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Rechenregeln und Rechengesetze - aiMOOC 1

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Rechenregeln und Rechengesetze - aiMOOC 1



Einleitung

Rechenregeln und Rechengesetze helfen Dir, mathematische Aufgaben sicher, übersichtlich und begründet zu lösen. In Klasse 5 und Klasse 6 brauchst Du sie besonders beim Rechnen mit natürlichen Zahlen, Dezimalzahlen, Brüchen, Termen und später bei Gleichungen. Während Rechenregeln festlegen, in welcher Reihenfolge Du rechnen musst, beschreiben Rechengesetze, welche Umformungen erlaubt sind, ohne den Wert eines Terms zu verändern.

Ein Beispiel zeigt den Unterschied:

2435=2415=9

Hier brauchst Du die Punkt-vor-Strich-Regel. Wenn Du dagegen so rechnest:

718=7(202)=72072=126

nutzt Du das Distributivgesetz. Solche Strategien machen Rechnen schneller, nachvollziehbarer und weniger fehleranfällig.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, anwenden und begründen, welche Rechenregel oder welches Rechengesetz in einer Aufgabe verwendet wird. Du lernst, warum Klammern wichtig sind, weshalb Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion ausgeführt werden und wie Du das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz nutzt.


Das solltest Du am Ende können

  1. Grundrechenarten: Du kennst Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division und kannst ihre Fachbegriffe verwenden.
  2. Operatorrangfolge: Du kannst Aufgaben mit Klammern, Punktrechnung und Strichrechnung in der richtigen Reihenfolge lösen.
  3. Kommutativgesetz: Du erkennst, wann Summanden oder Faktoren vertauscht werden dürfen.
  4. Assoziativgesetz: Du erkennst, wann Klammern anders gesetzt werden dürfen.
  5. Distributivgesetz: Du kannst Klammern ausmultiplizieren und gemeinsame Faktoren ausklammern.
  6. Rechenvorteil: Du kannst Rechengesetze nutzen, um geschickt im Kopf oder schriftlich zu rechnen.
  7. Fehleranalyse: Du kannst typische Rechenfehler finden, erklären und verbessern.


Grundbegriffe


Die vier Grundrechenarten

Die Grundrechenarten sind die Grundlage fast aller Rechenregeln. Jede Rechenart hat eigene Fachbegriffe und eigene Eigenschaften.

Rechenart Zeichen Beispiel mit Math-Extension Fachbegriffe
Addition + 17+8=25 Summand und Summe
Subtraktion 178=9 Minuend, Subtrahend und Differenz
Multiplikation 76=42 Faktor und Produkt
Division : oder 42:7=6 Dividend, Divisor und Quotient


Term, Wert und Gleichung

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Rechenzeichen, Klammern oder Variablen enthalten kann. Ein Term hat einen Wert, wenn man ihn ausrechnet.

Beispiel:

5+34

Dieser Term hat den Wert:

5+34=5+12=17

Eine Gleichung enthält ein Gleichheitszeichen. Sie sagt aus, dass zwei Terme denselben Wert haben.

5+34=17

Das Gleichheitszeichen bedeutet nicht „jetzt kommt das Ergebnis“, sondern „links und rechts steht derselbe Wert“. Diese Vorstellung ist wichtig, wenn Du später Gleichungen löst.


Rechenregeln: In welcher Reihenfolge wird gerechnet?


Die wichtigste Reihenfolge

Wenn in einer Aufgabe mehrere Rechenarten vorkommen, rechnest Du nicht einfach von links nach rechts. Du beachtest die Operatorrangfolge. Für Klasse 5 und 6 gilt meistens diese Reihenfolge:

  1. Klammer: Rechne zuerst, was in Klammern steht.
  2. Potenz: Falls Potenzen vorkommen, rechne sie vor Punkt- und Strichrechnung.
  3. Punktrechnung: Rechne Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion.
  4. Strichrechnung: Rechne Addition und Subtraktion danach.
  5. Rechenrichtung: Gleichrangige Rechenarten werden in der Regel von links nach rechts gerechnet.


Klammern zuerst

Klammern verändern die Reihenfolge des Rechnens. Alles in einer Klammer wird zuerst berechnet.

Ohne Klammer:

6+45=6+20=26

Mit Klammer:

(6+4)5=105=50

Beide Aufgaben enthalten dieselben Zahlen und Rechenzeichen, aber die Klammer verändert den Wert. Deshalb musst Du Klammern sehr genau beachten.


Punktrechnung vor Strichrechnung

Punkt vor Strich bedeutet: Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion gerechnet.

Beispiel:

4065=4030=10

Falsch wäre:

(406)5=345=170

Die zweite Rechnung gehört nur zur Aufgabe, wenn die Klammer tatsächlich gegeben ist. Ohne Klammer gilt Punktrechnung vor Strichrechnung.


Addition und Subtraktion sind gleichrangig. Auch Multiplikation und Division sind gleichrangig. Wenn nur gleichrangige Rechenarten vorkommen, rechnest Du von links nach rechts.

Beispiel mit Subtraktion:

3087=227=15

Nicht richtig wäre:

30(87)=301=29

Beispiel mit Division und Multiplikation:

48:62=82=16

Nicht richtig wäre:

48:(62)=48:12=4

Die Aufgabe zeigt: Rechenrichtung ist nicht Nebensache. Sie entscheidet über das Ergebnis.


Potenzen in Klasse 5 und 6

Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation. Zum Beispiel bedeutet:

32=33=9

Wenn Potenzen in einem Term vorkommen, werden sie vor Punkt- und Strichrechnung berechnet:

5+234=5+84=5+32=37

In vielen Aufgaben der Klassen 5 und 6 stehen Potenzen noch nicht im Mittelpunkt. Trotzdem hilft Dir die Regel, spätere Terme richtig zu lesen.


Rechengesetze: Was darf ich umformen?


Warum Rechengesetze wichtig sind

Rechengesetze beschreiben gültige Umformungen. Sie verändern den Wert eines Terms nicht. Mit ihnen kannst Du Aufgaben vereinfachen, Rechenvorteile nutzen und Rechenwege begründen.

Wichtig ist: Nicht jedes Gesetz gilt für jede Rechenart. Für Addition und Multiplikation gelten mehr Gesetze als für Subtraktion und Division. Genau deshalb musst Du wissen, welches Gesetz Du gerade verwendest.


Kommutativgesetz: Vertauschen ist manchmal erlaubt

Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz. Es gilt bei Addition und Multiplikation.

Für die Addition gilt:

a+b=b+a

Beispiel:

27+48=48+27=75

Für die Multiplikation gilt:

ab=ba

Beispiel:

4125=1254=500

Das Kommutativgesetz gilt nicht allgemein für Subtraktion:

125512

Es gilt auch nicht allgemein für Division:

20:44:20


Assoziativgesetz: Klammern anders setzen

Das Assoziativgesetz heißt auch Verbindungsgesetz. Es gilt bei Addition und Multiplikation. Es sagt: Wenn nur addiert oder nur multipliziert wird, darfst Du Klammern anders setzen.

Für die Addition gilt:

(a+b)+c=a+(b+c)

Beispiel:

(18+82)+37=18+(82+37)

Du kannst geschickt rechnen:

(18+82)+37=100+37=137

Für die Multiplikation gilt:

(ab)c=a(bc)

Beispiel:

2574=2547=1007=700

Das Assoziativgesetz gilt nicht allgemein für Subtraktion:

(208)3=9

aber:

20(83)=15


Distributivgesetz: Verteilen und Zusammenfassen

Das Distributivgesetz heißt auch Verteilungsgesetz. Es verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion.

Ausmultiplizieren:

a(b+c)=ab+ac

Beispiel:

6(10+4)=610+64=60+24=84

Mit Subtraktion:

a(bc)=abac

Beispiel:

8(502)=85082=40016=384

Ausklammern ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens:

713+787=7(13+87)=7100=700

Das Distributivgesetz ist besonders hilfreich beim Kopfrechnen, beim schriftlichen Rechnen und später beim Umformen von Termen.


Neutrale Elemente und Gegenzahlen

Ein neutrales Element verändert einen Wert bei einer Rechenoperation nicht.

Bei der Addition ist 0 das neutrale Element:

a+0=a

Bei der Multiplikation ist 1 das neutrale Element:

a1=a

Die Zahl 0 ist bei der Multiplikation besonders:

a0=0

Das gilt für jede Zahl a. Deshalb ist es wichtig, 0 nicht mit 1 zu verwechseln.

Die Gegenzahl zu a ist a. Zusammen ergeben sie 0:

a+(a)=0


Division durch null

Die Division durch null ist nicht definiert. Das bedeutet: Du darfst nicht durch 0 teilen.

Beispiel:

12:0

ist nicht erlaubt, weil es keine Zahl gibt, die mit 0 multipliziert 12 ergibt. Denn jede Zahl mal 0 ergibt 0.

x0=0

Darum ist die Division durch null in der Mathematik ausgeschlossen.


Strategien für geschicktes Rechnen


Zahlen passend zerlegen

Beim geschickten Rechnen zerlegst Du Zahlen so, dass einfache Zwischenwerte entstehen.

Beispiel:

195=(201)5=20515=1005=95

Hier nutzt Du das Distributivgesetz.


Tausch- und Verbindungsgesetz kombinieren

Manchmal hilft es, Kommutativgesetz und Assoziativgesetz zusammen zu verwenden.

Beispiel:

43725

Zuerst vertauschen:

42537

Dann verbinden:

(425)37=10037=3700

Der Rechenweg ist nicht nur schneller, sondern auch gut begründbar.


Ausklammern bei langen Summen

Wenn mehrere Produkte denselben Faktor enthalten, kannst Du ausklammern.

Beispiel:

128+122=12(8+2)=1210=120

Das Ausklammern ist besonders nützlich, wenn eine Klammer zu einer runden Zahl führt.


Überschlagen und Prüfen

Ein Überschlag hilft Dir zu prüfen, ob ein Ergebnis ungefähr stimmen kann.

Beispiel:

3986

Überschlag:

4006=2400

Genaue Rechnung:

3986=(4002)6=240012=2388

Das Ergebnis 2388 passt zum Überschlag. Ein Ergebnis wie 23880 wäre wahrscheinlich falsch.


Typische Fehler und wie Du sie vermeidest


Fehler 1: Punkt vor Strich übersehen

Falsch:

10+52=152=30

Richtig:

10+52=10+10=20

Merke: Punktrechnung kommt vor Strichrechnung.


Fehler 2: Klammern ignorieren

Falsch:

(10+5)2=10+10=20

Richtig:

(10+5)2=152=30

Merke: Klammern haben Vorrang.


Fehler 3: Subtraktion vertauschen

Falsch:

187=718

Richtig:

187=11

und:

718=11

Merke: Das Kommutativgesetz gilt nicht allgemein für Subtraktion.


Fehler 4: Division falsch verteilen

Richtig ist:

(20+10):5=20:5+10:5=4+2=6

Aber im Allgemeinen falsch ist:

20:(5+5)=20:5+20:5

Denn:

20:(5+5)=20:10=2

aber:

20:5+20:5=4+4=8

Merke: Das Distributivgesetz muss genau geprüft werden.


Beispiele mit vollständiger Begründung


Beispiel 1: Rechenregel anwenden

Aufgabe:

724(3+6)

Schritt 1: Klammer zuerst.

3+6=9

Schritt 2: Punktrechnung vor Strichrechnung.

49=36

Schritt 3: Strichrechnung.

7236=36

Ergebnis:

724(3+6)=36


Beispiel 2: Geschickt multiplizieren

Aufgabe:

2516

Zerlege 16 in 44:

2516=2544

Nutze das Assoziativgesetz:

(254)4=1004=400


Beispiel 3: Ausklammern nutzen

Aufgabe:

946+954

Gemeinsamer Faktor ist 9:

946+954=9(46+54)

Klammer berechnen:

9100=900


Beispiel 4: Rechenfehler finden

Jemand rechnet:

60:35=60:15=4

Der Fehler: Division und Multiplikation sind gleichrangig. Man rechnet von links nach rechts.

Richtig:

60:35=205=100


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Regel gilt bei der Aufgabe 8 plus 3 mal 4 zuerst? (Punktrechnung vor Strichrechnung) (!Addition vor Multiplikation) (!Subtraktion vor Division) (!Von rechts nach links rechnen)




Welche Rechnung ist ein Beispiel für das Kommutativgesetz der Addition? (7 plus 9 gleich 9 plus 7) (!7 minus 9 gleich 9 minus 7) (!7 geteilt durch 9 gleich 9 geteilt durch 7) (!7 plus 9 gleich 7 mal 9)




Für welche Rechenarten gilt das Kommutativgesetz in der Schule besonders? (Addition und Multiplikation) (!Subtraktion und Division) (!Addition und Subtraktion) (!Division und Multiplikation immer ohne Einschränkung)




Was sagt das Assoziativgesetz aus? (Klammern dürfen bei bestimmten Rechenarten anders gesetzt werden) (!Zahlen dürfen immer vertauscht werden) (!Punktrechnung wird immer zuletzt gerechnet) (!Division durch null ist erlaubt)




Welche Umformung zeigt das Distributivgesetz? (5 mal 12 plus 5 mal 8 gleich 5 mal 20) (!5 plus 12 mal 8 gleich 17 mal 8) (!20 minus 5 gleich 5 minus 20) (!40 geteilt durch 8 gleich 8 geteilt durch 40)




Was wird bei einer Aufgabe mit Klammern zuerst berechnet? (Der Inhalt der Klammer) (!Immer die letzte Zahl) (!Immer die größte Zahl) (!Immer die Strichrechnung außerhalb der Klammer)




Welche Aussage zur Division durch null ist richtig? (Division durch null ist nicht definiert) (!Division durch null ergibt immer null) (!Division durch null ergibt immer eins) (!Division durch null ist nur bei großen Zahlen erlaubt)




Welche Rechnung ist richtig nach der Regel von links nach rechts? (36 geteilt durch 6 mal 2 ergibt 12) (!36 geteilt durch 6 mal 2 ergibt 3) (!36 geteilt durch 6 mal 2 ergibt 1) (!36 geteilt durch 6 mal 2 ergibt 36)




Welches neutrale Element gehört zur Addition? (Null) (!Eins) (!Zwei) (!Zehn)




Welches neutrale Element gehört zur Multiplikation? (Eins) (!Null) (!Zehn) (!Hundert)





Memory

Kommutativgesetz Vertauschen
Assoziativgesetz Klammern setzen
Distributivgesetz Verteilen
Punktrechnung Multiplikation und Division
Strichrechnung Addition und Subtraktion
Neutrales Element der Addition Null
Neutrales Element der Multiplikation Eins





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Klammern zuerst Rechenreihenfolge
Punkt vor Strich Operatorrangfolge
Von links nach rechts Gleichrangige Rechenarten
Vertauschen Kommutativgesetz
Ausklammern Distributivgesetz






Kreuzworträtsel

Summe Wie heißt das Ergebnis einer Addition?
Produkt Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Quotient Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Klammer Welches Zeichen verändert die Rechenreihenfolge besonders stark?
Faktor Wie heißt eine Zahl in einer Multiplikation?
Term Wie heißt ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen und Rechenzeichen?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Rechnen mit mehreren Rechenarten beachtest Du die richtige

. Inhalte in

werden zuerst berechnet. Multiplikation und Division nennt man

. Addition und Subtraktion nennt man

. Die Regel Punkt vor Strich bedeutet, dass die

und die Division vor Addition und Subtraktion ausgeführt werden. Das

erlaubt bei Addition und Multiplikation das Vertauschen. Das

erlaubt bei Addition und Multiplikation das Umsetzen von Klammern. Das

verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion. Durch

kann ein gemeinsamer Faktor vor eine Klammer gezogen werden. Die Division durch

ist nicht definiert.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Rechenregel-Plakat: Gestalte ein Lernplakat mit den Regeln „Klammern zuerst“, „Punkt vor Strich“ und „von links nach rechts“. Erfinde zu jeder Regel ein eigenes Beispiel.
  2. Grundrechenarten-Tabelle: Erstelle eine Tabelle zu Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit Rechenzeichen, Fachbegriffen und jeweils zwei Aufgaben.
  3. Fehlerfinder: Schreibe drei falsche Rechnungen auf, bei denen die Punkt-vor-Strich-Regel missachtet wird. Verbessere sie und erkläre den Fehler.
  4. Klammerwirkung: Suche fünf Aufgaben, bei denen dieselben Zahlen und Rechenzeichen durch unterschiedliche Klammern verschiedene Ergebnisse liefern.


Standard

  1. Rechenweg-Erklärung: Erkläre zu fünf Aufgaben schriftlich, welche Rechenregel Du in welchem Schritt verwendest.
  2. Geschicktes Kopfrechnen: Sammle zehn Aufgaben, die sich mit dem Kommutativgesetz oder Assoziativgesetz besonders schnell im Kopf lösen lassen.
  3. Distributivgesetz im Alltag: Erfinde eine Alltagssituation, in der das Distributivgesetz vorkommt, zum Beispiel beim Einkaufen, Verpacken oder Verteilen.
  4. Partnerinterview Mathematik: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu typischen Rechenfehlern. Erstellt daraus gemeinsam eine Fehlervermeidungs-Liste.


Schwer

  1. Rechengesetze beweisen: Begründe mit eigenen Zahlenbeispielen, warum das Kommutativgesetz für Addition und Multiplikation gilt, aber nicht allgemein für Subtraktion und Division.
  2. Eigener Erklärfilm: Produziere ein kurzes Lernvideo zu einem Rechengesetz. Zeige mindestens ein Beispiel, einen typischen Fehler und eine Prüfung des Ergebnisses.
  3. Termumformung untersuchen: Vergleiche zwei verschiedene Rechenwege für denselben Term und erkläre, warum beide zum selben Ergebnis führen.
  4. Mathematische Lernstation: Entwickle eine Lernstation mit Aufgabenkarte, Tippkarte, Lösungskarte und Reflexionsfrage zu Rechenregeln und Rechengesetzen.



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Lernkontrolle

  1. Rechenweg begründen: Löse den Term 846(5+7) und begründe jeden Schritt mit der passenden Rechenregel.
  2. Umformungen vergleichen: Zwei Lernende berechnen 2548 auf unterschiedliche Weise. Entwickle zwei richtige Rechenwege und erkläre, welches Rechengesetz jeweils genutzt wurde.
  3. Fehleranalyse: Prüfe die Rechnung 5020:5=30:5=6. Beschreibe den Fehler und formuliere eine korrekte Lösung.
  4. Transferaufgabe Einkauf: Ein Heft kostet 2 Euro und ein Stift kostet 3 Euro. Eine Klasse kauft 18 Hefte und 18 Stifte. Stelle zwei verschiedene Terme auf und erkläre den Zusammenhang mit dem Distributivgesetz.
  5. Klammerwirkung erklären: Vergleiche 30(125) und (3012)5. Erkläre, warum unterschiedliche Ergebnisse entstehen.
  6. Rechengesetze beurteilen: Entscheide, ob die Umformung 917+93=920 erlaubt ist. Begründe Deine Entscheidung.
  7. Eigene Aufgabe entwickeln: Erfinde eine Aufgabe, bei der man ohne Beachtung der Rechenreihenfolge leicht ein falsches Ergebnis erhält. Gib Lösung und Erklärung an.




OERs zum Thema



Links


Zusammenfassung

Rechenregeln legen fest, in welcher Reihenfolge gerechnet wird. Besonders wichtig sind Klammern zuerst, Punktrechnung vor Strichrechnung und die Rechenrichtung von links nach rechts bei gleichrangigen Rechenarten. Rechengesetze beschreiben erlaubte Umformungen. Das Kommutativgesetz erlaubt bei Addition und Multiplikation das Vertauschen. Das Assoziativgesetz erlaubt bei Addition und Multiplikation das andere Setzen von Klammern. Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion und hilft beim Ausmultiplizieren und Ausklammern. Wer diese Regeln sicher beherrscht, kann Aufgaben nicht nur richtig lösen, sondern auch erklären, prüfen und geschickt vereinfachen.


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Schulfach+

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Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Mittlere Reife

  1. Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler
  2. Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert

Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).

Bayern

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.

Berlin/Brandenburg

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun

Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).

Hessen

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  4. Der Prozess - Franz Kafka

Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.

Niedersachsen

Abitur

  1. Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun
  3. Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist
  4. Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist

Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).

Nordrhein-Westfalen

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.

Saarland

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  1. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  2. Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz
  3. Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann

Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).

Sachsen (berufliches Gymnasium)

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane
  4. Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht
  5. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  6. Der Trafikant - Robert Seethaler

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Thüringen

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  1. (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)

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Mecklenburg-Vorpommern

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  1. (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)

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Rheinland-Pfalz

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Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.




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