Rationale Zahlen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden können. Du kannst sie als Brüche, als endliche oder periodische Dezimalzahlen und als Punkte auf der Zahlengeraden darstellen. In der Mathematik der Klassen 7 und 8 sind rationale Zahlen besonders wichtig, weil mit ihnen positive und negative Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen und die Zahl $0$ gemeinsam betrachtet werden.

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb{Q}$ bezeichnet. Der Buchstabe $Q$ erinnert an das Wort Quotient. Eine Zahl ist rational, wenn sie in der Form $\frac{a}{b}$ geschrieben werden kann, wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind und $b\ne 0$ gilt. Der Nenner darf also niemals $0$ sein, weil eine Division durch $0$ nicht definiert ist.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was rationale Zahlen sind, wie sie auf der Zahlengeraden angeordnet werden und wie sie sich von natürlichen, ganzen und irrationalen Zahlen unterscheiden. Du lernst außerdem, rationale Zahlen in verschiedenen Schreibweisen zu erkennen und typische Fehler beim Vergleichen und Einordnen zu vermeiden.

Grundidee der rationalen Zahlen

Definition

Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann:

$q=\frac{a}{b}$ mit $a\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{Z}$ und $b\ne 0$.

Dabei ist $a$ der Zähler und $b$ der Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

Beispiele für rationale Zahlen sind:

1. $\frac{3}{4}$: drei Viertel
2. $-\frac{5}{2}$: minus fünf Halbe
3. $7$: als Bruch $\frac{7}{1}$
4. $0$: als Bruch $\frac{0}{1}$
5. $\mathrm{0,25}$: als Bruch $\frac{1}{4}$
6. $-\mathrm{1,}\bar{3}$: als Bruch $-\frac{4}{3}$

Damit gehören auch alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen, denn jede ganze Zahl kann mit dem Nenner $1$ geschrieben werden.

Die Zahlenmenge Q

Die rationalen Zahlen werden als Menge $\mathbb{Q}$ geschrieben:

$\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\mid a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0\}$

Das Zeichen $\mathbb{Z}$ steht für die ganzen Zahlen, also für Zahlen wie $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$. Die rationalen Zahlen erweitern diese Menge um Bruchzahlen und Dezimalzahlen wie $\frac{1}{2}$, $-\mathrm{0,75}$ oder $\mathrm{2,}\bar{6}$.

Warum braucht man rationale Zahlen?

Die natürlichen Zahlen reichen aus, wenn man Dinge zählt: drei Hefte, sieben Stifte, zwölf Schülerinnen und Schüler. Die ganzen Zahlen werden gebraucht, wenn auch negative Werte beschrieben werden sollen, zum Beispiel Temperaturen unter $0^{\circ }$C oder Schulden. Rationale Zahlen werden nötig, wenn man teilen, messen und vergleichen möchte.

Beispiele aus dem Alltag:

1. Temperatur: $-\mathrm{2,}{5}^{\circ }$C ist eine rationale Zahl.
2. Geld: $-\mathrm{12,50}$ Euro kann ein Kontostand sein.
3. Zeit: Eine halbe Stunde entspricht $\frac{1}{2}$ Stunde.
4. Länge: $\mathrm{1,75}$ Meter ist eine rationale Zahl.
5. Rezept: $\frac{3}{4}$ Liter Milch ist eine rationale Zahl.

Rationale Zahlen helfen Dir also, Größen genauer zu beschreiben als nur mit ganzen Zahlen.

Schreibweisen rationaler Zahlen

Bruchschreibweise

Die Bruchschreibweise ist eine besonders genaue Darstellung rationaler Zahlen. Sie zeigt direkt, wie eine Zahl durch Teilen entsteht. Der Bruch $\frac{3}{5}$ bedeutet: Ein Ganzes wird in fünf gleich große Teile geteilt, und drei dieser Teile werden betrachtet.

Ein Bruch kann positiv, negativ oder gleich null sein:

1. Positiv: $\frac{2}{3}$
2. Negativ: $-\frac{2}{3}$
3. Null: $\frac{0}{3}=0$

Wichtig ist: Ein Bruch mit dem Nenner $0$ ist nicht erlaubt. Der Ausdruck $\frac{5}{0}$ ist nicht definiert.

Dezimalschreibweise

Viele rationale Zahlen können als Dezimalzahlen geschrieben werden. Dabei gibt es zwei Arten:

1. Endliche Dezimalzahlen: $\mathrm{0,5}$, $-\mathrm{2,75}$, $\mathrm{3,125}$
2. Periodische Dezimalzahlen: $\mathrm{0,}\bar{3}$, $\mathrm{1,}\bar{6}$, $-\mathrm{2,1}\bar{4}$

Eine endliche Dezimalzahl hat nach dem Komma nur endlich viele Stellen. Eine periodische Dezimalzahl hat eine Ziffernfolge, die sich immer wiederholt. Beide Arten sind rational, weil sie als Bruch geschrieben werden können.

Beispiele:

$\mathrm{0,5}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{0,25}=\frac{1}{4}$

$\mathrm{0,}\bar{3}=\frac{1}{3}$

$\mathrm{1,}\bar{6}=\frac{5}{3}$

Ganze Zahlen als rationale Zahlen

Jede ganze Zahl ist rational, weil sie als Bruch mit dem Nenner $1$ geschrieben werden kann:

$-4=\frac{-4}{1}$

$0=\frac{0}{1}$

$8=\frac{8}{1}$

Daraus folgt: Die Menge der ganzen Zahlen ist in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. In Zeichen schreibt man:

$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$

Das bedeutet: Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl. Zum Beispiel ist $\frac{1}{2}$ rational, aber nicht ganzzahlig.

Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden

Orientierung auf der Zahlengeraden

Auf der Zahlengeraden liegt die Zahl $0$ in der Mitte. Positive Zahlen liegen rechts von $0$, negative Zahlen links von $0$. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.

Beispiele:

$-4<-1<0<\frac{1}{2}<3$

Die Zahl $-4$ liegt weiter links als $-1$. Deshalb ist $-4$ kleiner als $-1$. Das ist ein häufiger Stolperstein: Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag nicht automatisch die größere Zahl.

Brüche auf der Zahlengeraden eintragen

Um einen Bruch auf der Zahlengeraden einzutragen, schaust Du auf den Nenner. Der Nenner sagt Dir, in wie viele gleich große Teile eine Einheit geteilt wird. Der Zähler sagt Dir, wie viele Teile Du vom Nullpunkt aus gehst.

Beispiel: $\frac{3}{4}$

Die Strecke von $0$ bis $1$ wird in vier gleich große Teile geteilt. Vom Nullpunkt aus gehst Du drei Teile nach rechts. Dort liegt $\frac{3}{4}$.

Beispiel: $-\frac{3}{4}$

Die Strecke von $0$ bis $-1$ wird in vier gleich große Teile geteilt. Vom Nullpunkt aus gehst Du drei Teile nach links. Dort liegt $-\frac{3}{4}$.

Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden eintragen

Dezimalzahlen werden ähnlich eingetragen. Die Zahl $\mathrm{0,6}$ liegt zwischen $0$ und $1$, genauer bei sechs Zehnteln. Die Zahl $-\mathrm{1,25}$ liegt zwischen $-1$ und $-2$. Da $-\mathrm{1,25}$ nur ein Viertel Schritt links von $-1$ liegt, ist sie näher an $-1$ als an $-2$.

Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen

Vergleich über die Zahlengerade

Rationale Zahlen können über ihre Lage auf der Zahlengeraden verglichen werden. Die weiter rechts liegende Zahl ist größer.

Beispiele:

$-2<-1$

$\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$

$-\mathrm{0,8}<-\mathrm{0,3}$

Beim Vergleichen negativer Zahlen musst Du besonders aufmerksam sein: $-\mathrm{0,8}$ ist kleiner als $-\mathrm{0,3}$, weil $-\mathrm{0,8}$ weiter links liegt.

Vergleich über gleiche Nenner

Brüche mit gleichem Nenner kannst Du direkt über die Zähler vergleichen:

$\frac{2}{7}<\frac{5}{7}$

Bei positiven Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Bei negativen Brüchen gilt die Ordnung auf der Zahlengeraden. Zum Beispiel:

$-\frac{5}{7}<-\frac{2}{7}$

Denn $-\frac{5}{7}$ liegt weiter links als $-\frac{2}{7}$.

Vergleich über Dezimalzahlen

Manchmal ist es einfacher, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln:

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

$\frac{2}{3}=\mathrm{0,}\bar{6}$

Da $\mathrm{0,75}>\mathrm{0,}\bar{6}$ gilt, ist auch $\frac{3}{4}>\frac{2}{3}$.

Diese Methode ist hilfreich, wenn die Brüche verschiedene Nenner haben. Noch genauer ist der Vergleich über einen gemeinsamen Nenner oder durch Kreuzmultiplikation.

Rationale und irrationale Zahlen

Nicht jede Zahl ist rational. Eine Zahl, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann, heißt irrationale Zahl. Beispiele sind $\sqrt{2}$ und $\pi$. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich lang und nicht periodisch.

Rationale Zahlen haben dagegen immer eine endliche oder eine periodische Dezimaldarstellung. Dies ist ein wichtiges Erkennungsmerkmal.

Beispiele:

1. $\mathrm{0,125}$ ist rational, denn $\mathrm{0,125}=\frac{1}{8}$.
2. $\mathrm{0,}\bar{7}$ ist rational, denn die Dezimalzahl ist periodisch.
3. $\sqrt{2}$ ist irrational, denn die Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.
4. $\pi$ ist irrational, denn die Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.

Typische Fehler und Strategien

Fehler 1: Negative Zahlen falsch vergleichen

Viele Lernende denken zunächst, dass $-8$ größer als $-3$ sei, weil $8$ größer als $3$ ist. Auf der Zahlengeraden liegt $-8$ aber weiter links als $-3$. Deshalb gilt:

$-8<-3$

Merke: Bei negativen Zahlen ist die Zahl näher an $0$ die größere Zahl.

Fehler 2: Bruch und Dezimalzahl nicht verbinden

Ein Bruch und eine Dezimalzahl können dieselbe rationale Zahl darstellen. Zum Beispiel gilt:

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

$\frac{1}{5}=\mathrm{0,2}$

Du solltest wichtige Brüche und ihre Dezimalschreibweise sicher kennen, weil Du dadurch Zahlen schneller vergleichen kannst.

Fehler 3: Den Nenner null zulassen

Ein Ausdruck wie $\frac{4}{0}$ ist kein erlaubter Bruch. Division durch null ist nicht definiert. Deshalb gilt für rationale Zahlen immer: Der Nenner darf nicht $0$ sein.

Strategie: Darstellung wechseln

Bei rationalen Zahlen ist es oft hilfreich, die Schreibweise zu wechseln. Wenn ein Bruch schwer zu vergleichen ist, kannst Du ihn in eine Dezimalzahl umwandeln oder auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wenn eine Dezimalzahl periodisch ist, kann die Bruchschreibweise genauer sein.

Beispiel:

$\mathrm{0,}\bar{3}$ ist als Dezimalzahl unendlich lang. Als Bruch ist dieselbe Zahl sehr einfach:

$\mathrm{0,}\bar{3}=\frac{1}{3}$

Merksätze

1. Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als $\frac{a}{b}$ mit ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$ geschrieben werden können.
2. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl, weil sie den Nenner $1$ haben kann.
3. Eine rationale Zahl hat eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung.
4. Auf der Zahlengeraden ist die weiter rechts liegende Zahl größer.
5. Der Nenner eines Bruchs darf niemals $0$ sein.
6. Irrationale Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\pi$ sind keine rationalen Zahlen.

Beispiele mit Lösungsideen

Beispiel 1: Ist 5 rational?

Ja. Die Zahl $5$ ist rational, denn sie kann als Bruch geschrieben werden:

$5=\frac{5}{1}$

Beispiel 2: Ist -0,75 rational?

Ja. Die Zahl $-\mathrm{0,75}$ ist rational, denn sie kann als Bruch geschrieben werden:

$-\mathrm{0,75}=-\frac{75}{100}=-\frac{3}{4}$

Beispiel 3: Welche Zahl ist größer?

Vergleiche $-\frac{1}{2}$ und $-\frac{3}{4}$.

Zuerst wandelst Du beide Brüche in Dezimalzahlen um:

$-\frac{1}{2}=-\mathrm{0,5}$

$-\frac{3}{4}=-\mathrm{0,75}$

Auf der Zahlengeraden liegt $-\mathrm{0,5}$ rechts von $-\mathrm{0,75}$. Deshalb gilt:

$-\frac{1}{2}>-\frac{3}{4}$

Beispiel 4: Welche Zahlen gehören zu Q?

Zur Menge $\mathbb{Q}$ gehören zum Beispiel:

1. $-9$, denn $-9=\frac{-9}{1}$
2. $\frac{2}{5}$, denn es ist bereits ein Bruch aus ganzen Zahlen
3. $0$, denn $0=\frac{0}{1}$
4. $\mathrm{1,25}$, denn $\mathrm{1,25}=\frac{5}{4}$
5. $\mathrm{0,}\bar{6}$, denn die Dezimalzahl ist periodisch

Nicht rational sind zum Beispiel $\sqrt{2}$ und $\pi$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist eine rationale Zahl? (Eine Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen mit Nenner ungleich null geschrieben werden kann) (!Eine Zahl, die immer positiv sein muss) (!Eine Zahl, die nie als Dezimalzahl geschrieben werden kann) (!Eine Zahl, die nur aus natürlichen Zahlen besteht)

Welches Symbol steht für die Menge der rationalen Zahlen? (Q) (!N) (!Z) (!R ohne rationale Zahlen)

Welche Zahl ist rational? (0,75) (!Wurzel aus 2) (!Pi) (!Eine nichtperiodische unendliche Dezimalzahl)

Warum darf der Nenner eines Bruchs nicht null sein? (Weil Division durch null nicht definiert ist) (!Weil null keine ganze Zahl ist) (!Weil jeder Bruch sonst positiv wäre) (!Weil der Zähler dann immer null wäre)

Welche Aussage ist richtig? (Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl) (!Jede rationale Zahl ist eine natürliche Zahl) (!Jede Dezimalzahl ist irrational) (!Jeder Bruch hat den Nenner eins)

Welche Dezimaldarstellung gehört zu rationalen Zahlen? (Endlich oder periodisch) (!Immer unendlich und nicht periodisch) (!Nur ohne Komma) (!Nur mit genau zwei Nachkommastellen)

Welche Zahl ist größer? (-2) (!-5) (!-8) (!-10)

Welche Bruchdarstellung zeigt die ganze Zahl 6 als rationale Zahl? (6 durch 1) (!1 durch 6) (!0 durch 6) (!6 durch 0)

Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden weiter links? (-3) (!-1) (!0) (!2)

Was ist keine rationale Zahl? (Wurzel aus 2) (!Ein Viertel) (!Minus drei) (!Null Komma fünf)

Memory

Rationale Zahl	Bruch aus ganzen Zahlen
Nenner	Darf nicht null sein
Zahlengerade	Weiter rechts bedeutet größer
Periodische Dezimalzahl	Wiederholende Ziffernfolge
Ganze Zahl	Bruch mit Nenner eins
Irrationale Zahl	Nicht als Bruch darstellbar
Quotient	Ergebnis einer Division

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zähler	Anzahl der genommenen Teile
Nenner	Anzahl der gleich großen Teile
Null	Weder positiv noch negativ
Positive rationale Zahl	Rechts von null
Negative rationale Zahl	Links von null
Periodische Dezimalzahl	Wiederholt Ziffernfolge
Irrationale Zahl	Nicht als Bruch darstellbar

Kreuzworträtsel

Quotient	Wie nennt man das Ergebnis einer Division?
Zaehler	Wie heißt die obere Zahl eines Bruchs?
Nenner	Wie heißt die untere Zahl eines Bruchs?
Periode	Wie nennt man die sich wiederholende Ziffernfolge?
Bruch	Welche Schreibweise nutzt Zähler und Nenner?
Null	Welche Zahl ist weder positiv noch negativ?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine rationale Zahl kann als zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Der Nenner eines Bruchs darf niemals sein. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Buchstaben bezeichnet. Jede ganze Zahl ist rational, weil sie als Bruch mit dem Nenner geschrieben werden kann. Auf der Zahlengeraden liegen positive Zahlen rechts von . Negative Zahlen liegen auf der Zahlengeraden von null. Eine rationale Zahl hat eine endliche oder Dezimaldarstellung. Eine Zahl wie Wurzel aus zwei ist nicht rational, sondern . Beim Vergleichen rationaler Zahlen ist die weiter rechts liegende Zahl immer die . Der Bruch drei Viertel kann als Dezimalzahl geschrieben werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rationale Zahlen erkennen: Sammle zehn Zahlen aus Deinem Alltag und markiere, welche davon rationale Zahlen sind. Begründe jede Entscheidung in einem Satz.
2. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $-3$ bis $3$ und trage mindestens acht rationale Zahlen ein.
3. Brüche im Alltag: Finde fünf Alltagssituationen, in denen Brüche vorkommen, zum Beispiel beim Kochen, Messen oder Teilen.
4. Dezimalzahlen vergleichen: Schreibe fünf Dezimalzahlen zwischen $-1$ und $1$ auf und ordne sie der Größe nach.

Standard

1. Bruch und Dezimalzahl: Wandle zehn rationale Zahlen zwischen Bruchschreibweise und Dezimalschreibweise um und erkläre bei drei Beispielen Deinen Rechenweg.
2. Negative Zahlen verstehen: Erstelle ein Lernplakat, das erklärt, warum $-7$ kleiner als $-2$ ist.
3. Zahlenmengen vergleichen: Erstelle eine Übersicht zu natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen mit Beispielen und Gegenbeispielen.
4. Rationale Zahlen sortieren: Erstelle eine Liste mit zwölf rationalen Zahlen in gemischter Schreibweise und ordne sie aufsteigend.

Schwer

1. Periodische Dezimalzahlen: Erkläre an selbst gewählten Beispielen, warum periodische Dezimalzahlen rationale Zahlen sind.
2. Mathematische Begründung: Begründe, warum jede ganze Zahl eine rationale Zahl ist, aber nicht jede rationale Zahl eine ganze Zahl.
3. Fehleranalyse: Entwickle fünf typische Fehleraufgaben zu rationalen Zahlen und schreibe zu jeder Aufgabe eine verständliche Korrektur.
4. Erklärvideo erstellen: Erstelle ein kurzes Erklärvideo oder Storyboard zum Thema rationale Zahlen auf der Zahlengeraden.

Lernkontrolle

1. Transfer Zahlengerade: Erkläre, wie Du eine rationale Zahl auf der Zahlengeraden einträgst, wenn sie als Bruch gegeben ist. Nutze ein eigenes Beispiel mit negativer Zahl.
2. Vergleichsstrategie: Vergleiche zwei rationale Zahlen in unterschiedlicher Schreibweise und entscheide, welche Darstellung für den Vergleich am besten geeignet ist.
3. Alltagsmodell: Beschreibe eine Alltagssituation, in der negative rationale Zahlen sinnvoll sind, und übersetze sie in eine mathematische Darstellung.
4. Begriffsabgrenzung: Erkläre den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen anhand der Dezimaldarstellung.
5. Fehlerkorrektur: Eine Person behauptet, $-9$ sei größer als $-4$. Widerlege diese Aussage mithilfe der Zahlengeraden.
6. Darstellungswechsel: Zeige an drei Beispielen, wie dieselbe rationale Zahl als Bruch, Dezimalzahl und Punkt auf der Zahlengeraden dargestellt werden kann.

Links

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