Exponentialfunktion und Logarithmus - Grundlagen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Exponentialfunktion und Logarithmus - Grundlagen

Fach: Mathematik Klassenstufe: Klasse 10 bis Klasse 13

Einleitung

Exponentialfunktionen beschreiben schnelles Wachstum oder schnellen Zerfall. Der Logarithmus hilft Dir, den unbekannten Exponenten zu finden. Beide Funktionen sind Umkehrfunktionen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Exponentialfunktionen erkennen und einfache Werte berechnen.
2. Exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall unterscheiden.
3. einfache Logarithmen berechnen.
4. Exponentialgleichungen in Logarithmusgleichungen umformen.
5. den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus erklären.

Exponentialfunktion

Eine einfache Exponentialfunktion lautet:

$f(x)=a^x$

Dabei ist $a$ die Basis und $x$ der Exponent. Es gilt $a>0$ und $a\ne 1$.

1. Bei $a>1$ liegt Exponentielles Wachstum vor.
2. Bei $0<a<1$ liegt Exponentieller Zerfall vor.
3. Jede Funktion $f(x)=a^x$ geht durch den Punkt $(0|1)$.

Beispiel: $2^3=8$. Die Basis ist 2, der Exponent ist 3 und der Funktionswert ist 8.

Wachstum mit Anfangswert

Viele Anwendungen haben die Form:

$f(x)=c\cdot a^x$

$c$ ist der Anfangswert. $a$ ist der Wachstumsfaktor.

Beispiel: $f(x)=100\cdot \mathrm{1,0}{5}^x$ beschreibt einen Anfangswert von 100 und ein Wachstum von 5 Prozent pro Schritt.

Logarithmus

Der Logarithmus beantwortet die Frage:

Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?

$a^x=b$ bedeutet dasselbe wie ${\log }_a(b)=x$.

Beispiel:

$2^3=8$

Daher gilt:

${\log }_2(8)=3$

Wichtig ist: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein.

1. $\lg (x)$ ist der Logarithmus zur Basis 10.
2. $\ln (x)$ ist der natürliche Logarithmus zur Basis $e$.
3. $e\approx \mathrm{2,718}$ heißt Eulersche Zahl.

Einfache Logarithmusregeln

Für positive Zahlen $u$ und $v$ gilt:

1. ${\log }_a(u\cdot v)={\log }_a(u)+{\log }_a(v)$
2. ${\log }_a\left(\frac{u}{v}\right)={\log }_a(u)-{\log }_a(v)$
3. ${\log }_a(u^r)=r\cdot {\log }_a(u)$

Zusammenhang beider Funktionen

Exponentialfunktion und Logarithmus machen einander rückgängig:

${\log }_a(a^x)=x$

$a^{{\log }_a(x)}=x$

Ihre Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden $y=x$.

Video

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei Beispielen und rechne selbst weiter.

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Aufgaben zum Video

1. Videonotiz: Schreibe die Erklärung des Begriffs Exponentialfunktion in einem Satz auf.
2. Basis und Exponent: Notiere aus einem Beispiel im Video die Basis, den Exponenten und das Ergebnis.
3. Umformung: Schreibe eine Gleichung aus dem Video zuerst als Potenz und dann als Logarithmus.
4. Leitfrage: Erkläre mit eigenen Worten, welche Frage ein Logarithmus beantwortet.
5. Rechenweg: Stoppe das Video vor einer Lösung, rechne selbst und vergleiche anschließend.
6. Eigenes Beispiel: Erfinde eine ähnliche Aufgabe wie im Video und löse sie.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Funktion ist eine Exponentialfunktion? (f von x gleich zwei hoch x) (!f von x gleich zwei mal x) (!f von x gleich x Quadrat) (!f von x gleich x plus zwei)

Was ist bei drei hoch x die Basis? (3) (!x) (!1) (!0)

Welcher Wert gilt für fünf hoch null? (1) (!0) (!5) (!25)

Wann beschreibt a hoch x exponentielles Wachstum? (a ist größer als eins) (!a ist gleich eins) (!a ist gleich null) (!a ist kleiner als null)

Wann beschreibt a hoch x exponentiellen Zerfall? (a liegt zwischen null und eins) (!a ist größer als eins) (!a ist gleich eins) (!a ist kleiner als null)

Was ist der Logarithmus von acht zur Basis zwei? (3) (!2) (!4) (!8)

Welche Potenzgleichung gehört zum Logarithmus von neun zur Basis drei gleich zwei? (drei hoch zwei gleich neun) (!neun hoch zwei gleich drei) (!zwei hoch drei gleich neun) (!drei hoch neun gleich zwei)

Welche Zahl darf nicht als Argument eines reellen Logarithmus verwendet werden? (0) (!1) (!2) (!10)

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von zwei hoch x? (Logarithmus von x zur Basis zwei) (!zwei mal x) (!x Quadrat) (!eins durch x)

Was bedeutet ln von x? (Logarithmus zur Basis e) (!Logarithmus zur Basis zwei) (!Logarithmus zur Basis zehn) (!Quadrat von x)

Memory

Exponentialfunktion	Variable im Exponenten
Logarithmus	Gesuchter Exponent
Basis	Feste Zahl einer Potenz
Wachstumsfaktor	Faktor pro Schritt
Anfangswert	Wert bei Schritt null
Umkehrfunktion	Macht eine Funktion rückgängig

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Exponentielles Wachstum	Basis größer als eins
Exponentieller Zerfall	Basis zwischen null und eins
Logarithmus	Bestimmt einen gesuchten Exponenten
Eulersche Zahl	Basis des natürlichen Logarithmus
Anfangswert	Funktionswert zu Beginn
Spiegelachse	Gerade zwischen Umkehrfunktionen

Kreuzworträtsel

Exponent	Welche Größe steht bei einer Exponentialfunktion oben an der Potenz?
Basis	Wie heißt die feste Zahl unter dem Exponenten?
Logarithmus	Welche Rechenart bestimmt einen unbekannten Exponenten?
Wachstum	Wie heißt eine exponentielle Zunahme?
Zerfall	Wie heißt eine exponentielle Abnahme?
Umkehrfunktion	Wie heißt eine Funktion, die eine andere Funktion rückgängig macht?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im . Die feste Zahl der Potenz heißt . Ist die Basis größer als eins, liegt exponentielles vor. Eine Basis zwischen null und eins beschreibt exponentiellen . Der Logarithmus bestimmt einen unbekannten . Aus $a^x=b$ folgt ${\log }_a(b)=$ . Exponentialfunktion und Logarithmus sind . Ihre Graphen sind an der Geraden $y=$ gespiegelt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wertetabelle: Erstelle für $f(x)=2^x$ eine Wertetabelle für fünf ganzzahlige x-Werte.
2. Graph zeichnen: Zeichne den Graphen von $f(x)=2^x$ in ein Koordinatensystem.
3. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Basis, Exponent und Funktionswert.
4. Alltagsbeispiel: Finde ein Beispiel für Wachstum oder Zerfall aus Deinem Alltag.

Standard

1. Funktionsvergleich: Vergleiche die Graphen von $2^x$ und ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du ${\log }_2(8)=3$ erklärst.
3. Wachstumsmodell: Entwickle ein einfaches Modell für ein Guthaben, das jährlich um 4 Prozent wächst.
4. Interview: Frage eine Person, wo exponentielle Prozesse in ihrem Beruf vorkommen.

Schwer

1. Umkehrfunktionen: Zeichne $2^x$, ${\log }_2(x)$ und $y=x$ in dasselbe Koordinatensystem.
2. Datenanalyse: Suche eine kleine Datenreihe und prüfe, ob ein exponentielles Modell sinnvoll ist.
3. Halbwertszeit: Entwickle eine eigene Aufgabe zu einer Halbwertszeit und löse sie.
4. Modellkritik: Erkläre, warum exponentielles Wachstum in der Wirklichkeit meist nicht unbegrenzt anhält.

Lernkontrolle

1. Modell auswählen: Eine Größe steigt jedes Jahr um denselben Prozentsatz. Begründe, warum ein exponentielles und kein lineares Modell passt.
2. Fehler erklären: Jemand behauptet ${\log }_2(8)=4$. Widerlege die Aussage mit einer passenden Potenz.
3. Graphen deuten: Erkläre, woran Du am Graphen Wachstum, Zerfall und den Anfangswert erkennst.
4. Umkehrung anwenden: Forme $5^x=125$ in eine Logarithmusgleichung um und bestimme $x$.
5. Transfer: Ein Bestand halbiert sich in jedem Schritt. Stelle eine passende Funktion auf und beschreibe ihre langfristige Entwicklung.
6. Vergleich: Vergleiche $100\cdot \mathrm{1,0}{3}^x$ mit $100+3x$ und erkläre den Unterschied der Modelle.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. die Begriffe Basis, Exponent, Anfangswert und Wachstumsfaktor erklären.
2. eine Exponentialfunktion erkennen und ihren Graphen beschreiben.
3. Wachstum und Zerfall unterscheiden.
4. einfache Logarithmen ohne Taschenrechner berechnen.
5. zwischen Potenzform und Logarithmusform wechseln.
6. den Zusammenhang von Exponentialfunktion und Logarithmus erklären.
7. ein einfaches Sachproblem mit einer Exponentialfunktion modellieren.

Links

Exponentialfunktion und Logarithmus - Grundlagen Exponentialfunktion Exponentielles Wachstum Exponentieller Zerfall Logarithmus Natürlicher Logarithmus Eulersche Zahl Umkehrfunktion Exponentialgleichung