Einsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Das Einsetzungsverfahren ist ein Rechenweg zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen. Du formst eine Gleichung um und setzt den entstandenen Term in die andere Gleichung ein. So bleibt nur noch eine Variable übrig.

Zwei Geraden eines linearen Gleichungssystems mit einem gemeinsamen Schnittpunkt

Zwei Geraden eines linearen Gleichungssystems mit einem gemeinsamen Schnittpunkt

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. ein lineares Gleichungssystem erkennen,
2. das Einsetzungsverfahren in fünf Schritten anwenden,
3. eine Probe durchführen,
4. die Lösung als Lösungsmenge und als Schnittpunkt deuten.

Das Verfahren in fünf Schritten

1. Umstellen: Löse eine Gleichung nach $x$ oder $y$ auf.
2. Einsetzen: Setze den erhaltenen Term in die andere Gleichung ein.
3. Lösen: Berechne die verbliebene Variable.
4. Rückeinsetzen: Berechne die zweite Variable.
5. Prüfen: Setze beide Werte in die Ausgangsgleichungen ein.

Tipp: Wähle möglichst eine Gleichung, in der eine Variable schon allein steht oder den Koeffizienten 1 hat.

Beispiel

Gegeben ist:

$\mathrm{I}x=y+2$

$\mathrm{I}\mathrm{I}2x+y=7$

Setze $x=y+2$ in Gleichung II ein:

$2(y+2)+y=7$

$3y+4=7$

$3y=3$

$y=1$

Nun rückeinsetzen:

$x=1+2=3$

Die Lösung ist $L=\{(3|1)\}$. Die Probe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist die gemeinsame Lösung.

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist die gemeinsame Lösung.

Grafische Bedeutung

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Schneiden sich die Geraden einmal, hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Parallele Geraden haben keine gemeinsame Lösung. Gleiche Geraden besitzen unendlich viele Lösungen.

Parallele Geraden: Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Parallele Geraden: Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Erklärvideo

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Aufgaben zum Video

1. Videobeobachtung: Notiere das Gleichungssystem aus dem Video.
2. Umformen: Welche Gleichung wird zuerst nach welcher Variablen aufgelöst?
3. Einsetzen: Schreibe genau den Term auf, der im Video eingesetzt wird.
4. Rechenpause: Stoppe das Video vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.
5. Probe: Prüfe die im Video gefundene Lösung in beiden Ausgangsgleichungen.
6. Erklären: Fasse den Rechenweg in fünf kurzen Sätzen zusammen.

Weiteres freies Lernvideo

Datei:Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren - kolleg24 Mathematik.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was geschieht beim Einsetzungsverfahren zuerst? (Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst) (!Beide Gleichungen werden sofort addiert) (!Beide Variablen werden gestrichen) (!Die Geraden werden immer gezeichnet)

Was ist das Ziel des Einsetzens? (Eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten) (!Eine dritte Variable einzuführen) (!Beide Gleichungen zu verdoppeln) (!Nur die rechte Seite zu verändern)

Welcher Term wird bei x gleich y plus 2 für x eingesetzt? (y plus 2) (!x plus 2) (!2y) (!y minus 2)

Welche Lösung hat 2 mal Klammer y plus 2 Klammer plus y gleich 7? (y gleich 1) (!y gleich 2) (!y gleich 3) (!y gleich 4)

Welchen Wert hat x im Beispiel dieses Kurses? (x gleich 3) (!x gleich 1) (!x gleich 2) (!x gleich 4)

Wie lautet das Lösungspaar des Beispiels? (3 Strich 1) (!1 Strich 3) (!2 Strich 1) (!3 Strich 2)

Was bedeutet Probe? (Die Werte werden in beide Ausgangsgleichungen eingesetzt) (!Nur die erste Gleichung wird abgeschrieben) (!Die Variablen werden vertauscht) (!Das Ergebnis wird gerundet)

Was stellt eine eindeutige Lösung grafisch dar? (Den Schnittpunkt zweier Geraden) (!Den Ursprung des Koordinatensystems) (!Zwei parallele Geraden) (!Zwei gleiche Achsen)

Wann hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung? (Wenn die Geraden parallel und verschieden sind) (!Wenn die Geraden einen Schnittpunkt haben) (!Wenn beide Variablen positiv sind) (!Wenn eine Gleichung nach x aufgelöst ist)

Welche Gleichung ist für das Einsetzen meist besonders günstig? (Eine Gleichung mit einer bereits freigestellten Variablen) (!Eine Gleichung mit möglichst vielen Brüchen) (!Eine Gleichung ohne Variablen) (!Eine Gleichung mit drei neuen Unbekannten)

Memory

Einsetzungsverfahren	Term ersetzt Variable
Lineares Gleichungssystem	Mehrere lineare Gleichungen
Rücksubstitution	Ersten Wert wieder einsetzen
Probe	Lösung in Ausgangsgleichungen prüfen
Schnittpunkt	Gemeinsame Lösung zweier Geraden
Lösungsmenge	Sammlung aller Lösungen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Arbeitsschritt
Umstellen	Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Einsetzen	Den erhaltenen Term in die andere Gleichung schreiben
Lösen	Die Gleichung mit einer Variablen berechnen
Rückeinsetzen	Die zweite Variable bestimmen
Prüfen	Beide Werte in den Ausgangsgleichungen testen

Kreuzworträtsel

Variable	Wie heißt eine unbekannte Größe in einer Gleichung?
Einsetzen	Wie heißt das Ersetzen einer Variablen durch einen Term?
Gleichung	Welche mathematische Aussage enthält ein Gleichheitszeichen?
Schnittpunkt	Wie heißt die gemeinsame Stelle zweier sich kreuzender Geraden?
Probe	Wie heißt die Kontrolle einer berechneten Lösung?
Term	Wie heißt ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen . Beim Einsetzungsverfahren wird zuerst eine Gleichung nach einer aufgelöst. Der dabei entstehende wird in die andere Gleichung eingesetzt. Danach wird eine Gleichung mit nur einer gelöst. Durch das erhältst Du den zweiten Wert. Mit der kontrollierst Du beide Werte. Grafisch ist eine eindeutige Lösung der zweier Geraden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Merkzettel: Gestalte eine Karte mit den fünf Schritten des Einsetzungsverfahrens.
2. Einfaches Gleichungssystem: Löse $x=y+1$ und $x+y=5$.
3. Fehlersuche: Erfinde einen typischen Einsetzfehler und verbessere ihn.
4. Video-Notizen: Erstelle eine übersichtliche Seite mit den wichtigsten Aussagen des Videos.

Standard

1. Sachaufgabe: Erfinde eine Einkaufssituation mit zwei unbekannten Preisen und löse sie.
2. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zu einem selbst gewählten Gleichungssystem.
3. Vergleich der Lösungsverfahren: Löse dasselbe System mit Einsetzungs- und Additionsverfahren.
4. Grafische Lösung: Zeichne die beiden Geraden eines Gleichungssystems und markiere den Schnittpunkt.

Schwer

1. Sonderfälle: Entwickle je ein Gleichungssystem mit keiner und mit unendlich vielen Lösungen.
2. Parameter: Untersuche, wie sich die Lösung von $x=y+a$ und $x+y=6$ mit $a$ ändert.
3. Algorithmus: Schreibe eine genaue Handlungsanweisung, die eine andere Person ohne Hilfe ausführen kann.
4. Mathematik erklären: Plane eine kurze Unterrichtsphase, in der Du das Einsetzungsverfahren mit Beispiel, Übung und Probe vermittelst.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl: Entscheide bei drei Gleichungssystemen, welches Lösungsverfahren günstig ist, und begründe Deine Wahl.
2. Fehleranalyse: Eine Person setzt einen Term in dieselbe Gleichung zurück. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
3. Modellieren: Übersetze eine Alltagssituation mit zwei unbekannten Größen in ein lineares Gleichungssystem und löse es.
4. Darstellungswechsel: Erkläre, warum das berechnete Lösungspaar zugleich der Schnittpunkt zweier Geraden ist.
5. Sonderfall deuten: Deute rechnerisch und grafisch, was ein Widerspruch wie $0=4$ bedeutet.
6. Eigene Konstruktion: Entwickle ein Gleichungssystem mit der Lösung $(2|5)$ und weise die Lösung durch eine Probe nach.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. ein lineares Gleichungssystem korrekt aufschreiben,
2. eine günstige Variable auswählen und freistellen,
3. den Term richtig einsetzen,
4. beide Variablen vollständig berechnen,
5. eine Probe durchführen,
6. die Lösung verständlich angeben und grafisch deuten.

Links

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