Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Exponentialfunktion und Logarithmus - Grundlagen

Fach: Mathematik Klassenstufe: Klasse 10 bis Klasse 13

Einleitung

Exponentialfunktionen beschreiben schnelles Wachstum oder schnellen Zerfall. Der Logarithmus hilft Dir, den unbekannten Exponenten zu finden. Beide Funktionen sind Umkehrfunktionen.

Datei:Exponential function and logarithm.svg

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Exponentialfunktionen erkennen und einfache Werte berechnen.
Exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall unterscheiden.
einfache Logarithmen berechnen.
Exponentialgleichungen in Logarithmusgleichungen umformen.
den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus erklären.

Exponentialfunktion

Eine einfache Exponentialfunktion lautet:

$f (x) = a^{x}$

Dabei ist $a$ die Basis und $x$ der Exponent. Es gilt $a > 0$ und $a \neq 1$ .

Bei $a > 1$ liegt Exponentielles Wachstum vor.
Bei $0 < a < 1$ liegt Exponentieller Zerfall vor.
Jede Funktion $f (x) = a^{x}$ geht durch den Punkt $(0 | 1)$ .

Beispiel: $2^{3} = 8$ . Die Basis ist 2, der Exponent ist 3 und der Funktionswert ist 8.

Datei:Exponential function.svg

Wachstum mit Anfangswert

Viele Anwendungen haben die Form:

$f (x) = c \cdot a^{x}$

$c$ ist der Anfangswert. $a$ ist der Wachstumsfaktor.

Beispiel: $f (x) = 100 \cdot 1,0 5^{x}$ beschreibt einen Anfangswert von 100 und ein Wachstum von 5 Prozent pro Schritt.

Datei:Exponential decay.png

Logarithmus

Der Logarithmus beantwortet die Frage:

Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?

$a^{x} = b$ bedeutet dasselbe wie $\log_{a} (b) = x$ .

Beispiel:

$2^{3} = 8$

Daher gilt:

$\log_{2} (8) = 3$

Wichtig ist: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein.

$\lg (x)$ ist der Logarithmus zur Basis 10.
$\ln (x)$ ist der natürliche Logarithmus zur Basis $e$ .
$e \approx 2,718$ heißt Eulersche Zahl.

Datei:Logarithm plots.png

Einfache Logarithmusregeln

Für positive Zahlen $u$ und $v$ gilt:

$\log_{a} (u \cdot v) = \log_{a} (u) + \log_{a} (v)$
$\log_{a} (\frac{u}{v}) = \log_{a} (u) - \log_{a} (v)$
$\log_{a} (u^{r}) = r \cdot \log_{a} (u)$

Zusammenhang beider Funktionen

Exponentialfunktion und Logarithmus machen einander rückgängig:

$\log_{a} (a^{x}) = x$

$a^{\log_{a} (x)} = x$

Ihre Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden $y = x$ .

Datei:Logarithm inversefunctiontoexp.svg

Video

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei Beispielen und rechne selbst weiter.

Aufgaben zum Video

Videonotiz: Schreibe die Erklärung des Begriffs Exponentialfunktion in einem Satz auf.
Basis und Exponent: Notiere aus einem Beispiel im Video die Basis, den Exponenten und das Ergebnis.
Umformung: Schreibe eine Gleichung aus dem Video zuerst als Potenz und dann als Logarithmus.
Leitfrage: Erkläre mit eigenen Worten, welche Frage ein Logarithmus beantwortet.
Rechenweg: Stoppe das Video vor einer Lösung, rechne selbst und vergleiche anschließend.
Eigenes Beispiel: Erfinde eine ähnliche Aufgabe wie im Video und löse sie.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Funktion ist eine Exponentialfunktion? (f von x gleich zwei hoch x) (!f von x gleich zwei mal x) (!f von x gleich x Quadrat) (!f von x gleich x plus zwei)

Was ist bei drei hoch x die Basis? (3) (!x) (!1) (!0)

Welcher Wert gilt für fünf hoch null? (1) (!0) (!5) (!25)

Wann beschreibt a hoch x exponentielles Wachstum? (a ist größer als eins) (!a ist gleich eins) (!a ist gleich null) (!a ist kleiner als null)

Wann beschreibt a hoch x exponentiellen Zerfall? (a liegt zwischen null und eins) (!a ist größer als eins) (!a ist gleich eins) (!a ist kleiner als null)

Was ist der Logarithmus von acht zur Basis zwei? (3) (!2) (!4) (!8)

Welche Potenzgleichung gehört zum Logarithmus von neun zur Basis drei gleich zwei? (drei hoch zwei gleich neun) (!neun hoch zwei gleich drei) (!zwei hoch drei gleich neun) (!drei hoch neun gleich zwei)

Welche Zahl darf nicht als Argument eines reellen Logarithmus verwendet werden? (0) (!1) (!2) (!10)

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von zwei hoch x? (Logarithmus von x zur Basis zwei) (!zwei mal x) (!x Quadrat) (!eins durch x)

Was bedeutet ln von x? (Logarithmus zur Basis e) (!Logarithmus zur Basis zwei) (!Logarithmus zur Basis zehn) (!Quadrat von x)

Memory

Exponentialfunktion	Variable im Exponenten
Logarithmus	Gesuchter Exponent
Basis	Feste Zahl einer Potenz
Wachstumsfaktor	Faktor pro Schritt
Anfangswert	Wert bei Schritt null
Umkehrfunktion	Macht eine Funktion rückgängig

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Exponentielles Wachstum	Basis größer als eins
Exponentieller Zerfall	Basis zwischen null und eins
Logarithmus	Bestimmt einen gesuchten Exponenten
Eulersche Zahl	Basis des natürlichen Logarithmus
Anfangswert	Funktionswert zu Beginn
Spiegelachse	Gerade zwischen Umkehrfunktionen

Kreuzworträtsel

Exponent	Welche Größe steht bei einer Exponentialfunktion oben an der Potenz?
Basis	Wie heißt die feste Zahl unter dem Exponenten?
Logarithmus	Welche Rechenart bestimmt einen unbekannten Exponenten?
Wachstum	Wie heißt eine exponentielle Zunahme?
Zerfall	Wie heißt eine exponentielle Abnahme?
Umkehrfunktion	Wie heißt eine Funktion, die eine andere Funktion rückgängig macht?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Wertetabelle: Erstelle für $f (x) = 2^{x}$ eine Wertetabelle für fünf ganzzahlige x-Werte.
Graph zeichnen: Zeichne den Graphen von $f (x) = 2^{x}$ in ein Koordinatensystem.
Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Basis, Exponent und Funktionswert.
Alltagsbeispiel: Finde ein Beispiel für Wachstum oder Zerfall aus Deinem Alltag.

Standard

Funktionsvergleich: Vergleiche die Graphen von $2^{x}$ und ${(\frac{1}{2})}^{x}$ .
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du $\log_{2} (8) = 3$ erklärst.
Wachstumsmodell: Entwickle ein einfaches Modell für ein Guthaben, das jährlich um 4 Prozent wächst.
Interview: Frage eine Person, wo exponentielle Prozesse in ihrem Beruf vorkommen.

Schwer

Umkehrfunktionen: Zeichne $2^{x}$ , $\log_{2} (x)$ und $y = x$ in dasselbe Koordinatensystem.
Datenanalyse: Suche eine kleine Datenreihe und prüfe, ob ein exponentielles Modell sinnvoll ist.
Halbwertszeit: Entwickle eine eigene Aufgabe zu einer Halbwertszeit und löse sie.
Modellkritik: Erkläre, warum exponentielles Wachstum in der Wirklichkeit meist nicht unbegrenzt anhält.

Lernkontrolle

Modell auswählen: Eine Größe steigt jedes Jahr um denselben Prozentsatz. Begründe, warum ein exponentielles und kein lineares Modell passt.
Fehler erklären: Jemand behauptet $\log_{2} (8) = 4$ . Widerlege die Aussage mit einer passenden Potenz.
Graphen deuten: Erkläre, woran Du am Graphen Wachstum, Zerfall und den Anfangswert erkennst.
Umkehrung anwenden: Forme $5^{x} = 125$ in eine Logarithmusgleichung um und bestimme $x$ .
Transfer: Ein Bestand halbiert sich in jedem Schritt. Stelle eine passende Funktion auf und beschreibe ihre langfristige Entwicklung.
Vergleich: Vergleiche $100 \cdot 1,0 3^{x}$ mit $100 + 3 x$ und erkläre den Unterschied der Modelle.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

die Begriffe Basis, Exponent, Anfangswert und Wachstumsfaktor erklären.
eine Exponentialfunktion erkennen und ihren Graphen beschreiben.
Wachstum und Zerfall unterscheiden.
einfache Logarithmen ohne Taschenrechner berechnen.
zwischen Potenzform und Logarithmusform wechseln.
den Zusammenhang von Exponentialfunktion und Logarithmus erklären.
ein einfaches Sachproblem mit einer Exponentialfunktion modellieren.

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Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
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Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.