Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Bernoulli-Gleichung - Physik

Die Bernoulli-Gleichung gehört zur Strömungsmechanik. Sie verbindet den Druck, die Strömungsgeschwindigkeit und die Höhe eines strömenden Fluids. Ein Fluid kann eine Flüssigkeit oder ein Gas sein. Die Gleichung zeigt, wie sich verschiedene Energieanteile innerhalb einer idealisierten Strömung gegenseitig ausgleichen.

Der Schweizer Mathematiker und Physiker Daniel Bernoulli veröffentlichte wichtige Grundlagen dazu im 18. Jahrhundert. Heute wird die Gleichung unter anderem bei Rohrströmungen, Messgeräten, Düsen und in der Aerodynamik verwendet.

Einleitung

Stell Dir Wasser vor, das durch ein Rohr mit einer Engstelle fließt. In der Engstelle muss das Wasser schneller strömen. Gleichzeitig verändert sich dort der statische Druck. Die Bernoulli-Gleichung beschreibt diesen Zusammenhang mithilfe der Energieerhaltung.

Für die Schule ist besonders wichtig: Die Aussage „schnellere Strömung bedeutet kleineren Druck“ gilt nicht überall und ohne Einschränkung. Sie gilt in der hier betrachteten stationären, reibungsarmen Strömung entlang einer Stromlinie und bei passender Anwendung der Gleichung.

Grundlagen

Fluide und Stromlinien

Ein Fluid ist ein Stoff, der fließen kann. Dazu gehören Flüssigkeiten und Gase. Eine Stromlinie zeigt an jedem Punkt die momentane Bewegungsrichtung des Fluids.

Eine Strömung heißt stationär, wenn sich Geschwindigkeit, Druck und Dichte an einem festen Ort mit der Zeit nicht verändern. Das bedeutet nicht, dass das Fluid ruht. Es strömt, aber sein Strömungszustand bleibt an jedem Ort gleich.

Die Bernoulli-Gleichung

Für eine stationäre, inkompressible und reibungsfreie Strömung gilt entlang einer Stromlinie:

$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = konstant$

Zwischen zwei Punkten derselben Stromlinie lautet die Gleichung:

$p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2}$

$p$ : statischer Druck in Pascal
$ρ$ : Dichte des Fluids in Kilogramm pro Kubikmeter
$v$ : Strömungsgeschwindigkeit in Meter pro Sekunde
$g$ : Fallbeschleunigung mit ungefähr $9,81 m / s^{2}$
$h$ : Höhe über einer gewählten Bezugsebene in Meter

Alle drei Terme besitzen die Einheit Pascal. Sie können deshalb als Energie pro Volumen verstanden werden.

Voraussetzungen

Die einfache Form der Bernoulli-Gleichung ist ein Modell. Sie setzt eine stationäre Strömung, annähernd konstante Dichte und vernachlässigbare Reibungsverluste voraus. Außerdem werden die betrachteten Punkte entlang derselben Stromlinie gewählt. Bei realen Rohrleitungen müssen häufig Reibung, Pumpen oder Turbinen zusätzlich berücksichtigt werden.

Energieanteile der Strömung

Die Bernoulli-Gleichung enthält drei Energieanteile:

Druckanteil $p$ : beschreibt den statischen Druck.
Bewegungsanteil $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ : wird auch dynamischer Druck genannt.
Höhenanteil $ρ g h$ : beschreibt die Lageenergie pro Volumen.

Wird ein Anteil größer, muss mindestens ein anderer Anteil kleiner werden, solange ihre Summe konstant bleibt.

Strömung bei gleicher Höhe

Sind beide betrachteten Punkte gleich hoch, fällt der Höhenterm weg:

$p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$

Steigt die Geschwindigkeit innerhalb dieser idealisierten Strömung, sinkt der statische Druck. Die Summe aus statischem und dynamischem Druck bleibt bei gleicher Höhe konstant.

Kontinuitätsgleichung und Venturi-Effekt

Bei einer inkompressiblen Strömung bleibt der Volumenstrom erhalten:

$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$

Dabei ist $A$ die Querschnittsfläche des Rohres. Wird das Rohr enger, muss die Geschwindigkeit steigen. Zusammen mit der Bernoulli-Gleichung folgt: In der Engstelle ist der statische Druck kleiner. Dieser Zusammenhang wird als Venturi-Effekt bezeichnet.

Beispielrechnung am Venturirohr

Wasser strömt waagerecht durch ein Rohr. Am ersten Punkt beträgt die Querschnittsfläche $A_{1} = 4 c m^{2}$ , an der Engstelle $A_{2} = 2 c m^{2}$ . Die Anfangsgeschwindigkeit ist $v_{1} = 2 m / s$ .

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt:

$v_{2} = \frac{A_{1}}{A_{2}} v_{1} = \frac{4}{2} \cdot 2 m / s = 4 m / s$

Mit $ρ = 1000 k g / m^{3}$ ergibt sich der Druckunterschied:

$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$

$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (4^{2} - 2^{2}) P a = 6000 P a$

Der Druck an der Engstelle ist also um $6000 P a$ beziehungsweise $6 k P a$ kleiner.

Anwendungen

Ausfluss aus einem Behälter

Fließt eine Flüssigkeit aus einer kleinen Öffnung eines großen Behälters, kann aus der Bernoulli-Gleichung näherungsweise das Torricelli-Gesetz gewonnen werden:

$v = \sqrt{2 g Δ h}$

Die Ausflussgeschwindigkeit hängt dabei von der Höhendifferenz $Δ h$ zwischen Flüssigkeitsoberfläche und Öffnung ab. Reale Ausflussgeschwindigkeiten sind wegen Reibung und Strahlverengung meist etwas kleiner.

Pitotrohr und Geschwindigkeitsmessung

Ein Pitotrohr vergleicht den statischen Druck mit dem Totaldruck an einem Staupunkt. Bei gleicher Höhe kann daraus die Geschwindigkeit bestimmt werden:

$v = \sqrt{\frac{2 (p_{t o t} - p_{s t a t})}{ρ}}$

Zerstäuber und Sprühgeräte

Bei einem Zerstäuber strömt Luft schnell an der Öffnung eines dünnen Flüssigkeitsrohres vorbei. Der dort kleinere statische Druck unterstützt das Ansaugen der Flüssigkeit. Der Luftstrom zerlegt sie anschließend in feine Tropfen.

Schwebender Ball

Ein leichter Ball kann in einem nach oben gerichteten Luftstrom schweben. Druckverteilung, Impulsänderung der Luft und die Führung des Strahls stabilisieren den Ball. Das Experiment veranschaulicht Strömungseffekte, sollte aber nicht auf den Satz „schnelle Luft saugt“ verkürzt werden.

Auftrieb an Tragflächen

Die Bernoulli-Gleichung hilft dabei, die Druckverteilung um eine Tragfläche zu beschreiben. Eine vollständige Erklärung des dynamischen Auftriebs berücksichtigt jedoch auch Anstellwinkel, Zirkulation, Strömungsablösung und die Ablenkung der Luft nach unten. Die verbreitete Behauptung, Luftteilchen müssten oberhalb und unterhalb einer Tragfläche gleichzeitig ankommen, ist nicht richtig.

Typische Denkfehler

„Schnelle Strömung erzeugt immer kleinen Druck.“: Der Zusammenhang gilt nur unter den Voraussetzungen der Bernoulli-Gleichung und entlang einer passend betrachteten Strömung.
„Statischer Druck und Totaldruck sind dasselbe.“: Der Totaldruck enthält zusätzlich den dynamischen Anteil.
„Eine Engstelle verringert die Geschwindigkeit.“: Bei konstantem Volumenstrom steigt die Geschwindigkeit in der Engstelle.
„Reibung spielt keine Rolle.“: In realen Leitungen wird mechanische Energie durch Reibung in innere Energie umgewandelt.
„Bernoulli erklärt allein das Fliegen.“: Für eine vollständige Beschreibung sind weitere strömungsmechanische Zusammenhänge nötig.

Experiment für den Unterricht

Halte zwei leichte Papierstreifen parallel nebeneinander und blase vorsichtig durch den Zwischenraum. Die Streifen bewegen sich häufig aufeinander zu. Zwischen ihnen strömt die Luft schneller; gleichzeitig entsteht eine Druckverteilung, durch die der äußere Luftdruck die Streifen nach innen bewegt.

Führe das Experiment mit ausreichend Abstand zu Augen und Gesicht durch. Verwende bei Versuchen mit Föhn oder Gebläse nur ungefährliche, leichte Gegenstände und die Kaltluftstufe.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welches grundlegende physikalische Prinzip steckt hinter der Bernoulli-Gleichung? (Energieerhaltung) (!Ladungserhaltung) (!Hebelgesetz) (!Ohmsches Gesetz)

Unter welchen Bedingungen gilt die einfache Bernoulli-Gleichung? (Bei stationärer inkompressibler und reibungsfreier Strömung) (!Nur bei ruhenden Flüssigkeiten) (!Nur bei sehr heißen Gasen) (!Bei jeder beliebigen Strömung ohne Einschränkung)

Welcher Ausdruck beschreibt den dynamischen Druck? (Ein halb rho mal v zum Quadrat) (!rho mal g mal h) (!p mal V) (!m mal g)

Was geschieht bei gleicher Höhe mit dem statischen Druck, wenn die Geschwindigkeit in einer idealen Strömung steigt? (Der statische Druck sinkt) (!Der statische Druck steigt immer) (!Der statische Druck bleibt zwingend gleich) (!Der statische Druck wird null)

Welche Gleichung beschreibt die Erhaltung des Volumenstroms bei inkompressibler Strömung? (A eins mal v eins gleich A zwei mal v zwei) (!p eins mal A eins gleich p zwei mal A zwei) (!m mal g gleich null) (!U gleich R mal I)

Wie verändert sich die Geschwindigkeit in einer engeren Rohrstelle bei konstantem Volumenstrom? (Sie wird größer) (!Sie wird kleiner) (!Sie wird immer null) (!Sie hängt nur von der Farbe des Rohres ab)

Welche Einheit besitzt der Druckterm der Bernoulli-Gleichung? (Pascal) (!Meter) (!Sekunde) (!Wattstunde)

Wozu kann ein Pitotrohr verwendet werden? (Zur Bestimmung einer Strömungsgeschwindigkeit) (!Zur Messung einer elektrischen Spannung) (!Zur Bestimmung einer Lichtwellenlänge) (!Zur Messung einer Stoffmenge)

Von welcher Größe hängt die ideale Torricelli-Ausflussgeschwindigkeit besonders ab? (Von der Höhendifferenz) (!Von der Farbe der Flüssigkeit) (!Von der Form des Etiketts) (!Von der elektrischen Ladung des Behälters)

Was muss bei realen Rohrströmungen häufig zusätzlich berücksichtigt werden? (Reibungsverluste) (!Nur die Mondphase) (!Nur die Rohrfarbe) (!Ausschließlich die Lichtstärke)

Memory

Bernoulli-Gleichung	Energieerhaltung in strömenden Fluiden
Statischer Druck	Druckanteil p
Dynamischer Druck	Ein halb rho v zum Quadrat
Höhenanteil	rho g h
Kontinuitätsgleichung	Erhaltung des Volumenstroms
Venturi-Effekt	Druckabfall an einer Engstelle

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Druckterm	Statischer Druck p
Bewegungsterm	Dynamischer Druck
Höhenterm	Lageenergie pro Volumen
Volumenstrom	Produkt aus Querschnitt und Geschwindigkeit
Totaldruck	Summe aus statischem und dynamischem Druck bei gleicher Höhe

...

Kreuzworträtsel

Bernoulli	Welcher Forscher gab der Gleichung ihren Namen?
Venturi	Wie heißt der Effekt an einer Rohrverengung?
Pitotrohr	Welches Messgerät nutzt Stau- und statischen Druck?
Stromlinie	Entlang welcher Linie gilt die einfache Gleichung?
Dichte	Welche Stoffgröße wird mit dem griechischen Buchstaben rho bezeichnet?
Energie	Welche Größe bleibt im idealisierten Modell erhalten?

LearningApps

Lückentext

Die Bernoulli-Gleichung beschreibt den Zusammenhang von Druck, Geschwindigkeit und Höhe in strömenden

. Bei der einfachen Form wird eine zeitlich unveränderte beziehungsweise

Strömung angenommen. Die Dichte wird mit dem Zeichen

beschrieben. Der Term p steht für den

Druck. Der Ausdruck ein halb rho v zum Quadrat heißt

Druck. In einer waagerechten Engstelle nimmt die Geschwindigkeit aufgrund der

zu. Unter idealisierten Bedingungen sinkt dort der statische

. Ein Pitotrohr bestimmt die Geschwindigkeit mithilfe der Differenz zwischen statischem Druck und

. Bei realen Leitungen entstehen durch

Energieverluste. Das Torricelli-Gesetz beschreibt näherungsweise die Geschwindigkeit beim

aus einem Behälter.

Offene Aufgaben

Leicht

Papierstreifen-Experiment: Führe das Experiment mit zwei Papierstreifen durch, dokumentiere Deine Beobachtung und erkläre sie in drei Sätzen.
Begriffsplakat: Gestalte ein Plakat mit den Begriffen Druck, Geschwindigkeit, Dichte, Höhe und Stromlinie.
Alltagsbeispiele: Fotografiere oder zeichne drei Geräte oder Situationen, bei denen Strömungen eine wichtige Rolle spielen.
Erklärcomic: Zeichne einen kurzen Comic, in dem ein Wassertropfen durch ein Rohr mit Engstelle reist.

Standard

Venturirohr-Modell: Baue aus ungefährlichen Materialien ein Modell einer Rohrverengung und beschreibe, welche Größen sich verändern.
Ausflussversuch: Untersuche bei einer Kunststoffflasche, wie die Reichweite eines Wasserstrahls von der Füllhöhe abhängt. Arbeite nur an einem geeigneten Ort und schütze elektrische Geräte vor Wasser.
Rechenvideo: Produziere ein zweiminütiges Lernvideo zu einer selbst gewählten Bernoulli-Aufgabe.
Messplan: Entwickle einen Plan, mit dem die Geschwindigkeit eines Luftstroms über eine Druckdifferenz bestimmt werden könnte.

Schwer

Manometer-Untersuchung: Plane ein Venturi-Experiment mit Druckmessstellen und erkläre, welche Messwerte Du erwartest.
Modellkritik: Vergleiche eine ideale Bernoulli-Rechnung mit einer realen Strömung und untersuche mögliche Abweichungen.
Auftriebsanalyse: Recherchiere unterschiedliche Erklärungen des Tragflächenauftriebs und erstelle eine fachlich ausgewogene Darstellung.
Lernstation Strömungsmechanik: Entwickle eine Lernstation mit Experiment, Rechnung, Sicherheitsregeln und Selbstkontrolle.

Lernkontrolle

Rohrverengung analysieren: Erkläre mit Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung, warum sich Druck und Geschwindigkeit in einer Engstelle verändern.
Höhenunterschied übertragen: Beurteile eine Strömung zwischen zwei Punkten unterschiedlicher Höhe und erläutere, wie sich Lage-, Druck- und Bewegungsanteil ausgleichen können.
Aussage prüfen: Bewerte die Aussage „Wo Luft schnell strömt, herrscht immer Unterdruck“ und formuliere eine fachlich genauere Aussage.
Messverfahren entwickeln: Entwirf ein Verfahren zur Bestimmung der Geschwindigkeit in einem Luftkanal und begründe die benötigten Messgrößen.
Reale Leitung bewerten: Erkläre, warum der Druck in einer langen realen Rohrleitung stärker abfallen kann als in einer idealen Bernoulli-Rechnung.
Auftrieb verknüpfen: Verbinde Druckverteilung, Impulsänderung und Anstellwinkel zu einer Erklärung des dynamischen Auftriebs.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du die Bernoulli-Gleichung nicht nur auswendig kennst, sondern anwenden und begrenzen kannst.

Du kannst die drei Terme der Gleichung physikalisch deuten.
Du kennst die Voraussetzungen des idealisierten Modells.
Du kannst Bernoulli- und Kontinuitätsgleichung miteinander verbinden.
Du kannst Druck- und Geschwindigkeitsänderungen in Rohrströmungen berechnen.
Du kannst ein Experiment planen, beobachten und fachlich auswerten.
Du kannst typische Fehlvorstellungen erkennen und korrigieren.
Du kannst erklären, warum reale Strömungen von der idealen Rechnung abweichen.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Bernoulli-Gleichung - Physik

aiMOOC-Projekte

Inhalte werden geladen ...

Mediathek wird aus dem Wiki geladen ...

Frag mich zum aktuellen Lerninhalt oder wähle eine kurze Hilfe.

Textmodus bereit

Sprache