Ableiten mit der Kettenregel - Typische Aufgaben
Ableiten mit der Kettenregel - Typische Aufgaben
Einleitung
Ableiten mit der Kettenregel - Typische Aufgaben
Fach: Mathematik | Klassenstufe: 10–13 | Thema: Differentialrechnung
Mit der Kettenregel leitest Du verkettete Funktionen ab. Das sind Funktionen, bei denen eine Funktion in einer anderen steckt.
Lernziele
Du kannst die innere und die äußere Funktion erkennen. Du kannst die Kettenregel anwenden und typische Fehler erklären.
Lernvideo
Sieh Dir das Video an. Stoppe bei jedem Beispiel und rechne zuerst selbst.
Aufgaben zum Video
- Kettenregel erkennen: Schreibe den Merksatz aus dem Video in eigenen Worten auf.
- Innen und außen: Notiere bei drei Video-Beispielen die innere und die äußere Funktion.
- Mitrechnen: Stoppe vor der Lösung und berechne die Ableitung selbst.
- Vergleichen: Markiere, an welcher Stelle die innere Ableitung multipliziert wird.
- Fehler finden: Erkläre, was passiert, wenn die innere Ableitung fehlt.
Die Kettenregel
Für eine Verkettung f(x)=g(h(x)) gilt:
f'(x)=g'(h(x)) · h'(x)
Merksatz: Äußere Funktion ableiten, innere Funktion stehen lassen und mit der inneren Ableitung multiplizieren.
Die Ableitung beschreibt die Steigung einer Tangente. Bei einer Verkettung wirken die Änderungen der äußeren und der inneren Funktion zusammen.
Beispiel 1: Klammer mit Potenz
f(x)=(3x−2)^4
- Äußere Funktion: u^4
- Innere Funktion: u=3x−2
- Ableitung: f'(x)=4(3x−2)^3 · 3=12(3x−2)^3
Beispiel 2: Sinus
f(x)=sin(2x+1)
f'(x)=cos(2x+1) · 2=2cos(2x+1)
Beispiel 3: Exponentialfunktion
f(x)=e^(x²)
f'(x)=e^(x²) · 2x
Mehrfach verkettet
Bei f(x)=sin((x²+1)^3) wendest Du die Kettenregel mehrmals an:
f'(x)=cos((x²+1)^3) · 3(x²+1)^2 · 2x
Typische Fehler
- Innere Ableitung vergessen: Der letzte Faktor fehlt.
- Klammer verändern: Der innere Ausdruck muss in der äußeren Ableitung stehen bleiben.
- Vorzeichenfehler: Die Ableitung von cos(x) ist −sin(x).
- Regeln verwechseln: Bei einem Produkt brauchst Du zusätzlich die Produktregel.
Zusatzvideo
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wann brauchst Du die Kettenregel? (Bei einer verketteten Funktion) (!Bei jeder linearen Funktion) (!Nur bei Brüchen) (!Nur bei Konstanten)
Wie lautet die Ableitung von f(x)=(3x+1)^5? (15 mal die vierte Potenz von 3x plus 1) (!5 mal die vierte Potenz von 3x plus 1) (!15 mal die fünfte Potenz von 3x plus 1) (!5 mal die sechste Potenz von 3x plus 1)
Was ist die innere Funktion von f(x)=sin(4x−2)? (4x−2) (!sin) (!cos) (!4)
Wie lautet die Ableitung von f(x)=e^(2x)? (2 mal e hoch 2x) (!e hoch 2x) (!2x mal e hoch 2x) (!e hoch 2)
Wie lautet die Ableitung von f(x)=(x²+1)^3? (6x mal die zweite Potenz von x² plus 1) (!3 mal die zweite Potenz von x² plus 1) (!6x mal die dritte Potenz von x² plus 1) (!3x² mal die zweite Potenz von x² plus 1)
Wie lautet die äußere Ableitung von u^7? (7u^6) (!u^6) (!7u^7) (!6u^7)
Wie lautet die Ableitung von f(x)=sin(x²)? (2x mal Kosinus von x²) (!Kosinus von x²) (!2x mal Sinus von x²) (!x² mal Kosinus von x)
Welcher Fehler ist bei der Kettenregel besonders typisch? (Die innere Ableitung wird vergessen) (!Die Variable wird immer ersetzt) (!Die Funktion wird nie vereinfacht) (!Die äußere Funktion wird addiert)
Wie lautet die Ableitung von f(x)=cos(5x)? (Minus 5 mal Sinus von 5x) (!5 mal Sinus von 5x) (!Minus Sinus von 5x) (!5 mal Kosinus von 5x)
Wie lautet die Ableitung von f(x)=(2x−3)^−2? (Minus 4 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 3) (!Minus 2 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 3) (!4 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 1) (!Minus 4 mal die Potenz von 2x minus 3 mit Exponent minus 2)
Memory
| Kettenregel | Verkettete Funktion ableiten |
| Innere Funktion | Ausdruck im Inneren |
| Äußere Funktion | Funktion um den inneren Ausdruck |
| Innere Ableitung | Letzter Faktor des Ergebnisses |
| Potenzregel | Exponent nach vorn |
| Probe | Ergebnis durch Rückwärtsprüfung kontrollieren |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Vorgehen |
|---|---|
| Klammerpotenz | Potenzregel außen und Kettenregel innen |
| Sinusverkettung | Kosinus außen und innere Ableitung |
| Kosinusverkettung | Minus Sinus außen und innere Ableitung |
| Exponentialverkettung | Exponentialfunktion außen und innere Ableitung |
| Mehrfachverkettung | Kettenregel mehrmals anwenden |
Kreuzworträtsel
| Kettenregel | Welche Regel nutzt Du bei Funktionen in Funktionen? |
| Verkettung | Wie heißt das Einsetzen einer Funktion in eine andere? |
| Innenfunktion | Welche Funktion wird zuerst eingesetzt? |
| Außenfunktion | Welche Funktion umschließt den inneren Ausdruck? |
| Potenzregel | Welche Regel brauchst Du bei einer Klammer mit Exponent? |
| Kosinus | Was ist die Ableitung der Sinusfunktion? |
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Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Farbcode: Markiere in fünf Funktionen die innere Funktion blau und die äußere Funktion rot.
- Merkzettel: Gestalte eine kleine Karte mit Formel, Merksatz und einem Beispiel.
- Video-Notizen: Schreibe drei wichtige Aussagen aus dem Lernvideo auf.
- Mini-Erklärung: Erkläre einer anderen Person die Kettenregel in zwei Sätzen.
Standard
- Rechenweg: Leite vier Klammerpotenzen ab und notiere jeden Schritt.
- Video-Vergleich: Wähle zwei Beispiele aus dem Video und vergleiche ihre inneren Funktionen.
- Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Ableitung und verbessere sie mit Begründung.
- Erklärbild: Zeichne ein Schema für äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Schwer
- Mehrfachverkettung: Leite drei Funktionen mit mindestens zwei Verkettungen ab.
- Regelkombination: Erstelle eine Aufgabe, die Produktregel und Kettenregel verbindet, und löse sie.
- Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Beispiel, Pause und Lösung.
- Anwendung: Entwickle ein einfaches Sachproblem, bei dem eine verkettete Funktion abgeleitet wird.
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Lernkontrolle
- Begründen: Erkläre, warum bei f(x)=(5x+2)^4 der Faktor 5 im Ergebnis stehen muss.
- Vergleichen: Vergleiche die Ableitungen von sin(x²) und sin(2x). Erkläre die Unterschiede.
- Fehler übertragen: Eine Person schreibt für e^(3x) nur e^(3x). Beschreibe den Denkfehler und korrigiere ihn.
- Regel auswählen: Entscheide bei x²·sin(3x), welche Regeln nötig sind, und begründe die Reihenfolge.
- Eigene Aufgabe: Erfinde eine mehrfach verkettete Funktion, leite sie ab und erkläre jede Stufe.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis sollst Du zeigen:
- Du erkennst innere und äußere Funktionen.
- Du wendest die Kettenregel sicher an.
- Du kombinierst die Kettenregel mit anderen Ableitungsregeln.
- Du erklärst typische Fehler.
- Du stellst einen vollständigen Rechenweg verständlich dar.
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