Multiplizieren spart Rechenarbeit.

Check 2: Gegenwahrscheinlichkeit

Ist $P(A)=\frac{5}{8}$, dann gilt

$P(\bar{A})=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$.

Kontrolle: Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen Wahrscheinlichkeit $1$.

Check 3: Binomialkoeffizient

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6$

Kontrolle: Es gibt sechs Anordnungen mit genau zwei Treffern in vier Versuchen.

Check 4: Wahrscheinlichkeiten

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$

Kontrolle: Eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung muss insgesamt $1$ ergeben.

Kernwissen kompakt

Baumdiagramm und Pfadregeln

Produktregel entlang eines Pfades:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$

Summenregel für disjunkte Pfade:

$P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)$

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Interaktives Beispiel 1: Vom Baum zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Gegeben seien

$P(A)=\frac{2}{3}$,

$P(B\mid A)=\frac{3}{4}$,

$P(B\mid \bar{A})=\frac{1}{4}$.

Schritt 1: gemeinsamer Pfad

$P(A\cap B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Schritt 2: zweiter Pfad

$P(\bar{A}\cap B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

Schritt 3: beide Wege zu $B$

$P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}$

Schritt 4: Bedingung umkehren

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}$

Denkhilfe: Im Nenner steht immer die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, auf das bedingt wird.

Feedback: $P(B\mid A)=\frac{3}{4}$ und $P(A\mid B)=\frac{6}{7}$ sind im Allgemeinen verschieden.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Für $P(B)>0$ gilt

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

Prüfungsfrage: Welches Ereignis steht nach dem senkrechten Strich?

Bei $P(A\mid B)$ wird auf $B$ bedingt. Deshalb steht $P(B)$ im Nenner.

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Erwartungswert

Für eine diskrete Zufallsgröße $X$ mit Werten $x_1,\dots ,x_m$ gilt

$E(X)=\sum _{i=1}^m{x}_i\cdot P(X=x_i)$.

Beispiel: Ein Spiel zahlt $0$ €, $3$ € oder $6$ € aus.

$P(X=0)=\frac{1}{2}$

$P(X=3)=\frac{1}{3}$

$P(X=6)=\frac{1}{6}$

Dann

$E(X)=0\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{1}{3}+6\cdot \frac{1}{6}=2$.

Ein Einsatz von $2\text{€}$ macht den erwarteten Nettogewinn gleich $0$.

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Prüfe selbst: Die Wahrscheinlichkeiten ergeben $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$.

Binomialverteilung

Eine binomialverteilte Trefferzahl setzt eine Bernoulli-Kette voraus:

1. genau zwei Ausgänge pro Versuch,
2. gleiche Trefferwahrscheinlichkeit $p$,
3. unabhängige Versuche,
4. feste Anzahl $n$.

Für $X\sim B(n,p)$ gilt

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$.

Interaktives Beispiel 2: Exakte Binomialwahrscheinlichkeit

Sei

$X\sim B(4,\frac{1}{2})$.

Genau zwei Treffer:

$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}){\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$=6\cdot \frac{1}{16}$

$=\frac{3}{8}$.

Mindestens ein Treffer:

Direktes Addieren wäre unnötig lang. Nutze das Gegenereignis:

$P(X>=1)=1-P(X=0)$

$=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$=\frac{15}{16}$.

Strategie: Wörter wie „mindestens ein“ oder „kein“ sind ein Signal, zuerst das Gegenereignis zu prüfen.

Dynamisches Modell: Binomialverteilung

Verändere $n$ und $p$. Beobachte, wie sich Lage und Form der Verteilung verändern.

Arbeitsauftrag:

1. Stelle $n=4$ und $p=\frac{1}{2}$ ein.
2. Vergleiche die Säule bei $k=2$ mit $\frac{3}{8}$.
3. Ändere $p$ und beschreibe, wie sich der Schwerpunkt verschiebt.
4. Rechne mindestens einen Wert zuerst von Hand und nutze das Applet nur zur Kontrolle.

Dynamischer Baum

Beobachtung: Gleiche Trefferzahlen entstehen über mehrere Pfade. Der Binomialkoeffizient zählt, wie viele solcher Trefferanordnungen es gibt.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Baumdiagramm

Gegeben:

$P(R)=\frac{3}{5}$

$P(S\mid R)=\frac{2}{3}$

$P(S\mid \bar{R})=\frac{1}{4}$

Berechne $P(S)$ und $P(R\mid S)$.

Hilfe 1: Berechne zuerst beide Pfade, die bei $S$ enden.

Hilfe 2:

$P(S)=P(R\cap S)+P(\bar{R}\cap S)$.

Lösung und Feedback:

$P(R\cap S)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{5}$

$P(\bar{R}\cap S)=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

$P(S)=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$

$P(R\mid S)=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}$.

Übung B: Erwartungswert

Eine Auszahlung $X$ nimmt die Werte $0$ €, $2$ € und $5$ € an mit

$P(X=0)=\frac{1}{2}$,

$P(X=2)=\frac{1}{4}$,

$P(X=5)=\frac{1}{4}$.

Bestimme den fairen Einsatz.

Hilfe: Der faire Einsatz entspricht der erwarteten Auszahlung.

Lösung und Feedback:

$E(X)=0\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+5\cdot \frac{1}{4}$

$=\frac{1}{2}+\frac{5}{4}$

$=\frac{7}{4}$.

Fairer Einsatz:

$\frac{7}{4}\text{€}=\mathrm{1,75}\text{€}$.

Übung C: Genau ein Treffer

Sei

$X\sim B(3,\frac{1}{3})$.

Berechne $P(X=1)$ exakt.

Hilfe: Es gibt $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})=3$ mögliche Positionen für den Treffer.

Lösung und Feedback:

$P(X=1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^2$

$=3\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{9}$

$=\frac{4}{9}$.

Übung D: Mindestens zwei Treffer

Weiter gilt

$X\sim B(3,\frac{1}{3})$.

Bestimme $P(X>=2)$.

Hilfe:

$P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)$.

Lösung und Feedback:

$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}){\left(\frac{1}{3}\right)}^2\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$

$P(X=3)=\frac{1}{27}$

$P(X>=2)=\frac{2}{9}+\frac{1}{27}=\frac{7}{27}$.

Übung E: Verfahren selbst wählen

Eine Münze mit $P(K)=\frac{1}{2}$ wird fünfmal unabhängig geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für höchstens einmal Kopf.

Hilfe: „Höchstens einmal“ bedeutet $X<=1$.

Lösung und Feedback:

$P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1)$

$=\frac{1}{32}+\frac{5}{32}$

$=\frac{6}{32}$

$=\frac{3}{16}$.

Fehleranalyse

Fehler 1: Auf einem Pfad addieren

Falsch:

$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$

Richtig:

$P(A\cap B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$.

Diagnose: Entlang eines Pfades wird multipliziert.

Fehler 2: Bedingung im Nenner vertauschen

Falsch:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Richtig:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

Diagnose: Das Ereignis hinter dem Strich bestimmt den Nenner.

Fehler 3: Binomialkoeffizient vergessen

Falsch:

$P(X=2)=p^2(1-p{)}^{n-2}$

Richtig:

$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})p^2(1-p{)}^{n-2}$.

Diagnose: Die Treffer können an verschiedenen Positionen auftreten.

Fehler 4: Dezimalzahlen zu früh verwenden

Prüfungsgeeigneter ist oft

$\frac{3}{8}$

statt

$\mathrm{0,375}$,

wenn der Bruch exakt und leicht weiterzuverarbeiten ist.

Fehler 5: Binomialmodell trotz wechselnder Trefferwahrscheinlichkeit

Ohne Zurücklegen kann sich $p$ von Zug zu Zug ändern. Dann ist eine Binomialverteilung nicht automatisch zulässig.

Prüffrage: Bleiben Unabhängigkeit und Trefferwahrscheinlichkeit tatsächlich erhalten?

Selbstkontrolle

Rechne zuerst ohne Aufklappen.

1.

$P(A)=\frac{1}{2},P(B\mid A)=\frac{2}{3}$

Bestimme $P(A\cap B)$.

Antwort: $\frac{1}{3}$

2.

$P(B)=\frac{3}{5},P(A\cap B)=\frac{1}{5}$

Bestimme $P(A\mid B)$.

Antwort: $\frac{1}{3}$

3.

$X$ nimmt $0,2,4$ mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ an.

Antwort: $E(X)=2$

4.

$X\sim B(5,\frac{1}{2})$. Bestimme $P(X=0)$.

Antwort: $\frac{1}{32}$

5.

Bestimme für dieselbe Zufallsgröße $P(X<=1)$.

Antwort: $\frac{3}{16}$

6.

Begründe

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$

inhaltlich.

Antwort: Die Auswahl von $k$ Trefferpositionen legt zugleich die $n-k$ Nichttrefferpositionen fest.

Transfer

Transfer 1: Symmetrie bei $p=\frac{1}{2}$

Zeige für

$X\sim B(n,\frac{1}{2})$

die Beziehung

$P(X=k)=P(X=n-k)$.

Begründung:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

und

$P(X=n-k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

Wegen

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$

sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich.

Transfer 2: Sind bedingte Wahrscheinlichkeiten symmetrisch?

Prüfe die Behauptung

$P(A\mid B)=P(B\mid A)$.

Nutze das Beispiel aus dem ersten Rechenweg.

Ergebnis:

$P(A\mid B)=\frac{6}{7}$

aber

$P(B\mid A)=\frac{3}{4}$.

Die Behauptung ist im Allgemeinen falsch.

Transfer 3: Modellkritik

In einer Urne liegen drei rote und zwei blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

Frage: Darf die Zahl roter Kugeln als $B(2,\frac{3}{5})$ modelliert werden?

Antwort: Nein. Ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nach dem ersten Zug. Die Bernoulli-Bedingungen sind nicht erfüllt.

Video-Transfer

Das folgende Video sammelt typische Abitur-Aufgabentypen zur Stochastik. Prüfe bei jedem gezeigten Verfahren selbst, ob es zu den baden-württembergischen Vorgaben Deines Prüfungsjahrgangs passt.

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Kompetenzcheck

Markiere für Dich nur Aussagen, die Du ohne Hilfsmittel sicher erfüllen kannst.

1. Ich kann entlang eines Baum-Pfades korrekt multiplizieren.
2. Ich kann disjunkte Pfadwahrscheinlichkeiten korrekt addieren.
3. Ich kann bei $P(A\mid B)$ den richtigen Nenner wählen.
4. Ich kann Erwartungswerte mit Brüchen exakt bestimmen.
5. Ich erkenne eine Bernoulli-Kette an ihren Voraussetzungen.
6. Ich kann einfache Binomialwahrscheinlichkeiten ohne WTR berechnen.
7. Ich kann Gegenwahrscheinlichkeiten strategisch nutzen.
8. Ich kann erklären, warum ein Verfahren mathematisch zulässig ist.
9. Ich kann einen fehlerhaften Rechenweg finden und korrigieren.
10. Ich kann ein Ergebnis auf Plausibilität prüfen.

Reflexion

1. Welche Rechnung wird für Dich schneller, wenn Du Brüche statt Dezimalzahlen verwendest?
2. Bei welcher Aufgabenform brauchst Du noch zu lange für die Verfahrenswahl?
3. Welche typische Fehlerquelle tritt bei Dir am häufigsten auf?
4. Kannst Du eine Lösung so formulieren, dass eine andere Person jeden Schritt prüfen kann?
5. Welche digitale Kontrolle verwendest Du erst nach Deiner eigenen Rechnung?

Folgekurs

Als nächste Schritte eignen sich:

1. ABI LF - Das kann ich im Mathematik-Abitur – Teil A: gemischtes hilfsmittelfreies Training.
2. ABI LF - Schriftliche Mathematik-Abiturprüfung 2027 verstehen: Prüfungsstruktur und Zeitmanagement.
3. ABI LF - Stochastik mit WTR vertiefen: komplexere Binomial- und Testaufgaben mit zugelassenen Hilfsmitteln.
4. Hypothesentest: Entscheidungen unter Unsicherheit formal untersuchen.
5. Normalverteilung: stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle und Approximationen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Rechnung beschreibt einen Pfad mit P A gleich zwei Drittel und P B unter A gleich drei Viertel? (Zwei Drittel mal drei Viertel) (!Zwei Drittel plus drei Viertel) (!Drei Viertel minus zwei Drittel) (!Zwei Drittel geteilt durch drei Viertel)

Welche Größe steht im Nenner von P A unter B? (P B) (!P A) (!P A geschnitten B) (!P nicht B)

Welcher Wert ist der Erwartungswert der Auszahlungen null mit Wahrscheinlichkeit ein Halb und vier mit Wahrscheinlichkeit ein Halb? (Zwei) (!Null) (!Ein Halb) (!Vier)

Welche Eigenschaft gehört zu einer Bernoulli Kette? (Konstante Trefferwahrscheinlichkeit) (!Beliebig viele Ausgänge pro Versuch) (!Abhängige Versuche sind vorgeschrieben) (!Die Trefferwahrscheinlichkeit muss ein Halb sein)

Wie groß ist bei vier fairen Münzwürfen die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer? (Drei Achtel) (!Ein Viertel) (!Ein Halb) (!Fünf Achtel)

Welche Strategie ist für mindestens einen Treffer oft besonders kurz? (Gegenereignis verwenden) (!Alle möglichen Dezimalwerte schätzen) (!Den Erwartungswert berechnen) (!Die Trefferwahrscheinlichkeit verdoppeln)

Was bedeutet der Binomialkoeffizient in einer Trefferwahrscheinlichkeit? (Anzahl möglicher Trefferanordnungen) (!Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Treffers) (!Anzahl der Gegenereignisse) (!Erwartungswert der Verteilung)

Wann ist ein Binomialmodell nicht automatisch zulässig? (Bei Ziehen ohne Zurücklegen mit wechselnder Trefferwahrscheinlichkeit) (!Bei unabhängigen Münzwürfen) (!Bei gleicher Trefferwahrscheinlichkeit) (!Bei einer festen Versuchszahl)

Wie groß ist bei fünf fairen Münzwürfen die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer? (Ein Zweiunddreißigstel) (!Ein Sechzehntel) (!Fünf Zweiunddreißigstel) (!Ein Fünftel)

Was ist bei einer prüfungstauglichen Begründung wichtig? (Voraussetzungen und Rechenweg nachvollziehbar angeben) (!Nur das Endergebnis notieren) (!Immer Dezimalzahlen verwenden) (!Digitale Kontrolle als Beweis verwenden)

Memory

Bedingte Wahrscheinlichkeit	Schnittwahrscheinlichkeit geteilt durch Bedingungswahrscheinlichkeit
Produktregel	Multiplizieren entlang eines Pfades
Summenregel	Addieren disjunkter Pfadwahrscheinlichkeiten
Erwartungswert	Gewichteter Mittelwert
Binomialkoeffizient	Anzahl der Trefferanordnungen
Gegenereignis	Eins minus Ereigniswahrscheinlichkeit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Produktregel	entlang eines Pfades
Summenregel	mehrere disjunkte Pfade
Bedingte Wahrscheinlichkeit	Zusatzinformation ist bekannt
Erwartungswert	langfristiger gewichteter Mittelwert
Gegenereignis	mindestens ein Treffer

Kreuzworträtsel

Baumdiagramm	Welche Darstellung zeigt mehrstufige Zufallsversuche als verzweigte Pfade?
Bernoulli	Wie heißt ein Versuch mit genau zwei relevanten Ausgängen?
Erwartungswert	Wie heißt der gewichtete Mittelwert einer Zufallsgröße?
Gegenereignis	Welches Ereignis tritt genau dann ein, wenn das ursprüngliche Ereignis nicht eintritt?
Pfadregel	Welche Regel verbindet Wahrscheinlichkeiten entlang eines Baumzweiges?
Binomial	Welches Verteilungsmodell beschreibt Trefferzahlen in einer Bernoulli Kette?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten . Bei mehreren disjunkten Pfaden werden die Pfadwahrscheinlichkeiten . Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit steht die Wahrscheinlichkeit der im Nenner. Der Erwartungswert ist ein Mittelwert. Eine Bernoulli-Kette besitzt eine konstante . Bei mindestens einem Treffer ist häufig das besonders effizient. Ein exakter kann im hilfsmittelfreien Teil günstiger sein als eine gerundete Dezimalzahl.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Baumdiagramm erstellen: Zeichne ein zweistufiges Baumdiagramm mit selbst gewählten Bruchwahrscheinlichkeiten und berechne zwei Pfade exakt.
2. Bedingte Wahrscheinlichkeit erklären: Formuliere in drei Sätzen, warum bei $P(A\mid B)$ die Größe $P(B)$ im Nenner steht.
3. Erwartungswert gestalten: Erfinde ein kleines Glücksspiel mit drei Auszahlungen und einem ganzzahligen Erwartungswert.
4. Fehler finden: Erstelle einen bewusst falschen Rechenweg zur Produktregel und markiere anschließend den Fehler.

Standard

1. Binomialaufgabe entwickeln: Erfinde eine Bernoulli-Kette mit $n<=5$ und einer Trefferwahrscheinlichkeit, die sich als einfacher Bruch schreiben lässt.
2. Gegenereignis vergleichen: Löse eine Aufgabe einmal direkt und einmal mit Gegenereignis. Vergleiche die Rechenlänge.
3. Videokritik: Wähle einen Rechenschritt aus einem eingebetteten Video und prüfe ihn unabhängig mit eigener Rechnung.
4. Modellentscheidung: Formuliere zwei Situationen, von denen nur eine binomial modelliert werden darf. Begründe die Unterscheidung.

Schwer

1. Beweis Binomialsymmetrie: Begründe formal $P(X=k)=P(X=n-k)$ für $X\sim B(n,\frac{1}{2})$.
2. Mehrschrittige Stochastik: Verbinde in einer selbst entworfenen Aufgabe Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit und gib eine vollständige Musterlösung an.
3. Prüfungsaufgabe analysieren: Nimm eine veröffentlichte Abitur- oder Beispielaufgabe und trenne Modellierung, Rechnung, Begründung und Kontrolle.
4. KI mathematisch prüfen: Lass Dir einen Lösungsweg zu einer selbst erstellten Stochastikaufgabe generieren und kontrolliere jeden mathematischen Schritt schriftlich. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl begründen: Zu drei kurzen Situationen entscheidest Du zwischen Baumdiagramm, bedingter Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Binomialmodell und begründest jede Wahl.
2. Fehleranalyse Stochastik: Analysiere einen Lösungsweg, in dem Pfadregel und bedingte Wahrscheinlichkeit verwechselt wurden, und korrigiere ihn vollständig.
3. Transfer ohne WTR: Entwickle für $X\sim B(4,\frac{1}{2})$ eine Sachfrage, deren Lösung $\frac{15}{16}$ ist, und begründe die Modellierung.
4. Modellkritik: Untersuche ein Ziehen ohne Zurücklegen und entscheide formal, warum ein Binomialmodell gilt oder nicht gilt.
5. Beweisidee prüfen: Prüfe eine Begründung zur Symmetrie einer Binomialverteilung und kennzeichne, welche Aussage auf $p=\frac{1}{2}$ angewiesen ist.
6. Erwartungswert deuten: Entwirf zwei Spiele mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlichen Auszahlungsstrukturen, und erläutere, warum der Erwartungswert allein nicht alle Eigenschaften beschreibt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. Baumdiagramme korrekt beschriften und auswerten kannst.
2. die Produkt- und Summenregel sicher unterscheidest.
3. bedingte Wahrscheinlichkeiten formal korrekt berechnest und deutest.
4. Erwartungswerte diskreter Zufallsgrößen exakt bestimmst.
5. Bernoulli-Ketten an ihren Voraussetzungen erkennst.
6. einfache Binomialwahrscheinlichkeiten ohne WTR berechnest.
7. Gegenereignisse gezielt zur Verkürzung von Rechnungen nutzt.
8. exakte Brüche sinnvoll gegenüber gerundeten Dezimalzahlen bevorzugst.
9. mehrschrittige Lösungswege nachvollziehbar begründest.
10. Fehler in Rechnungen oder KI-Ausgaben selbstständig erkennst und korrigierst.
11. prüfst, ob ein mathematisches Modell zur Sachsituation passt.
12. zwischen Lernwerkzeug und tatsächlich zugelassenem Prüfungshilfsmittel unterscheiden kannst.

OERs zum Thema

Freie und weiterführende Medien

Wikimedia Commons: Probability tree diagram

Wikimedia Commons: Probability tree

Wikimedia Commons: Binomial distribution

Wikimedia Commons: animierte Binomialverteilung

GeoGebra: dynamisches Säulendiagramm zur Binomialverteilung

GeoGebra: dynamischer Binomialbaum

Verknüpfte Lernbereiche

Stochastik Baumdiagramm Bedingte Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Bernoulli-Kette Binomialverteilung Gegenereignis Mathematisches Modellieren Mathematisches Argumentieren