M5 G - Würfel und Quader untersuchen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Würfel und Quader begegnen Dir überall: als Verpackung, Bauklotz, Spielwürfel, Schachtel oder Paket. In diesem aiMOOC untersuchst Du die beiden Körper mit Bildern, Modellen, Animationen und interaktiven Aufgaben. Im Mittelpunkt stehen Flächen, Kanten und Ecken sowie ihre Anzahl und ihre Lage.

Forscherfrage: Welche Eigenschaften bleiben gleich, wenn aus einem Würfel ein länglicher Quader wird?

Das lernst Du	Mathematisches Ziel
Flächen erkennen	Du findest und zählst die $6$ Flächen.
Kanten erkennen	Du findest und zählst die $12$ Kanten.
Ecken erkennen	Du findest und zählst die $8$ Ecken.
Lage beschreiben	Du unterscheidest gegenüberliegende und benachbarte Flächen.
Würfel und Quader vergleichen	Du erklärst Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

Körper aus Deinem Alltag

Eine Verpackung ist oft näherungsweise ein Quader. Viele Bauklötze sind Würfel oder Quader. Ein Spielwürfel ist näherungsweise ein Würfel.

Mini-Auftrag: Suche in Deinem Raum drei Gegenstände, die ungefähr wie ein Quader aussehen. Zeige bei jedem Gegenstand eine Fläche, eine Kante und eine Ecke.

Körper	Beispiel aus dem Alltag	Typische Form der Flächen
Würfel	Spielwürfel, würfelförmiger Bauklotz	Quadrate
Quader	Karton, Buch, Schuhschachtel	Rechtecke

Fläche, Kante und Ecke unterscheiden

Begriff	Bedeutung	Beim Würfel oder Quader
Fläche	Eine ebene Begrenzungsfläche des Körpers	Insgesamt $6$
Kante	Strecke, an der zwei Flächen zusammentreffen	Insgesamt $12$
Ecke	Punkt, an dem drei Kanten zusammentreffen	Insgesamt $8$

Merksatz: Bei Würfel und Quader gilt

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{6\ \text{Flächen},\ 12\ \text{Kanten},\ 8\ \text{Ecken}}}

Der Würfel unter der Lupe

Beobachte die Drehung. Einige Flächen und Kanten verschwinden aus Deinem Blickfeld, aber sie sind trotzdem vorhanden. Ein räumlicher Körper hat auch Teile auf der Rückseite.

Eigenschaft des Würfels	Ergebnis
Anzahl der Flächen	$6$
Form jeder Fläche	Quadrat
Anzahl der Kanten	$12$
Anzahl der Ecken	$8$
Kantenlängen	Alle gleich lang

Wenn die Kantenlänge mit $a$ bezeichnet wird, gilt beim Würfel:

$a=a=a$

Gemeint ist: Länge, Breite und Höhe sind gleich groß.

Der Quader unter der Lupe

Ein Quader hat ebenfalls $6$ Flächen, $12$ Kanten und $8$ Ecken. Seine Flächen sind Rechtecke. Gegenüberliegende Flächen sind jeweils gleich groß und gleich geformt.

Für die drei verschiedenen Kantenrichtungen kann man die Längen $a$, $b$ und $c$ verwenden.

Kantenrichtung	Anzahl gleich langer Kanten
Länge $a$	$4$
Breite $b$	$4$
Höhe $c$	$4$
Zusammen	$4+4+4=12$

Wo liegen Flächen, Kanten und Ecken?

Bei einem Würfel oder Quader gibt es immer klare Lagebeziehungen.

Beobachtung	Bedeutung
Zwei benachbarte Flächen	Sie treffen sich an einer Kante.
Zwei gegenüberliegende Flächen	Sie treffen sich nicht.
An einer Kante	Treffen genau $2$ Flächen zusammen.
An einer Ecke	Treffen genau $3$ Kanten und $3$ Flächen zusammen.
Zu jeder Fläche	Gibt es genau $1$ gegenüberliegende Fläche.
Zu jeder Fläche	Gibt es $4$ benachbarte Flächen.

Die $6$ Flächen bilden $3$ Paare gegenüberliegender Flächen:

$6:2=3$

Flächenpaare sichtbar machen

Stell Dir einen Quader als Karton vor.

Flächenpaar	Lage
oben und unten	gegenüberliegend
vorne und hinten	gegenüberliegend
links und rechts	gegenüberliegend

Damit hast Du $3$ Paare:

$3\cdot 2=6$

Wichtig: Gegenüberliegende Flächen haben keine gemeinsame Kante. Benachbarte Flächen haben genau eine gemeinsame Kante.

Kanten Schritt für Schritt zählen

Es ist leicht, Kanten doppelt zu zählen. Deshalb hilft ein geordneter Rechenweg.

Schritt	Gedanke	Rechnung
1	Jede der $6$ Flächen hat $4$ Randkanten.	$6\cdot 4=24$
2	Jede echte Körperkante gehört zu genau $2$ Flächen.	$24:2=12$
Ergebnis	Würfel und Quader haben gleich viele Kanten.	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{12}}

So kannst Du die Zahl $12$ begründen, statt sie nur auswendig zu lernen.

Ecken Schritt für Schritt zählen

Auch die Anzahl der Ecken lässt sich kontrollieren.

Schritt	Gedanke	Rechnung
1	Jede der $12$ Kanten besitzt $2$ Endpunkte.	$12\cdot 2=24$
2	An jeder Ecke treffen $3$ Kanten zusammen.	$24:3=8$
Ergebnis	Würfel und Quader haben gleich viele Ecken.	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{8}}

Würfel und Quader vergleichen

Merkmal	Würfel	Quader
Flächen	$6$	$6$
Kanten	$12$	$12$
Ecken	$8$	$8$
Form der Flächen	Quadrate	Rechtecke
Gegenüberliegende Flächen	jeweils gleich groß	jeweils gleich groß
Kantenlängen	alle gleich lang	meist drei verschiedene Längen

Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck. Deshalb ist ein Würfel mathematisch ein besonderer Quader: Beim Würfel sind alle drei Kantenlängen gleich.

$a=b=c$

Beim allgemeinen Quader können $a$, $b$ und $c$ verschieden sein.

Würfelnetze und Quadernetze

Ein Körpernetz zeigt alle Flächen eines Körpers aufgeklappt in der Ebene. Beim Falten treffen Kanten und Ecken wieder zusammen.

Beim Würfel bestehen alle $6$ Netzflächen aus Quadraten. Beim Quader sind die $6$ Flächen Rechtecke.

Faltfrage: Welche Fläche liegt nach dem Falten einer ausgewählten Fläche gegenüber? Markiere zuerst eine Vermutung und überprüfe sie dann mit einem Papiermodell.

Interaktives 3D-Modell: Würfel und Quader drehen

Ziehe im GeoGebra-Modell mit der Maus oder dem Finger. Drehe den Körper so, dass Du Vorderseite, Rückseite, Oberseite und Unterseite untersuchen kannst.

GeoGebra: Eigenschaften von Würfel und Quader - Level 1

Beobachtungsauftrag: Zähle nicht nur sichtbare Kanten. Drehe den Körper so lange, bis Du auch verdeckte Kanten sicher zuordnen kannst.

Interaktiv: Würfel als besonderer Quader

GeoGebra: Würfel als besonderer Quader

Prüfe im Modell die Aussage

$a=b=c$

und vergleiche sie mit einem Quader, bei dem die drei Kantenlängen nicht alle gleich sind.

Interaktiv: Quader auf- und zuklappen

GeoGebra: Die Oberfläche des Quaders

Bewege den Regler. Beobachte, wie aus den ebenen Flächen wieder ein räumlicher Quader entsteht.

Video: Begriffe am Quader

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Achte beim Video besonders darauf, wie Ecken, Kanten und Flächen gezeigt und benannt werden.

Video: Würfel und Quader vergleichen

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Stoppe das Video nach den Abschnitten zu Flächen, Ecken und Kanten. Notiere jeweils die Anzahl und überprüfe sie an einem echten Gegenstand.

Beschriftungs-Check

Schau Dir einen Quader an und ergänze die Fachbegriffe.

Beschrifte gedanklich einen Quader.

Eine ebene Seite des Körpers heißt .

Die Strecke zwischen zwei Ecken heißt .

Ein Treffpunkt von drei Kanten heißt .

Zwei Flächen ohne gemeinsame Kante sind .

Zwei Flächen mit einer gemeinsamen Kante sind .

Schnellcheck mit Zahlen

Frage	Rechnung oder Antwort
Wie viele Flächen?	$6$
Wie viele Flächenpaare liegen sich gegenüber?	$6:2=3$
Wie viele Kanten?	$6\cdot 4:2=12$
Wie viele Ecken?	$12\cdot 2:3=8$

Fehlerdetektiv

Prüfe die Aussagen und verbessere falsche Aussagen.

Aussage	Prüfergebnis
Ein Quader hat $6$ Flächen.	richtig
Ein Würfel hat $10$ Kanten.	falsch, denn er hat $12$ Kanten
An einer Ecke treffen $3$ Kanten zusammen.	richtig
Gegenüberliegende Flächen teilen eine Kante.	falsch, sie treffen sich nicht
Würfel und Quader haben gleich viele Ecken.	richtig, jeweils $8$

Medien zum Entdecken

Die folgenden freien Wikimedia-Commons-Medien kannst Du zur Wiederholung nutzen. Die Lizenzinformationen stehen jeweils auf der Dateibeschreibungsseite.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Flächen hat ein Würfel? (6) (!8) (!10) (!12)

Wie viele Kanten hat ein Quader? (12) (!6) (!8) (!16)

Wie viele Ecken hat ein Würfel? (8) (!6) (!10) (!12)

Welche Form haben die Flächen eines Würfels? (Quadrate) (!Dreiecke) (!Kreise) (!Fünfecke)

Was passiert an einer Kante eines Quaders? (Zwei Flächen treffen zusammen) (!Drei Flächen treffen zusammen) (!Vier Ecken treffen zusammen) (!Keine Flächen treffen zusammen)

Wie viele Kanten treffen an einer Ecke eines Würfels zusammen? (3) (!2) (!4) (!6)

Wie viele Paare gegenüberliegender Flächen hat ein Quader? (3) (!2) (!4) (!6)

Welche Aussage beschreibt gegenüberliegende Flächen richtig? (Sie haben keine gemeinsame Kante) (!Sie haben genau eine gemeinsame Kante) (!Sie treffen sich in genau einer Ecke) (!Sie sind immer Dreiecke)

Warum ist ein Würfel ein besonderer Quader? (Alle drei Kantenlängen sind gleich) (!Er hat weniger Flächen) (!Er hat mehr Ecken) (!Er besitzt keine gegenüberliegenden Flächen)

Welche Anzahl ist bei Würfel und Quader gleich? (6 Flächen 12 Kanten 8 Ecken) (!5 Flächen 10 Kanten 6 Ecken) (!8 Flächen 8 Kanten 8 Ecken) (!6 Flächen 8 Kanten 12 Ecken)

Memory

Würfel	sechs quadratische Flächen
Quader	sechs rechteckige Flächen
Kante	Trefflinie zweier Flächen
Ecke	Treffpunkt dreier Kanten
Gegenüberliegende Flächen	berühren sich nicht
Nachbarflächen	teilen eine gemeinsame Kante

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Fläche	ebene Begrenzung eines Körpers
Kante	Strecke zwischen zwei Ecken
Ecke	Treffpunkt von drei Kanten
gegenüberliegend	Flächen ohne gemeinsame Kante
benachbart	Flächen mit gemeinsamer Kante

Kreuzworträtsel

Quadrat	Welche Form hat jede Fläche eines Würfels?
Rechteck	Welche Form haben die Flächen eines allgemeinen Quaders?
Kante	Wie heißt die Strecke, an der zwei Flächen zusammentreffen?
Ecke	Wie heißt der Treffpunkt von drei Kanten?
Quader	Welcher Körper hat sechs rechteckige Flächen?
Würfel	Welcher besondere Quader hat nur gleich lange Kanten?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Würfel hat Flächen.

Ein Quader besitzt Kanten.

Bei beiden Körpern gibt es Ecken.

Die Flächen eines Würfels sind .

Die Flächen eines Quaders sind .

An einer Kante treffen genau Flächen zusammen.

An einer Ecke treffen genau Kanten zusammen.

Gegenüberliegende Flächen haben gemeinsame Kante.

Zu jeder Fläche gehören vier Flächen.

Die sechs Flächen bilden drei gegenüberliegender Flächen.

Bei einem Würfel sind alle Kanten lang.

Ein Würfel ist ein besonderer .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Würfel im Alltag: Finde drei würfelförmige Gegenstände und fotografiere oder zeichne sie. Markiere bei einem Gegenstand eine Fläche, eine Kante und eine Ecke.
2. Quader im Alltag: Suche drei quaderförmige Verpackungen. Zähle an jeder Verpackung Flächen, Kanten und Ecken.
3. Kanten zählen: Nimm einen Karton und markiere jede Kante mit einem kleinen ablösbaren Papierstreifen. Prüfe, ob Du auf $12$ Kanten kommst.
4. Ecken markieren: Klebe auf jede Ecke eines Quaders einen kleinen Punktaufkleber. Kontrolliere, ob Du genau $8$ Punkte brauchst.

Standard

1. Körpermodell: Baue mit Trinkhalmen oder Papierstreifen ein Kantenmodell eines Würfels. Erkläre, warum Du $12$ Kantenstücke benötigst.
2. Würfelnetz: Zeichne ein Würfelnetz auf Papier, schneide es aus und falte es. Markiere vor dem Falten zwei Flächen, die Deiner Vermutung nach gegenüberliegen.
3. Quadervergleich: Vergleiche zwei unterschiedliche quaderförmige Verpackungen. Erstelle eine Tabelle zu Flächen, Kanten, Ecken und Kantenlängen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du an einem echten Karton die Begriffe Fläche, Kante, Ecke, benachbart und gegenüberliegend erklärst.

Schwer

1. Zählstrategie: Entwickle zwei verschiedene Wege, die $12$ Kanten eines Quaders sicher zu zählen, ohne eine Kante doppelt zu zählen.
2. Flächenbeziehungen: Wähle eine Fläche eines Quaders und untersuche, welche Flächen benachbart und welche gegenüberliegend sind. Begründe Deine Zuordnung.
3. Digitales 3D-Modell: Erstelle in GeoGebra 3D einen Quader und einen Würfel. Verändere die Kantenlängen und beschreibe, wann aus dem Quader ein Würfel wird.
4. Mathematische Begründung: Erkläre mit den Rechnungen $6\cdot 4:2=12$ und $12\cdot 2:3=8$, warum die bekannten Zahlen für Kanten und Ecken stimmen.

Lernkontrolle

1. Modell analysieren: Du siehst einen Quader nur von vorne oben rechts. Erkläre, warum Du trotzdem sicher sagen kannst, dass der Körper $12$ Kanten und $8$ Ecken besitzt.
2. Fehler begründen: Ein Kind zählt an den sechs Flächen jeweils vier Kanten und behauptet, ein Quader habe $24$ Kanten. Erkläre genau, wo der Denkfehler liegt.
3. Transfer Verpackung: Eine Verpackung wird länger, aber Breite und Höhe bleiben gleich. Entscheide, ob sich die Anzahl der Flächen, Kanten oder Ecken ändert, und begründe.
4. Würfel als Quader: Erkläre an den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$, wann ein Quader zugleich ein Würfel ist.
5. Lagebeziehungen: Wähle gedanklich die Oberseite eines Quaders. Beschreibe die Lage der fünf anderen Flächen zu dieser Fläche.
6. Netz und Körper: Begründe, warum ein korrektes Würfelnetz genau $6$ Quadrate enthalten muss und beim Falten keine Fläche fehlen darf.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

1. Flächen: Du erkennst und zählst die $6$ Flächen von Würfel und Quader.
2. Kanten: Du erkennst und zählst die $12$ Kanten und kannst eine Zählstrategie erklären.
3. Ecken: Du erkennst und zählst die $8$ Ecken.
4. Lage von Flächen: Du unterscheidest benachbarte und gegenüberliegende Flächen.
5. Lage an Kanten und Ecken: Du weißt, dass an jeder Kante $2$ Flächen und an jeder Ecke $3$ Kanten zusammentreffen.
6. Vergleich: Du nennst Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Würfel und Quader.
7. Besonderer Quader: Du erklärst mit $a=b=c$, warum ein Würfel ein besonderer Quader ist.
8. Darstellung: Du kannst Deine Erklärung mit einem Modell, einer Skizze, einem Netz oder einer Tabelle verständlich darstellen.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons: Würfel Wikimedia Commons: Quader GeoGebra: Interaktive Materialien zu Quadern

Verknüpfte Lernbereiche

Würfel und Quader Geometrische Körper Fläche Kante Ecke Rechteck Quadrat Körpernetz Schrägbild Raumvorstellung