Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Integralrechnung - Grundlagen

Einleitung

Die Integralrechnung hilft Dir, Flächen und angesammelte Größen zu berechnen. Du brauchst dafür vor allem Funktion, Stammfunktion und bestimmtes Integral.

Du lernst:

Flächenberechnung unter einem Graphen
Stammfunktionen bilden
bestimmte Integrale berechnen
Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten

Fläche unter einem Graphen

Das bestimmte Integral

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

beschreibt den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv. Flächen unterhalb zählen negativ.

Für den echten geometrischen Flächeninhalt musst Du an Nullstellen teilen und negative Teilflächen positiv nehmen.

Stammfunktion

Eine Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$ , wenn gilt:

$F^{'} (x) = f (x)$

Die Potenzregel lautet für $n \neq - 1$ :

$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

Das $C$ heißt Integrationskonstante.

Bestimmtes Integral berechnen

Stammfunktion bilden: Finde $F$ mit $F^{'} = f$ .
Grenzen einsetzen: Berechne $F (b)$ und $F (a)$ .
Subtrahieren: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Beispiel:

$\int_{0}^{2} x d x = {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2} = 2$

Rechtecksumme

Eine Fläche lässt sich durch schmale Rechtecke annähern. Je schmaler die Rechtecke sind, desto genauer wird die Näherung.

Lernvideo: Grundlagen des bestimmten Integrals

Aufgaben zum Video

Videonotiz: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Video auf.
Rechenweg: Notiere die Schritte zur Berechnung eines bestimmten Integrals in der richtigen Reihenfolge.
Integrationsgrenze: Erkläre mit eigenen Worten, wofür $a$ und $b$ stehen.
Stammfunktion: Stoppe das Video vor einer Rechnung und bilde die Stammfunktion selbst.
Fehleranalyse: Erkläre, warum beim bestimmten Integral die Konstante $C$ wegfällt.
Transfer: Erfinde eine einfache Funktion und passende Grenzen. Berechne das Integral.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt ein bestimmtes Integral geometrisch? (Einen orientierten Flächeninhalt) (!Eine einzelne Steigung) (!Einen Schnittpunkt) (!Einen Funktionsnamen)

Wann ist F eine Stammfunktion von f? (Wenn die Ableitung von F gleich f ist) (!Wenn F und f denselben Graphen haben) (!Wenn F immer positiv ist) (!Wenn F keine Variable enthält)

Welche Stammfunktion gehört zu f gleich x Quadrat? (Ein Drittel x hoch drei plus C) (!Zwei x plus C) (!x hoch zwei plus C) (!Drei x Quadrat plus C)

Was ist der erste Schritt beim Berechnen eines bestimmten Integrals? (Eine Stammfunktion bilden) (!Die Grenzen addieren) (!Den Graphen spiegeln) (!Die Variable löschen)

Wie wird ein bestimmtes Integral mit einer Stammfunktion berechnet? (F von b minus F von a) (!F von a minus F von b) (!F von a plus F von b) (!F von a mal F von b)

Wofür steht C beim unbestimmten Integral? (Für eine beliebige Konstante) (!Für die obere Grenze) (!Für die Kurvenlänge) (!Für die x-Achse)

Wie zählt eine Fläche unterhalb der x-Achse im bestimmten Integral? (Negativ) (!Positiv) (!Doppelt) (!Gar nicht)

Welchen Wert hat ein Integral von a bis a? (Null) (!Eins) (!a) (!Unendlich)

Welche Einheit hat ein Flächeninhalt? (Quadrateinheiten) (!Längeneinheiten) (!Zeitpunkte) (!Grad)

Was geschieht bei einer Rechtecksumme mit immer schmaleren Rechtecken? (Die Näherung wird genauer) (!Die Fläche wird immer null) (!Die Funktion wird linear) (!Die Grenzen verschwinden)

Memory

Stammfunktion	Ableitung ergibt den Integranden
Integrand	Funktion im Integral
Integrationsgrenzen	Anfang und Ende des Bereichs
Bestimmtes Integral	Orientierter Flächeninhalt
Integrationskonstante	Beliebige Konstante C
Riemannsumme	Summe kleiner Rechtecksflächen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Berechnung
Stammfunktion bilden	Erster Rechenschritt
Obere Grenze einsetzen	F von b
Untere Grenze einsetzen	F von a
Werte subtrahieren	F von b minus F von a
Vorzeichen prüfen	Geometrischen Flächeninhalt bestimmen

...

Kreuzworträtsel

Integral	Wie heißt das Rechenzeichen mit dem lang gezogenen S?
Stammfunktion	Welche Funktion wird beim Integrieren gesucht?
Integrand	Wie heißt die Funktion innerhalb des Integralzeichens?
Grenzen	Was legen a und b beim bestimmten Integral fest?
Flaeche	Welche geometrische Größe wird mit Integralen berechnet?
Rechtecksumme	Welche Summe nähert die Fläche unter einem Graphen an?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Fläche markieren: Zeichne einen Graphen und schraffiere die Fläche zwischen Graph und x-Achse.
Symbol erklären: Beschrifte an einem Integralzeichen Integrand, Variable und Grenzen.
Video-Wortschatz: Gestalte eine kleine Wortwolke mit Begriffen aus dem Lernvideo.
Rechenfehler finden: Prüfe eine Beispielrechnung und markiere einen eingebauten Fehler.

Standard

Integral berechnen: Berechne $\int_{0}^{3} x^{2} d x$ und kontrolliere durch Ableiten.
Graphen vergleichen: Zeichne $f (x) = 2 x$ und eine Stammfunktion. Beschreibe den Zusammenhang.
Geschwindigkeit und Weg: Erkläre, wie aus einer Geschwindigkeitsfunktion ein zurückgelegter Weg entsteht.
Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zu den drei Rechenschritten.

Schwer

Vorzeichenwechsel: Berechne bei einer Funktion mit Nullstelle Integralwert und geometrischen Flächeninhalt getrennt.
Rechtecksumme untersuchen: Vergleiche Näherungen mit vier, acht und sechzehn Rechtecken.
Sachmodell entwickeln: Erfinde eine Zuflussrate für einen Tank und deute das Integral.
Hauptsatz erklären: Zeige an einem eigenen Beispiel, wie Ableiten und Integrieren zusammenhängen.

Lernkontrolle

Methodenwahl: Entscheide bei drei Darstellungen, ob Du eine Stammfunktion, eine Rechtecksumme oder eine Flächenzerlegung verwenden würdest. Begründe.
Fehleranalyse: Eine Rechnung verwendet $F (a) - F (b)$ . Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
Vorzeichen deuten: Ein Integralwert ist negativ. Nenne zwei mögliche Bedeutungen im Graphen und im Sachzusammenhang.
Modellieren: Eine Zuflussrate ist gegeben. Beschreibe, was das Integral über zwei Stunden aussagt und welche Einheit das Ergebnis hat.
Darstellungen verbinden: Erkläre, wie Graph, Rechtecksumme und Stammfunktion dieselbe Flächenidee zeigen.
Transfer: Entwickle eine Aufgabe aus Alltag oder Naturwissenschaft, die mit einem bestimmten Integral gelöst werden kann.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

Du erklärst Integrand, Stammfunktion und Integrationsgrenze sicher.
Du bildest einfache Stammfunktionen mit der Potenzregel.
Du berechnest bestimmte Integrale mit $F (b) - F (a)$ .
Du unterscheidest Integralwert und geometrischen Flächeninhalt.
Du deutest ein Integral in einem Sachzusammenhang mit passender Einheit.

OERs zum Thema

Links

Integralrechnung - Grundlagen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.