Zahlenfolgen und Muster erkennen - aiMOOC

Zahlenfolgen und Muster erkennen

Einleitung

Zahlenfolgen und Muster erkennen ist eine wichtige Fähigkeit in der Mathematik, weil Du damit Zusammenhänge entdeckst, Regeln formulierst und Vorhersagen begründest. Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Reihe von Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Folgenglieder. Wenn Du eine Folge untersuchst, fragst Du zum Beispiel: Wie entsteht die nächste Zahl? Wird immer dieselbe Zahl addiert? Wird immer mit derselben Zahl multipliziert? Wechseln sich zwei Regeln ab? Oder wächst die Folge durch eine besondere Figur, etwa durch Quadratzahlen oder Dreieckszahlen?

Für die Klasse 5-6 ist besonders wichtig, dass Du nicht nur die nächste Zahl errätst, sondern Deine Regel verständlich erklärst. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du Muster erkennst, Folgen fortsetzt, eigene Folgen erfindest und einfache Bildungsgesetze mit Worten, Tabellen und Formeln beschreibst. Dabei hilft Dir die MediaWiki-Extension Math, mit der mathematische Ausdrücke klar dargestellt werden können, zum Beispiel $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ .

Lernziele

In diesem aiMOOC lernst Du, ...

Zahlenfolgen zu beschreiben und fortzusetzen.
Muster in Zahlenreihen zu erkennen und zu begründen.
zwischen arithmetischen, geometrischen und figurativen Mustern zu unterscheiden.
einfache Bildungsgesetze mit Worten, Tabellen und Formeln zu formulieren.
typische Fehler beim Fortsetzen von Folgen zu vermeiden.
eigene Zahlenfolgen für andere Lernende zu entwickeln.

Grundlagen: Was ist eine Zahlenfolge?

Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Die Reihenfolge ist wichtig. Die Folge

$2, 4, 6, 8, 10, \dots$

besteht aus den geraden Zahlen. Jedes neue Folgenglied entsteht hier, indem Du zur vorherigen Zahl $2$ addierst. Die drei Punkte $\dots$ bedeuten: Die Folge geht nach derselben Regel weiter.

Die Zahlen einer Folge kann man mit kleinen Buchstaben und einem Index bezeichnen. Zum Beispiel bedeutet $a_{1}$ das erste Folgenglied, $a_{2}$ das zweite Folgenglied und $a_{3}$ das dritte Folgenglied. Für die Folge

$5, 8, 11, 14, 17, \dots$

gilt: $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 8$ , $a_{3} = 11$ . Die Regel lautet: Addiere immer $3$ .

Folgenglieder und Index

Der Index sagt, an welcher Stelle eine Zahl steht. Das ist wichtig, wenn Du eine Folge genauer untersuchen willst.

Stelle	Schreibweise	Folgenglied
erste Stelle	$a_{1}$	$5$
zweite Stelle	$a_{2}$	$8$
dritte Stelle	$a_{3}$	$11$
vierte Stelle	$a_{4}$	$14$

Wenn Du die Regel kennst, kannst Du oft auch spätere Glieder bestimmen. Bei der Folge $5, 8, 11, 14, \dots$ ist die Differenz immer $3$ . Deshalb ist das fünfte Folgenglied $17$ , das sechste $20$ und das siebte $23$ .

Zahlenfolge, Zahlenreihe und Muster

Im Alltag werden die Wörter Zahlenfolge und Zahlenreihe oft ähnlich verwendet. In der Mathematik ist eine Folge eine geordnete Liste von Zahlen. Eine Reihe ist in der höheren Mathematik etwas anderes, nämlich eine Summe von Folgengliedern. In der Klasse 5-6 geht es meistens um Zahlenfolgen oder Zahlenmuster.

Ein Muster ist eine wiedererkennbare Regelmäßigkeit. Bei Zahlenfolgen können Muster entstehen durch:

Addition: Es wird immer dieselbe Zahl addiert.
Subtraktion: Es wird immer dieselbe Zahl abgezogen.
Multiplikation: Es wird immer mit derselben Zahl multipliziert.
Division: Es wird immer durch dieselbe Zahl geteilt.
Wechselregel: Zwei oder mehr Regeln wechseln sich ab.
figurierte Zahlen: Zahlen entstehen aus Figuren, zum Beispiel Quadraten oder Dreiecken.

Strategien zum Erkennen von Mustern

Strategie 1: Differenzen bilden

Eine der wichtigsten Strategien ist das Bilden von Differenzen. Du untersuchst, wie groß der Abstand zwischen zwei benachbarten Folgengliedern ist.

Beispiel:

$7, 11, 15, 19, 23, \dots$

Die Differenzen sind:

$11 - 7 = 4$ , $15 - 11 = 4$ , $19 - 15 = 4$ , $23 - 19 = 4$ .

Weil die Differenz immer $4$ ist, lautet die Regel: Addiere immer $4$ . Die nächsten Zahlen sind $27$ , $31$ und $35$ .

Strategie 2: Quotienten vergleichen

Bei manchen Folgen entsteht jedes Folgenglied durch Multiplikation. Dann vergleichst Du die Nachbarzahlen durch Division.

Beispiel:

$3, 6, 12, 24, 48, \dots$

Hier gilt:

$6 : 3 = 2$ , $12 : 6 = 2$ , $24 : 12 = 2$ , $48 : 24 = 2$ .

Die Regel lautet: Multipliziere immer mit $2$ . Die nächsten Zahlen sind $96$ , $192$ und $384$ .

Strategie 3: Wechselnde Regeln suchen

Nicht jede Folge hat nur eine einzige Regel. Manchmal wechseln sich zwei Regeln ab.

Beispiel:

$2, 5, 10, 13, 26, 29, \dots$

Hier passiert abwechselnd:

von $2$ zu $5$ : plus $3$
von $5$ zu $10$ : mal $2$
von $10$ zu $13$ : plus $3$
von $13$ zu $26$ : mal $2$
von $26$ zu $29$ : plus $3$

Die nächste Operation ist also mal $2$ . Deshalb geht es weiter mit $58$ , danach $61$ , danach $122$ .

Strategie 4: Figuren und Tabellen nutzen

Manche Zahlenfolgen lassen sich durch Figuren erklären. Das ist besonders hilfreich, weil Du das Muster sehen kannst.

Die Folge der Quadratzahlen lautet:

$1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$

Sie entsteht aus Quadraten:

$1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ , $3^{2} = 9$ , $4^{2} = 16$ , $5^{2} = 25$ .

Die Folge der Dreieckszahlen lautet:

$1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots$

Sie entsteht durch Dreiecke aus Punkten. Die nächste Dreieckszahl entsteht, indem eine neue Reihe mit einem Punkt mehr angefügt wird.

Arithmetische Folgen

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Folgengliedern immer gleich bleibt. Diese konstante Differenz nennt man oft $d$ .

Beispiel:

$4, 9, 14, 19, 24, \dots$

Die Differenz ist immer $5$ . Deshalb gilt:

$a_{n + 1} = a_{n} + 5$

Allgemein kann man schreiben:

$a_{n + 1} = a_{n} + d$

Dabei bedeutet $a_{n}$ ein Folgenglied und $a_{n + 1}$ das nächste Folgenglied. Wenn $d$ positiv ist, wird die Folge größer. Wenn $d$ negativ ist, wird die Folge kleiner.

Beispiele für arithmetische Folgen

Folge	Differenz	Regel	nächste Zahl
$6, 10, 14, 18, \dots$	$4$	Addiere $4$	$22$
$30, 27, 24, 21, \dots$	$- 3$	Subtrahiere $3$	$18$
$1, 8, 15, 22, \dots$	$7$	Addiere $7$	$29$

Typische Alltagssituation

Du sparst jede Woche $4$ Euro. Am Anfang hast Du $6$ Euro. Dann entsteht die Folge:

$6, 10, 14, 18, 22, \dots$

Diese Folge ist arithmetisch, weil jede Woche derselbe Betrag dazukommt.

Geometrische Folgen

Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Folgenglied durch Multiplikation mit demselben Faktor entsteht. Diesen Faktor nennt man Quotient oder Wachstumsfaktor und schreibt ihn oft als $q$ .

Beispiel:

$2, 6, 18, 54, 162, \dots$

Hier wird immer mit $3$ multipliziert. Deshalb gilt:

$a_{n + 1} = a_{n} \cdot 3$

Allgemein kann man schreiben:

$a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$

Beispiele für geometrische Folgen

Folge	Faktor	Regel	nächste Zahl
$1, 2, 4, 8, 16, \dots$	$2$	Verdopple	$32$
$5, 15, 45, 135, \dots$	$3$	Verdreifache	$405$
$160, 80, 40, 20, \dots$	$\frac{1}{2}$	Halbiere	$10$

Geometrische Folgen können sehr schnell wachsen. Das siehst Du besonders gut bei der Verdopplung:

$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \dots$

Schon nach wenigen Schritten werden die Zahlen groß.

Figurierte Zahlen: Muster aus Formen

Figurierte Zahlen sind Zahlen, die man durch geometrische Figuren darstellen kann. Sie verbinden Arithmetik und Geometrie. Für das Erkennen von Mustern sind sie besonders geeignet, weil Du sie zeichnen, legen oder mit Plättchen darstellen kannst.

Quadratzahlen

Quadratzahlen entstehen aus Quadraten. Ein Quadrat mit Seitenlänge $n$ enthält $n \cdot n$ Kästchen. Deshalb gilt:

$a_{n} = n^{2}$

Die ersten Quadratzahlen sind:

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \dots$

Du erkennst sie auch an ihren Differenzen:

$4 - 1 = 3$ , $9 - 4 = 5$ , $16 - 9 = 7$ , $25 - 16 = 9$ .

Die Differenzen sind die ungeraden Zahlen $3, 5, 7, 9, \dots$ . Wenn man mit $0^{2} = 0$ beginnt, ergeben sich sogar die Differenzen $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ .

Dreieckszahlen

Dreieckszahlen entstehen, wenn Punkte zu Dreiecken angeordnet werden. Die ersten Dreieckszahlen sind:

$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, \dots$

Die Regel lautet:

$D_{n} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

Für $n = 4$ erhältst Du:

$D_{4} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$

Das passt zur vierten Dreieckszahl $10$ .

Warum hilft das Zeichnen?

Wenn Du ein Muster zeichnest, erkennst Du oft schneller, wie es weitergeht. Zahlenfolgen sind dann nicht nur Rechnungen, sondern sichtbare Strukturen. Du kannst zum Beispiel Quadrate, Dreiecke, Treppen, Punktmuster oder Kästchenmuster nutzen. Dadurch wird klar, ob die Folge linear wächst, ob sie immer stärker wächst oder ob zwei Regeln zusammenwirken.

Die Fibonacci-Folge als berühmtes Muster

Die Fibonacci-Folge ist eine bekannte Zahlenfolge. Sie beginnt häufig so:

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$

Die Regel lautet: Jede neue Zahl ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen.

$F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$

Beispiele:

$1 + 1 = 2$ , $1 + 2 = 3$ , $2 + 3 = 5$ , $3 + 5 = 8$ .

Die Fibonacci-Folge zeigt, dass eine Regel auch von zwei vorherigen Zahlen abhängen kann. Das nennt man eine rekursive Regel.

Fibonacci-Folge und Musterbilder

Die Fibonacci-Zahlen können als Seitenlängen von Quadraten gezeichnet werden. Setzt man aneinander passende Quadrate mit Seitenlängen $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ zusammen, entsteht ein Bild, in dem eine Spirale gezeichnet werden kann. Das hilft Dir zu verstehen, dass Zahlenmuster auch mit Formen verbunden sein können.

Bildungsgesetze beschreiben

Ein Bildungsgesetz erklärt, wie eine Folge entsteht. Es kann in Worten, mit einer Tabelle, als Pfeilregel oder mit einer Formel angegeben werden.

Bildungsgesetz in Worten

Beispiel:

$9, 12, 15, 18, 21, \dots$

Bildungsgesetz in Worten: Beginne mit $9$ und addiere immer $3$ .

Bildungsgesetz als Pfeilregel

$9 \overset{+ 3}{\to} 12 \overset{+ 3}{\to} 15 \overset{+ 3}{\to} 18 \overset{+ 3}{\to} 21$

Die Pfeile machen sichtbar, was zwischen zwei Folgengliedern geschieht.

Bildungsgesetz als Formel

Für die Folge $9, 12, 15, 18, 21, \dots$ kann man rekursiv schreiben:

$a_{1} = 9, a_{n + 1} = a_{n} + 3$

Das bedeutet: Das erste Folgenglied ist $9$ . Jedes nächste Folgenglied entsteht, indem $3$ addiert wird.

Für die direkte Berechnung des $n$ -ten Folgenglieds kann man schreiben:

$a_{n} = 9 + (n - 1) \cdot 3$

So kannst Du zum Beispiel das zehnte Folgenglied berechnen:

$a_{10} = 9 + (10 - 1) \cdot 3 = 9 + 27 = 36$

Muster sicher prüfen

Beim Fortsetzen von Zahlenfolgen gibt es manchmal mehrere mögliche Regeln. Deshalb ist es wichtig, Deine Lösung zu prüfen und zu begründen.

Beispiel:

$1, 2, 4, 8, \dots$

Eine naheliegende Regel ist: Verdopple immer. Dann kommt $16$ . Für die Klasse 5-6 ist das eine sinnvolle Lösung. Aber in der Mathematik könnte man mit sehr komplizierten Regeln auch andere Fortsetzungen begründen. Deshalb gilt im Unterricht meist: Suche die einfachste, regelmäßige und gut erklärbare Regel.

Prüffragen für Deine Lösung

Differenz: Bleibt der Abstand gleich?
Quotient: Bleibt der Faktor gleich?
Wechselregel: Gibt es ein abwechselndes Muster?
Figurierte Zahl: Kann ich die Zahlen als Figur darstellen?
Begründung: Kann ich die Regel in einem Satz erklären?
Probe: Funktioniert die Regel für alle gegebenen Folgenglieder?

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler 1: Nur auf die letzte Zahl schauen

Wenn Du nur von der letzten Zahl aus weiterrechnest, übersiehst Du vielleicht das Muster. Untersuche immer mehrere Übergänge.

Beispiel:

$2, 4, 8, 16, \dots$

Hier reicht es nicht zu sagen: Von $8$ zu $16$ kommt plus $8$ . Besser ist: Jede Zahl wird verdoppelt. Deshalb kommt $32$ .

Fehler 2: Addition und Multiplikation verwechseln

Die Folge

$3, 6, 12, 24, \dots$

hat keine konstante Differenz, denn die Abstände sind $3, 6, 12, \dots$ . Stattdessen ist der Faktor immer $2$ . Deshalb ist es eine geometrische Folge.

Fehler 3: Eine Wechselregel übersehen

Die Folge

$1, 4, 8, 11, 22, 25, \dots$

wirkt zunächst unregelmäßig. Doch die Regel ist: plus $3$ , mal $2$ , plus $3$ , mal $2$ , plus $3$ . Die nächste Zahl ist deshalb $50$ .

Beispiele mit Lösungswegen

Beispiel 1: Additionsmuster

Setze fort:

$12, 17, 22, 27, \dots$

Lösung: Die Differenz ist immer $5$ . Daher folgen:

$32, 37, 42$ .

Beispiel 2: Subtraktionsmuster

Setze fort:

$100, 92, 84, 76, \dots$

Lösung: Es wird immer $8$ subtrahiert. Daher folgen:

$68, 60, 52$ .

Beispiel 3: Multiplikationsmuster

Setze fort:

$2, 10, 50, 250, \dots$

Lösung: Es wird immer mit $5$ multipliziert. Daher folgen:

$1250, 6250$ .

Beispiel 4: Quadratzahlen

Setze fort:

$1, 4, 9, 16, 25, \dots$

Lösung: Das sind Quadratzahlen. Nach $5^{2} = 25$ folgen:

$6^{2} = 36$ , $7^{2} = 49$ , $8^{2} = 64$ .

Beispiel 5: Fibonacci-Regel

Setze fort:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

Lösung: Jede Zahl ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen. Daher folgen:

$13, 21, 34$ .

Video: Zahlenfolgen erkennen

Das folgende Video kann Dir helfen, Zahlenfolgen Schritt für Schritt zu untersuchen. Achte besonders darauf, wie Differenzen, Faktoren und Begründungen verwendet werden.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=7wk17kHBiPw |500|center}}

Übungsbereich: Schritt für Schritt

Aufgabe A: Differenzen bestimmen

Bestimme die Differenzen und setze die Folge um drei Zahlen fort.

Folge	Differenzen	Fortsetzung
$5, 9, 13, 17, \dots$	$4, 4, 4$	$21, 25, 29$
$40, 35, 30, 25, \dots$	$- 5, - 5, - 5$	$20, 15, 10$
$2, 5, 10, 17, 26, \dots$	$3, 5, 7, 9$	$37, 50, 65$

Bei der dritten Folge sind die Differenzen nicht gleich, aber sie folgen selbst einem Muster: $3, 5, 7, 9, \dots$ . Die nächste Differenz ist $11$ , dann $13$ , dann $15$ .

Aufgabe B: Faktoren bestimmen

Untersuche, ob ein konstanter Faktor vorliegt.

Folge	Faktor	Fortsetzung
$4, 8, 16, 32, \dots$	$2$	$64, 128$
$3, 9, 27, 81, \dots$	$3$	$243, 729$
$96, 48, 24, 12, \dots$	$\frac{1}{2}$	$6, 3$

Aufgabe C: Eigene Regel erklären

Erkläre zu jeder Folge die Regel in einem Satz.

Folge 1: $7, 14, 21, 28, \dots$
Folge 2: $1, 3, 9, 27, \dots$
Folge 3: $2, 6, 12, 20, 30, \dots$

Mögliche Lösungen: Bei Folge 1 wird immer $7$ addiert. Bei Folge 2 wird immer mit $3$ multipliziert. Bei Folge 3 sind die Zahlen Produkte aus aufeinanderfolgenden Zahlen: $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 3 = 6$ , $3 \cdot 4 = 12$ , $4 \cdot 5 = 20$ , $5 \cdot 6 = 30$ .

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist eine Zahlenfolge? (Eine geordnete Reihe von Zahlen) (!Eine zufällige Sammlung von Zeichen) (!Ein einzelnes Rechenzeichen) (!Eine geometrische Fläche)

Welche Regel passt zur Folge 4, 7, 10, 13? (Addiere immer 3) (!Multipliziere immer mit 3) (!Subtrahiere immer 4) (!Halbiere immer)

Welche Zahl setzt die Folge 2, 4, 8, 16 sinnvoll fort? (32) (!18) (!24) (!30)

Was ist bei einer arithmetischen Folge immer gleich? (Die Differenz benachbarter Folgenglieder) (!Der Quotient benachbarter Folgenglieder) (!Die Summe aller Folgenglieder) (!Die Anzahl der Ziffern)

Was ist bei einer geometrischen Folge immer gleich? (Der Faktor zwischen benachbarten Folgengliedern) (!Die Differenz zwischen benachbarten Folgengliedern) (!Die letzte Ziffer jeder Zahl) (!Die Anzahl der Rechenzeichen)

Welche Folge zeigt Quadratzahlen? (1, 4, 9, 16, 25) (!1, 2, 3, 4, 5) (!2, 4, 6, 8, 10) (!3, 6, 9, 12, 15)

Welche Zahl folgt bei 1, 3, 6, 10, 15? (21) (!18) (!20) (!25)

Wie entsteht die Fibonacci-Folge? (Jede neue Zahl ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen) (!Jede neue Zahl ist doppelt so groß wie die vorherige Zahl) (!Jede neue Zahl ist um eins kleiner als die vorherige Zahl) (!Jede neue Zahl ist eine Quadratzahl)

Welche Strategie hilft zuerst bei Additionsmustern? (Differenzen bilden) (!Farben zählen) (!Buchstaben ordnen) (!Winkel messen)

Warum sollte man eine Regel begründen? (Damit die Fortsetzung nachvollziehbar ist) (!Damit die Zahlen größer aussehen) (!Damit keine Rechnung nötig ist) (!Damit jede Antwort richtig wird)

Memory

Arithmetische Folge	konstante Differenz
Geometrische Folge	konstanter Faktor
Quadratzahl	Quadrat aus Kästchen
Dreieckszahl	Punktdreieck
Fibonacci-Folge	Summe der Vorgänger
Rekursion	Regel mit vorherigem Glied

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Differenz	Abstand zwischen Nachbarzahlen
Quotient	Verhältnis zwischen Nachbarzahlen
Index	Stelle eines Folgenglieds
Bildungsgesetz	Regel einer Folge
Folgenglied	einzelne Zahl der Folge

Kreuzworträtsel

Differenz	Wie nennt man den Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen?
Quotient	Wie nennt man das Ergebnis einer Division?
Fibonacci	Welche bekannte Folge entsteht durch die Summe der beiden Vorgänger?
Quadrat	Welche Figur passt zu den Quadratzahlen?
Muster	Was suchst Du, wenn Du eine Zahlenfolge fortsetzen willst?
Rekursion	Wie nennt man eine Regel, die vorherige Glieder verwendet?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Zahlenfolge fortsetzen: Schreibe fünf Zahlenfolgen mit jeweils sechs Folgengliedern auf und lasse eine Partnerin oder einen Partner die nächsten zwei Zahlen ergänzen.
Differenzen untersuchen: Wähle drei Zahlenfolgen aus Deinem Matheheft und schreibe unter jede Folge die Differenzen zwischen den Nachbarzahlen.
Muster erklären: Erkläre zu einer einfachen Folge in zwei Sätzen, warum Deine Fortsetzung sinnvoll ist.
Zahlenmuster zeichnen: Zeichne die ersten fünf Quadratzahlen als Kästchenbilder und beschrifte sie mit $1^{2}$ bis $5^{2}$ .

Standard

Eigene Zahlenfolge: Erfinde eine arithmetische Folge, eine geometrische Folge und eine Folge mit Wechselregel. Gib jeweils die Regel an.
Dreieckszahlen legen: Lege oder zeichne die ersten sechs Dreieckszahlen und erkläre, warum die Folge $1, 3, 6, 10, 15, 21$ entsteht.
Fehler finden: Schreibe eine falsch fortgesetzte Zahlenfolge auf und erkläre, wo der Fehler liegt.
Folgen vergleichen: Vergleiche eine arithmetische und eine geometrische Folge. Beschreibe, welche Folge schneller wächst und warum.

Schwer

Bildungsgesetz formulieren: Finde zu einer selbst gewählten Folge ein Bildungsgesetz in Worten, als Pfeilregel und mit einer Formel.
Fibonacci-Projekt: Gestalte ein Lernplakat zur Fibonacci-Folge mit Zahlen, Zeichnung und Erklärung.
Alltagsmuster erforschen: Suche im Alltag ein Muster, das als Zahlenfolge beschrieben werden kann, zum Beispiel Sitzreihen, Treppen, Sparpläne oder Verdopplungen.
Mathe-Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Zahlenfolge schrittweise untersuchst und Deine Regel begründest.

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Lernkontrolle

Muster begründen: Du erhältst die Folge $3, 6, 12, 24, \dots$ . Erkläre, warum eine Multiplikationsregel besser passt als eine Additionsregel.
Transfer auf Alltagssituation: Ein Baum ist im ersten Jahr $50$ cm hoch und wächst jedes Jahr um $20$ cm. Beschreibe die passende Zahlenfolge und erkläre, warum sie arithmetisch ist.
Vergleich von Wachstum: Vergleiche die Folgen $2, 4, 6, 8, \dots$ und $2, 4, 8, 16, \dots$ . Erkläre, warum sie am Anfang ähnlich wirken, sich aber unterschiedlich entwickeln.
Figurenfolge deuten: Zeichne die ersten vier Dreieckszahlen und leite daraus die nächsten zwei Zahlen ab. Begründe Deine Lösung mit der Figur.
Regel prüfen: Eine Person setzt $1, 4, 9, 16$ mit $20$ fort. Erkläre, warum diese Fortsetzung vermutlich nicht zur einfachsten Regel passt.
Eigene Aufgabe entwickeln: Entwickle eine Zahlenfolge mit mindestens sechs Gliedern, bei der die Regel nicht sofort sichtbar ist. Formuliere anschließend eine Musterlösung.
Formel verstehen: Erkläre an einem Beispiel, was die Formel $a_{n + 1} = a_{n} + 5$ bedeutet und wie man damit weitere Folgenglieder berechnet.

OERs zum Thema

Links

Zahlenfolgen und Muster erkennen

Zusammenfassung

Zahlenfolgen sind geordnete Reihen von Zahlen. Um ein Muster zu erkennen, kannst Du Differenzen bilden, Quotienten vergleichen, Wechselregeln suchen oder die Folge als Figur darstellen. Arithmetische Folgen haben eine konstante Differenz, geometrische Folgen einen konstanten Faktor. Quadratzahlen und Dreieckszahlen zeigen, dass Zahlen auch geometrische Bedeutungen haben können. Die Fibonacci-Folge ist ein berühmtes Beispiel für eine rekursive Folge, bei der jede neue Zahl aus den beiden vorherigen Zahlen entsteht. Wichtig ist immer: Eine Fortsetzung ist besonders überzeugend, wenn Du sie mit einer klaren Regel begründen kannst.

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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