Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Kreis

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Kreis

Fach: Mathematik · Klassen: 8–13 · Thema: Geometrie

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Lernbereiche

1. Geometrie: Flächen und Begrenzungslinien ebener Figuren untersuchen.
2. Messen: Längen und Flächen mit passenden Einheiten bestimmen.
3. Terme und Formeln: Formeln anwenden und nach gesuchten Größen umstellen.
4. Mathematische Modellierung: Rechtecke und Kreise in Alltagssituationen nutzen.

Einleitung

Bei einer ebenen Figur kannst Du zwei Größen berechnen:

Der Flächeninhalt beschreibt den Platz innerhalb der Figur. Der Umfang beschreibt die Länge am Rand der Figur.

Flächen werden in Quadrateinheiten angegeben, zum Beispiel cm² oder m². Umfänge werden in Längeneinheiten angegeben, zum Beispiel cm oder m.

Das Rechteck

Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Die Seiten heißen hier $a$ und $b$.

Größe	Formel	Bedeutung
Flächeninhalt	$A=a\cdot b$	Länge mal Breite
Umfang	$U=2a+2b=2(a+b)$	alle vier Seiten addieren

Beispiel: Für $a=8\text{cm}$ und $b=5\text{cm}$ gilt $A=40{\text{cm}}^2$ und $U=26\text{cm}$.

Der Kreis

Beim Kreis ist $r$ der Radius, $d$ der Durchmesser und $\pi$ die Kreiszahl. Es gilt $d=2r$ und $\pi \approx \mathrm{3,1416}$.

Größe	Formel mit Radius	Formel mit Durchmesser
Flächeninhalt	$A=\pi r^2$	$A=\frac{\pi d^2}{4}$
Umfang	$U=2\pi r$	$U=\pi d$

Beispiel: Für $r=4\text{cm}$ gilt $A=16\pi {\text{cm}}^2\approx \mathrm{50,27}{\text{cm}}^2$ und $U=8\pi \text{cm}\approx \mathrm{25,13}\text{cm}$.

Warum kommt π vor?

Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich:

$\pi =\frac{U}{d}$

Die Kreisfläche kann man näherungsweise in schmale Stücke zerlegen und zu einer fast rechteckigen Form zusammensetzen.

Formeln umstellen

Manchmal ist die gesuchte Seitenlänge oder der Radius unbekannt.

Gegeben	Gesucht	Umgestellte Formel
$A=a\cdot b$	Rechteckseite	$a=\frac{A}{b}$
$U=2(a+b)$	Rechteckseite	$a=\frac{U}{2}-b$
$A=\pi r^2$	Radius	$r=\sqrt{\frac{A}{\pi }}$
$U=2\pi r$	Radius	$r=\frac{U}{2\pi }$

Typische Fehler

1. Einheit: Beim Flächeninhalt steht die Einheit im Quadrat, beim Umfang nicht.
2. Radius und Durchmesser: Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.
3. Punkt-vor-Strich-Rechnung: Setze Werte sauber in die Formel ein.
4. Runden: Runde erst am Ende der Rechnung.

Aufgaben zum Video

Sieh Dir das Planet-Schule-Video oben an. Nutze bei Bedarf die Begleitseite und die Übungen.

1. Vorwissen aktivieren: Notiere vor dem Video die vier Formeln, an die Du Dich erinnerst.
2. Begriffe erkennen: Schreibe beim Sehen die Bedeutungen von Fläche, Umfang, Radius und Durchmesser auf.
3. Rechenweg prüfen: Stoppe bei einem Beispiel und rechne selbst weiter. Vergleiche danach.
4. Formeln umstellen: Notiere eine umgestellte Rechteckformel und eine umgestellte Kreisformel aus dem Video.
5. Fehler finden: Erfinde eine falsche Rechnung zu einer Kreisaufgabe und erkläre den Fehler.
6. Transfer: Suche einen rechteckigen und einen kreisförmigen Gegenstand. Miss, rechne und vergleiche mit einer Schätzung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie berechnest Du den Flächeninhalt eines Rechtecks? (A gleich a mal b) (!A gleich zwei mal a plus zwei mal b) (!A gleich Pi mal r) (!A gleich a plus b)

Wie berechnest Du den Umfang eines Rechtecks? (U gleich zwei mal a plus zwei mal b) (!U gleich a mal b) (!U gleich Pi mal r zum Quadrat) (!U gleich a plus b)

Wie berechnest Du den Flächeninhalt eines Kreises? (A gleich Pi mal r zum Quadrat) (!A gleich zwei mal Pi mal r) (!A gleich Pi mal d) (!A gleich r mal d)

Wie berechnest Du den Umfang eines Kreises mit dem Radius? (U gleich zwei mal Pi mal r) (!U gleich Pi mal r zum Quadrat) (!U gleich zwei mal r zum Quadrat) (!U gleich Pi plus r)

Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? (Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius) (!Der Durchmesser ist halb so groß wie der Radius) (!Der Durchmesser ist gleich der Kreisfläche) (!Der Durchmesser ist dreimal so groß wie der Radius)

Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Liter) (!Sekunde)

Ein Rechteck ist sieben Zentimeter lang und vier Zentimeter breit. Wie groß ist seine Fläche? (Achtundzwanzig Quadratzentimeter) (!Zweiundzwanzig Quadratzentimeter) (!Elf Quadratzentimeter) (!Sechsundfünfzig Quadratzentimeter)

Ein Kreis hat den Radius drei Zentimeter. Wie groß ist sein Umfang ungefähr? (Achtzehn Komma acht fünf Zentimeter) (!Neun Komma vier zwei Zentimeter) (!Achtundzwanzig Komma zwei sieben Quadratzentimeter) (!Sechs Zentimeter)

Was passiert mit der Kreisfläche, wenn der Radius verdoppelt wird? (Die Fläche wird viermal so groß) (!Die Fläche wird doppelt so groß) (!Die Fläche bleibt gleich) (!Die Fläche wird halb so groß)

Welche Aussage ist richtig? (Gleicher Umfang bedeutet nicht immer gleichen Flächeninhalt) (!Umfang und Flächeninhalt haben immer dieselbe Einheit) (!Jeder Kreis ist ein Rechteck) (!Die Kreiszahl Pi ist genau drei)

Memory

Flächeninhalt	Innenraum
Umfang	Randlänge
Rechteckfläche	a mal b
Rechteckumfang	zwei a plus zwei b
Kreisfläche	Pi mal r zum Quadrat
Kreisumfang	zwei Pi mal r
Durchmesser	doppelte Radiuslänge
Quadrateinheit	Quadratzentimeter

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung oder Formel
Rechteckfläche	Länge mal Breite
Rechteckumfang	doppelte Summe der Seiten
Kreisfläche	Pi mal Radiusquadrat
Kreisumfang	Pi mal Durchmesser
Durchmesser	zweimal Radius

Kreuzworträtsel

Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und paarweise gleich lange Seiten?
Radius	Wie heißt die Strecke vom Kreismittelpunkt zur Kreislinie?
Durchmesser	Wie heißt die Strecke durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur anderen?
Umfang	Welche Größe beschreibt die gesamte Randlänge?
Flaeche	Welche Größe beschreibt den Innenraum einer ebenen Figur?
Kreiszahl	Wie nennt man Pi mit einem deutschen Fachwort?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der beschreibt den Innenraum einer Figur. Der beschreibt ihre Randlänge. Beim Rechteck gilt für die Fläche die Formel . Beim Rechteck gilt für den Umfang die Formel . Beim Kreis heißt die Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie . Der Durchmesser ist so lang wie der Radius. Die Kreisfläche wird mit berechnet. Der Kreisumfang wird mit berechnet.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den vier Grundformeln und den passenden Einheiten.
2. Gegenstände messen: Miss ein rechteckiges Heft und berechne Fläche und Umfang.
3. Kreis suchen: Finde drei kreisförmige Gegenstände und markiere Radius und Durchmesser auf einer Skizze.
4. Erklärbild: Zeichne den Unterschied zwischen Innenraum und Rand einer Figur.

Standard

1. Zimmerplanung: Bestimme Bodenfläche und Sockelleistenlänge eines rechteckigen Zimmers.
2. Runder Tisch: Miss den Durchmesser eines Tisches und berechne Umfang und Fläche.
3. Vergleich: Zeichne zwei Rechtecke mit gleichem Umfang, aber unterschiedlichem Flächeninhalt.
4. Video-Erklärung: Produziere ein kurzes Lernvideo zu einer selbst gewählten Beispielaufgabe.

Schwer

1. Optimierung: Untersuche, welches Rechteck bei festem Umfang die größte Fläche hat.
2. Modellierung: Plane einen rechteckigen Platz mit einem kreisförmigen Beet und berechne die nutzbare Restfläche.
3. Herleitung: Erkläre mit Kreissektoren, warum die Formel $A=\pi r^2$ sinnvoll ist.
4. Messversuch zu Pi: Miss Umfang und Durchmesser mehrerer Kreise, berechne jeweils den Quotienten und werte Abweichungen aus.

Lernkontrolle

1. Materialbedarf: Ein rechteckiger Garten soll eingezäunt und mit Rasen belegt werden. Erkläre, welche Größe für Zaun und welche für Rasen gebraucht wird. Stelle passende Formeln auf.
2. Kostenvergleich: Zwei runde Tischplatten haben unterschiedliche Radien. Entwickle ein Verfahren, um Materialkosten und Kantenbandkosten zu vergleichen.
3. Fehleranalyse: Eine Person rechnet bei einem Kreis mit Durchmesser 10 cm die Fläche als $\pi \cdot 10^2$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
4. Umkehrproblem: Eine rechteckige Fläche ist 72 m² groß und 8 m lang. Bestimme Breite und Umfang und begründe jeden Schritt.
5. Entscheidung: Ein Quadrat und ein Kreis haben denselben Umfang. Untersuche, welche Figur die größere Fläche einschließt.
6. Alltagsmodell: Wähle eine reale Fläche, zerlege sie sinnvoll in Rechtecke und Kreise und beschreibe Grenzen Deines Modells.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. die Begriffe Flächeninhalt, Umfang, Radius und Durchmesser sicher unterscheiden,
2. die Formeln für Rechteck und Kreis passend auswählen,
3. Einheiten korrekt verwenden und Ergebnisse sinnvoll runden,
4. Formeln nach einer gesuchten Größe umstellen,
5. einen Rechenweg verständlich darstellen,
6. eine Alltagssituation mathematisch modellieren und das Ergebnis prüfen.

Links

Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Kreis Flächeninhalt Umfang Rechteck Kreis Radius Durchmesser Kreiszahl Formelumstellung Geometrie