Zerfallsgesetz - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, M-Niveau

Einleitung

Das Zerfallsgesetz beschreibt, wie die Zahl radioaktiver Atomkerne mit der Zeit abnimmt. Ein einzelner Kern zerfällt zufällig. Bei sehr vielen Kernen lässt sich der Verlauf jedoch zuverlässig mit einer Exponentialfunktion beschreiben.

Dieser aiMOOC richtet sich an den Physikunterricht in der Schule. Du lernst die Größen Kernzahl, Zerfallskonstante, Halbwertszeit und Aktivität kennen und wendest die Formeln auf einfache Aufgaben an.

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Lernziele

Nach der Bearbeitung kannst Du das Zerfallsgesetz erklären, Zerfallskurven lesen, Halbwertszeiten berechnen und einfache Anwendungsaufgaben lösen. Du kannst außerdem zwischen einem zufälligen Einzelzerfall und dem statistisch vorhersagbaren Verhalten vieler Kerne unterscheiden.

Grundlagen

Radioaktiver Zerfall

Ein instabiler Atomkern kann sich spontan in einen anderen Kern umwandeln. Dabei kann Alphastrahlung, Betastrahlung oder Gammastrahlung auftreten. Der Zeitpunkt des Zerfalls eines einzelnen Kerns ist nicht vorhersagbar.

Bei einer großen Zahl gleichartiger Kerne ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit konstant. Deshalb nimmt in gleichen Zeitabschnitten immer derselbe Anteil der noch vorhandenen Kerne ab. Der Verlauf ist nicht linear, sondern exponentiell.

Zerfallsarten im Überblick

Alpha-Zerfall

Beim Alpha-Zerfall wird ein Teilchen aus zwei Protonen und zwei Neutronen abgegeben. Die Massenzahl sinkt um vier, die Ordnungszahl um zwei.

Beta-Minus-Zerfall

Beim Beta-Minus-Zerfall wird im Kern ein Neutron in ein Proton umgewandelt. Dabei entstehen ein Elektron und ein Elektron-Antineutrino. Die Massenzahl bleibt gleich, die Ordnungszahl steigt um eins.

Gamma-Zerfall

Beim Gamma-Zerfall gibt ein angeregter Kern Energie als Gammaquant ab. Massenzahl und Ordnungszahl bleiben unverändert.

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Das Zerfallsgesetz

Grundgleichung

Die Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne ist

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}$

Dabei gilt:

Zeichen	Bedeutung	Einheit
$N(t)$	Zahl der zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Kerne	keine
$N_0$	Zahl der Kerne zu Beginn	keine
$\lambda$	Zerfallskonstante	zum Beispiel ${\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$
$t$	vergangene Zeit	zum Beispiel Sekunde, Stunde oder Jahr

Wichtig: Die Einheit von $\lambda$ muss zur Einheit der Zeit passen.

Warum entsteht eine Exponentialfunktion?

Für ein kurzes Zeitintervall $\Delta t$ gilt näherungsweise:

$\Delta N=-\lambda N\Delta t$

Je mehr Kerne noch vorhanden sind, desto mehr Zerfälle treten im Mittel auf. In der Grenzbetrachtung folgt

$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist das Zerfallsgesetz

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$.

Für den grundlegenden Schulgebrauch genügt es, diese Lösung anzuwenden. Die Herleitung zeigt, weshalb die Abnahme proportional zur aktuell vorhandenen Kernzahl ist.

Die Zerfallskonstante

Die Zerfallskonstante $\lambda$ gibt die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit an. Ein großes $\lambda$ bedeutet einen schnellen Zerfall, ein kleines $\lambda$ einen langsamen Zerfall.

Die mittlere Lebensdauer lautet

$\tau =\frac{1}{\lambda }$.

Nach der Zeit $\tau$ sind noch ungefähr $37\mathrm{\%}$ der Ausgangskerne vorhanden.

Halbwertszeit

Bedeutung und Formel

Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeit, nach der noch die Hälfte der ursprünglichen Kerne vorhanden ist:

$N(T_{1/2})=\frac{N_0}{2}$

Zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante gilt

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$

und damit

$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

Das Zerfallsgesetz kann auch so geschrieben werden:

$N(t)=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

Halbierungen erkennen

Vergangene Zeit	Verbleibender Anteil	Verbleibende Kernzahl
$0$	$1$	$N_0$
$T_{1/2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{N_0}{2}$
$2T_{1/2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{N_0}{4}$
$3T_{1/2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{N_0}{8}$
$4T_{1/2}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{N_0}{16}$

Nach jeder weiteren Halbwertszeit wird die noch vorhandene Menge halbiert. Sie sinkt im mathematischen Modell nie plötzlich auf null.

Aktivität

Zerfälle pro Zeit

Die Aktivität $A$ gibt an, wie viele Kerne pro Zeit zerfallen:

$A(t)=-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\lambda N(t)$

Damit gilt ebenfalls ein exponentieller Verlauf:

$A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$

Die Einheit ist Becquerel:

$1\mathrm{B}\mathrm{q}=1{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

Ein Becquerel bedeutet im Mittel einen Zerfall pro Sekunde. Die gemessene Zählrate eines Detektors ist nicht automatisch gleich der Aktivität, weil Untergrundstrahlung, Abstand, Abschirmung und Nachweiswahrscheinlichkeit eine Rolle spielen.

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Rechenbeispiele

Beispiel 1: Mehrere Halbwertszeiten

Eine Probe enthält anfangs $N_0=160000$ radioaktive Kerne. Die Halbwertszeit beträgt acht Tage. Gesucht ist die Kernzahl nach 24 Tagen.

$\frac{t}{T_{1/2}}=\frac{24\mathrm{d}}{8\mathrm{d}}=3$

$N(24\mathrm{d})=160000{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=20000$

Nach drei Halbwertszeiten sind noch $20000$ Kerne vorhanden.

Beispiel 2: Zerfallskonstante bestimmen

Für ein Radionuklid beträgt die Halbwertszeit sechs Stunden.

$\lambda =\frac{\ln 2}{6\mathrm{h}}\approx \mathrm{0,1155}{\mathrm{h}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

Die Einheit ${\mathrm{h}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ passt hier zur Zeitangabe in Stunden.

Beispiel 3: Zeit aus einem Restanteil

Eine Probe ist auf $\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$ ihrer Anfangsmenge abgesunken.

$\mathrm{12,5}\mathrm{\%}=\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

Es sind daher drei Halbwertszeiten vergangen.

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Diagramme auswerten

Eine Zerfallskurve beginnt bei $N_0$, fällt zuerst steil und wird später flacher. Um die Halbwertszeit aus einem Diagramm zu bestimmen, liest Du die Zeit ab, bei der die dargestellte Größe auf die Hälfte ihres Anfangswerts gefallen ist.

Eine Nuklidkarte zeigt stabile und instabile Nuklide. Sie macht sichtbar, dass verschiedene Nuklide sehr unterschiedliche Halbwertszeiten und Zerfallsarten besitzen.

Anwendungen

Das Zerfallsgesetz wird unter anderem bei der Radiokarbonmethode, in der Nuklearmedizin, bei technischen Messverfahren und bei der Beurteilung radioaktiver Stoffe verwendet. Bei Zerfallsreihen reicht eine einzelne Exponentialfunktion für die gesamte Probe oft nicht aus, weil auch Tochterkerne radioaktiv sein können.

Sicherheit: Arbeite nicht selbstständig mit radioaktiven Quellen. Schulversuche dürfen nur mit zugelassenen Materialien, geeigneten Messgeräten und unter fachkundiger Aufsicht durchgeführt werden. Für eigene Untersuchungen eignen sich Würfelmodelle, Messdaten oder Simulationen.

Merksatz

Ein einzelner Kern zerfällt zufällig. Eine große Zahl gleichartiger Kerne folgt statistisch dem exponentiellen Zerfallsgesetz. Nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte des jeweils vorhandenen Bestands übrig.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Gleichung beschreibt die Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne? (N von t gleich N null mal e hoch minus Lambda t) (!N von t gleich N null plus Lambda t) (!N von t gleich N null mal t) (!N von t gleich Lambda geteilt durch t)

Was beschreibt die Zerfallskonstante Lambda? (Die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) (!Die Masse eines einzelnen Atomkerns) (!Die Energie der Gammastrahlung) (!Die Zahl der Protonen im Kern)

Was ist die Halbwertszeit? (Die Zeit bis zur Halbierung des vorhandenen Bestands) (!Die Zeit bis jeder Kern zerfallen ist) (!Die Hälfte der gesamten Messzeit) (!Die Zeit bis sich die Aktivität verdoppelt)

Wie hängen Halbwertszeit und Zerfallskonstante zusammen? (Halbwertszeit gleich ln 2 geteilt durch Lambda) (!Halbwertszeit gleich Lambda mal ln 2) (!Halbwertszeit gleich Lambda geteilt durch ln 2) (!Halbwertszeit gleich eins plus Lambda)

Welche Einheit besitzt die Aktivität? (Becquerel) (!Joule) (!Newton) (!Volt)

Warum verläuft die Kernzahl exponentiell? (Weil in gleichen Zeiten derselbe Anteil der vorhandenen Kerne zerfällt) (!Weil in jeder Sekunde exakt gleich viele Kerne zerfallen) (!Weil alle Kerne gleichzeitig zerfallen) (!Weil die Kernzahl regelmäßig zunimmt)

Welcher Anteil bleibt nach drei Halbwertszeiten übrig? (Ein Achtel) (!Ein Drittel) (!Drei Viertel) (!Ein Sechzehntel)

Welche Aussage über einen einzelnen radioaktiven Kern ist richtig? (Sein genauer Zerfallszeitpunkt ist nicht vorhersagbar) (!Er zerfällt genau nach einer Halbwertszeit) (!Er verliert in jedem Zeitabschnitt die Hälfte seiner Masse) (!Er zerfällt nur bei einer Messung)

Wie sieht eine ideale Zerfallskurve aus? (Sie fällt anfangs steil und wird später flacher) (!Sie steigt gleichmäßig an) (!Sie fällt als Gerade bis null) (!Sie bleibt dauerhaft waagerecht)

Eine Probe startet mit 160 Milligramm und hat eine Halbwertszeit von acht Tagen. Wie viel bleibt nach 24 Tagen? (20 Milligramm) (!40 Milligramm) (!80 Milligramm) (!10 Milligramm)

Memory

Zerfallskonstante	Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit
Halbwertszeit	Zeit bis zur Hälfte
Aktivität	Anzahl der Zerfälle pro Zeit
Becquerel	Einheit der Aktivität
Mutternuklid	Noch nicht zerfallener Ausgangskern
Exponentieller Verlauf	Gleicher Bruchteil pro Zeitabschnitt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Anfangskernzahl	N null
Zerfallskonstante	Lambda
Vergangene Zeit	t
Aktivität	A
Halbwertszeit	T ein Halb

Kreuzworträtsel

Exponentialfunktion	Welche Funktionsart beschreibt das Zerfallsgesetz?
Halbwertszeit	Wie heißt die Zeit bis zur Halbierung?
Becquerel	Wie heißt die Einheit der Aktivität?
Lambda	Welcher griechische Buchstabe bezeichnet die Zerfallskonstante?
Aktivitaet	Welche Größe zählt Zerfälle pro Zeit?
Zufall	Was bestimmt den Zerfallszeitpunkt eines einzelnen Kerns?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Zerfallszeitpunkt eines einzelnen Atomkerns ist . Für viele gleichartige Kerne entsteht ein Verlauf. Die Zahl der zu Beginn vorhandenen Kerne heißt . Die Zerfallskonstante wird mit bezeichnet. Nach einer Halbwertszeit bleibt die des vorhandenen Bestands übrig. Zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante steht im Zähler . Die Aktivität gibt die Zahl der Zerfälle pro an. Ihre Einheit heißt . Nach drei Halbwertszeiten bleibt ein der Anfangsmenge. Eine reale Zählrate kann durch die beeinflusst werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zerfallskurve zeichnen: Zeichne eine Kurve für vier Halbwertszeiten und beschrifte die verbleibenden Anteile.
2. Begriffe erklären: Erkläre Kernzahl, Aktivität, Halbwertszeit und Zerfallskonstante jeweils in einem eigenen Satz.
3. Würfelmodell: Entwickle mit Würfeln ein sicheres Modell für zufällige Zerfälle und notiere die Regeln.
4. Medienanalyse: Wähle ein Bild dieses aiMOOCs aus und beschreibe, welche Information es vermittelt.

Standard

1. Messwerttabelle: Erstelle eine Tabelle für eine Probe mit 8000 Kernen und einer Halbwertszeit von fünf Stunden.
2. Diagrammauswertung: Bestimme aus einer selbst gezeichneten Zerfallskurve die Halbwertszeit und erkläre Dein Vorgehen.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video, in dem Du den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Abfall erklärst.
4. Modellkritik: Vergleiche ein Würfelmodell mit echtem radioaktivem Zerfall und benenne Gemeinsamkeiten und Grenzen.

Schwer

1. Formelumstellung: Leite aus dem Zerfallsgesetz eine Formel für die vergangene Zeit her.
2. Datenauswertung: Untersuche einen vorgegebenen Datensatz, ziehe die Untergrundzählrate ab und schätze die Halbwertszeit.
3. Anwendungsprojekt: Erstelle ein Plakat zur Radiokarbonmethode und erkläre, an welcher Stelle das Zerfallsgesetz eingesetzt wird.
4. Zerfallsreihe untersuchen: Erkläre, weshalb bei radioaktiven Tochterkernen eine einzelne Exponentialfunktion für die Gesamtaktivität nicht immer genügt.

Lernkontrolle

1. Modell und Wirklichkeit: Begründe, warum der Zerfall eines einzelnen Kerns zufällig und der Verlauf einer großen Probe dennoch berechenbar ist.
2. Kurvenvergleich: Vergleiche zwei Zerfallskurven mit unterschiedlichen Halbwertszeiten und leite daraus eine Aussage über ihre Zerfallskonstanten ab.
3. Fehleranalyse: Eine Person behauptet, nach zwei Halbwertszeiten seien zwei Drittel der Kerne zerfallen. Prüfe und korrigiere die Aussage.
4. Experiment planen: Entwirf eine sichere Untersuchung mit Würfeln oder vorgegebenen Messdaten, mit der sich ein exponentieller Verlauf zeigen lässt.
5. Messung bewerten: Erkläre, weshalb die Zählrate eines Detektors von der Aktivität einer Quelle abweichen kann.
6. Transfer: Übertrage das Prinzip der Halbwertszeit auf einen anderen exponentiellen Abnahmeprozess und nenne zugleich eine Grenze des Vergleichs.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. das Zerfallsgesetz mit seinen Größen und Einheiten sicher verwendest,
2. Halbwertszeit und Zerfallskonstante ineinander umrechnest,
3. verbleibende Anteile nach mehreren Halbwertszeiten bestimmst,
4. Zerfallskurven zeichnest und auswertest,
5. Aktivität und Zählrate voneinander unterscheidest,
6. Zufall auf Teilchenebene und statistische Vorhersagbarkeit miteinander verbindest,
7. Rechenwege verständlich dokumentierst und Ergebnisse physikalisch prüfst.

Verknüpfte Lernbereiche

Zerfallsgesetz Radioaktivität Kernphysik Halbwertszeit Aktivität (Physik) Exponentialfunktion Wahrscheinlichkeit Nuklidkarte Radiokarbonmethode