Ableiten mit der Kettenregel - Typische Aufgaben

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Ableiten mit der Kettenregel - Typische Aufgaben

Fach: Mathematik | Klassenstufe: 10–13 | Thema: Differentialrechnung

Mit der Kettenregel leitest Du verkettete Funktionen ab. Das sind Funktionen, bei denen eine Funktion in einer anderen steckt.

Lernziele

Du kannst die innere und die äußere Funktion erkennen. Du kannst die Kettenregel anwenden und typische Fehler erklären.

Lernvideo

Sieh Dir das Video an. Stoppe bei jedem Beispiel und rechne zuerst selbst.

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Aufgaben zum Video

1. Kettenregel erkennen: Schreibe den Merksatz aus dem Video in eigenen Worten auf.
2. Innen und außen: Notiere bei drei Video-Beispielen die innere und die äußere Funktion.
3. Mitrechnen: Stoppe vor der Lösung und berechne die Ableitung selbst.
4. Vergleichen: Markiere, an welcher Stelle die innere Ableitung multipliziert wird.
5. Fehler finden: Erkläre, was passiert, wenn die innere Ableitung fehlt.

Die Kettenregel

Für eine Verkettung f(x)=g(h(x)) gilt:

f'(x)=g'(h(x)) · h'(x)

Merksatz: Äußere Funktion ableiten, innere Funktion stehen lassen und mit der inneren Ableitung multiplizieren.

Die Ableitung beschreibt die Steigung einer Tangente. Bei einer Verkettung wirken die Änderungen der äußeren und der inneren Funktion zusammen.

Beispiel 1: Klammer mit Potenz

f(x)=(3x−2)^4

1. Äußere Funktion: u^4
2. Innere Funktion: u=3x−2
3. Ableitung: f'(x)=4(3x−2)^3 · 3=12(3x−2)^3

Beispiel 2: Sinus

f(x)=sin(2x+1)

f'(x)=cos(2x+1) · 2=2cos(2x+1)

Beispiel 3: Exponentialfunktion

f(x)=e^(x²)

f'(x)=e^(x²) · 2x

Mehrfach verkettet

Bei f(x)=sin((x²+1)^3) wendest Du die Kettenregel mehrmals an:

f'(x)=cos((x²+1)^3) · 3(x²+1)^2 · 2x

Typische Fehler

1. Innere Ableitung vergessen: Der letzte Faktor fehlt.
2. Klammer verändern: Der innere Ausdruck muss in der äußeren Ableitung stehen bleiben.
3. Vorzeichenfehler: Die Ableitung von cos(x) ist −sin(x).
4. Regeln verwechseln: Bei einem Produkt brauchst Du zusätzlich die Produktregel.

Datei:Circle derivative.png

Zusatzvideo

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann brauchst Du die Kettenregel? (Bei einer verketteten Funktion) (!Bei jeder linearen Funktion) (!Nur bei Brüchen) (!Nur bei Konstanten)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=(3x+1)^5? (15 mal die vierte Potenz von 3x plus 1) (!5 mal die vierte Potenz von 3x plus 1) (!15 mal die fünfte Potenz von 3x plus 1) (!5 mal die sechste Potenz von 3x plus 1)

Was ist die innere Funktion von f(x)=sin(4x−2)? (4x−2) (!sin) (!cos) (!4)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=e^(2x)? (2 mal e hoch 2x) (!e hoch 2x) (!2x mal e hoch 2x) (!e hoch 2)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=(x²+1)^3? (6x mal die zweite Potenz von x² plus 1) (!3 mal die zweite Potenz von x² plus 1) (!6x mal die dritte Potenz von x² plus 1) (!3x² mal die zweite Potenz von x² plus 1)

Wie lautet die äußere Ableitung von u^7? (7u^6) (!u^6) (!7u^7) (!6u^7)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=sin(x²)? (2x mal Kosinus von x²) (!Kosinus von x²) (!2x mal Sinus von x²) (!x² mal Kosinus von x)

Welcher Fehler ist bei der Kettenregel besonders typisch? (Die innere Ableitung wird vergessen) (!Die Variable wird immer ersetzt) (!Die Funktion wird nie vereinfacht) (!Die äußere Funktion wird addiert)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=cos(5x)? (Minus 5 mal Sinus von 5x) (!5 mal Sinus von 5x) (!Minus Sinus von 5x) (!5 mal Kosinus von 5x)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=(2x−3)^−2? (Minus 4 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 3) (!Minus 2 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 3) (!4 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 1) (!Minus 4 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 2)

Memory

Kettenregel	Verkettete Funktion ableiten
Innere Funktion	Ausdruck im Inneren
Äußere Funktion	Funktion um den inneren Ausdruck
Innere Ableitung	Letzter Faktor des Ergebnisses
Potenzregel	Exponent nach vorn
Probe	Ergebnis durch Rückwärtsprüfung kontrollieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Vorgehen
Klammerpotenz	Potenzregel außen und Kettenregel innen
Sinusverkettung	Kosinus außen und innere Ableitung
Kosinusverkettung	Minus Sinus außen und innere Ableitung
Exponentialverkettung	Exponentialfunktion außen und innere Ableitung
Mehrfachverkettung	Kettenregel mehrmals anwenden

Kreuzworträtsel

Kettenregel	Welche Regel nutzt Du bei Funktionen in Funktionen?
Verkettung	Wie heißt das Einsetzen einer Funktion in eine andere?
Innenfunktion	Welche Funktion wird zuerst eingesetzt?
Außenfunktion	Welche Funktion umschließt den inneren Ausdruck?
Potenzregel	Welche Regel brauchst Du bei einer Klammer mit Exponent?
Kosinus	Was ist die Ableitung der Sinusfunktion?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Funktion besteht aus einer inneren und einer äußeren Funktion. Beim Ableiten bleibt der Ausdruck zunächst stehen. Danach wird mit der multipliziert. Bei sin(u) ist cos(u) die . Bei cos(u) entsteht zusätzlich ein . Bei einer mehrfachen Verkettung wird die Kettenregel angewendet.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Farbcode: Markiere in fünf Funktionen die innere Funktion blau und die äußere Funktion rot.
2. Merkzettel: Gestalte eine kleine Karte mit Formel, Merksatz und einem Beispiel.
3. Video-Notizen: Schreibe drei wichtige Aussagen aus dem Lernvideo auf.
4. Mini-Erklärung: Erkläre einer anderen Person die Kettenregel in zwei Sätzen.

Standard

1. Rechenweg: Leite vier Klammerpotenzen ab und notiere jeden Schritt.
2. Video-Vergleich: Wähle zwei Beispiele aus dem Video und vergleiche ihre inneren Funktionen.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Ableitung und verbessere sie mit Begründung.
4. Erklärbild: Zeichne ein Schema für äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Schwer

1. Mehrfachverkettung: Leite drei Funktionen mit mindestens zwei Verkettungen ab.
2. Regelkombination: Erstelle eine Aufgabe, die Produktregel und Kettenregel verbindet, und löse sie.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Beispiel, Pause und Lösung.
4. Anwendung: Entwickle ein einfaches Sachproblem, bei dem eine verkettete Funktion abgeleitet wird.

Lernkontrolle

1. Begründen: Erkläre, warum bei f(x)=(5x+2)^4 der Faktor 5 im Ergebnis stehen muss.
2. Vergleichen: Vergleiche die Ableitungen von sin(x²) und sin(2x). Erkläre die Unterschiede.
3. Fehler übertragen: Eine Person schreibt für e^(3x) nur e^(3x). Beschreibe den Denkfehler und korrigiere ihn.
4. Regel auswählen: Entscheide bei x²·sin(3x), welche Regeln nötig sind, und begründe die Reihenfolge.
5. Eigene Aufgabe: Erfinde eine mehrfach verkettete Funktion, leite sie ab und erkläre jede Stufe.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis sollst Du zeigen:

1. Du erkennst innere und äußere Funktionen.
2. Du wendest die Kettenregel sicher an.
3. Du kombinierst die Kettenregel mit anderen Ableitungsregeln.
4. Du erklärst typische Fehler.
5. Du stellst einen vollständigen Rechenweg verständlich dar.

Links

Ableiten mit der Kettenregel - Typische Aufgaben Kettenregel Ableitung Verkettete Funktion Potenzregel Produktregel Exponentialfunktion Trigonometrische Funktion