Einsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme
Einsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme
Einsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme
Einleitung
Das Einsetzungsverfahren ist ein Rechenweg zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen. Du formst eine Gleichung um und setzt den entstandenen Term in die andere Gleichung ein. So bleibt nur noch eine Variable übrig.
Lernziele
Nach diesem aiMOOC kannst Du:
- ein lineares Gleichungssystem erkennen,
- das Einsetzungsverfahren in fünf Schritten anwenden,
- eine Probe durchführen,
- die Lösung als Lösungsmenge und als Schnittpunkt deuten.
Das Verfahren in fünf Schritten
- Umstellen: Löse eine Gleichung nach oder auf.
- Einsetzen: Setze den erhaltenen Term in die andere Gleichung ein.
- Lösen: Berechne die verbliebene Variable.
- Rückeinsetzen: Berechne die zweite Variable.
- Prüfen: Setze beide Werte in die Ausgangsgleichungen ein.
Tipp: Wähle möglichst eine Gleichung, in der eine Variable schon allein steht oder den Koeffizienten 1 hat.
Beispiel
Gegeben ist:
Setze in Gleichung II ein:
Nun rückeinsetzen:
Die Lösung ist . Die Probe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.
Grafische Bedeutung
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Schneiden sich die Geraden einmal, hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Parallele Geraden haben keine gemeinsame Lösung. Gleiche Geraden besitzen unendlich viele Lösungen.
Erklärvideo
Aufgaben zum Video
- Videobeobachtung: Notiere das Gleichungssystem aus dem Video.
- Umformen: Welche Gleichung wird zuerst nach welcher Variablen aufgelöst?
- Einsetzen: Schreibe genau den Term auf, der im Video eingesetzt wird.
- Rechenpause: Stoppe das Video vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.
- Probe: Prüfe die im Video gefundene Lösung in beiden Ausgangsgleichungen.
- Erklären: Fasse den Rechenweg in fünf kurzen Sätzen zusammen.
Weiteres freies Lernvideo
Datei:Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren - kolleg24 Mathematik.webm
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was geschieht beim Einsetzungsverfahren zuerst? (Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst) (!Beide Gleichungen werden sofort addiert) (!Beide Variablen werden gestrichen) (!Die Geraden werden immer gezeichnet)
Was ist das Ziel des Einsetzens? (Eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten) (!Eine dritte Variable einzuführen) (!Beide Gleichungen zu verdoppeln) (!Nur die rechte Seite zu verändern)
Welcher Term wird bei x gleich y plus 2 für x eingesetzt? (y plus 2) (!x plus 2) (!2y) (!y minus 2)
Welche Lösung hat 2 mal Klammer y plus 2 Klammer plus y gleich 7? (y gleich 1) (!y gleich 2) (!y gleich 3) (!y gleich 4)
Welchen Wert hat x im Beispiel dieses Kurses? (x gleich 3) (!x gleich 1) (!x gleich 2) (!x gleich 4)
Wie lautet das Lösungspaar des Beispiels? (3 Strich 1) (!1 Strich 3) (!2 Strich 1) (!3 Strich 2)
Was bedeutet Probe? (Die Werte werden in beide Ausgangsgleichungen eingesetzt) (!Nur die erste Gleichung wird abgeschrieben) (!Die Variablen werden vertauscht) (!Das Ergebnis wird gerundet)
Was stellt eine eindeutige Lösung grafisch dar? (Den Schnittpunkt zweier Geraden) (!Den Ursprung des Koordinatensystems) (!Zwei parallele Geraden) (!Zwei gleiche Achsen)
Wann hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung? (Wenn die Geraden parallel und verschieden sind) (!Wenn die Geraden einen Schnittpunkt haben) (!Wenn beide Variablen positiv sind) (!Wenn eine Gleichung nach x aufgelöst ist)
Welche Gleichung ist für das Einsetzen meist besonders günstig? (Eine Gleichung mit einer bereits freigestellten Variablen) (!Eine Gleichung mit möglichst vielen Brüchen) (!Eine Gleichung ohne Variablen) (!Eine Gleichung mit drei neuen Unbekannten)
Memory
| Einsetzungsverfahren | Term ersetzt Variable |
| Lineares Gleichungssystem | Mehrere lineare Gleichungen |
| Rücksubstitution | Ersten Wert wieder einsetzen |
| Probe | Lösung in Ausgangsgleichungen prüfen |
| Schnittpunkt | Gemeinsame Lösung zweier Geraden |
| Lösungsmenge | Sammlung aller Lösungen |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Arbeitsschritt |
|---|---|
| Umstellen | Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen |
| Einsetzen | Den erhaltenen Term in die andere Gleichung schreiben |
| Lösen | Die Gleichung mit einer Variablen berechnen |
| Rückeinsetzen | Die zweite Variable bestimmen |
| Prüfen | Beide Werte in den Ausgangsgleichungen testen |
Kreuzworträtsel
| Variable | Wie heißt eine unbekannte Größe in einer Gleichung? |
| Einsetzen | Wie heißt das Ersetzen einer Variablen durch einen Term? |
| Gleichung | Welche mathematische Aussage enthält ein Gleichheitszeichen? |
| Schnittpunkt | Wie heißt die gemeinsame Stelle zweier sich kreuzender Geraden? |
| Probe | Wie heißt die Kontrolle einer berechneten Lösung? |
| Term | Wie heißt ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen? |
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Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Merkzettel: Gestalte eine Karte mit den fünf Schritten des Einsetzungsverfahrens.
- Einfaches Gleichungssystem: Löse und .
- Fehlersuche: Erfinde einen typischen Einsetzfehler und verbessere ihn.
- Video-Notizen: Erstelle eine übersichtliche Seite mit den wichtigsten Aussagen des Videos.
Standard
- Sachaufgabe: Erfinde eine Einkaufssituation mit zwei unbekannten Preisen und löse sie.
- Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zu einem selbst gewählten Gleichungssystem.
- Vergleich der Lösungsverfahren: Löse dasselbe System mit Einsetzungs- und Additionsverfahren.
- Grafische Lösung: Zeichne die beiden Geraden eines Gleichungssystems und markiere den Schnittpunkt.
Schwer
- Sonderfälle: Entwickle je ein Gleichungssystem mit keiner und mit unendlich vielen Lösungen.
- Parameter: Untersuche, wie sich die Lösung von und mit ändert.
- Algorithmus: Schreibe eine genaue Handlungsanweisung, die eine andere Person ohne Hilfe ausführen kann.
- Mathematik erklären: Plane eine kurze Unterrichtsphase, in der Du das Einsetzungsverfahren mit Beispiel, Übung und Probe vermittelst.
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Lernkontrolle
- Verfahrenswahl: Entscheide bei drei Gleichungssystemen, welches Lösungsverfahren günstig ist, und begründe Deine Wahl.
- Fehleranalyse: Eine Person setzt einen Term in dieselbe Gleichung zurück. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
- Modellieren: Übersetze eine Alltagssituation mit zwei unbekannten Größen in ein lineares Gleichungssystem und löse es.
- Darstellungswechsel: Erkläre, warum das berechnete Lösungspaar zugleich der Schnittpunkt zweier Geraden ist.
- Sonderfall deuten: Deute rechnerisch und grafisch, was ein Widerspruch wie bedeutet.
- Eigene Konstruktion: Entwickle ein Gleichungssystem mit der Lösung und weise die Lösung durch eine Probe nach.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis solltest Du:
- ein lineares Gleichungssystem korrekt aufschreiben,
- eine günstige Variable auswählen und freistellen,
- den Term richtig einsetzen,
- beide Variablen vollständig berechnen,
- eine Probe durchführen,
- die Lösung verständlich angeben und grafisch deuten.
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