Rechenregeln und Rechengesetze - aiMOOC
Rechenregeln und Rechengesetze - aiMOOC
Einleitung
Rechenregeln und Rechengesetze helfen Dir, Terme richtig, sicher und möglichst geschickt zu berechnen. Sie gehören zur Arithmetik und sind eine Grundlage für fast alle Bereiche der Mathematik: vom Kopfrechnen über die Bruchrechnung bis zur Algebra, zur Geometrie, zur Physik und zur Informatik. In diesem aiMOOC lernst Du, wie die Reihenfolge beim Rechnen festgelegt wird, warum manche Umformungen erlaubt sind und wie Du typische Fehler vermeidest.
Beim Thema geht es um zwei eng verwandte, aber unterschiedliche Dinge. Rechenregeln sagen Dir, in welcher Reihenfolge Du Rechenschritte ausführen sollst. Dazu gehören zum Beispiel die Klammerregel, die Operatorrangfolge und die Regel Punkt vor Strich. Rechengesetze beschreiben dagegen allgemeine Eigenschaften von Rechenoperationen. Sie erklären, warum Du bei bestimmten Rechnungen Zahlen vertauschen, anders zusammenfassen, ausmultiplizieren oder ausklammern darfst.
Grundbegriffe
Rechenarten und Rechenzeichen
Die vier Grundrechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Jede Rechenart hat eigene Begriffe, eigene Zeichen und eigene Regeln.
- Addition: Bei der Addition werden Summanden zu einer Summe verbunden. Beispiel: 7 + 5 = 12.
- Subtraktion: Bei der Subtraktion wird ein Subtrahend von einem Minuend abgezogen. Das Ergebnis heißt Differenz. Beispiel: 12 - 5 = 7.
- Multiplikation: Bei der Multiplikation werden Faktoren zu einem Produkt verbunden. Beispiel: 3 · 4 = 12.
- Division: Bei der Division wird ein Dividend durch einen Divisor geteilt. Das Ergebnis heißt Quotient. Beispiel: 12 : 3 = 4.
Die Addition und die Multiplikation verhalten sich in vielen Situationen besonders günstig. Für sie gelten wichtige Rechengesetze wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Für die Subtraktion und die Division gelten diese Gesetze im Allgemeinen nicht. Deshalb musst Du bei Minus- und Geteiltaufgaben besonders auf die Reihenfolge achten.
Term und Wert eines Terms
Ein Term ist ein sinnvoll aufgebauter Rechenausdruck. Er kann aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen, Klammern und manchmal auch Potenzen bestehen. Beispiele für Terme sind 8 + 3 · 2, 12 - 4 : 2 oder 2 · x + 5.
Der Wert eines Terms ist das Ergebnis, das Du erhältst, wenn Du den Term nach den gültigen Rechenregeln berechnest. Bei 8 + 3 · 2 ist der Wert 14, weil zuerst 3 · 2 gerechnet wird und danach 8 + 6. Würdest Du fälschlich von links nach rechts rechnen, bekämst Du 22. Das zeigt, warum Rechenregeln wichtig sind.
Rechenregel oder Rechengesetz?
Eine Rechenregel ist eine vereinbarte Vorschrift für das korrekte Vorgehen. Sie beantwortet die Frage: Was rechne ich zuerst? Ein Rechengesetz beschreibt eine allgemeine mathematische Eigenschaft. Es beantwortet die Frage: Welche Umformung verändert den Wert nicht?
Beispiel für eine Rechenregel: In 4 + 5 · 6 wird zuerst 5 · 6 gerechnet, weil Punktrechnung vor Strichrechnung gilt.
Beispiel für ein Rechengesetz: In 7 + 13 darfst Du die Summanden vertauschen und 13 + 7 rechnen, weil bei der Addition das Kommutativgesetz gilt.
Die Reihenfolge beim Rechnen
Klammern zuerst
Klammern zeigen an, dass ein Teil eines Terms zuerst berechnet werden soll. Sie können die normale Operatorrangfolge verändern. Deshalb haben Klammern eine starke Bedeutung.
Beispiel ohne Klammer: 4 + 3 · 5 = 4 + 15 = 19.
Beispiel mit Klammer: (4 + 3) · 5 = 7 · 5 = 35.
Die beiden Terme enthalten dieselben Zahlen und Rechenzeichen, haben aber unterschiedliche Werte. Die Klammer verändert die Struktur des Terms. Darum solltest Du Klammern nie übersehen und beim Abschreiben genau kontrollieren.
Potenzen vor Punktrechnung
In vielen schulischen Rechenregeln wird die Reihenfolge mit der Merkhilfe KlaPoPuStri beschrieben: Klammern, Potenzen, Punktrechnung, Strichrechnung. Potenzen werden also vor Multiplikation und Division berechnet, sofern keine Klammern etwas anderes verlangen.
Beispiel: 2 + 3² · 4 = 2 + 9 · 4 = 2 + 36 = 38.
Wenn Du möchtest, dass zuerst 2 + 3 gerechnet wird, musst Du eine Klammer setzen: (2 + 3)² · 4 = 5² · 4 = 25 · 4 = 100.
Punktrechnung vor Strichrechnung
Die Regel Punkt vor Strich bedeutet: Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion berechnet, wenn keine Klammern etwas anderes festlegen. Multiplikation und Division heißen Punktrechnung, weil ihre Rechenzeichen traditionell punktähnlich sind: · und :. Addition und Subtraktion heißen Strichrechnung, weil + und - Striche enthalten.
Beispiel: 18 - 4 · 3 = 18 - 12 = 6.
Falsch wäre: 18 - 4 · 3 = 14 · 3 = 42. Dieser Fehler entsteht, wenn man ohne Beachtung der Operatorrangfolge einfach von links nach rechts rechnet.
Gleichrangige Rechenarten von links nach rechts
Wenn nur gleichrangige Rechenarten vorkommen, rechnest Du in der Regel von links nach rechts. Das betrifft besonders Ketten aus Subtraktion und Division.
Beispiel: 24 : 3 · 2 = 8 · 2 = 16.
Falsch wäre: 24 : 3 · 2 = 24 : 6 = 4. Multiplikation und Division sind gleichrangig. Deshalb wird nicht automatisch zuerst die Multiplikation gerechnet, sondern von links nach rechts.
Beispiel: 20 - 6 + 4 = 14 + 4 = 18.
Falsch wäre: 20 - 6 + 4 = 20 - 10 = 10. Addition und Subtraktion sind gleichrangig. Auch hier gilt: von links nach rechts.
Merksatz zur Reihenfolge
Ein sicherer Merksatz lautet: Erst Klammern, dann Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung; gleichrangige Rechnungen von links nach rechts. Dieser Merksatz hilft Dir besonders bei längeren Termen. Trotzdem solltest Du immer prüfen, ob der Term besondere Zeichen enthält, zum Beispiel Bruchstriche, Wurzeln oder verschachtelte Klammern.
Wichtige Rechengesetze
Kommutativgesetz: Vertauschen
Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz. Es gilt bei der Addition und bei der Multiplikation. Es besagt, dass sich der Wert nicht ändert, wenn Du die Reihenfolge der Zahlen vertauschst.
Bei der Addition gilt: a + b = b + a.
Beispiel: 27 + 13 = 13 + 27 = 40.
Bei der Multiplikation gilt: a · b = b · a.
Beispiel: 4 · 25 = 25 · 4 = 100.
Das Kommutativgesetz gilt nicht allgemein für die Subtraktion und nicht allgemein für die Division. Denn 12 - 5 ist nicht dasselbe wie 5 - 12. Auch 12 : 3 ist nicht dasselbe wie 3 : 12.
Assoziativgesetz: Zusammenfassen
Das Assoziativgesetz heißt auch Verbindungsgesetz. Es gilt bei der Addition und bei der Multiplikation. Es besagt, dass Du bei mehreren Summanden oder mehreren Faktoren die Klammern anders setzen darfst, ohne den Wert zu verändern.
Bei der Addition gilt: (a + b) + c = a + (b + c).
Beispiel: (8 + 12) + 5 = 8 + (12 + 5) = 25.
Bei der Multiplikation gilt: (a · b) · c = a · (b · c).
Beispiel: (2 · 5) · 7 = 2 · (5 · 7) = 70.
Das Assoziativgesetz ist beim Kopfrechnen sehr nützlich. Aus 19 + 37 + 1 kannst Du 19 + 1 + 37 machen und dann zuerst 20 + 37 rechnen. Bei reiner Addition darfst Du das, weil Kommutativgesetz und Assoziativgesetz zusammenarbeiten.
Distributivgesetz: Verteilen und Ausklammern
Das Distributivgesetz heißt auch Verteilungsgesetz. Es verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion. Es erlaubt Dir, eine Multiplikation über eine Klammer zu verteilen oder umgekehrt gemeinsame Faktoren auszuklammern.
Ausmultiplizieren: a · (b + c) = a · b + a · c.
Beispiel: 6 · (10 + 3) = 6 · 10 + 6 · 3 = 60 + 18 = 78.
Ausklammern: a · b + a · c = a · (b + c).
Beispiel: 7 · 8 + 7 · 2 = 7 · (8 + 2) = 7 · 10 = 70.
Das Distributivgesetz ist besonders wichtig für Termumformungen, Gleichungen, Bruchrechnung, Prozentrechnung und später für die Algebra. Es erklärt, warum Ausmultiplizieren und Ausklammern erlaubt sind.
Neutrale Elemente: Null und Eins
Ein neutrales Element verändert beim Rechnen den Wert nicht. Bei der Addition ist die Null das neutrale Element. Es gilt: a + 0 = a. Beispiel: 35 + 0 = 35.
Bei der Multiplikation ist die Eins das neutrale Element. Es gilt: a · 1 = a. Beispiel: 35 · 1 = 35.
Achte darauf: 0 ist nicht neutral bei der Multiplikation. Denn 35 · 0 = 0. Und 1 ist nicht neutral bei der Addition. Denn 35 + 1 = 36.
Gegenzahl und Kehrwert
Zur Addition gehört die Gegenzahl. Die Gegenzahl von 7 ist -7, denn 7 + (-7) = 0. Die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl ergibt also das neutrale Element der Addition.
Zur Multiplikation gehört bei Zahlen ungleich 0 der Kehrwert. Der Kehrwert von 5 ist 1/5, denn 5 · 1/5 = 1. Das Produkt einer Zahl und ihres Kehrwerts ergibt also das neutrale Element der Multiplikation.
Die Division durch null ist nicht definiert. Du darfst also nie durch 0 teilen. Dieser Grundsatz ist eine der wichtigsten Sicherheitsregeln in der Arithmetik.
Klammerregeln und Vorzeichen
Plusklammern
Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, kannst Du die Klammer meist weglassen, ohne die Vorzeichen in der Klammer zu ändern.
Beispiel: 8 + (5 - 3) = 8 + 5 - 3 = 10.
Eine Plusklammer verändert die Vorzeichen nicht. Trotzdem musst Du vorher prüfen, ob die Klammer nicht zuerst berechnet werden soll, weil sie Teil einer Multiplikation, Division oder Potenz ist.
Minusklammern
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, ändern sich beim Auflösen der Klammer die Vorzeichen in der Klammer.
Beispiel: 8 - (5 - 3) = 8 - 5 + 3 = 6.
Der Grund: Du ziehst den gesamten Klammerinhalt ab. Das ist so, als würdest Du mit -1 multiplizieren. Deshalb wird aus + in der Klammer ein - und aus - in der Klammer ein +.
Klammern bei Multiplikation und Division
Bei der Multiplikation kann das Distributivgesetz helfen. Du darfst die Zahl vor der Klammer mit jedem Glied in der Klammer multiplizieren.
Beispiel: 3 · (x + 4) = 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12.
Bei der Division musst Du besonders vorsichtig sein. Der Term (12 + 6) : 3 darf zu 12 : 3 + 6 : 3 umgeformt werden. Aber 12 : (3 + 6) darf nicht zu 12 : 3 + 12 : 6 umgeformt werden. Eine Klammer im Divisor darfst Du nicht einfach verteilen.
Vorteilhaft rechnen
Warum vorteilhaftes Rechnen wichtig ist
Vorteilhaftes Rechnen bedeutet, dass Du Rechengesetze nutzt, um einfacher, schneller und fehlerärmer zu rechnen. Du veränderst den Wert des Terms nicht, sondern nur die Form.
Beispiel: 25 · 17 · 4.
Du kannst 25 und 4 zusammenfassen, weil bei der Multiplikation das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten: 25 · 4 · 17 = 100 · 17 = 1700.
Ohne Rechengesetze wäre diese Aufgabe deutlich umständlicher. Mit Rechengesetzen erkennst Du günstige Zahlenpaare und kannst sie zuerst berechnen.
Typische Strategien
- Tauschaufgabe: Vertausche Zahlen bei Addition oder Multiplikation, wenn dadurch eine leichtere Rechnung entsteht.
- Klammer setzen: Fasse geeignete Zahlen zusammen, zum Beispiel zu 10, 100 oder 1000.
- Ausklammern: Suche gemeinsame Faktoren, um eine Summe in ein Produkt umzuwandeln.
- Ausmultiplizieren: Verteile einen Faktor auf eine Summe, wenn die Teilrechnungen einfacher sind.
- Überschlagsrechnung: Prüfe mit gerundeten Zahlen, ob Dein Ergebnis ungefähr stimmen kann.
Beispiele für vorteilhaftes Rechnen
Beispiel 1: 49 + 28 + 1 = 49 + 1 + 28 = 50 + 28 = 78.
Beispiel 2: 5 · 37 · 2 = 5 · 2 · 37 = 10 · 37 = 370.
Beispiel 3: 12 · 19 = 12 · (20 - 1) = 12 · 20 - 12 · 1 = 240 - 12 = 228.
Beispiel 4: 34 · 7 + 66 · 7 = (34 + 66) · 7 = 100 · 7 = 700.
Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest
Fehler bei Punkt vor Strich
Ein häufiger Fehler besteht darin, einen Term einfach von links nach rechts zu berechnen, obwohl Punkt vor Strich gilt.
Fehler: 6 + 4 · 5 = 10 · 5 = 50.
Richtig: 6 + 4 · 5 = 6 + 20 = 26.
Tipp: Markiere zuerst alle Punktrechnungen, bevor Du mit dem Rechnen beginnst.
Fehler bei gleichrangigen Rechenarten
Ein weiterer Fehler entsteht, wenn man glaubt, Multiplikation komme immer vor Division. Tatsächlich sind beide gleichrangig. Dasselbe gilt für Addition und Subtraktion.
Fehler: 30 : 5 · 2 = 30 : 10 = 3.
Richtig: 30 : 5 · 2 = 6 · 2 = 12.
Tipp: Bei gleichrangigen Rechenarten arbeitest Du von links nach rechts.
Fehler bei Minusklammern
Bei Minusklammern werden oft nicht alle Vorzeichen geändert.
Fehler: 20 - (8 - 3) = 20 - 8 - 3 = 9.
Richtig: 20 - (8 - 3) = 20 - 8 + 3 = 15.
Tipp: Denke bei einer Minusklammer an das Verteilen von -1.
Fehler beim Distributivgesetz
Beim Ausmultiplizieren muss der Faktor mit jedem Glied der Klammer multipliziert werden.
Fehler: 4 · (x + 3) = 4x + 3.
Richtig: 4 · (x + 3) = 4x + 12.
Tipp: Zeichne gedanklich zwei Pfeile: Der Faktor vor der Klammer gehört zu jedem Glied in der Klammer.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Welche Aussage beschreibt die Regel Punkt vor Strich richtig? (Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion berechnet) (!Addition und Subtraktion werden immer zuerst berechnet) (!Alle Rechnungen werden unabhängig vom Zeichen von rechts nach links berechnet) (!Klammern dürfen bei Punktrechnungen ignoriert werden)
Für welche Rechenarten gilt das Kommutativgesetz allgemein? (Addition und Multiplikation) (!Subtraktion und Division) (!Addition und Subtraktion) (!Division und Multiplikation)
Was bedeutet das Assoziativgesetz? (Zahlen dürfen bei Addition oder Multiplikation anders zusammengefasst werden) (!Zahlen dürfen bei jeder Rechenart beliebig vertauscht werden) (!Potenzen werden immer zuletzt berechnet) (!Minusklammern verändern keine Vorzeichen)
Welches Ergebnis hat der Term 6 + 4 · 3? (18) (!30) (!24) (!15)
Was ist das neutrale Element der Addition? (0) (!1) (!10) (!2)
Was ist das neutrale Element der Multiplikation? (1) (!0) (!10) (!100)
Welche Beschreibung passt zum Distributivgesetz? (Ein Faktor wird auf mehrere Summanden verteilt) (!Faktoren werden nur vertauscht) (!Klammern werden bei Minuszeichen ohne Änderung entfernt) (!Gleichrangige Rechnungen werden immer von rechts gerechnet)
Wie rechnest Du 24 : 3 · 2 richtig? (Von links nach rechts) (!Zuerst die Multiplikation) (!Zuerst die kleinere Zahl) (!Immer zuerst die Division durch 2)
Was passiert beim Auflösen einer Minusklammer? (Die Vorzeichen in der Klammer ändern sich) (!Die Klammer wird ohne Änderung entfernt) (!Nur das erste Vorzeichen ändert sich) (!Alle Zahlen in der Klammer werden verdoppelt)
Warum sind Rechengesetze beim Kopfrechnen nützlich? (Sie erlauben wertgleiche Umformungen zu einfacheren Rechnungen) (!Sie ersetzen jede schriftliche Rechnung durch Raten) (!Sie machen die Reihenfolge der Rechenzeichen unwichtig) (!Sie gelten nur für Textaufgaben)
Memory
| Kommutativgesetz | Vertauschen |
| Assoziativgesetz | Zusammenfassen |
| Distributivgesetz | Verteilen |
| Klammerregel | Vorrang |
| Neutrales Element | Unveränderter Wert |
| Minusklammer | Vorzeichenwechsel |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Klammern zuerst | Vorrang durch Gruppierung |
| Potenzen | Rechenstufe vor Punktrechnung |
| Punktrechnung | Multiplikation und Division |
| Strichrechnung | Addition und Subtraktion |
| Links nach rechts | Gleichrangige Rechenarten |
Kreuzworträtsel
| Kommutativgesetz | Welches Gesetz erlaubt das Vertauschen bei Addition und Multiplikation? |
| Assoziativgesetz | Welches Gesetz erlaubt das neue Setzen von Klammern bei Addition und Multiplikation? |
| Distributivgesetz | Welches Gesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion? |
| Klammer | Welches Zeichen legt fest, dass ein Teil zuerst berechnet wird? |
| Quotient | Wie heißt das Ergebnis einer Division? |
| Differenz | Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Rechenweg erklären: Berechne fünf Terme mit Punkt vor Strich und schreibe zu jedem Term einen vollständigen Rechenweg auf.
- Fehler finden: Erfinde drei falsche Rechnungen zu Punkt vor Strich und erkläre, worin der Fehler besteht.
- Klammerplakat: Gestalte ein kleines Lernplakat, das den Unterschied zwischen 4 + 3 · 5 und (4 + 3) · 5 zeigt.
- Begriffe sortieren: Erstelle eine Tabelle mit den Begriffen Summe, Differenz, Produkt und Quotient und jeweils zwei eigenen Beispielen.
Standard
- Vorteilhaft rechnen: Sammle zehn Aufgaben, bei denen sich Kommutativgesetz und Assoziativgesetz zum Kopfrechnen nutzen lassen.
- Distributivgesetz anwenden: Erstelle fünf Aufgaben zum Ausmultiplizieren und fünf Aufgaben zum Ausklammern mit Lösungen.
- Erklärvideo planen: Schreibe ein kurzes Drehbuch für ein Lernvideo zur Minusklammer mit mindestens zwei Beispielen.
- Rechenregeln im Alltag: Suche drei Alltagssituationen, in denen Rechenregeln wichtig sind, zum Beispiel Preise, Mengen oder Zeitangaben.
Schwer
- Termumformung untersuchen: Prüfe acht verschiedene Termumformungen und entscheide, ob jeweils ein Rechengesetz korrekt angewendet wurde.
- Fehleranalyse: Analysiere eine selbst erstellte Musterlösung mit mindestens fünf absichtlich eingebauten Fehlern und korrigiere sie.
- Mathematische Begründung: Begründe mit eigenen Worten, warum das Distributivgesetz beim Kopfrechnen nützlich ist.
- Lernspiel entwickeln: Entwickle ein Kartenspiel oder digitales Quiz, mit dem andere die Rechenreihenfolge und die Rechengesetze üben können.
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Lernkontrolle
- Rechenstrategie begründen: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum eine Umformung mit dem Kommutativgesetz den Wert nicht verändert.
- Vergleich von Termen: Vergleiche die Terme 5 + 2 · 8 und (5 + 2) · 8. Erkläre, warum die Ergebnisse unterschiedlich sind.
- Transferaufgabe Einkauf: Ein Einkauf besteht aus mehreren gleichen Artikeln und einem Rabatt. Stelle einen passenden Term auf und zeige, wie Rechengesetze die Berechnung vereinfachen.
- Fehlerdiagnose: Eine Person berechnet 36 : 6 · 3 als 36 : 18. Erkläre den Fehler und formuliere eine Regel, die diesen Fehler verhindert.
- Alltagsmodell: Beschreibe eine Situation aus dem Alltag, die mit dem Distributivgesetz modelliert werden kann.
- Reflexion: Erkläre, warum Rechenregeln Konventionen sind, Rechengesetze aber allgemeine Eigenschaften von Operationen beschreiben.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis erstellst Du ein kleines Portfolio zum Thema Rechenregeln und Rechengesetze. Es soll aus drei Teilen bestehen: einer übersichtlichen Regelkarte, fünf vollständig gelösten Beispielaufgaben und einer kurzen Reflexion. In der Reflexion erklärst Du, welche Regel Dir am meisten geholfen hat und welchen Fehler Du künftig vermeiden möchtest. Der Lernnachweis soll ohne externe Medien, ohne eingebettete Videos und ohne Skripte verständlich sein.
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