Ableitung der e-Funktion

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die e-Funktion ist eine besondere Exponentialfunktion. Sie heißt

$f(x)=e^x$.

Das Besondere ist: Beim Ableiten bleibt die Funktion gleich.

$f^{\prime }(x)=e^x$

Das macht viele Rechnungen einfach. Du brauchst vor allem die Kettenregel. Dieser kurze aiMOOC ist für Mathematik in Klasse 10 bis 13.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

1. e-Funktion: die Grundregel nennen.
2. Kettenregel: e-Funktionen mit innerer Funktion ableiten.
3. Faktorregel: feste Faktoren richtig übernehmen.
4. Produktregel: einfache Produkte mit einer e-Funktion ableiten.

Die wichtigste Regel

Für die Grundfunktion gilt:

$f(x)=e^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^x$

Die Steigung der e-Funktion ist an jeder Stelle genauso groß wie ihr Funktionswert. Bei $x=0$ ist der Funktionswert $1$. Deshalb ist dort auch die Steigung $1$.

Die Kettenregel

Steht im Exponenten mehr als nur $x$, brauchst Du die Kettenregel:

$f(x)=e^{u(x)}\Rightarrow f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot e^{u(x)}$

Merksatz: Die e-Funktion bleibt stehen. Multipliziere sie mit der inneren Ableitung.

Beispiele:

$f(x)=e^{3x}\Rightarrow f^{\prime }(x)=3e^{3x}$

$g(x)=5e^{2x-1}\Rightarrow g^{\prime }(x)=10e^{2x-1}$

$h(x)=e^{-\mathrm{0,5}x}\Rightarrow h^{\prime }(x)=-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}$

Faktorregel und Produktregel

Ein fester Faktor bleibt erhalten:

$f(x)=4e^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=4e^x$

Bei einem Produkt brauchst Du die Produktregel:

$f(x)=(x+1)e^x$

$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$

Typische Fehler

1. Kettenregel vergessen: Bei $e^{4x}$ fehlt sonst der Faktor $4$.
2. Vorzeichen übersehen: Bei $e^{-x}$ ist die Ableitung $-e^{-x}$.
3. Exponent verändern: Der Exponent bleibt beim Ableiten der e-Funktion erhalten.
4. Produktregel vergessen: Bei $x\cdot e^x$ müssen beide Faktoren abgeleitet werden.

Video: Ableitung der e-Funktion

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei den Beispielen und rechne zuerst selbst.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Grundregel: Schreibe nach dem ersten Erklärteil die Ableitungsregel für $e^x$ auf.
2. Kettenregel: Notiere, wann im Video eine innere Ableitung gebraucht wird.
3. Rechenpause: Stoppe vor einem Beispiel, rechne selbst und vergleiche danach.
4. Fehleranalyse: Erkläre, warum die Ableitung von $e^{3x}$ nicht nur $e^{3x}$ ist.
5. Eigene Beispiele: Erfinde zwei e-Funktionen und leite sie ab.
6. Zusammenfassung: Erkläre den Inhalt des Videos in drei einfachen Sätzen.

Weiteres Erklärvideo

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Anwendungen

e-Funktionen beschreiben zum Beispiel Wachstum, Zerfall, Zinsmodelle und Abkühlung. Die Ableitung zeigt, wie schnell sich eine Größe in diesem Moment ändert.

Datei:Plot-exponential-decay.svg

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die Ableitung von e hoch x? (e hoch x) (!x mal e hoch x) (!1) (!0)

Wie lautet die Ableitung von e hoch 3x? (3 mal e hoch 3x) (!e hoch 3x) (!3x mal e hoch x) (!e hoch x)

Wie lautet die Ableitung von e hoch minus x? (minus e hoch minus x) (!e hoch minus x) (!minus e hoch x) (!x mal e hoch minus x)

Welche Regel brauchst Du bei e hoch u von x? (Kettenregel) (!Summenregel) (!Potenzregel) (!Kehrwertregel)

Wie lautet die Ableitung von 5 mal e hoch x? (5 mal e hoch x) (!e hoch x) (!5x mal e hoch x) (!0)

Welche Steigung hat e hoch x bei x gleich null? (1) (!0) (!minus 1) (!e)

Wie lautet die Ableitung einer e-Funktion mit dem Exponenten 2x plus 1? (2 mal e hoch dem Exponenten 2x plus 1) (!e hoch dem Exponenten 2x plus 1) (!3 mal e hoch dem Exponenten 2x plus 1) (!2x mal e hoch dem Exponenten x plus 1)

Was wird bei der Kettenregel zusätzlich multipliziert? (Die innere Ableitung) (!Der x Wert) (!Der Funktionswert null) (!Der Exponent allein)

Wie lautet die Ableitung von x mal e hoch x? (e hoch x plus x mal e hoch x) (!x mal e hoch x) (!e hoch x) (!1 plus e hoch x)

Wie lautet die Ableitung von e hoch 0 Komma 5x? (0 Komma 5 mal e hoch 0 Komma 5x) (!e hoch 0 Komma 5x) (!2 mal e hoch 0 Komma 5x) (!0 Komma 5x mal e hoch x)

Memory

Grundfunktion	bleibt beim Ableiten gleich
Kettenregel	innere Ableitung mal äußere Ableitung
Faktorregel	feste Zahl bleibt als Faktor erhalten
Produktregel	Ableitung eines Produkts
Tangentensteigung	Wert der ersten Ableitung
Wachstum	positiver Exponent

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Passende Regel oder Aussage
Grundfunktion	bleibt beim Ableiten gleich
Innere Funktion	Kettenregel anwenden
Negativer Exponent	negatives Vorzeichen beachten
Konstanter Faktor	Faktor bleibt erhalten
Produkt zweier Funktionen	Produktregel anwenden

Kreuzworträtsel

Eulerzahl	Welche Zahl ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion?
Exponent	Wo steht bei einer e-Funktion die Variable?
Kettenregel	Welche Regel brauchst Du bei einer inneren Funktion?
Ableitung	Welche Funktion beschreibt die momentane Änderung?
Tangente	Welche Gerade berührt einen Graphen an einer Stelle?
Wachstum	Welcher Prozess wird oft mit einer steigenden e-Funktion beschrieben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Ableitung von e hoch x ist wieder . Steht im Exponenten eine innere Funktion, brauchst Du die . Die e-Funktion wird mit der multipliziert. Ein fester Faktor bleibt beim Ableiten . Bei $x=0$ hat die e-Funktion die Steigung . Ein negativer innerer Faktor führt in der Ableitung zu einem . Bei einem Produkt aus zwei Funktionen nutzt Du die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Merksatz: Schreibe die Grundregel zur Ableitung von $e^x$ auf eine Lernkarte.
2. Rechenweg: Leite $e^{2x}$, $e^{-x}$ und $3e^x$ ab.
3. Graph: Zeichne $e^x$ und markiere den Punkt mit der Steigung $1$.
4. Erklärung: Erkläre einer anderen Person, warum die e-Funktion beim Ableiten gleich bleibt.

Standard

1. Videoanalyse: Wähle ein Beispiel aus dem Video und erkläre jeden Rechenschritt.
2. Fehleranalyse: Korrigiere die falsche Ableitung $(e^{5x}{)}^{\prime }=e^{5x}$.
3. Anwendung: Erfinde eine kleine Wachstumsgeschichte mit einer e-Funktion und deute ihre Ableitung.
4. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Kettenregel bei e-Funktionen.

Schwer

1. Produktregel: Leite $(x^2+1)e^x$ ab und vereinfache das Ergebnis.
2. Modellierung: Untersuche ein Zerfallsmodell der Form $N(t)=N_0{e}^{-kt}$ und deute $N^{\prime }(t)$.
3. Vergleich: Vergleiche die Ableitungen von $e^x$ und $2^x$. Beschreibe den Unterschied.
4. Begründung: Erkläre mit dem Differenzenquotienten als Idee, warum die e-Funktion eine besondere Basis hat.

Lernkontrolle

1. Transfer Wachstum: Eine Größe wächst nach $B(t)=200e^{\mathrm{0,03}t}$. Bestimme $B^{\prime }(t)$ und erkläre die Bedeutung des Ergebnisses.
2. Transfer Zerfall: Vergleiche $e^{-x}$ und seine Ableitung. Was sagt das Vorzeichen über den Verlauf aus?
3. Strategiewahl: Entscheide bei drei selbst gewählten Funktionen, ob Grundregel, Kettenregel oder Produktregel nötig ist. Begründe.
4. Fehlerdiagnose: Eine Person schreibt $(4e^{2x}{)}^{\prime }=4e^{2x}$. Finde den Denkfehler und verbessere die Lösung.
5. Graphische Deutung: Erkläre am Graphen von $e^x$, warum die Steigung für große positive x-Werte stark zunimmt.
6. Modellkritik: Nenne eine Situation, in der exponentielles Wachstum nur für einen begrenzten Zeitraum sinnvoll ist.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen:

1. Grundregel: Du kannst $e^x$ sicher ableiten.
2. Kettenregel: Du erkennst innere Funktionen und leitest sie richtig ab.
3. Faktorregel: Du übernimmst feste Faktoren korrekt.
4. Produktregel: Du kannst einfache Produkte mit e-Funktionen ableiten.
5. Deutung: Du erklärst die Ableitung als momentane Änderungsrate.
6. Transfer: Du wendest die Regeln auf Wachstum und Zerfall an.

Links

Ableitung der e-Funktion e-Funktion Exponentialfunktion Eulersche Zahl Ableitung Kettenregel Faktorregel Produktregel Differentialrechnung