Zusammenhänge von Größen erkennen - Funktionen

Einleitung

Zusammenhänge von Größen erkennen - Funktionen ist ein zentraler Lernbereich der Mathematik. Du lernst, wie Du aus Situationen, Messwerten, Tabellen, Graphen und Formeln erkennst, ob zwei Größen voneinander abhängen und ob dieser Zusammenhang als Funktion beschrieben werden kann. Eine Funktion hilft Dir, Fragen wie diese mathematisch zu beantworten: Wie verändert sich der Preis, wenn die Menge steigt? Wie hängt der zurückgelegte Weg von der Zeit ab? Wie kann man aus Messwerten eine Regel erkennen? Wie kann man mit einem Graphen Vorhersagen treffen?

Im Kern geht es um eine einfache, aber sehr wichtige Idee: Eine Eingabegröße bestimmt eindeutig eine Ausgabegröße. Wenn Du zum Beispiel für eine feste Apfelsorte den Kilopreis kennst, dann bestimmt die gekaufte Masse eindeutig den Preis. Wenn Du bei einer Kerze die Brenndauer misst, kann die Höhe der Kerze von der Zeit abhängen. Wenn Du bei einer linearen Bewegung die Zeit kennst, kann daraus ein Weg berechnet werden. Solche Zusammenhänge werden mit Variablen, Wertetabellen, Koordinatensystemen, Termen und Gleichungen beschrieben.

Eine Funktion kann man sich wie eine Funktionsmaschine vorstellen: Du gibst einen Wert hinein, die Maschine verarbeitet ihn nach einer festen Regel, und heraus kommt genau ein Funktionswert. Diese Vorstellung ist besonders hilfreich, wenn Du zwischen Eingabe, Verarbeitung und Ausgabe unterscheiden möchtest.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was eine Funktion ist, wie man funktionale Zusammenhänge erkennt und wie man sie in verschiedenen Darstellungsformen beschreibt. Du kannst zwischen unabhängiger und abhängiger Variable unterscheiden, aus einer Alltagssituation eine passende Wertetabelle erstellen, Punkte in ein Koordinatensystem eintragen, Graphen lesen, einfache Funktionsgleichungen interpretieren und prüfen, ob ein Zusammenhang eindeutig ist.

Du lernst außerdem, dass Funktionen nicht nur aus Formeln bestehen. Eine Funktion kann durch eine sprachliche Beschreibung, eine Tabelle, einen Graphen, eine Pfeildarstellung, eine Messreihe oder eine Gleichung gegeben sein. Wichtig ist immer die Frage: Gehört zu jedem zulässigen Eingabewert genau ein Ausgabewert?

Grundidee: Größen und ihre Zusammenhänge

Was ist eine Größe?

Eine Größe ist etwas, das gemessen oder gezählt werden kann. Beispiele sind Zeit, Länge, Masse, Temperatur, Preis, Geschwindigkeit, Fläche, Volumen oder Anzahl. Größen haben häufig eine Einheit, zum Beispiel Sekunden, Meter, Kilogramm, Euro oder Grad Celsius. Wenn Du funktionale Zusammenhänge untersuchst, musst Du immer darauf achten, welche Größe die Eingabe ist, welche Größe die Ausgabe ist und welche Einheiten verwendet werden.

Ein Beispiel: Beim Kauf von Obst kann die Masse in Kilogramm die Eingabegröße sein. Der Preis in Euro ist dann die Ausgabegröße. Wenn der Kilopreis fest bleibt, hängt der Preis eindeutig von der Masse ab. Man kann sagen: Der Preis ist eine Funktion der Masse.

Unabhängige und abhängige Größe

Die unabhängige Größe ist die Größe, die Du vorgibst oder auswählst. Sie wird häufig mit $x$ bezeichnet. Die abhängige Größe ist die Größe, die sich daraus ergibt. Sie wird häufig mit $y$ oder $f (x)$ bezeichnet. Der Ausdruck $f (x)$ bedeutet: Funktionswert der Funktion $f$ an der Stelle $x$ .

Wenn ein Fahrrad mit gleichbleibender Geschwindigkeit fährt, kannst Du die Zeit als unabhängige Größe wählen. Der zurückgelegte Weg hängt dann von der Zeit ab. Wenn Du die Zeit verdoppelst, verdoppelt sich bei konstanter Geschwindigkeit auch der Weg. Das ist ein proportionaler Zusammenhang.

Warum Zusammenhänge wichtig sind

Funktionale Zusammenhänge helfen Dir, Daten zu ordnen, Muster zu erkennen, Vorhersagen zu machen und Entscheidungen zu begründen. In der Physik werden Bewegungen, Kräfte und Energie mit Funktionen beschrieben. In der Biologie können Wachstumsvorgänge als Funktionen modelliert werden. In der Wirtschaft hängen Kosten, Einnahmen und Gewinn voneinander ab. In der Informatik arbeiten Programme ständig mit Eingaben und Ausgaben. In der Alltagsmathematik brauchst Du Funktionen zum Vergleichen von Tarifen, beim Planen von Fahrzeiten oder beim Einschätzen von Preisen.

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Das bedeutet: Jedem zulässigen Eingabewert wird genau ein Ausgabewert zugeordnet. Die Eingabewerte bilden den Definitionsbereich. Die tatsächlich entstehenden Ausgabewerte bilden den Wertebereich. Die Regel, nach der die Zuordnung geschieht, kann unterschiedlich dargestellt werden.

Formal schreibt man häufig $f : D \to W$ . Das bedeutet: Die Funktion $f$ ordnet Werten aus dem Definitionsbereich $D$ Werte in einer Zielmenge oder Wertemenge $W$ zu. Für einen einzelnen Wert schreibt man zum Beispiel $x \mapsto f (x)$ . In der Schule wird oft mit $y = f (x)$ gearbeitet.

Eindeutigkeit als entscheidendes Merkmal

Nicht jeder Zusammenhang ist eine Funktion. Entscheidend ist die Eindeutigkeit. Wenn zu einem Eingabewert zwei verschiedene Ausgabewerte gehören, liegt keine Funktion vor.

Beispiel für eine Funktion: Jeder Person wird ihr Geburtsjahr zugeordnet. Zu einer Person gehört genau ein Geburtsjahr. Beispiel für keine Funktion, wenn die Eingabe nur das Geburtsjahr ist: Jedem Geburtsjahr wird eine Person aus der Klasse zugeordnet. In einem Jahr können mehrere Personen geboren sein. Dann wäre die Zuordnung nicht eindeutig, wenn nur ein Ergebnis erlaubt ist.

Wichtig: Verschiedene Eingabewerte dürfen denselben Ausgabewert haben. Eine Funktion verlangt nicht, dass alle Ausgabewerte verschieden sind. Wenn mehrere Personen gleich groß sind, kann die Zuordnung Person → Körpergröße trotzdem eine Funktion sein.

Funktionen und Relationen

Eine Relation beschreibt allgemein eine Beziehung zwischen Elementen. Eine Funktion ist eine besondere Relation mit der Eindeutigkeitsbedingung. Jede Funktion ist also eine Relation, aber nicht jede Relation ist eine Funktion. Dieser Unterschied ist wichtig, wenn Du Tabellen oder Graphen prüfst.

Darstellungsformen von Funktionen

Funktionen können auf verschiedene Weise dargestellt werden. Jede Darstellung hat Vorteile. Eine Situation ist anschaulich, eine Tabelle ist geordnet, ein Graph zeigt den Verlauf, eine Gleichung erlaubt Berechnungen und ein Text erklärt die Bedeutung.

Sprachliche Beschreibung

Eine Funktion kann durch Worte beschrieben werden. Beispiel: „Der Eintrittspreis für ein Schwimmbad beträgt 4 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Stunde.“ Hier hängt der Gesamtpreis von der Aufenthaltsdauer ab. Die Aufenthaltsdauer ist die Eingabe, der Gesamtpreis die Ausgabe. Aus der Beschreibung kann eine Regel entstehen: Gesamtpreis = Grundgebühr + Preis pro Stunde mal Anzahl der Stunden.

Wertetabelle

Eine Wertetabelle zeigt geordnete Wertepaare. In der linken Spalte stehen meist die Eingabewerte, in der rechten Spalte die Ausgabewerte. Eine Wertetabelle ist besonders nützlich, wenn Du Messwerte ordnen oder einen Graphen zeichnen möchtest.

Masse in kg	Preis in Euro bei 2,50 Euro pro kg
0	0,00
1	2,50
2	5,00
3	7,50
4	10,00

In dieser Tabelle wird jeder Masse genau ein Preis zugeordnet. Deshalb beschreibt die Tabelle eine Funktion. Der Zusammenhang ist proportional, weil der Preis bei doppelter Masse ebenfalls doppelt so groß ist und der Graph durch den Ursprung verläuft.

Koordinatensystem und Graph

Im Koordinatensystem wird jeder Wert aus der Tabelle als Punkt eingetragen. Der Eingabewert steht auf der x-Achse, der Ausgabewert auf der y-Achse. Der Funktionsgraph ist die Menge aller Punkte, die zur Funktion gehören. Bei vielen Schulaufgaben werden einzelne Punkte verbunden, um den Verlauf sichtbar zu machen. Dabei musst Du beachten, ob die Werte sinnvoll kontinuierlich sind. Eine Zeit kann oft kontinuierlich verlaufen, eine Anzahl von Personen dagegen nur in ganzen Zahlen.

Funktionsgleichung und Term

Eine Funktionsgleichung beschreibt die Zuordnung mit einem Term. Beim Obstbeispiel mit 2,50 Euro pro Kilogramm kann man schreiben:

$f (x) = 2,5 x$

Dabei steht $x$ für die Masse in Kilogramm und $f (x)$ für den Preis in Euro. Wenn Du 3 kg kaufst, berechnest Du:

$f (3) = 2,5 \cdot 3 = 7,5$

Der Preis beträgt also 7,50 Euro. Die Gleichung erlaubt Dir, auch Werte zu berechnen, die nicht ausdrücklich in der Tabelle stehen.

Pfeildiagramm und Zuordnungsvorschrift

Bei kleinen Mengen kann eine Funktion durch Pfeile dargestellt werden. Jeder Eingabewert bekommt genau einen Pfeil zu einem Ausgabewert. Wenn von einem Eingabewert zwei Pfeile ausgehen, ist die Zuordnung keine Funktion. Wenn zwei Eingabewerte zum selben Ausgabewert zeigen, ist das erlaubt.

Funktionen erkennen

Erkennen in Alltagssituationen

Um eine Funktion in einer Situation zu erkennen, stellst Du Dir drei Fragen: Welche Größe wird vorgegeben? Welche Größe hängt davon ab? Ist der Ausgabewert eindeutig, wenn der Eingabewert feststeht? Wenn die Antwort auf die dritte Frage „ja“ lautet, kannst Du den Zusammenhang als Funktion beschreiben.

Beispiel: Ein Parkhaus verlangt 2 Euro pro angefangene Stunde. Die Parkdauer bestimmt den Preis, aber wegen „angefangener Stunde“ springt der Preis stufenweise. Trotzdem ist der Preis eine Funktion der Parkdauer, denn zu jeder Parkdauer gehört genau ein Preis.

Beispiel: Ein Mensch wird seiner Lieblingsfarbe zugeordnet. Das kann eine Funktion sein, wenn jede Person genau eine Lieblingsfarbe nennt. Es kann aber problematisch werden, wenn eine Person mehrere Lieblingsfarben angibt oder die Antwort sich je nach Tag ändert. Dann muss man die Regel genauer festlegen.

Erkennen in Tabellen

In einer Tabelle ist ein Zusammenhang nur dann eine Funktion, wenn kein Eingabewert mit zwei verschiedenen Ausgabewerten vorkommt. Diese Tabelle beschreibt eine Funktion:

x	y
1	3
2	5
3	7
4	9

Diese Tabelle beschreibt keine Funktion:

x	y
1	3
2	5
2	8
4	9

Der Eingabewert 2 hat zwei verschiedene Ausgabewerte. Damit ist die Eindeutigkeit verletzt.

Erkennen in Graphen: Vertikallinientest

Bei Graphen kannst Du den sogenannten Vertikallinientest verwenden. Stell Dir vor, Du zeichnest eine senkrechte Linie parallel zur y-Achse. Wenn eine solche Linie den Graphen an mehr als einer Stelle schneidet, gehört zu einem x-Wert mehr als ein y-Wert. Dann ist der Graph keine Funktion.

Der Vertikallinientest ist besonders hilfreich, wenn Du Kreise, seitlich geöffnete Parabeln oder Kurven prüfst. Ein Kreis ist als ganzer Kreis kein Funktionsgraph zu $y = f (x)$ , weil es zu vielen x-Werten zwei y-Werte gibt. Der obere Halbkreis allein kann dagegen eine Funktion sein, wenn der Definitionsbereich passend gewählt wird.

Wichtige Funktionstypen

Proportionale Funktionen

Eine proportionale Funktion hat die Form:

$f (x) = k x$

Der Faktor $k$ heißt Proportionalitätsfaktor. Wenn $x$ verdoppelt wird, wird auch $f (x)$ verdoppelt. Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung. Beispiele sind Preis bei festem Kilopreis, Weg bei konstanter Geschwindigkeit ohne Startweg oder Kosten pro Stück ohne Grundgebühr.

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Lineare Funktionen im Schulkontext

Eine Lineare Funktion wird im Schulkontext häufig in der Form

$f (x) = m x + b$

geschrieben. Der Parameter $m$ beschreibt die Steigung, also die Änderungsrate. Der Parameter $b$ beschreibt den y-Achsenabschnitt oder Anfangswert. Mathematisch streng unterscheidet man oft zwischen linearen Funktionen durch den Ursprung und affinen Funktionen mit Anfangswert. In vielen Schulbüchern wird die Form $m x + b$ jedoch als lineare Funktion behandelt.

Beispiel: Ein Taxi kostet 5 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Kilometer. Dann kann ein einfaches Modell lauten:

$f (x) = 2 x + 5$

Dabei ist $x$ die Strecke in Kilometern und $f (x)$ der Preis in Euro. Die Steigung 2 bedeutet: Jeder weitere Kilometer erhöht den Preis um 2 Euro. Der Anfangswert 5 bedeutet: Schon bei 0 gefahrenen Kilometern fallen 5 Euro Grundgebühr an.

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Quadratische Funktionen

Eine Quadratische Funktion enthält die zweite Potenz einer Variablen. Eine einfache Form ist:

$f (x) = x^{2}$

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Quadratische Funktionen treten zum Beispiel bei Flächenberechnungen, Wurfbewegungen oder Optimierungsproblemen auf. Wenn die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt wird, vervierfacht sich seine Fläche. Das ist kein proportionaler, sondern ein quadratischer Zusammenhang.

Exponentielle Funktionen

Eine Exponentielle Funktion beschreibt häufig Wachstum oder Zerfall mit einem festen Faktor. Eine einfache Form ist:

$f (x) = a \cdot b^{x}$

Wenn $b > 1$ ist, entsteht Wachstum. Wenn $0 < b < 1$ ist, entsteht Zerfall. Beispiele sind Zinseszinsmodelle, Bevölkerungswachstum in vereinfachten Modellen oder radioaktiver Zerfall. Wichtig ist: Exponentielle Zusammenhänge wachsen nicht um denselben Betrag pro Schritt, sondern mit demselben Faktor.

Treppenfunktionen und stückweise definierte Funktionen

Nicht alle Funktionen haben glatte Graphen. Bei Fahrpreisen, Portokosten oder Parkgebühren treten häufig Treppenfunktionen auf. Der Preis bleibt für einen Bereich gleich und springt dann auf einen neuen Wert. Auch stückweise definierte Funktionen sind im Alltag häufig: Ein Handytarif kann bis zu einem bestimmten Datenvolumen einen festen Preis haben und danach Zusatzkosten verursachen.

Zusammenhänge vergleichen

Proportional oder linear?

Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung von proportionalen und linearen Zusammenhängen. Jede proportionale Funktion der Form $f (x) = k x$ ist im Schulkontext auch eine lineare Funktion. Aber nicht jede lineare Funktion ist proportional. Sobald ein Anfangswert $b$ ungleich 0 vorkommt, verläuft der Graph nicht durch den Ursprung.

Beispiel proportional: Ein Heft kostet 1,20 Euro. Der Preis für $x$ Hefte ist $f (x) = 1,2 x$ . Bei 0 Heften zahlst Du 0 Euro.

Beispiel linear, aber nicht proportional: Ein Lieferdienst verlangt 3 Euro Liefergebühr und 2 Euro pro Pizza. Der Preis lautet $f (x) = 2 x + 3$ . Bei 0 Pizzen wäre im Modell noch die Liefergebühr vorhanden. Der Graph geht nicht durch den Ursprung.

Änderungsrate verstehen

Die Änderungsrate beschreibt, wie stark sich die abhängige Größe verändert, wenn die unabhängige Größe verändert wird. Bei linearen Funktionen ist die Änderungsrate konstant. Das bedeutet: Für jeden gleichen Schritt in x verändert sich y um denselben Betrag. Bei nichtlinearen Funktionen kann die Änderungsrate unterschiedlich sein.

Bei $f (x) = 3 x + 1$ ist die Steigung 3. Wenn x um 1 steigt, steigt der Funktionswert um 3. Wenn x um 2 steigt, steigt der Funktionswert um 6. Die Steigung ist also ein Maß für die Geschwindigkeit der Veränderung.

Anfangswert verstehen

Der Anfangswert ist der Funktionswert bei $x = 0$ , sofern 0 im Definitionsbereich liegt. Bei $f (x) = m x + b$ ist der Anfangswert $b$ . In einer Sachsituation kann der Anfangswert eine Grundgebühr, ein Startbestand, eine Anfangshöhe oder eine Anfangstemperatur sein. Der Anfangswert muss immer im Kontext gedeutet werden.

Modellieren mit Funktionen

Vom Sachproblem zur Funktion

Beim Modellieren übersetzt Du eine reale Situation in mathematische Sprache. Dazu gehst Du schrittweise vor: Du klärst die Situation, bestimmst die Größen, legst Variablen fest, sammelst Werte, suchst ein Muster, stellst eine Funktion auf, prüfst das Modell und interpretierst das Ergebnis im Zusammenhang.

Beispiel: Eine Kerze ist zu Beginn 20 cm hoch und brennt pro Stunde 1,5 cm herunter. Wenn $x$ die Brenndauer in Stunden ist und $f (x)$ die Höhe in cm, dann lautet ein einfaches Modell:

$f (x) = 20 - 1,5 x$

Dieses Modell ist nur sinnvoll, solange die Kerze noch nicht vollständig abgebrannt ist. Der Definitionsbereich muss also eingeschränkt werden. Negative Kerzenhöhen sind in der Realität unmöglich.

Definitionsbereich im Kontext

Der Definitionsbereich legt fest, welche Eingabewerte erlaubt oder sinnvoll sind. In reinen Rechenaufgaben kann der Definitionsbereich eine Zahlenmenge sein. In Sachaufgaben hängt er vom Kontext ab. Eine Anzahl von Personen kann nicht 2,7 sein. Eine Zeit kann häufig nicht negativ sein. Eine Strecke kann ebenfalls nicht negativ sein. Bei einer Eintrittskarte sind nur ganze Zahlen sinnvoll, wenn die Eingabe die Anzahl der Personen ist.

Der Definitionsbereich schützt Dich vor unsinnigen Ergebnissen. Eine Formel kann mathematisch berechenbar sein, aber im Sachzusammenhang trotzdem keinen Sinn ergeben.

Vorhersagen und Grenzen von Modellen

Funktionen können Vorhersagen ermöglichen. Wenn Du einen Zusammenhang gut beschreibst, kannst Du Werte berechnen, die noch nicht gemessen wurden. Dabei unterscheidet man zwischen Interpolation und Extrapolation. Interpolation bedeutet, dass Du Werte innerhalb eines bekannten Bereichs schätzt. Extrapolation bedeutet, dass Du über den bekannten Bereich hinaus vorhersagst. Extrapolation ist oft unsicherer, weil sich der Zusammenhang außerhalb des beobachteten Bereichs ändern kann.

Ein lineares Modell kann für einen kurzen Zeitraum gut passen, aber für lange Zeiträume falsch werden. Eine Pflanze wächst nicht unbegrenzt linear. Ein Akku entlädt sich nicht in jedem Gerät exakt gleichmäßig. Ein Tarif kann durch Sonderregeln verändert werden. Deshalb ist es wichtig, Modelle immer kritisch zu prüfen.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Achsen vertauschen

Ein häufiger Fehler ist das Vertauschen von x- und y-Achse. Frage Dich immer: Welche Größe wird vorgegeben? Diese kommt auf die x-Achse. Welche Größe hängt davon ab? Diese kommt auf die y-Achse. In vielen Sachaufgaben ist die Zeit die unabhängige Variable, aber nicht immer. Wenn Du zum Beispiel fragen möchtest, wie viel Zeit für eine bestimmte Strecke benötigt wird, kann auch die Strecke die Eingabe sein.

Einheiten vergessen

Ohne Einheiten können Ergebnisse falsch interpretiert werden. Eine Steigung von 3 bedeutet wenig, wenn Du nicht weißt, ob es 3 Euro pro Stück, 3 Meter pro Sekunde oder 3 Grad pro Stunde sind. In Sachaufgaben solltest Du Achsen beschriften und Einheiten angeben.

Proportionalität vorschnell annehmen

Nicht jeder steigende Zusammenhang ist proportional. Ein Graph, der steigt, muss nicht durch den Ursprung gehen. Eine Tabelle, in der größere Eingaben größere Ausgaben haben, ist nicht automatisch proportional. Prüfe, ob der Quotient $y : x$ konstant ist und ob der Zusammenhang durch den Ursprung geht.

Eindeutigkeit nicht prüfen

Manche Darstellungen sehen auf den ersten Blick nach einem Zusammenhang aus, sind aber keine Funktionen. Prüfe in Tabellen wiederholte x-Werte. Prüfe in Graphen den Vertikallinientest. Prüfe in Sachaufgaben, ob die Regel eindeutig genug formuliert ist.

Strategien zum Bearbeiten von Aufgaben

Eine gute Strategie besteht darin, zuerst die Situation zu verstehen und dann die Darstellung zu wählen, die am besten passt. Wenn Du viele Einzelwerte hast, beginne mit einer Wertetabelle. Wenn Du den Verlauf erkennen möchtest, zeichne einen Graph. Wenn Du rechnen oder vorhersagen willst, suche eine Funktionsgleichung. Wenn Du erklären sollst, schreibe die Bedeutung der Variablen, der Steigung, des Anfangswerts und des Definitionsbereichs in Worten auf.

Bei jeder Aufgabe solltest Du am Ende prüfen, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist. Ein negativer Preis, eine negative Personenzahl oder eine Kerze mit negativer Höhe sind Warnzeichen. Mathematik ist nicht nur Rechnen, sondern auch Deuten.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das wichtigste Merkmal einer Funktion? (Jedem zulässigen Eingabewert wird genau ein Ausgabewert zugeordnet) (!Jeder Ausgabewert muss größer als der Eingabewert sein) (!Alle Werte müssen natürliche Zahlen sein) (!Der Graph muss immer eine Gerade sein)

Welche Größe wird bei einer Funktion meistens auf der x-Achse dargestellt? (Die unabhängige Größe) (!Die abhängige Größe) (!Die größte gemessene Größe) (!Die Einheit der Ausgabe)

Welche Darstellung zeigt geordnete Eingabe- und Ausgabewerte in Zeilen? (Wertetabelle) (!Kreisdiagramm) (!Baumdiagramm) (!Zufallsexperiment)

Woran erkennst Du eine proportionale Funktion im Koordinatensystem? (Ihr Graph ist eine Gerade durch den Ursprung) (!Ihr Graph ist immer eine Parabel) (!Ihr Graph ist eine geschlossene Kreislinie) (!Ihr Graph hat immer Sprünge)

Was beschreibt der Wert b in der Funktionsgleichung y = mx + b? (Den Anfangswert oder y-Achsenabschnitt) (!Die Einheit der x-Achse) (!Die Anzahl aller Messwerte) (!Den größten möglichen x-Wert)

Wann zeigt ein Graph keine Funktion von x nach y? (Wenn eine senkrechte Linie den Graphen mehrfach schneiden kann) (!Wenn der Graph die x-Achse schneidet) (!Wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt) (!Wenn der Graph aus Punkten besteht)

Was bedeutet die Steigung einer linearen Funktion im Sachzusammenhang? (Die Änderung des y-Werts pro Änderung des x-Werts) (!Die Länge der x-Achse) (!Die Anzahl der Punkte in einer Tabelle) (!Die größte Zahl in der Gleichung)

Was ist der Definitionsbereich einer Funktion? (Die Menge der zulässigen Eingabewerte) (!Die Menge der falschen Ergebnisse) (!Die Beschriftung der y-Achse) (!Die Anzahl der Rechenschritte)

Welche Tabelle kann keine Funktion darstellen? (Eine Tabelle mit gleichem x-Wert und verschiedenen y-Werten) (!Eine Tabelle mit verschiedenen x-Werten) (!Eine Tabelle mit negativen y-Werten) (!Eine Tabelle mit einem y-Wert von null)

Warum prüft man ein Funktionsmodell am Ende im Sachzusammenhang? (Weil ein berechneter Wert mathematisch möglich, aber sachlich unsinnig sein kann) (!Weil Funktionen nie Vorhersagen erlauben) (!Weil Tabellen immer falsch sind) (!Weil Graphen keine Informationen enthalten)

Memory

Eingangsgröße	unabhängige Variable
Ausgangsgröße	abhängige Variable
Definitionsbereich	erlaubte Eingabewerte
Wertebereich	mögliche Ausgabewerte
Steigung	Änderungsrate
Graph	Bild der Wertepaare
Proportionalität	Ursprungsgerade

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Proportionale Funktion	Ursprungsgerade
Lineare Funktion	Gerade mit Anfangswert
Quadratische Funktion	Parabel
Exponentielle Funktion	Wachstum mit festem Faktor
Treppenfunktion	Sprunghafter Verlauf

Kreuzworträtsel

Funktion	Wie heißt eine eindeutige Zuordnung zwischen Eingabe und Ausgabe?
Graph	Wie nennt man die zeichnerische Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem?
Steigung	Wie heißt die Änderungsrate einer linearen Funktion?
Variable	Wie nennt man eine veränderliche Größe in einer Formel?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet Eingabewerten und Ausgabewerten zeilenweise Zahlen zu?
Parabel	Wie heißt der typische Graph einer quadratischen Funktion?

LearningApps

Lückentext

Eine Funktion ist eine

Zuordnung. Zu jedem zulässigen Eingabewert gehört genau ein

. Die Menge der erlaubten Eingabewerte heißt

. Die tatsächlich entstehenden Ausgabewerte bilden den

. Die unabhängige Größe wird häufig mit

bezeichnet. Die abhängige Größe wird häufig mit

bezeichnet. Eine Wertetabelle enthält geordnete

. Im Koordinatensystem wird der Eingabewert auf der

dargestellt. Bei einer proportionalen Funktion verläuft der Graph durch den

. Bei der Gleichung y = mx + b beschreibt m die

. Der Wert b beschreibt den

. Ein Modell muss im Sachzusammenhang auf

geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Alltagsbeispiel: Suche drei Alltagssituationen, in denen eine Größe von einer anderen abhängt, und beschreibe jeweils Eingabegröße, Ausgabegröße und Einheit.
Wertetabelle: Erstelle eine Wertetabelle zu einem festen Preis pro Stück, zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und beschreibe den Zusammenhang in Worten.
Graph lesen: Suche in einem Schulbuch oder online einen einfachen Funktionsgraphen und erkläre, was ein bestimmter Punkt im Sachzusammenhang bedeutet.
Funktionen erkennen: Erfinde fünf Zuordnungen und entscheide jeweils, ob sie Funktionen sind. Begründe Deine Entscheidung mit der Eindeutigkeit.

Standard

Lineare Funktion: Entwickle ein eigenes Beispiel mit Grundgebühr und Preis pro Einheit, stelle eine Funktionsgleichung auf und interpretiere Steigung und Anfangswert.
Proportionale Zuordnung: Vergleiche eine proportionale und eine nicht proportionale Alltagssituation in einer Tabelle, in einem Graphen und in einem kurzen Erklärungstext.
Koordinatensystem: Miss über mehrere Tage eine Größe, zum Beispiel Temperatur oder Pflanzenhöhe, trage die Werte ein und beschreibe den Verlauf.
Definitionsbereich: Wähle drei Sachaufgaben und bestimme jeweils, welche Eingabewerte mathematisch möglich und welche im Sachzusammenhang sinnvoll sind.

Schwer

Mathematisches Modell: Untersuche einen realen Tarif, zum Beispiel für ÖPNV, Parken oder Streaming, und beschreibe ihn als Funktion oder stückweise Funktion.
Datenanalyse: Sammle Messdaten zu einem einfachen Experiment, erstelle eine Tabelle und einen Graphen und entscheide, welches Funktionsmodell ungefähr passt.
Modellkritik: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum ein mathematisches Modell nur eine Vereinfachung der Wirklichkeit ist.
Präsentation: Erstelle ein kurzes Lernvideo oder eine digitale Präsentation, in der Du erklärst, wie man aus einer Sachsituation eine Funktion gewinnt.

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Lernkontrolle

Funktionsbegriff: Erkläre an zwei eigenen Beispielen den Unterschied zwischen einer allgemeinen Zuordnung und einer Funktion. Achte besonders auf die Eindeutigkeit.
Darstellungswechsel: Du erhältst eine sprachliche Beschreibung eines Tarifs. Erstelle daraus eine Wertetabelle, einen Graphen und eine Funktionsgleichung. Erkläre, welche Darstellung welche Information besonders gut zeigt.
Transferaufgabe: Vergleiche die Zusammenhänge „Preis beim Obstkauf“, „Taxikosten“ und „Kerzenhöhe beim Abbrennen“. Ordne sie passenden Funktionstypen zu und begründe Deine Entscheidung.
Modellierung: Entwickle zu einer Alltagssituation ein Funktionsmodell und beschreibe, welche Annahmen Du machst. Prüfe anschließend, wo das Modell an Grenzen stößt.
Fehleranalyse: Eine Person behauptet, jeder steigende Graph sei proportional. Widerlege diese Aussage mit einem Gegenbeispiel und erkläre den Unterschied zwischen steigend, linear und proportional.
Interpretation: Deute Steigung, Anfangswert, Definitionsbereich und Wertebereich einer selbst gewählten linearen Funktion im Sachzusammenhang.
Argumentation: Entscheide bei mehreren Tabellen mit wiederholten Eingabewerten, ob Funktionen vorliegen, und formuliere jeweils eine mathematisch klare Begründung.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis zeigst Du, dass Du funktionale Zusammenhänge nicht nur berechnen, sondern auch verstehen, darstellen, prüfen und deuten kannst.

Begriffsklärung: Du erklärst die Begriffe Funktion, Eingabewert, Ausgabewert, Definitionsbereich, Wertebereich, Variable, Graph, Steigung und Anfangswert.
Darstellungskompetenz: Du stellst denselben Zusammenhang als Text, Tabelle, Graph und Gleichung dar.
Anwendungskompetenz: Du löst eine Sachaufgabe, wählst sinnvolle Variablen und deutest Dein Ergebnis mit Einheiten.
Analysekompetenz: Du prüfst anhand von Tabellen und Graphen, ob ein Zusammenhang eine Funktion ist.
Modellierungskompetenz: Du beschreibst die Annahmen und Grenzen eines Funktionsmodells.
Reflexion: Du erklärst, warum ein mathematisch berechneter Wert im Sachzusammenhang überprüft werden muss.

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Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.