M10 E - Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung verwenden

M10 E - Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung verwenden

Mini-Beschreibung: Du verstehst ${\log }_a(b)$ als den Exponenten, mit dem $a$ potenziert werden muss, um $b$ zu erhalten. Du nutzt Logarithmen zur Lösung geeigneter Exponentialgleichungen und verbindest Term, Graph und Umkehrvorstellung.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 10, Baden-Württemberg, E-Niveau.

Kurzer Einstieg

Gesucht ist der fehlende Exponent:

$2^x=32$

Hier kannst Du noch erkennen:

$2^5=32$

also

$x=5$.

Aber wie löst Du

$2^x=20$ ?

Dafür brauchst Du den Logarithmus.

$x={\log }_2(20)$

Der Logarithmus beantwortet also eine Exponent-Frage.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Logarithmen als Umkehrung des Potenzierens deuten.
2. zwischen $a^x=b$ und $x={\log }_a(b)$ sicher wechseln.
3. geeignete Exponentialgleichungen mit Logarithmen lösen.
4. die Lösung mit dem Graphen einer Exponentialfunktion verbinden.
5. die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion erklären.
6. den Basiswechsel ${\log }_a(b)=\frac{\ln (b)}{\ln (a)}$ herleiten.
7. Rechenwege begründen und digitale Ergebnisse kritisch prüfen.
8. Gegenbeispiele zu falschen Logarithmusregeln untersuchen.
9. exponentielle Modelle entwickeln und Lösungen im Sachzusammenhang deuten.

Vorwissen-Check

Prüfe ohne Taschenrechner:

1. $2^3=8$
2. $10^0=1$
3. $5^{-1}=\frac{1}{5}$
4. $3^x=27\Rightarrow x=3$
5. Eine Exponentialfunktion hat die Form $f(x)=a^x$ mit $a>0$ und $a\ne 1$.

Denkfrage: Welche Zahl müsste bei $3^x=10$ für $x$ stehen? Eine ganze Zahl ist es nicht. Genau hier wird der Logarithmus nützlich.

Grundidee: Der Logarithmus ist ein Exponent

Für

$a>0,a\ne 1,b>0$

gilt:

${\log }_a(b)=x⟺a^x=b$

Merksatz: ${\log }_a(b)$ ist der Exponent, mit dem Du $a$ potenzieren musst, um $b$ zu erhalten.

Beispiele:

${\log }_2(8)=3$, denn $2^3=8$.

${\log }_{10}(1000)=3$, denn $10^3=1000$.

${\log }_5\left(\frac{1}{5}\right)=-1$, denn $5^{-1}=\frac{1}{5}$.

${\log }_{\frac{1}{2}}(8)=-3$, denn ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8$.

Term und Umkehrvorstellung

Potenzieren:

$x\mapsto a^x$

Logarithmieren zur Basis $a$:

$b\mapsto {\log }_a(b)$

Die Operationen machen einander rückgängig:

${\log }_a(a^x)=x$

und für $b>0$:

$a^{{\log }_a(b)}=b$.

Graph und Umkehrfunktion

Für $a>1$ gehören die Funktionen

$f(x)=a^x$

und

$f^{-1}(x)={\log }_a(x)$

zusammen.

Ihre Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden

$y=x$.

Ein Punkt wird dabei vertauscht:

$(x,y)⟷(y,x)$.

Für $a=2$:

$(0,1)⟷(1,0)$

$(1,2)⟷(2,1)$

$(2,4)⟷(4,2)$.

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Graphische Deutung von $2^x=20$: Du suchst beim Graphen $y=2^x$ den $x$-Wert zur Höhe $20$. Beim Logarithmusgraphen $y={\log }_2(x)$ suchst Du den $y$-Wert an der Stelle $x=20$. Beide liefern dieselbe Zahl.

Exponentialgleichungen mit Logarithmen lösen

Fall 1: Exponent steht allein

Gegeben:

$3^x=20$

Schritt 1: Logarithmus anwenden.

$x={\log }_3(20)$

Schritt 2: Taschenrechner mit Basiswechsel.

$x=\frac{\ln (20)}{\ln (3)}$

Schritt 3: Näherung.

$x\approx \mathrm{2,727}$

Schritt 4: Probe.

$3^{\mathrm{2,727}}\approx 20$

Fall 2: Erst Exponentialterm isolieren

Gegeben:

$5\cdot 2^x=70$

Schritt 1:

$2^x=14$

Schritt 2:

$x={\log }_2(14)$

Schritt 3:

$x=\frac{\ln (14)}{\ln (2)}$

Schritt 4:

$x\approx \mathrm{3,807}$

Fall 3: Im Exponenten steht ein Term

Gegeben:

$4^{2x-1}=30$

Schritt 1:

$2x-1={\log }_4(30)$

Schritt 2:

$2x=1+{\log }_4(30)$

Schritt 3:

$x=\frac{1+{\log }_4(30)}{2}$

Schritt 4 mit Basiswechsel:

$x=\frac{1}{2}(1+\frac{\ln (30)}{\ln (4)})$

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Warum funktioniert der Basiswechsel?

Für

$x={\log }_a(b)$

gilt nach der Definition:

$a^x=b$.

Logarithmiere beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus:

$\ln (a^x)=\ln (b)$.

Mit

$\ln (a^x)=x\ln (a)$

folgt:

$x\ln (a)=\ln (b)$.

Also:

$x=\frac{\ln (b)}{\ln (a)}$.

Damit gilt:

${\log }_a(b)=\frac{\ln (b)}{\ln (a)}$.

Das gilt für

$a>0,a\ne 1,b>0$.

Interaktives Beispiel: Term – Graph – Bedeutung

Gegeben:

$5^x=12$.

Term:

$x={\log }_5(12)$

Taschenrechner:

$x=\frac{\ln (12)}{\ln (5)}\approx \mathrm{1,544}$

Graph:

Der Graph $y=5^x$ erreicht die Höhe $12$ bei ungefähr $x=\mathrm{1,544}$.

Umkehrung:

Der Graph $y={\log }_5(x)$ hat bei $x=12$ ungefähr den Funktionswert $\mathrm{1,544}$.

Probe:

$5^{\mathrm{1,544}}\approx 12$

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Direkt logarithmieren

Löse:

$7^x=50$

Hilfe 1: Forme die Gleichung direkt in Logarithmusform um.

Hilfe 2:

$x={\log }_7(50)$

Hilfe 3:

$x=\frac{\ln (50)}{\ln (7)}$

Feedback: Dein Ergebnis sollte zwischen $2$ und $3$ liegen, weil $7^2=49$ und $7^3=343$.

Übung B: Erst isolieren

Löse:

$4\cdot 3^x=100$

Hilfe 1: Teile zuerst durch $4$.

Hilfe 2:

$3^x=25$

Hilfe 3:

$x=\frac{\ln (25)}{\ln (3)}$

Feedback: Prüfe anschließend, ob $4\cdot 3^x$ wieder ungefähr $100$ ergibt.

Übung C: Linearer Exponent

Löse:

$2^{3x+1}=17$

Hilfe 1:

$3x+1={\log }_2(17)$

Hilfe 2:

$3x={\log }_2(17)-1$

Hilfe 3:

$x=\frac{{\log }_2(17)-1}{3}$

Feedback: Kontrolliere den gesamten Exponenten $3x+1$, nicht nur $x$.

Übung D: Basis kleiner als 1

Löse:

$\mathrm{0,}{8}^x=\mathrm{0,3}$

Hilfe 1:

$x={\log }_{\mathrm{0,8}}(\mathrm{0,3})$

Hilfe 2:

$x=\frac{\ln (\mathrm{0,3})}{\ln (\mathrm{0,8})}$

Feedback: Weil $0<\mathrm{0,8}<1$, fällt die Exponentialfunktion. Ein positives $x$ passt daher zu einem Ergebnis unter $1$.

Typische Fehler

Fehler 1: Basis und Argument vertauschen

Falsch:

$2^x=7\Rightarrow x={\log }_7(2)$

Richtig:

$2^x=7\Rightarrow x={\log }_2(7)$

Fehler 2: Negative Argumente im Reellen

${\log }_2(-8)$

ist als reeller Logarithmus nicht definiert.

Fehler 3: Basis $1$

${\log }_1(5)$

ist nicht definiert, denn $1^x=1$ für jedes reelle $x$.

Fehler 4: Falsche Summenregel

Im Allgemeinen gilt nicht:

${\log }_a(u+v)={\log }_a(u)+{\log }_a(v)$.

Gegenbeispiel:

${\log }_2(2+6)={\log }_2(8)=3$

aber

${\log }_2(2)+{\log }_2(6)=1+{\log }_2(6)\ne 3$.

Fehler 5: Taschenrechnerwert ungeprüft übernehmen

Ein Dezimalwert ist nur dann überzeugend, wenn Du ihn in die Ausgangsgleichung einsetzt oder graphisch plausibilisierst.

Digitale Werkzeuge sinnvoll nutzen

Du darfst Taschenrechner, dynamische Geometriesoftware oder Tabellenkalkulation verwenden.

Prüfe digitale Ergebnisse immer durch mindestens eine zweite Darstellung:

1. Einsetzen in die Ausgangsgleichung.
2. Vergleich mit dem Graphen.
3. Größenordnung abschätzen.
4. Definitionsbedingungen prüfen.

Gib keine personenbezogenen Daten in Online-Werkzeuge ein.

KI-Ausgaben können Rechenwege vorschlagen, ersetzen aber keinen mathematischen Beweis. Prüfe insbesondere Umformungen, Definitionsbereiche und Näherungswerte selbst.

Exponentielle Modelle

Eine Größe wächst nach

$N(t)=120\cdot \mathrm{1,0}{8}^t$.

Wann hat sie sich verdoppelt?

Gesucht:

$N(t)=240$.

Einsetzen:

$120\cdot \mathrm{1,0}{8}^t=240$

Isolieren:

$\mathrm{1,0}{8}^t=2$

Logarithmieren:

$t=\frac{\ln (2)}{\ln (\mathrm{1,08})}$

Näherung:

$t\approx \mathrm{9,01}$.

Deutung: Nach ungefähr $9$ Zeiteinheiten ist der Anfangswert verdoppelt.

Modell kritisch prüfen

Ein korrekt gerechneter Logarithmus macht ein Modell noch nicht automatisch realistisch.

Prüfe:

1. Ist exponentielles Wachstum im betrachteten Zeitraum plausibel?
2. Ist die Wachstumsrate konstant?
3. Ist die Einheit von $t$ klar?
4. Passt der errechnete Zeitpunkt zum Definitionsbereich des Modells?

E-Niveau: Verallgemeinern und begründen

Für

$c\cdot a^{mx+n}=d$

mit geeigneten positiven Größen und $m\ne 0$ gilt nach dem Isolieren:

$a^{mx+n}=\frac{d}{c}$.

Dann:

$mx+n={\log }_a\left(\frac{d}{c}\right)$.

Also:

$x=\frac{{\log }_a\left(\frac{d}{c}\right)-n}{m}$.

Mit Basiswechsel:

$x=\frac{\frac{\ln (d/c)}{\ln (a)}-n}{m}$.

Bedingungen:

$a>0,a\ne 1,\frac{d}{c}>0,m\ne 0$.

Begründung: Die Äquivalenz folgt daraus, dass $a^x$ für erlaubte Basen eine umkehrbare Funktion ist und der Logarithmus genau diese Umkehrung beschreibt.

Gegenbeispiele prüfen

Entscheide jeweils, warum der Rechenweg nicht zulässig ist.

A

$2^x=-5$

Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine Lösung, weil $2^x>0$ für jedes reelle $x$ gilt.

B

$1^x=4$

Keine Lösung, weil $1^x=1$ für jedes reelle $x$ gilt.

C

$(-2{)}^x=7$

Die übliche reelle Exponentialfunktion mit beliebigem reellen Exponenten wird in diesem Schulkontext nur für positive Basen betrachtet. Deshalb ist der direkte Logarithmusweg hier nicht zulässig.

Selbstkontrolle

Kannst Du jede Aussage begründen?

1. ${\log }_a(b)$ ist ein Exponent.
2. $a^x=b$ und $x={\log }_a(b)$ sind äquivalente Schreibweisen.
3. Der Graph von $y={\log }_a(x)$ entsteht aus dem Graphen von $y=a^x$ durch Spiegelung an $y=x$.
4. Vor dem Logarithmieren sollte der Exponentialterm möglichst isoliert sein.
5. Der Basiswechsel macht Logarithmen mit beliebiger erlaubter Basis am Taschenrechner berechenbar.
6. Ein Näherungswert sollte durch Probe oder Graph kontrolliert werden.

Transfer

Ein Medikamentenmodell sei

$M(t)=80\cdot \mathrm{0,8}{5}^t$.

Bestimme den Zeitpunkt, an dem noch $20$ Einheiten vorhanden sind.

Ansatz:

$80\cdot \mathrm{0,8}{5}^t=20$

Isolieren:

$\mathrm{0,8}{5}^t=\mathrm{0,25}$

Lösen:

$t=\frac{\ln (\mathrm{0,25})}{\ln (\mathrm{0,85})}$.

Transferfrage: Warum ist das Ergebnis positiv, obwohl sowohl $\ln (\mathrm{0,25})$ als auch $\ln (\mathrm{0,85})$ negativ sind?

Kompetenzcheck

Du beherrschst das Thema auf E-Niveau, wenn Du:

1. Exponentialgleichungen algebraisch auf Logarithmen zurückführen kannst.
2. den Basiswechsel selbst herleiten kannst.
3. Term, Graph und Umkehrfunktion miteinander verknüpfst.
4. Definitionsbedingungen vor und nach dem Rechnen prüfst.
5. falsche Logarithmusregeln mit Gegenbeispielen widerlegst.
6. exponentielle Modelle aufstellst, löst und kritisch deutest.
7. digitale Ergebnisse durch mathematische Argumente absicherst.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. An welcher Stelle einer Exponentialgleichung erkennst Du, dass ein Logarithmus sinnvoll ist?
2. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Term, Graph oder Umkehrvorstellung?
3. Welche Probe überzeugt Dich stärker: Einsetzen oder Graph? Begründe.
4. Welche Definitionsbedingung würdest Du künftig zuerst prüfen?
5. Wo kann ein korrekt berechneter Logarithmus trotzdem zu einer schlechten Modellentscheidung führen?

Folgekurs

Als nächstes passen besonders:

1. Logarithmengesetze sicher anwenden
2. Exponential- und Logarithmusfunktionen vergleichen
3. Exponentielle Wachstums- und Zerfallsmodelle
4. Komplexere Exponentialgleichungen
5. Umkehrfunktionen formal untersuchen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet die Aussage Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3? (2 hoch 3 ist 8) (!3 hoch 2 ist 8) (!8 hoch 2 ist 3) (!8 hoch 3 ist 2)

Welche Gleichung gehört zur Aussage x ist der Logarithmus von 12 zur Basis 5? (5 hoch x ist 12) (!12 hoch x ist 5) (!x hoch 5 ist 12) (!5 hoch 12 ist x)

Welche Bedingung muss für die Basis eines reellen Logarithmus gelten? (Die Basis ist positiv und nicht 1) (!Die Basis ist negativ) (!Die Basis ist genau 1) (!Die Basis ist genau 0)

Wie löst Du die Gleichung 3 hoch x ist 20? (x ist der Logarithmus von 20 zur Basis 3) (!x ist der Logarithmus von 3 zur Basis 20) (!x ist 20 hoch 3) (!x ist 3 mal 20)

Welche Beschreibung des Basiswechsels ist richtig? (Logarithmus von b zur Basis a ist ln von b geteilt durch ln von a) (!Logarithmus von b zur Basis a ist ln von a geteilt durch ln von b) (!Logarithmus von b zur Basis a ist ln von a plus ln von b) (!Logarithmus von b zur Basis a ist a mal ln von b)

Was musst Du bei 5 mal 2 hoch x gleich 70 zuerst tun? (Den Exponentialterm isolieren) (!Den Exponenten verdoppeln) (!Die Basis mit 70 addieren) (!Den Logarithmus der Summe bilden)

Wie hängen Exponential- und Logarithmusfunktion graphisch zusammen? (Sie sind an der Geraden y gleich x gespiegelt) (!Sie sind an der x-Achse gespiegelt) (!Sie sind parallel) (!Sie haben immer denselben Graphen)

Welche Aussage über Logarithmen ist im Allgemeinen falsch? (Der Logarithmus einer Summe ist die Summe der Logarithmen) (!Logarithmieren kann Potenzieren rückgängig machen) (!Exponentieren kann Logarithmieren rückgängig machen) (!Ein Basiswechsel kann mit natürlichen Logarithmen durchgeführt werden)

Warum ist der Logarithmus von minus 8 zur Basis 2 im Reellen nicht definiert? (2 hoch x ist für reelle x immer positiv) (!Die Basis 2 ist zu groß) (!Der Exponent müsste immer ganzzahlig sein) (!Logarithmen dürfen nur zur Basis 10 gebildet werden)

Welche Kontrolle ist nach einer logarithmischen Lösung besonders sinnvoll? (Die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen) (!Nur die letzte Taschenrechneranzeige abschreiben) (!Die Basis ignorieren) (!Den Exponenten durch die Basis ersetzen)

Memory

Logarithmus	gesuchter Exponent
Exponentialfunktion	Funktion mit Variable im Exponenten
Umkehrfunktion	vertauscht Eingabe und Ausgabe
Spiegelachse	Gerade $y=x$
Basiswechsel	Quotient zweier Logarithmen
Argument	positive Zahl im Logarithmus
Probe	Einsetzen in die Ausgangsgleichung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Potenzform	Exponentialgleichung
Logarithmusform	Umkehrschreibweise
Spiegelung an der Winkelhalbierenden	Umkehrfunktion
Positives Argument	Definitionsbedingung
Einsetzen in die Ausgangsgleichung	Ergebniskontrolle

Kreuzworträtsel

Logarithmus	Welche Rechenoperation liefert den gesuchten Exponenten?
Exponent	Welche Zahl wird beim Logarithmieren gesucht?
Umkehrfunktion	Wie heißt die Funktion, die Eingabe und Ausgabe vertauscht?
Basis	Wie heißt die Zahl $a$ in ${\log }_a(b)$?
Argument	Wie heißt die Zahl $b$ in ${\log }_a(b)$?
Spiegelung	Welcher geometrische Vorgang verbindet Exponential- und Logarithmusgraph?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Logarithmus beschreibt den gesuchten . Aus $a^x=b$ folgt . Die Basis eines reellen Logarithmus muss positiv und von verschieden sein. Das Argument eines reellen Logarithmus muss sein. Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind . Ihre Graphen sind an der Geraden gespiegelt. Für den Basiswechsel gilt . Vor dem Logarithmieren sollte der Exponentialterm möglichst werden. Ein digital berechneter Näherungswert sollte durch eine kontrolliert werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Logarithmus-Karten: Erstelle acht Kartenpaare aus Potenzform und passender Logarithmusform.
2. Graphen lesen: Zeichne $y=2^x$ und $y={\log }_2(x)$ in dasselbe Koordinatensystem und markiere drei vertauschte Punktpaare.
3. Fehlersuche: Erfinde einen typischen falschen Rechenweg zu $3^x=14$ und korrigiere ihn.
4. Taschenrechner-Check: Berechne drei Logarithmen mit Basiswechsel und überprüfe jedes Ergebnis durch Potenzieren.

Standard

1. Exponentialgleichungen vergleichen: Löse drei Gleichungen mit unterschiedlich aufgebauten Exponenten und erkläre, warum die Schritte jeweils äquivalent sind.
2. Umkehrmodell: Gestalte eine Skizze, die den Weg $x\to a^x\to {\log }_a(a^x)$ sichtbar macht.
3. Sachmodell: Entwickle ein realistisches Wachstums- oder Zerfallsmodell und formuliere eine Frage, die nur mit einem Logarithmus gelöst werden kann.
4. Digitale Prüfung: Vergleiche Taschenrechner, Graph und händischen Rechenweg für dieselbe Exponentialgleichung.

Schwer

1. Basiswechsel beweisen: Leite die Basiswechselformel vollständig her und benenne an jeder Stelle die verwendete Regel.
2. Gegenbeispiel: Widerlege eine falsche Logarithmusregel mit einem selbst gewählten Gegenbeispiel und erkläre, warum ein einzelnes Gegenbeispiel genügt.
3. Allgemeine Lösung: Leite die Lösungsformel für $c\cdot a^{mx+n}=d$ her und notiere alle notwendigen Bedingungen.
4. Komplexes Modell: Entwickle ein mehrstufiges exponentielles Modell, bestimme einen Schwellenzeitpunkt logarithmisch und diskutiere die Grenzen Deines Modells.

Lernkontrolle

1. Darstellungswechsel: Gegeben ist $5^x=18$. Erkläre dieselbe Situation als Gleichung, Logarithmusausdruck, Graphenfrage und Umkehrfunktion.
2. Begründung: Begründe formal, warum ${\log }_a(a^x)=x$ für zulässige Basen gilt.
3. Fehleranalyse: Eine Person behauptet ${\log }_2(3+5)={\log }_2(3)+{\log }_2(5)$. Prüfe die Behauptung rechnerisch und erkläre den Denkfehler.
4. Modelltransfer: In einem Zerfallsmodell ist der Faktor kleiner als $1$. Erkläre, warum ein gesuchter positiver Zeitpunkt trotzdem durch einen Quotienten zweier negativer Logarithmen entstehen kann.
5. Beweisidee: Leite den Basiswechsel von ${\log }_a(b)$ zu natürlichen Logarithmen her.
6. Gültigkeitsbereich: Untersuche, welche Bedingungen an $a,b,c,d,m,n$ nötig sind, damit $c\cdot a^{mx+n}=d$ mit dem angegebenen Logarithmusverfahren lösbar ist.
7. Modellkritik: Beurteile ein exponentielles Modell nicht nur rechnerisch, sondern auch hinsichtlich Zeitraum, Einheiten und realistischer Annahmen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du erklärst ${\log }_a(b)$ als Exponenten.
2. Du wandelst sicher zwischen Potenz- und Logarithmusform um.
3. Du löst Exponentialgleichungen nachvollziehbar.
4. Du nutzt den Basiswechsel korrekt und kannst ihn herleiten.
5. Du verbindest Term, Graph und Umkehrfunktion.
6. Du prüfst Definitionsbedingungen.
7. Du führst Proben durch.
8. Du analysierst typische Fehler und Gegenbeispiele.
9. Du deutest Ergebnisse in exponentiellen Modellen.
10. Du begründest, warum ein digital erzeugtes Ergebnis mathematisch plausibel ist.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Logarithmus Exponentialgleichung Exponentialfunktion Umkehrfunktion Logarithmusfunktion Logarithmengesetze Exponentielles Wachstum Exponentieller Zerfall Funktionsgraph