Integralrechnung - Grundlagen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die Integralrechnung hilft Dir, Flächen und angesammelte Größen zu berechnen. Du brauchst dafür vor allem Funktion, Stammfunktion und bestimmtes Integral.

Du lernst:

1. Flächenberechnung unter einem Graphen
2. Stammfunktionen bilden
3. bestimmte Integrale berechnen
4. Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten

Fläche unter einem Graphen

Das bestimmte Integral

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

beschreibt den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv. Flächen unterhalb zählen negativ.

Für den echten geometrischen Flächeninhalt musst Du an Nullstellen teilen und negative Teilflächen positiv nehmen.

Stammfunktion

Eine Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, wenn gilt:

$F^{\prime }(x)=f(x)$

Die Potenzregel lautet für $n\ne -1$:

$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Das $C$ heißt Integrationskonstante.

Datei:Fundamental theorem of calculus (animation).gif

Bestimmtes Integral berechnen

1. Stammfunktion bilden: Finde $F$ mit $F^{\prime }=f$.
2. Grenzen einsetzen: Berechne $F(b)$ und $F(a)$.
3. Subtrahieren: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$.

Beispiel:

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^2=2$

Rechtecksumme

Eine Fläche lässt sich durch schmale Rechtecke annähern. Je schmaler die Rechtecke sind, desto genauer wird die Näherung.

Datei:Riemann Integral mit Obersumme und Untersumme.svg

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Lernvideo: Grundlagen des bestimmten Integrals

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Aufgaben zum Video

1. Videonotiz: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Video auf.
2. Rechenweg: Notiere die Schritte zur Berechnung eines bestimmten Integrals in der richtigen Reihenfolge.
3. Integrationsgrenze: Erkläre mit eigenen Worten, wofür $a$ und $b$ stehen.
4. Stammfunktion: Stoppe das Video vor einer Rechnung und bilde die Stammfunktion selbst.
5. Fehleranalyse: Erkläre, warum beim bestimmten Integral die Konstante $C$ wegfällt.
6. Transfer: Erfinde eine einfache Funktion und passende Grenzen. Berechne das Integral.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt ein bestimmtes Integral geometrisch? (Einen orientierten Flächeninhalt) (!Eine einzelne Steigung) (!Einen Schnittpunkt) (!Einen Funktionsnamen)

Wann ist F eine Stammfunktion von f? (Wenn die Ableitung von F gleich f ist) (!Wenn F und f denselben Graphen haben) (!Wenn F immer positiv ist) (!Wenn F keine Variable enthält)

Welche Stammfunktion gehört zu f gleich x Quadrat? (Ein Drittel x hoch drei plus C) (!Zwei x plus C) (!x hoch zwei plus C) (!Drei x Quadrat plus C)

Was ist der erste Schritt beim Berechnen eines bestimmten Integrals? (Eine Stammfunktion bilden) (!Die Grenzen addieren) (!Den Graphen spiegeln) (!Die Variable löschen)

Wie wird ein bestimmtes Integral mit einer Stammfunktion berechnet? (F von b minus F von a) (!F von a minus F von b) (!F von a plus F von b) (!F von a mal F von b)

Wofür steht C beim unbestimmten Integral? (Für eine beliebige Konstante) (!Für die obere Grenze) (!Für die Kurvenlänge) (!Für die x-Achse)

Wie zählt eine Fläche unterhalb der x-Achse im bestimmten Integral? (Negativ) (!Positiv) (!Doppelt) (!Gar nicht)

Welchen Wert hat ein Integral von a bis a? (Null) (!Eins) (!a) (!Unendlich)

Welche Einheit hat ein Flächeninhalt? (Quadrateinheiten) (!Längeneinheiten) (!Zeitpunkte) (!Grad)

Was geschieht bei einer Rechtecksumme mit immer schmaleren Rechtecken? (Die Näherung wird genauer) (!Die Fläche wird immer null) (!Die Funktion wird linear) (!Die Grenzen verschwinden)

Memory

Stammfunktion	Ableitung ergibt den Integranden
Integrand	Funktion im Integral
Integrationsgrenzen	Anfang und Ende des Bereichs
Bestimmtes Integral	Orientierter Flächeninhalt
Integrationskonstante	Beliebige Konstante C
Riemannsumme	Summe kleiner Rechtecksflächen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Berechnung
Stammfunktion bilden	Erster Rechenschritt
Obere Grenze einsetzen	F von b
Untere Grenze einsetzen	F von a
Werte subtrahieren	F von b minus F von a
Vorzeichen prüfen	Geometrischen Flächeninhalt bestimmen

...

Kreuzworträtsel

Integral	Wie heißt das Rechenzeichen mit dem lang gezogenen S?
Stammfunktion	Welche Funktion wird beim Integrieren gesucht?
Integrand	Wie heißt die Funktion innerhalb des Integralzeichens?
Grenzen	Was legen a und b beim bestimmten Integral fest?
Flaeche	Welche geometrische Größe wird mit Integralen berechnet?
Rechtecksumme	Welche Summe nähert die Fläche unter einem Graphen an?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Integralrechnung berechnet angesammelte .

Die Funktion im Integral heißt .

Eine Funktion F mit F gleich f abgeleitet heißt .

Der Wert a ist die Integrationsgrenze.

Beim bestimmten Integral wird F von a von F von b .

Beim unbestimmten Integral ergänzt man die Konstante .

Eine Fläche unterhalb der x-Achse zählt im bestimmten Integral .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Fläche markieren: Zeichne einen Graphen und schraffiere die Fläche zwischen Graph und x-Achse.
2. Symbol erklären: Beschrifte an einem Integralzeichen Integrand, Variable und Grenzen.
3. Video-Wortschatz: Gestalte eine kleine Wortwolke mit Begriffen aus dem Lernvideo.
4. Rechenfehler finden: Prüfe eine Beispielrechnung und markiere einen eingebauten Fehler.

Standard

1. Integral berechnen: Berechne $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x$ und kontrolliere durch Ableiten.
2. Graphen vergleichen: Zeichne $f(x)=2x$ und eine Stammfunktion. Beschreibe den Zusammenhang.
3. Geschwindigkeit und Weg: Erkläre, wie aus einer Geschwindigkeitsfunktion ein zurückgelegter Weg entsteht.
4. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zu den drei Rechenschritten.

Schwer

1. Vorzeichenwechsel: Berechne bei einer Funktion mit Nullstelle Integralwert und geometrischen Flächeninhalt getrennt.
2. Rechtecksumme untersuchen: Vergleiche Näherungen mit vier, acht und sechzehn Rechtecken.
3. Sachmodell entwickeln: Erfinde eine Zuflussrate für einen Tank und deute das Integral.
4. Hauptsatz erklären: Zeige an einem eigenen Beispiel, wie Ableiten und Integrieren zusammenhängen.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl: Entscheide bei drei Darstellungen, ob Du eine Stammfunktion, eine Rechtecksumme oder eine Flächenzerlegung verwenden würdest. Begründe.
2. Fehleranalyse: Eine Rechnung verwendet $F(a)-F(b)$. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
3. Vorzeichen deuten: Ein Integralwert ist negativ. Nenne zwei mögliche Bedeutungen im Graphen und im Sachzusammenhang.
4. Modellieren: Eine Zuflussrate ist gegeben. Beschreibe, was das Integral über zwei Stunden aussagt und welche Einheit das Ergebnis hat.
5. Darstellungen verbinden: Erkläre, wie Graph, Rechtecksumme und Stammfunktion dieselbe Flächenidee zeigen.
6. Transfer: Entwickle eine Aufgabe aus Alltag oder Naturwissenschaft, die mit einem bestimmten Integral gelöst werden kann.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

1. Du erklärst Integrand, Stammfunktion und Integrationsgrenze sicher.
2. Du bildest einfache Stammfunktionen mit der Potenzregel.
3. Du berechnest bestimmte Integrale mit $F(b)-F(a)$.
4. Du unterscheidest Integralwert und geometrischen Flächeninhalt.
5. Du deutest ein Integral in einem Sachzusammenhang mit passender Einheit.

Links

Integralrechnung - Grundlagen Integralrechnung Stammfunktion Bestimmtes Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Flächenberechnung Riemannsumme Differentialrechnung