M5 M - Schriftlich multiplizieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du die schriftliche Multiplikation mit natürlichen Zahlen auf dem M-Niveau der Klasse 5. Das Ziel ist nicht nur, ein Rechenschema auswendig anzuwenden. Du sollst verstehen, warum die Teilprodukte entstehen, warum bei der Zehnerstelle um einen Stellenwert verschoben wird und wann ein halbschriftlicher Rechenweg günstiger ist.

Das Grundprinzip lautet: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Dieses Distributivgesetz verbindet Stellenwertverständnis, Flächenmodell, halbschriftliche Multiplikation und schriftliches Verfahren. Du arbeitest dabei zunehmend selbstständig: zuerst mit Modellen und Hilfen, später mit vollständigen Rechnungen und eigener Methodenwahl.

Lernziele

1. Stellenwerte verstehen: Du zerlegst Zahlen in Hunderter, Zehner und Einer und erklärst den Wert jeder Ziffer.
2. Teilprodukte begründen: Du erklärst Teilprodukte mit dem Distributivgesetz und mit Flächenmodellen.
3. Schriftlich multiplizieren: Du führst das schriftliche Verfahren mit ein- und mehrstelligen Faktoren sicher durch.
4. Ergebnisse prüfen: Du kontrollierst Ergebnisse durch Überschlag, Größenvergleich und Rückrechnung.
5. Strategien vergleichen: Du entscheidest begründet zwischen schriftlichem und geeignetem halbschriftlichem Rechnen.

Grundidee der Multiplikation

Eine Multiplikation fasst gleich große Gruppen zusammen. Bei $6\cdot 7$ kannst Du an sechs Gruppen mit jeweils sieben Elementen denken: $7+7+7+7+7+7=42$.

Die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, heißen Faktoren. Das Ergebnis heißt Produkt: $\text{Faktor}\cdot \text{Faktor}=\text{Produkt}$.

Dynamische Zahlengerade: Multiplikation als gleich große Sprünge

Stelle die Zahlengerade auf den Bereich von $0$ bis $42$. Nutze gleich große Sprünge der Länge $7$. Nach sechs Sprüngen erreichst Du $42$. So wird sichtbar: $6\cdot 7=42$.

Stellenwert als Schlüssel

Beim schriftlichen Multiplizieren ist die Position einer Ziffer entscheidend. In der Zahl $327$ bedeutet $3$ drei Hunderter, $2$ zwei Zehner und $7$ sieben Einer.

$327=300+20+7$.

Hunderter	Zehner	Einer
$3$	$2$	$7$
$300$	$20$	$7$

Merke: Eine Ziffer hat nicht immer denselben Wert. Die Ziffer $2$ bedeutet in $24$ nicht einfach zwei, sondern zwei Zehner, also $20$.

Interaktives Stellenwertmodell

Verändere die Zahlen im Modell. Beobachte, wie sich die Stellenwerte verändern. Zerlege anschließend selbst eine Zahl wie $426$: $426=400+20+6$.

Vom Flächenmodell zu Teilprodukten

Ein Rechteck hilft Dir, die Zerlegung einer Multiplikation sichtbar zu machen. Für $327\cdot 24$ zerlegst Du beide Faktoren nach ihren Stellenwerten: $327=300+20+7$ und $24=20+4$.

Dann gilt: $(300+20+7)\cdot (20+4)$.

Die Gesamtfläche setzt sich aus sechs Teilflächen zusammen: $300\cdot 20+20\cdot 20+7\cdot 20+300\cdot 4+20\cdot 4+7\cdot 4.$

Also: $6000+400+140+1200+80+28=7848.$

Das ist kein anderes Rechnen als die schriftliche Multiplikation. Es ist dieselbe Idee in einer sichtbaren Form: Ein großes Produkt wird in leichter berechenbare Teilprodukte zerlegt.

Dynamisches Flächenmodell

Verändere die Seitenlängen. Beobachte, wie sich das Rechteck in Teilflächen zerlegen lässt. Suche bei $37\cdot 24$ eine Zerlegung, die zu $(30+7)\cdot (20+4)$ passt.

Das Distributivgesetz hinter dem Verfahren

Die schriftliche Multiplikation nutzt systematisch: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Für unser Beispiel: $327\cdot 24=327\cdot (20+4)=327\cdot 20+327\cdot 4.$

Die beiden großen Teilprodukte sind: $327\cdot 20=6540$ und $327\cdot 4=1308$.

Dann: $6540+1308=7848$.

Wichtig: Das Teilprodukt $6540$ entsteht nicht durch $327\cdot 2$, sondern durch $327\cdot 20$. Genau deshalb beginnt die Zehnerzeile im schriftlichen Verfahren einen Stellenwert weiter links.

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Schriftliche Multiplikation Schritt für Schritt

Wir berechnen $327\cdot 24$.

Schritt 1: Überschlagen

Runde grob: $327\approx 300$ und $24\approx 20$.

Damit: $300\cdot 20=6000$.

Das genaue Ergebnis sollte also in einer passenden Größenordnung um einige Tausend liegen. Ein Ergebnis wie $784$ wäre sofort verdächtig.

Schritt 2: Mit den Einern multiplizieren

Die Einerziffer des zweiten Faktors ist $4$.

$327\cdot 4=(300+20+7)\cdot 4=1200+80+28=1308.$

Schritt 3: Mit den Zehnern multiplizieren

Die Ziffer $2$ in $24$ bedeutet $20$.

$327\cdot 20=6540.$

Du kannst auch denken: $327\cdot 2=654$ und danach wegen des Faktors $10$ um eine Stelle nach links verschieben: $654\cdot 10=6540$.

Schritt 4: Teilprodukte addieren

$\begin{array}{c}1308\\ +6540\\ 7848\end{array}$

Damit gilt: $327\cdot 24=7848$.

Das vollständige Schema

$\begin{array}{c}327\cdot 24\\ 1308\\ 6540\\ 7848\end{array}$

Die beiden Zeilen $1308$ und $6540$ sind die Teilprodukte. Das Endergebnis entsteht durch ihre Addition.

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Visuelle Schrittfolge: Teilprodukte entstehen

Die folgende freie CC0-Bildfolge zeigt eine schriftliche Multiplikation am Beispiel $468\cdot 37$. Betrachte die Bilder der Reihe nach und beschreibe jeweils, welcher Teil des Rechenwegs neu hinzukommt.

• 
  Start der Rechnung
• 
  Erster Rechenschritt
• 
  Teilprodukt wächst
• 
  Erstes Teilprodukt
• 
  Nächster Stellenwert
• 
  Zweites Teilprodukt
• 
  Zwischenschritt
• 
  Addition vorbereiten
• 
  Teilprodukte zusammenführen
• 
  Endergebnis

Interaktive Klickstrecke: Erkläre jeden Schritt

Aufgabe: Berechne $426\cdot 23$. Öffne die Hinweise erst, wenn Du sie brauchst.

Hinweis 1: Zerlege $23=20+3$.
Hinweis 2: Berechne zuerst $426\cdot 3=1278$.
Hinweis 3: Berechne dann $426\cdot 20=8520$.
Kontrolle: $1278+8520=9798$.
Ergebnis: $426\cdot 23=9798$.

Überträge verstehen

Beim Multiplizieren einer einzelnen Ziffer kann ein Ergebnis größer als $9$ entstehen. Dann wird gebündelt.

Beispiel: $7\cdot 8=56$.

Dabei stehen $6$ Einer an der Einerstelle, während $5$ Zehner in die nächste Stelle übertragen werden. Der Übertrag ist also keine Zusatzregel ohne Bedeutung, sondern eine Folge unseres Zehnersystems.

Bei $426\cdot 3$ rechnest Du von rechts nach links:

Rechnung	Bedeutung
$6\cdot 3=18$	$8$ Einer schreiben, $1$ Zehner übertragen
$2\cdot 3+1=7$	$7$ Zehner schreiben
$4\cdot 3=12$	$12$ Hunderter ergeben $1200$

So entsteht: $426\cdot 3=1278$.

Sonderfall Null in einer Zahl

Bei $308\cdot 27$ darf die Null in $308$ nicht „verschwinden“. Sie hält den Zehnerplatz frei.

$308\cdot 7=2156$

und

$308\cdot 20=6160.$

Also: $2156+6160=8316.$

Stellenwertcheck: Die $0$ in $308$ zeigt, dass es keine Zehner gibt. Sie ist trotzdem wichtig für die Position der Ziffern.

Schriftlich oder halbschriftlich?

Nicht jede Multiplikation muss schriftlich gerechnet werden. Ein guter Rechner wählt eine Strategie, die zur Aufgabe passt.

Aufgabe	Günstige Strategie	Rechenidee
$398\cdot 7$	halbschriftlich mit Hilfsaufgabe	$400\cdot 7-2\cdot 7=2800-14=2786$
$48\cdot 25$	halbschriftlich durch Verdoppeln und Halbieren	$48\cdot 25=24\cdot 50=12\cdot 100=1200$
$327\cdot 24$	schriftlich	systematische Teilprodukte $1308$ und $6540$
$600\cdot 40$	im Kopf über Stellenwerte	$6\cdot 4\cdot 1000=24000$

Vergleich: Halbschriftliche Strategien nutzen oft eine geschickte Zerlegung oder Veränderung der Faktoren. Das schriftliche Verfahren ist besonders nützlich, wenn mehrere Stellen systematisch verarbeitet werden müssen.

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Warum beide Verfahren zusammengehören

Halbschriftlich: $327\cdot 24=327\cdot 20+327\cdot 4=6540+1308=7848.$

Schriftlich: $\begin{array}{c}327\cdot 24\\ 1308\\ 6540\\ 7848\end{array}$

Beide Wege beruhen auf derselben Zerlegung: $24=20+4$.

Der Unterschied liegt vor allem in der Darstellung. Halbschriftlich schreibst Du die Zerlegung als Rechenausdruck hin. Schriftlich ordnest Du dieselben Teilprodukte kompakt nach Stellenwerten an.

Methodenwahl mit Flächenmodell

Nutze das dynamische Modell und verändere die Faktoren. Erzeuge eine Aufgabe mit einem zweistelligen und einem dreistelligen Faktor. Erkläre anschließend, welche Teilflächen den Teilprodukten im schriftlichen Verfahren entsprechen.

Typische Fehler erkennen

Fehler	Warum problematisch?	Korrekturidee
Zehnerzeile nicht verschoben	Aus $20$ wird fälschlich $2$	Stelle Dir $20=2\cdot 10$ vor
Übertrag vergessen	Eine Bündelung wird nicht weitergegeben	Überträge klein notieren und sofort einbeziehen
Teilprodukte falsch untereinander	Stellenwerte werden beim Addieren vermischt	Einer unter Einer, Zehner unter Zehner schreiben
Null in einer Zahl übersehen	Stellenwert verschiebt sich	Zahl zuerst in Stellenwerttafel prüfen
Ergebnis ungeprüft übernommen	Ein kleiner Fehler bleibt unentdeckt	Überschlag und Größenordnung verwenden

Fehlerdetektiv

Behauptung: $243\cdot 32=243\cdot 3+243\cdot 2$.
Entscheide zuerst selbst.

Die Behauptung ist falsch, weil die $3$ in $32$ für $30$ steht. Richtig ist: $243\cdot 32=243\cdot 30+243\cdot 2$.

Ergebnisse kontrollieren

Eine Kontrolle soll Dir sagen, ob Dein Ergebnis plausibel ist.

Überschlag: $327\cdot 24\approx 300\cdot 20=6000$. Das genaue Ergebnis $7848$ passt zur Größenordnung.

Letzte Ziffer prüfen: Für $327\cdot 24$ bestimmen die Einer $7\cdot 4=28$ die letzte Ziffer. Das Ergebnis muss also auf $8$ enden. $7848$ erfüllt diese Bedingung.

Rückrechnung: Wenn Du schon sicher dividieren kannst, kannst Du prüfen: $7848:24=327$.

Trainingsleiter: zunehmend selbstständig

Stufe A: Mit vollständiger Hilfe

Berechne $426\cdot 3$.

1. Zerlege $426=400+20+6$.
2. Berechne $400\cdot 3$, $20\cdot 3$ und $6\cdot 3$.
3. Addiere die Teilprodukte.
4. Schreibe danach dieselbe Aufgabe noch einmal im schriftlichen Verfahren.

Lösung einblenden

$426\cdot 3=1200+60+18=1278$.

Stufe B: Mit wenigen Hinweisen

Berechne $308\cdot 27$. Denke an die Stellenwerte von $2$ und $7$ in $27$.

Lösung einblenden

$308\cdot 7=2156$, $308\cdot 20=6160$, also $8316$.

Stufe C: Selbstständig

Berechne schriftlich: $624\cdot 53$.

Lösung einblenden

$624\cdot 3=1872$, $624\cdot 50=31200$, also $33072$.

Stufe D: Entscheide selbst über die Methode

Wähle schriftlich oder halbschriftlich und begründe Deine Entscheidung: $398\cdot 7$, $125\cdot 32$, $48\cdot 25$, $736\cdot 48$.

Mögliche Strategien einblenden

$398\cdot 7$ eignet sich gut für $400\cdot 7-2\cdot 7$.
$125\cdot 32$ kann geschickt als $125\cdot (4\cdot 8)=500\cdot 8=4000$ gerechnet werden.
$48\cdot 25$ eignet sich für Verdoppeln und Halbieren.
$736\cdot 48$ ist für viele Lernende mit dem schriftlichen Verfahren besonders übersichtlich.

Interaktive Übung zur schriftlichen Multiplikation

Bearbeite die Aufgaben und erkläre bei jeder Aufgabe mindestens einen Zwischenschritt mit Stellenwerten.

Medien- und Lizenzübersicht

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Medien sind frei lizenziert oder gemeinfrei. Die genauen Urheber- und Lizenzangaben findest Du jeweils auf der Dateiseite.

Medium	Lernzweck	Lizenzstatus
	Gesamtschema der schriftlichen Multiplikation	gemeinfrei
	Stellenwertmodell im Zehnersystem	CC0
	Distributivgesetz als Flächenzerlegung	CC0
	Produkte und Strukturen der Multiplikation	CC0
	Schrittfolge der schriftlichen Multiplikation	CC0
	Beispiel einer schriftlichen Multiplikation	CC BY-SA 4.0

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet die Ziffer 3 in der Zahl 327? (3 Hunderter) (!3 Zehner) (!3 Einer) (!30 Hunderter)

Welche Zerlegung passt zu 24? (20 plus 4) (!2 plus 4) (!200 plus 4) (!20 plus 40)

Was ist 327 · 4? (1308) (!1288) (!1328) (!1208)

Was ist 327 · 20? (6540) (!654) (!6504) (!3270)

Warum beginnt die Zehnerzeile einen Stellenwert weiter links? (Weil mit Zehnern multipliziert wird) (!Weil die Einer weggelassen werden) (!Weil das Ergebnis immer größer als tausend ist) (!Weil die Faktoren vertauscht werden)

Welches Ergebnis hat 327 · 24? (7848) (!6874) (!7584) (!8148)

Welche Rechnung nutzt das Distributivgesetz korrekt? (398 · 7 = 400 · 7 - 2 · 7) (!398 · 7 = 400 · 7 - 2) (!398 · 7 = 398 · 5 + 2) (!398 · 7 = 400 · 9)

Welche Strategie ist für 48 · 25 besonders geschickt? (Verdoppeln und Halbieren) (!Nur die Einer multiplizieren) (!Die Faktoren addieren) (!Die Zehnerstelle ignorieren)

Wozu dient ein Überschlag? (Zur Prüfung der Größenordnung) (!Zum Ersetzen jeder genauen Rechnung) (!Zum Löschen von Überträgen) (!Zum Vertauschen der Faktoren)

Was ist ein Teilprodukt? (Ergebnis eines einzelnen Multiplikationsschritts) (!Die Differenz der beiden Faktoren) (!Eine gerundete Zahl) (!Der Rest einer Division)

Memory

Stellenwert	Wert einer Ziffer durch ihre Position
Teilprodukt	Ergebnis eines einzelnen Rechenschritts
Distributivgesetz	Zerlegen und getrennt multiplizieren
Übertrag	Bündelung für den nächsten Stellenwert
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Überschlag	Ungefähre Kontrollrechnung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Einerzeile	Multiplikation mit der Einerstelle
Zehnerzeile	Multiplikation mit der Zehnerstelle
Teilprodukt	Zwischenergebnis einer Multiplikation
Stellenwert	Wert einer Ziffer durch ihre Position
Endprodukt	Summe der passenden Teilprodukte

Kreuzworträtsel

Faktor	Wie heißt eine Zahl, die bei einer Multiplikation vervielfacht wird?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Stellenwert	Wie heißt der Wert einer Ziffer aufgrund ihrer Position?
Übertrag	Wie heißt eine Bündelung, die in die nächste Stelle übernommen wird?
Zehner	Welcher Stellenwert steht links von den Einern?
Schätzung	Wie heißt eine ungefähre Rechnung zur Kontrolle der Größenordnung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Multiplikation heißen die miteinander verrechneten Zahlen . Das Ergebnis einer Multiplikation heißt . Die Position einer Ziffer bestimmt ihren . Das Zerlegen eines Faktors in eine Summe nutzt das . Beim schriftlichen Multiplizieren entstehen mehrere . Die Zehnerziffer steht für ein Vielfaches von . Ein beim Rechnen gebildetes Bündel für die nächste Stelle heißt . Die Teilprodukte werden am Ende . Eine ungefähre Kontrollrechnung heißt . Bei passenden Aufgaben kann eine Strategie schneller sein.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwert-Puzzle: Lege die Zahlen 324, 507 und 681 mit gezeichneten Hunderter-, Zehner- und Einerblöcken dar und schreibe jeweils die Zerlegung als Summe.
2. Erklärbild gestalten: Zeichne zu $23\cdot 14$ ein Flächenmodell und beschrifte alle Teilflächen mit den passenden Teilprodukten.
3. Fehler finden: Erfinde eine falsche schriftliche Multiplikation mit genau einem Stellenwertfehler. Tausche sie mit einer Partnerin oder einem Partner und lasst den Fehler erklären.
4. Rechenweg vertonen: Nimm eine kurze Audioerklärung zu $426\cdot 3$ auf, in der Du jeden Übertrag mit Stellenwerten begründest.

Standard

1. Zwei Wege vergleichen: Rechne $398\cdot 7$ einmal schriftlich und einmal halbschriftlich. Vergleiche Rechenaufwand, Fehlerrisiko und Verständlichkeit.
2. Flächenmodell als Poster: Gestalte ein Poster zu $327\cdot 24$, das Stellenwertzerlegung, Flächenmodell, Teilprodukte und schriftliches Verfahren miteinander verbindet.
3. Rechenstrategien interviewen: Befrage zwei Personen, wie sie $48\cdot 25$ rechnen würden. Ordne die Antworten einer Strategie zu und bewerte deren Effizienz.
4. Mini-Lernvideo: Produziere ein höchstens dreiminütiges Video mit einer selbst gewählten Aufgabe, in dem Du erklärst, warum die Zehnerzeile verschoben wird.

Schwer

1. Algorithmus erklären: Formuliere eine verständliche Schrittfolge für die schriftliche Multiplikation zweier mehrstelliger natürlicher Zahlen und begründe jeden Schritt mathematisch.
2. Aufgabenset entwickeln: Erstelle sechs Aufgaben mit steigender Schwierigkeit, darunter eine Aufgabe mit Null in einem Faktor, eine Aufgabe mit mehreren Überträgen und eine Aufgabe zur Methodenwahl.
3. Distributivität begründen: Erkläre mit einem selbst gezeichneten Flächenmodell, warum $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ gilt. Nutze dabei ein konkretes Zahlenbeispiel und eine allgemeine Erklärung.
4. Interaktive Lernstation: Entwirf eine digitale oder analoge Lernstation mit Stellenwertmaterial, Flächenmodell, schriftlichem Verfahren, Selbstkontrolle und einer Reflexionsfrage zur Methodenwahl.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl begründen: Entscheide für $399\cdot 8$, $64\cdot 25$ und $527\cdot 36$, ob Du schriftlich oder halbschriftlich rechnen würdest. Begründe jede Wahl, ohne nur das Ergebnis zu nennen.
2. Stellenwertfehler analysieren: Eine Schülerin rechnet $246\cdot 31$ als $246\cdot 3+246\cdot 1$. Erkläre den Denkfehler und verbessere den Rechenweg.
3. Darstellungen verbinden: Zeichne zu $43\cdot 27$ ein Flächenmodell, notiere die Teilprodukte und übertrage sie anschließend in das schriftliche Verfahren.
4. Zehnerzeile erklären: Begründe mit Stellenwerten und dem Distributivgesetz, warum beim Multiplizieren mit der Zehnerziffer eine Verschiebung um eine Stelle notwendig ist.
5. Ergebnis prüfen: Jemand erhält für $612\cdot 48$ das Ergebnis $2936$. Zeige mit mindestens zwei Kontrollideen, dass dieses Ergebnis nicht stimmen kann, ohne zuerst die komplette Multiplikation auszurechnen.
6. Verfahren reflektieren: Vergleiche schriftliches und halbschriftliches Multiplizieren hinsichtlich Übersichtlichkeit, Flexibilität und Fehlermöglichkeiten. Nutze zwei selbst gewählte Beispielaufgaben.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur richtige Ergebnisse erhältst, sondern Deine Rechenwege erklären und prüfen kannst.

1. Du zerlegst natürliche Zahlen sicher nach Stellenwerten.
2. Du erklärst Teilprodukte mit dem Distributivgesetz.
3. Du führst die schriftliche Multiplikation mit ein- und mehrstelligen Faktoren korrekt aus.
4. Du deutest Verschiebungen und Überträge über Stellenwerte.
5. Du kontrollierst Ergebnisse mit Überschlag und weiteren Plausibilitätsprüfungen.
6. Du erkennst typische Fehler und kannst sie fachlich erklären.
7. Du wählst bei geeigneten Aufgaben sinnvoll zwischen schriftlichen und halbschriftlichen Strategien.
8. Du kannst zwischen Stellenwertmodell, Flächenmodell, Rechenausdruck und schriftlichem Schema wechseln.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel bietet eine fachliche Vertiefung zum schriftlichen Verfahren:

Weitere interaktive OER-Lernmöglichkeiten sind die eingebundenen GeoGebra-Materialien zu Stellenwerten, Flächenmodellen und schriftlicher Multiplikation. Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien sind auf ihren Dateiseiten mit freien Lizenzen oder Gemeinfreiheit ausgewiesen.

Verknüpfte Lernbereiche

Schriftliche Multiplikation Natürliche Zahlen Stellenwertsystem Multiplikation Distributivgesetz Halbschriftliches Rechnen Überschlag Schriftliche Addition Division