Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen:

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

Dabei darf der Nenner nie null sein. Solche Funktionen können Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten besitzen.

Du lernst: die Definitionsmenge zu bestimmen, Nullstellen zu finden, Lücken zu unterscheiden und einen Graphen zu skizzieren.

Grundlagen

Zähler und Nenner

Bei $f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ ist $x - 2$ der Zähler und $x + 1$ der Nenner.

Der Zähler hilft bei der Suche nach Nullstellen. Der Nenner zeigt, welche x-Werte ausgeschlossen sind.

Definitionsmenge

Setze den Nenner gleich null. Diese Lösungen gehören nicht zur Definitionsmenge.

Beispiel:

f (x) = \frac{1}{x - 3}

Der Nenner wird bei $x = 3$ null. Deshalb gilt:

D_{f} = ℝ ∖ {3}

Datei:1 per x.svg

Nullstellen und Lücken

Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

Beispiel:

f (x) = \frac{x - 4}{x + 2}

Die Nullstelle ist $x = 4$ .

Haben Zähler und Nenner denselben Faktor, kann eine hebbare Definitionslücke entstehen.

f (x) = \frac{x - 2}{x - 2}

Der Term lässt sich kürzen. Trotzdem bleibt $x = 2$ ausgeschlossen.

Bleibt ein Nennerfaktor nach dem Kürzen erhalten, entsteht meist eine Polstelle.

Datei:Squared rational function.png

Asymptoten

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph annähert.

Senkrechte Asymptote: Sie liegt oft an einer Polstelle.
Waagerechte Asymptote: Bei $f (x) = \frac{1}{x}$ ist sie $y = 0$ .
Schiefe Asymptote: Sie kann durch Polynomdivision gefunden werden.

Sind Zählergrad und Nennergrad gleich, ist die waagerechte Asymptote der Quotient der führenden Koeffizienten.

Kurvendiskussion in fünf Schritten

Definitionsmenge bestimmen.
Nullstellen und Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen.
Lücken und Polstellen prüfen.
Asymptoten bestimmen.
Punkte berechnen und den Graphen skizzieren.

Für genauere Untersuchungen kannst Du die Quotientenregel und Grenzwerte verwenden.

Datei:GeoGebra tutorial - Graph of a rational function in linear over linear form.webm

Video: Gebrochenrationale Funktionen

Aufgaben zum Video

Video-Notizen: Schreibe die Erklärung für eine gebrochenrationale Funktion in einem eigenen Satz auf.
Zähler und Nenner: Notiere ein Beispiel aus dem Video und markiere Zähler und Nenner.
Definitionsmenge: Erkläre, warum eine Nullstelle des Nenners ausgeschlossen werden muss.
Nullstellen berechnen: Beschreibe die Rechenschritte aus dem Video und prüfe sie an $f (x) = \frac{x - 5}{x + 2}$ .
Fachwortliste: Sammle vier wichtige Begriffe aus dem Video und erkläre sie mit einfachen Worten.
Videofrage: Formuliere eine Frage, die nach dem Ansehen noch offen ist, und recherchiere eine Antwort.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie ist eine gebrochenrationale Funktion aufgebaut? (Als Quotient zweier Polynome) (!Als Summe zweier Winkel) (!Als Produkt zweier Geraden) (!Als Folge natürlicher Zahlen)

Welche Zahl ist bei f von x gleich eins durch x minus drei ausgeschlossen? (3) (!Minus 3) (!0) (!1)

Wie findest Du mögliche Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion? (Du setzt den Zähler gleich null) (!Du setzt immer x gleich null) (!Du setzt den Nenner gleich eins) (!Du addierst Zähler und Nenner)

Wo liegt die Nullstelle von f von x gleich x minus vier durch x plus zwei? (Bei x gleich 4) (!Bei x gleich minus 4) (!Bei x gleich 2) (!Bei x gleich minus 2)

Was entsteht häufig an einer nicht kürzbaren Nennernullstelle? (Eine Polstelle) (!Ein Hochpunkt) (!Eine Gerade) (!Eine Konstante)

Was kann bei einem gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner entstehen? (Eine hebbare Definitionslücke) (!Eine neue Variable) (!Eine quadratische Gleichung) (!Eine Winkelhalbierende)

Welche waagerechte Asymptote hat f von x gleich eins durch x? (y gleich 0) (!x gleich 0) (!y gleich 1) (!x gleich 1)

Was beschreibt eine Asymptote? (Eine Gerade, der sich ein Graph annähert) (!Eine Stelle, an der jede Funktion endet) (!Eine Fläche unter einem Graphen) (!Eine Zahl ohne Einheit)

Welche Methode hilft bei einer schiefen Asymptote? (Polynomdivision) (!Bruch erweitern) (!Wurzelziehen) (!Dreisatz)

Was gehört nicht zur Definitionsmenge? (Eine Nullstelle des Nenners) (!Eine erlaubte Nullstelle des Zählers) (!Ein Punkt auf der y-Achse) (!Ein positiver Funktionswert)

Memory

Zähler	Bestimmt mögliche Nullstellen
Nenner	Bestimmt ausgeschlossene x-Werte
Polstelle	Nicht hebbare Definitionslücke
Hebbare Lücke	Gemeinsamer Faktor lässt sich kürzen
Senkrechte Asymptote	Gerade mit der Form x gleich a
Waagerechte Asymptote	Gerade mit der Form y gleich b
Polynomdivision	Hilft bei unecht gebrochenen Funktionen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Definitionsmenge	Nennernullstellen ausschließen
Nullstelle	Zähler gleich null setzen
Polstelle	Verhalten nahe einer Nennernullstelle prüfen
Asymptote	Annäherung des Graphen beschreiben
Graph	Ergebnisse in ein Koordinatensystem eintragen

Kreuzworträtsel

Quotient	Wie nennt man das Ergebnis einer Division?
Nenner	Welcher Teil eines Bruchs steht unten?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Polstelle	Wie heißt eine nicht hebbare Lücke mit starkem Wachstum?
Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph annähert?
Definitionsmenge	Wie heißt die Menge aller erlaubten x-Werte?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit Zähler, Nenner, Nullstelle und Definitionsmenge.
Wertetabelle: Erstelle für $f (x) = \frac{1}{x}$ eine Wertetabelle mit sechs erlaubten x-Werten.
Fehlersuche: Erkläre den Fehler in der Aussage: Bei $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ darf man $x = 2$ einsetzen.

Standard

Funktionsanalyse: Untersuche $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ auf Definitionsmenge, Nullstelle und Asymptoten.
GeoGebra: Zeichne zwei gebrochenrationale Funktionen digital und vergleiche ihre Graphen.
Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Berechnung einer Nullstelle.
Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu Polstellen und verbessert gemeinsam die Erklärung.

Schwer

Parameteraufgabe: Untersuche $f_{a} (x) = \frac{x - a}{x + 1}$ für verschiedene Werte von a.
Modellierung: Entwickle eine Alltagssituation, die durch eine Funktion der Form $f (x) = \frac{k}{x}$ beschrieben werden kann.
Begründung: Erkläre mit Grenzwerten, warum $f (x) = \frac{1}{x}$ die waagerechte Asymptote $y = 0$ besitzt.
Mini-aiMOOC: Erstelle eine kleine Lernseite zu hebbaren Definitionslücken mit Beispiel, Bild und drei Aufgaben.

Lernkontrolle

Transfer auf neue Funktionen: Untersuche $g (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$ und begründe jeden Schritt.
Graph und Term: Ordne einem unbekannten Graphen einen passenden Funktionsterm zu und erkläre Deine Entscheidung mit Nullstellen und Asymptoten.
Fehleranalyse: Eine Person kürzt in $\frac{x + 2}{x + 2}$ vollständig und schreibt als Definitionsmenge alle reellen Zahlen. Erkläre den Fehler.
Vergleich: Vergleiche $f (x) = \frac{1}{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x - 2} + 3$ . Beschreibe alle Verschiebungen.
Entscheidungsaufgabe: Prüfe, ob eine Nennernullstelle eine Polstelle oder eine hebbare Lücke erzeugt. Entwickle dafür ein allgemeines Vorgehen.
Modellkritik: Beurteile, wann ein gebrochenrationales Modell für eine Alltagssituation sinnvoll ist und welche Grenzen das Modell hat.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

eine gebrochenrationale Funktion mit eigenen Worten erklären,
die Definitionsmenge sicher bestimmen,
Nullstellen, Polstellen und hebbare Lücken unterscheiden,
Asymptoten berechnen und in einen Graphen einzeichnen,
eine vollständige Beispielrechnung verständlich darstellen,
einen neuen Funktionsterm selbstständig untersuchen und das Ergebnis begründen.

OERs zum Thema

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Gebrochenrationale Funktionen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.