Gebrochenrationale Funktionen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen:

$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$

Dabei darf der Nenner nie null sein. Solche Funktionen können Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten besitzen.

Du lernst: die Definitionsmenge zu bestimmen, Nullstellen zu finden, Lücken zu unterscheiden und einen Graphen zu skizzieren.

Grundlagen

Zähler und Nenner

Bei $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ ist $x-2$ der Zähler und $x+1$ der Nenner.

Der Zähler hilft bei der Suche nach Nullstellen. Der Nenner zeigt, welche x-Werte ausgeschlossen sind.

Definitionsmenge

Setze den Nenner gleich null. Diese Lösungen gehören nicht zur Definitionsmenge.

Beispiel:

$f(x)=\frac{1}{x-3}$

Der Nenner wird bei $x=3$ null. Deshalb gilt:

$D_f=ℝ\setminus \{3\}$

Nullstellen und Lücken

Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

Beispiel:

$f(x)=\frac{x-4}{x+2}$

Die Nullstelle ist $x=4$.

Haben Zähler und Nenner denselben Faktor, kann eine hebbare Definitionslücke entstehen.

$f(x)=\frac{x-2}{x-2}$

Der Term lässt sich kürzen. Trotzdem bleibt $x=2$ ausgeschlossen.

Bleibt ein Nennerfaktor nach dem Kürzen erhalten, entsteht meist eine Polstelle.

Asymptoten

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph annähert.

1. Senkrechte Asymptote: Sie liegt oft an einer Polstelle.
2. Waagerechte Asymptote: Bei $f(x)=\frac{1}{x}$ ist sie $y=0$.
3. Schiefe Asymptote: Sie kann durch Polynomdivision gefunden werden.

Sind Zählergrad und Nennergrad gleich, ist die waagerechte Asymptote der Quotient der führenden Koeffizienten.

Kurvendiskussion in fünf Schritten

1. Definitionsmenge bestimmen.
2. Nullstellen und Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen.
3. Lücken und Polstellen prüfen.
4. Asymptoten bestimmen.
5. Punkte berechnen und den Graphen skizzieren.

Für genauere Untersuchungen kannst Du die Quotientenregel und Grenzwerte verwenden.

Datei:GeoGebra tutorial - Graph of a rational function in linear over linear form.webm

Video: Gebrochenrationale Funktionen

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Aufgaben zum Video

1. Video-Notizen: Schreibe die Erklärung für eine gebrochenrationale Funktion in einem eigenen Satz auf.
2. Zähler und Nenner: Notiere ein Beispiel aus dem Video und markiere Zähler und Nenner.
3. Definitionsmenge: Erkläre, warum eine Nullstelle des Nenners ausgeschlossen werden muss.
4. Nullstellen berechnen: Beschreibe die Rechenschritte aus dem Video und prüfe sie an $f(x)=\frac{x-5}{x+2}$.
5. Fachwortliste: Sammle vier wichtige Begriffe aus dem Video und erkläre sie mit einfachen Worten.
6. Videofrage: Formuliere eine Frage, die nach dem Ansehen noch offen ist, und recherchiere eine Antwort.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie ist eine gebrochenrationale Funktion aufgebaut? (Als Quotient zweier Polynome) (!Als Summe zweier Winkel) (!Als Produkt zweier Geraden) (!Als Folge natürlicher Zahlen)

Welche Zahl ist bei f von x gleich eins durch x minus drei ausgeschlossen? (3) (!Minus 3) (!0) (!1)

Wie findest Du mögliche Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion? (Du setzt den Zähler gleich null) (!Du setzt immer x gleich null) (!Du setzt den Nenner gleich eins) (!Du addierst Zähler und Nenner)

Wo liegt die Nullstelle von f von x gleich x minus vier durch x plus zwei? (Bei x gleich 4) (!Bei x gleich minus 4) (!Bei x gleich 2) (!Bei x gleich minus 2)

Was entsteht häufig an einer nicht kürzbaren Nennernullstelle? (Eine Polstelle) (!Ein Hochpunkt) (!Eine Gerade) (!Eine Konstante)

Was kann bei einem gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner entstehen? (Eine hebbare Definitionslücke) (!Eine neue Variable) (!Eine quadratische Gleichung) (!Eine Winkelhalbierende)

Welche waagerechte Asymptote hat f von x gleich eins durch x? (y gleich 0) (!x gleich 0) (!y gleich 1) (!x gleich 1)

Was beschreibt eine Asymptote? (Eine Gerade, der sich ein Graph annähert) (!Eine Stelle, an der jede Funktion endet) (!Eine Fläche unter einem Graphen) (!Eine Zahl ohne Einheit)

Welche Methode hilft bei einer schiefen Asymptote? (Polynomdivision) (!Bruch erweitern) (!Wurzelziehen) (!Dreisatz)

Was gehört nicht zur Definitionsmenge? (Eine Nullstelle des Nenners) (!Eine erlaubte Nullstelle des Zählers) (!Ein Punkt auf der y-Achse) (!Ein positiver Funktionswert)

Memory

Zähler	Bestimmt mögliche Nullstellen
Nenner	Bestimmt ausgeschlossene x-Werte
Polstelle	Nicht hebbare Definitionslücke
Hebbare Lücke	Gemeinsamer Faktor lässt sich kürzen
Senkrechte Asymptote	Gerade mit der Form x gleich a
Waagerechte Asymptote	Gerade mit der Form y gleich b
Polynomdivision	Hilft bei unecht gebrochenen Funktionen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Definitionsmenge	Nennernullstellen ausschließen
Nullstelle	Zähler gleich null setzen
Polstelle	Verhalten nahe einer Nennernullstelle prüfen
Asymptote	Annäherung des Graphen beschreiben
Graph	Ergebnisse in ein Koordinatensystem eintragen

Kreuzworträtsel

Quotient	Wie nennt man das Ergebnis einer Division?
Nenner	Welcher Teil eines Bruchs steht unten?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Polstelle	Wie heißt eine nicht hebbare Lücke mit starkem Wachstum?
Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph annähert?
Definitionsmenge	Wie heißt die Menge aller erlaubten x-Werte?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein aus zwei Polynomen. Der untere Teil des Bruchs heißt . Seine Nullstellen werden aus der Definitionsmenge . Eine Nullstelle der Funktion entsteht meist durch eine Nullstelle des . Ein gemeinsamer Faktor kann zu einer Definitionslücke führen. Eine nicht kürzbare Nennernullstelle kann eine erzeugen. Eine Gerade, der sich der Graph annähert, heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
2. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit Zähler, Nenner, Nullstelle und Definitionsmenge.
3. Wertetabelle: Erstelle für $f(x)=\frac{1}{x}$ eine Wertetabelle mit sechs erlaubten x-Werten.
4. Fehlersuche: Erkläre den Fehler in der Aussage: Bei $f(x)=\frac{1}{x-2}$ darf man $x=2$ einsetzen.

Standard

1. Funktionsanalyse: Untersuche $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ auf Definitionsmenge, Nullstelle und Asymptoten.
2. GeoGebra: Zeichne zwei gebrochenrationale Funktionen digital und vergleiche ihre Graphen.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Berechnung einer Nullstelle.
4. Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu Polstellen und verbessert gemeinsam die Erklärung.

Schwer

1. Parameteraufgabe: Untersuche $f_a(x)=\frac{x-a}{x+1}$ für verschiedene Werte von a.
2. Modellierung: Entwickle eine Alltagssituation, die durch eine Funktion der Form $f(x)=\frac{k}{x}$ beschrieben werden kann.
3. Begründung: Erkläre mit Grenzwerten, warum $f(x)=\frac{1}{x}$ die waagerechte Asymptote $y=0$ besitzt.
4. Mini-aiMOOC: Erstelle eine kleine Lernseite zu hebbaren Definitionslücken mit Beispiel, Bild und drei Aufgaben.

Lernkontrolle

1. Transfer auf neue Funktionen: Untersuche $g(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$ und begründe jeden Schritt.
2. Graph und Term: Ordne einem unbekannten Graphen einen passenden Funktionsterm zu und erkläre Deine Entscheidung mit Nullstellen und Asymptoten.
3. Fehleranalyse: Eine Person kürzt in $\frac{x+2}{x+2}$ vollständig und schreibt als Definitionsmenge alle reellen Zahlen. Erkläre den Fehler.
4. Vergleich: Vergleiche $f(x)=\frac{1}{x}$ und $g(x)=\frac{1}{x-2}+3$. Beschreibe alle Verschiebungen.
5. Entscheidungsaufgabe: Prüfe, ob eine Nennernullstelle eine Polstelle oder eine hebbare Lücke erzeugt. Entwickle dafür ein allgemeines Vorgehen.
6. Modellkritik: Beurteile, wann ein gebrochenrationales Modell für eine Alltagssituation sinnvoll ist und welche Grenzen das Modell hat.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. eine gebrochenrationale Funktion mit eigenen Worten erklären,
2. die Definitionsmenge sicher bestimmen,
3. Nullstellen, Polstellen und hebbare Lücken unterscheiden,
4. Asymptoten berechnen und in einen Graphen einzeichnen,
5. eine vollständige Beispielrechnung verständlich darstellen,
6. einen neuen Funktionsterm selbstständig untersuchen und das Ergebnis begründen.

Links

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