Schriftliche Division - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Schriftliche Division

Schriftliche Division ist ein Rechenverfahren, mit dem Du eine Division Schritt für Schritt mit Stift und Papier lösen kannst. Sie gehört zu den Grundrechenarten und hilft Dir besonders dann, wenn Zahlen zu groß sind, um sie sofort im Kopf zu teilen. In diesem aiMOOC lernst Du die Fachbegriffe, den Rechenweg, typische Fehler, die Probe mit der Multiplikation und den Umgang mit Rest, Dezimalzahlen und Null.

Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Wenn gilt:

$36:4=9$

dann gilt zur Probe:

$9\cdot 4=36$

Allgemein schreibt man:

$\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient}$

Dabei ist der Dividend die Zahl, die geteilt wird, der Divisor die Zahl, durch die geteilt wird, und der Quotient das Ergebnis der Division.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Division als Teilen, Verteilen und Umkehroperation der Multiplikation erklären.
2. die Begriffe Dividend, Divisor, Quotient und Rest sicher verwenden.
3. schriftliche Divisionen mit einstelligen und mehrstelligen Divisoren durchführen.
4. Deine Ergebnisse mit der Multiplikation überprüfen.
5. Aufgaben mit Rest und einfachen Dezimalzahlen deuten.
6. typische Fehler erkennen und vermeiden.
7. die Math-Extension zur Darstellung mathematischer Formeln lesen und nutzen.

Grundbegriffe der Division

Dividend, Divisor und Quotient

Bei einer Divisionsaufgabe wie

$84:7=12$

heißen die Teile:

Fachbegriff	Bedeutung	Beispiel in $84:7=12$
Dividend	Die Zahl, die geteilt wird.	$84$
Divisor	Die Zahl, durch die geteilt wird.	$7$
Quotient	Das Ergebnis der Division.	$12$

Du kannst Dir merken: Der Dividend wird geteilt, der Divisor teilt, der Quotient kommt heraus.

Division als Verteilen und Aufteilen

Eine Division kann zwei Bedeutungen haben:

1. Verteilen: Du hast eine Gesamtmenge und verteilst sie gleichmäßig auf eine bestimmte Anzahl von Gruppen. Beispiel: $24$ Bonbons werden auf $6$ Kinder verteilt. Jedes Kind erhält $4$ Bonbons.
2. Aufteilen: Du hast eine Gesamtmenge und bildest gleich große Gruppen. Beispiel: Aus $24$ Bonbons werden Gruppen zu je $6$ Bonbons gebildet. Es entstehen $4$ Gruppen.

Beide Situationen führen zur gleichen Rechnung:

$24:6=4$

Die Bedeutung der Zahl $4$ ist aber unterschiedlich: Beim Verteilen ist es die Anzahl pro Person, beim Aufteilen ist es die Anzahl der Gruppen.

Division und Multiplikation gehören zusammen

Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Deshalb kannst Du jede Division mit einer Multiplikation überprüfen.

Beispiel:

$56:8=7$

Probe:

$7\cdot 8=56$

Wenn die Probe stimmt, ist Dein Ergebnis richtig. Diese Verbindung ist beim schriftlichen Dividieren sehr wichtig, weil Du in jedem Schritt abschätzen musst, wie oft der Divisor in eine Teilzahl passt.

Division durch Null

Durch $0$ darfst Du nicht dividieren. Eine Aufgabe wie

$12:0$

hat in der Arithmetik kein Ergebnis. Der Grund ist: Es gibt keine Zahl, die mit $0$ multipliziert $12$ ergibt. Denn jedes Produkt mit $0$ ist $0$.

$x\cdot 0=0$

Darum ist $12:0$ nicht definiert.

Das Verfahren der schriftlichen Division

Warum braucht man ein schriftliches Verfahren?

Bei kleinen Aufgaben wie $48:6$ reicht oft das Einmaleins. Bei größeren Aufgaben wie $735:7$ oder $2436:12$ wird das Kopfrechnen schwieriger. Die schriftliche Division zerlegt die Aufgabe in kleinere, überschaubare Schritte. Du arbeitest von links nach rechts durch den Dividenden, bestimmst Teilquotienten, multiplizierst zurück, subtrahierst und holst die nächste Ziffer herunter.

Die Grundidee Schritt für Schritt

Die schriftliche Division folgt einem festen Ablauf:

1. Abschätzen: Wie oft passt der Divisor in die aktuelle Teilzahl?
2. Multiplizieren: Multipliziere diese Ziffer mit dem Divisor.
3. Subtrahieren: Ziehe das Produkt von der Teilzahl ab.
4. Rest prüfen: Der Rest muss kleiner als der Divisor sein.
5. Herunterholen: Hole die nächste Ziffer des Dividenden herunter.
6. Wiederholen: Rechne so weiter, bis keine Ziffer mehr übrig ist.

Der wichtigste Kontrollsatz lautet:

$\text{Rest}<\text{Divisor}$

Wenn der Rest in einem Zwischenschritt größer oder gleich dem Divisor ist, hast Du zu klein geschätzt.

Beispiel 1: Schriftliche Division ohne Rest

Wir berechnen:

$735:7$

Schritt	Rechnung	Erklärung
1	$7:7=1$	Die erste Ziffer $7$ passt genau einmal in $7$. Schreibe $1$ in den Quotienten.
2	$1\cdot 7=7$	Multipliziere zurück.
3	$7-7=0$	Subtrahiere.
4	$3$ herunterholen	Die nächste Ziffer ist $3$. Da $3:7$ nicht geht, schreibe $0$ in den Quotienten.
5	$35$ bilden	Hole die nächste Ziffer $5$ herunter. Jetzt rechnest Du mit $35$.
6	$35:7=5$	Schreibe $5$ in den Quotienten.
7	$5\cdot 7=35$	Multipliziere zurück.
8	$35-35=0$	Es bleibt kein Rest.

Ergebnis:

$735:7=105$

Probe:

$105\cdot 7=735$

Beispiel 2: Schriftliche Division mit Rest

Wir berechnen:

$538:6$

Schritt	Rechnung	Erklärung
1	$53:6=8$	$6$ passt in $53$ achtmal, denn $8\cdot 6=48$.
2	$53-48=5$	Es bleibt ein Rest von $5$.
3	$8$ herunterholen	Aus dem Rest $5$ wird mit der nächsten Ziffer $8$ die Zahl $58$.
4	$58:6=9$	$6$ passt in $58$ neunmal, denn $9\cdot 6=54$.
5	$58-54=4$	Es bleibt der Rest $4$.

Ergebnis:

$538:6=89\text{ Rest }4$

Probe:

$89\cdot 6+4=538$

Die allgemeine Form einer Division mit Rest lautet:

$a=b\cdot q+r$

Dabei gilt:

$0\le r<b$

In Worten: Der Dividend ist gleich Divisor mal Quotient plus Rest, und der Rest ist kleiner als der Divisor.

Beispiel 3: Schriftliche Division mit mehrstelligem Divisor

Wir berechnen:

$2436:12$

Schritt	Rechnung	Erklärung
1	$24:12=2$	$12$ passt zweimal in $24$.
2	$2\cdot 12=24$	Multipliziere zurück.
3	$24-24=0$	Es bleibt kein Rest.
4	$3$ herunterholen	$3:12$ geht nicht, also schreibe $0$ in den Quotienten.
5	$6$ herunterholen	Aus $3$ wird $36$.
6	$36:12=3$	$12$ passt dreimal in $36$.
7	$3\cdot 12=36$	Multipliziere zurück.
8	$36-36=0$	Die Division ist abgeschlossen.

Ergebnis:

$2436:12=203$

Probe:

$203\cdot 12=2436$

Dieses Beispiel zeigt, wie wichtig die Null im Quotienten sein kann. Ohne die Null würdest Du fälschlich $23$ statt $203$ erhalten.

Schriftliche Division mit Dezimalzahlen

Weiterrechnen nach dem Rest

Manchmal möchtest Du den Rest nicht als Rest stehen lassen, sondern als Dezimalzahl weiterrechnen.

Beispiel:

$17:4$

Zuerst rechnest Du:

$17:4=4\text{ Rest }1$

Jetzt setzt Du im Ergebnis ein Komma und hängst an den Rest eine Null an:

$10:4=2\text{ Rest }2$

Dann hängst Du wieder eine Null an:

$20:4=5\text{ Rest }0$

Ergebnis:

$17:4=\mathrm{4,25}$

Wenn der Dividend eine Dezimalzahl ist

Bei einer Aufgabe wie

$\mathrm{8,4}:3$

rechnest Du zunächst wie bei ganzen Zahlen. Sobald Du beim Herunterholen über das Komma kommst, setzt Du auch im Ergebnis ein Komma.

$\mathrm{8,4}:3=\mathrm{2,8}$

Probe:

$\mathrm{2,8}\cdot 3=\mathrm{8,4}$

Wenn der Divisor eine Dezimalzahl ist

Eine Aufgabe wie

$\mathrm{7,2}:\mathrm{0,6}$

wandelst Du zuerst in eine Aufgabe mit ganzzahligem Divisor um. Dazu verschiebst Du bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen nach rechts:

$\mathrm{7,2}:\mathrm{0,6}=72:6$

Dann rechnest Du:

$72:6=12$

Also gilt:

$\mathrm{7,2}:\mathrm{0,6}=12$

Das funktioniert, weil Du Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz multiplizierst. Der Wert des Quotienten bleibt gleich.

Typische Fehler und Strategien

Fehler 1: Zu groß oder zu klein schätzen

Beim schriftlichen Dividieren musst Du abschätzen, wie oft der Divisor in die aktuelle Teilzahl passt. Ein häufiger Fehler ist eine zu große Quotientenziffer.

Beispiel:

$47:6$

$8\cdot 6=48$ ist zu groß, also darfst Du nicht $8$ wählen. Richtig ist:

$7\cdot 6=42$

Es bleibt:

$47-42=5$

Da $5<6$, ist die Ziffer $7$ passend.

Fehler 2: Eine Null im Quotienten vergessen

Bei Aufgaben wie

$824:4$

kann eine Null im Quotienten notwendig sein. Rechne:

$8:4=2$

Dann kommt:

$2:4$ geht nicht. Deshalb schreibst Du im Quotienten eine $0$ und holst die nächste Ziffer herunter. Danach rechnest Du:

$24:4=6$

Ergebnis:

$824:4=206$

Ohne die Null würdest Du fälschlich $26$ schreiben.

Fehler 3: Den Rest nicht prüfen

Nach jedem Subtraktionsschritt muss der Rest kleiner als der Divisor sein. Wenn Du zum Beispiel bei einer Division durch $9$ einen Rest von $12$ erhältst, hast Du zu klein geschätzt. Denn $12$ ist größer als $9$, und $9$ hätte noch einmal hineingepasst.

Strategien für sicheres Rechnen

1. Einmaleins wiederholen: Je sicherer Du die Produkte kennst, desto leichter schätzt Du passende Quotientenziffern.
2. Überschlagsrechnung nutzen: Prüfe vor dem genauen Rechnen, in welcher Größenordnung das Ergebnis liegen muss.
3. Stellenwertsystem beachten: Jede Ziffer im Quotienten hat einen Stellenwert.
4. Probe machen: Multipliziere Quotient und Divisor und addiere gegebenenfalls den Rest.
5. Rest kontrollieren: Der Rest muss kleiner als der Divisor sein.

Medien zum Vertiefen

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Fortfahren Ausblenden

Das Video erklärt das schriftliche Dividieren Schritt für Schritt. Achte besonders darauf, wie die Zwischenergebnisse untereinander geschrieben werden und wie die Probe zur Kontrolle genutzt werden kann.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgaben ohne Rest

Aufgabe	Ergebnis	Probe
$648:6$	$108$	$108\cdot 6=648$
$936:9$	$104$	$104\cdot 9=936$
$1512:12$	$126$	$126\cdot 12=1512$

Aufgaben mit Rest

Aufgabe	Ergebnis	Probe
$457:5$	$91\text{ Rest }2$	$91\cdot 5+2=457$
$829:7$	$118\text{ Rest }3$	$118\cdot 7+3=829$
$1250:13$	$96\text{ Rest }2$	$96\cdot 13+2=1250$

Aufgaben mit Dezimalzahl-Ergebnis

Aufgabe	Ergebnis	Probe
$45:2$	$\mathrm{22,5}$	$\mathrm{22,5}\cdot 2=45$
$18:8$	$\mathrm{2,25}$	$\mathrm{2,25}\cdot 8=18$
$\mathrm{7,5}:3$	$\mathrm{2,5}$	$\mathrm{2,5}\cdot 3=\mathrm{7,5}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt die Zahl, die bei einer Division geteilt wird? (Dividend) (!Divisor) (!Quotient) (!Rest)

Wie heißt die Zahl, durch die geteilt wird? (Divisor) (!Dividend) (!Quotient) (!Summe)

Welche Rechnung ist die passende Probe zu 84 : 7 = 12? (12 mal 7 = 84) (!84 mal 7 = 12) (!84 minus 12 = 7) (!7 minus 12 = 84)

Was muss bei einer Division mit Rest immer gelten? (Der Rest ist kleiner als der Divisor) (!Der Rest ist größer als der Dividend) (!Der Rest ist immer null) (!Der Rest ist größer als der Quotient)

Welche Zahl darf bei einer Division nicht als Divisor verwendet werden? (0) (!1) (!2) (!10)

Welche Grundrechenart ist die Umkehroperation der Division? (Multiplikation) (!Addition) (!Subtraktion) (!Potenzieren)

Was bedeutet das Herunterholen einer Ziffer beim schriftlichen Dividieren? (Die nächste Ziffer des Dividenden wird an den Rest angefügt) (!Der Divisor wird verdoppelt) (!Der Quotient wird gestrichen) (!Der Rest wird immer auf null gesetzt)

Warum kann im Quotienten eine Null stehen? (Weil eine Teilzahl kleiner als der Divisor sein kann) (!Weil Division immer mit null beginnt) (!Weil der Divisor null sein darf) (!Weil die Probe dann entfällt)

Welche Aussage zu 538 : 6 = 89 Rest 4 ist richtig? (89 mal 6 plus 4 ergibt 538) (!89 plus 6 mal 4 ergibt 538) (!538 mal 6 plus 4 ergibt 89) (!4 mal 89 plus 6 ergibt 538)

Was geschieht, wenn nach einem Rest als Dezimalzahl weitergerechnet wird? (Man setzt ein Komma und hängt an den Rest eine Null an) (!Man streicht den Rest ohne Kontrolle) (!Man teilt immer durch null) (!Man addiert den Divisor zum Dividend)

Memory

Dividend	Zahl die geteilt wird
Divisor	Zahl durch die geteilt wird
Quotient	Ergebnis einer Division
Rest	Übrig bleibender Teil
Probe	Kontrolle durch Multiplikation
Herunterholen	Nächste Ziffer verwenden

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Dividend	Zahl die geteilt wird
Divisor	Zahl durch die geteilt wird
Quotient	Ergebnis der Division
Rest	Übrig gebliebener Teil nach der Division
Probe	Kontrolle durch Multiplikation
Einmaleins	Hilfe beim Abschätzen der Quotientenziffer

Kreuzworträtsel

Dividend	Wie heißt die Zahl, die geteilt wird?
Divisor	Wie heißt die Zahl, durch die geteilt wird?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Rest	Was bleibt übrig, wenn eine Division nicht vollständig aufgeht?
Einmaleins	Welche Grundkenntnis hilft besonders beim Abschätzen?
Subtraktion	Welche Rechenart wird in jedem Zwischenschritt verwendet?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Division heißt die Zahl, die geteilt wird, . Die Zahl, durch die geteilt wird, heißt . Das Ergebnis einer Division nennt man . Beim schriftlichen Dividieren schätzt Du zuerst, wie oft der Divisor in eine Teilzahl . Danach multiplizierst Du zurück und führst eine aus. Nach jedem Schritt muss der Rest kleiner als der sein. Wenn am Ende ein Rest bleibt, kann die Probe mit Quotient mal Divisor plus durchgeführt werden. Soll der Rest als Dezimalzahl weitergerechnet werden, setzt Du ein und hängst an den Rest eine Null an. Durch darf nicht dividiert werden, weil es keine passende Umkehrung mit der Multiplikation gibt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Fachbegriffe der Division: Erstelle eine kleine Lernkarte mit den Begriffen Dividend, Divisor, Quotient und Rest. Verwende zu jedem Begriff ein eigenes Zahlenbeispiel.
2. Division im Alltag: Suche drei Alltagssituationen, in denen etwas gleichmäßig verteilt oder aufgeteilt wird. Schreibe jeweils die passende Divisionsaufgabe dazu.
3. Probe mit Multiplikation: Rechne fünf Divisionsaufgaben ohne Rest und überprüfe jedes Ergebnis mit einer Multiplikation.
4. Fehlersuche: Erfinde eine falsche schriftliche Division und markiere genau die Stelle, an der der Fehler passiert.

Standard

1. Schriftliches Rechnen erklären: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler schriftlich die Aufgabe $735:7$. Nutze die Wörter abschätzen, multiplizieren, subtrahieren und herunterholen.
2. Division mit Rest: Sammle fünf Aufgaben mit Rest. Schreibe jeweils die Probe in der Form $\text{Quotient}\cdot \text{Divisor}+\text{Rest}$ auf.
3. Null im Quotienten: Finde drei Aufgaben, bei denen im Quotienten eine Null vorkommt. Erkläre, warum die Null nicht weggelassen werden darf.
4. Mathematisches Lernplakat: Gestalte ein Plakat zur schriftlichen Division mit einem vollständigen Beispiel, Fachbegriffen, Probe und typischen Fehlern.

Schwer

1. Dezimalzahlen dividieren: Erstelle ein eigenes Erklärbeispiel zu einer Division, bei der aus einem Rest eine Dezimalzahl entsteht. Beschreibe jeden Schritt.
2. Vergleich von Rechenwegen: Vergleiche Kopfrechnen, schriftliche Division und Taschenrechner. Erkläre, wann welcher Weg sinnvoll ist und warum.
3. Fehleranalyse: Untersuche drei fehlerhafte schriftliche Divisionen aus einem Arbeitsblatt oder aus selbst erfundenen Beispielen. Ordne die Fehlerarten und verbessere die Rechnungen.
4. Erklärvideo Mathematik: Produziere ein kurzes Erklärvideo zur schriftlichen Division. Zeige eine Aufgabe ohne Rest, eine Aufgabe mit Rest und eine Aufgabe mit Dezimalzahl.

Lernkontrolle

1. Rechenweg begründen: Erkläre, warum man beim schriftlichen Dividieren nach dem Multiplizieren immer subtrahiert. Nutze dabei den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation.
2. Rest deuten: In einer Klasse sollen $97$ Hefte gleichmäßig auf $4$ Gruppen verteilt werden. Berechne das Ergebnis und erkläre, was der Rest in dieser Situation bedeutet.
3. Fehler übertragen: Eine Schülerin rechnet $824:4=26$. Erkläre, warum das Ergebnis falsch ist, und beschreibe, welche Rolle die Null im Quotienten spielt.
4. Alltagsproblem lösen: Ein Sportverein hat $738$ Euro eingenommen. Das Geld soll gleichmäßig auf $6$ Mannschaftskassen verteilt werden. Berechne den Betrag pro Mannschaft und erkläre Deinen Rechenweg.
5. Dezimalzahl verstehen: Vergleiche die Ergebnisse $17:4=4\text{ Rest }1$ und $17:4=\mathrm{4,25}$. Erkläre, warum beide Darstellungen zusammengehören.
6. Transferaufgabe: Entwickle eine eigene Textaufgabe, die mit schriftlicher Division gelöst werden kann. Löse sie und überprüfe Dein Ergebnis mit der Probe.

Lernnachweis

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. Schreibe jeweils den vollständigen Rechenweg und die Probe auf.

1. Schriftliche Division ohne Rest: Berechne $864:8$ und erkläre jeden Schritt.
2. Schriftliche Division mit Rest: Berechne $947:6$ und gib den Rest sinnvoll an.
3. Mehrstelliger Divisor: Berechne $1872:24$ und überprüfe das Ergebnis.
4. Dezimaldivision: Berechne $35:8$ als Dezimalzahl.
5. Sachaufgabe: $126$ Schülerinnen und Schüler fahren in Busse. In jeden Bus passen $45$ Personen. Wie viele Busse werden benötigt? Begründe, warum hier der Rest besonders wichtig ist.

Zusammenfassung

Die schriftliche Division ist ein systematischer Algorithmus, mit dem Du große Divisionsaufgaben in kleinere Teilschritte zerlegst. Du arbeitest von links nach rechts, schätzt eine passende Quotientenziffer, multiplizierst zurück, subtrahierst und holst die nächste Ziffer herunter. Wichtig ist, dass jeder Rest kleiner als der Divisor ist. Mit der Probe kannst Du Dein Ergebnis prüfen:

$\text{Dividend}=\text{Divisor}\cdot \text{Quotient}+\text{Rest}$

Ohne Rest lautet die Probe:

$\text{Dividend}=\text{Divisor}\cdot \text{Quotient}$

Die schriftliche Division hilft Dir, Zahlenverständnis, Stellenwertsystem, Multiplikation, Subtraktion und Schätzen miteinander zu verbinden.

Links

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