Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Mit Ableitungsregeln kannst Du zusammengesetzte Funktionen ableiten. Du lernst die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.

Datei:Derivative.svg

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Die drei Regeln

Produktregel

Für $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ gilt:

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Datei:Illustration-for-leibniz-product-rule.svg

Beispiel: $f(x)=x^2(x+1)$

$f^{\prime }(x)=2x(x+1)+x^2=3x^2+2x$

Quotientenregel

Für $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ gilt:

$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$

Beispiel: $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$

$f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$

Kettenregel

Für $f(x)=g(h(x))$ gilt:

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Datei:Chain rule pt.png

Beispiel: $f(x)=(3x+1{)}^4$

$f^{\prime }(x)=4(3x+1{)}^3\cdot 3=12(3x+1{)}^3$

Welche Regel passt?

1. Produktregel: Funktion mal Funktion
2. Quotientenregel: Funktion geteilt durch Funktion
3. Kettenregel: Funktion in einer Funktion

Aufgaben zum Video

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1. Videoanalyse: Notiere die drei Regeln aus dem Video.
2. Beispiele: Schreibe zu jeder Regel ein Beispiel auf.
3. Pause-Aufgabe: Stoppe das Video vor einer Lösung und rechne selbst.
4. Fehlercheck: Erkläre, warum die innere Ableitung wichtig ist.
5. Transfer: Leite $f(x)=x(2x+1{)}^3$ ab.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann nutzt Du die Produktregel? (Bei einem Produkt aus zwei Funktionen) (!Bei einer Summe aus Zahlen) (!Bei einer einzelnen Konstanten) (!Bei einer linearen Gleichung)

Wann nutzt Du die Quotientenregel? (Bei einem Bruch aus zwei Funktionen) (!Bei einer einfachen Summe) (!Bei einer Zahl ohne Variable) (!Bei einer Geraden ohne Bruch)

Wann nutzt Du die Kettenregel? (Bei einer Funktion in einer Funktion) (!Bei zwei addierten Zahlen) (!Bei einer konstanten Funktion) (!Bei einer Tabelle)

Welche Regel passt zu x hoch zwei mal Sinus x? (Produktregel) (!Quotientenregel) (!Kettenregel) (!Summenregel)

Welche Regel passt zu x hoch zwei geteilt durch x plus eins? (Quotientenregel) (!Produktregel) (!Kettenregel) (!Faktorregel)

Welche Regel passt zu zwei x plus drei in der fünften Potenz? (Kettenregel) (!Produktregel) (!Quotientenregel) (!Summenregel)

Was steht im Nenner der Quotientenregel? (Der Nenner zum Quadrat) (!Der Zähler zum Quadrat) (!Nur die innere Ableitung) (!Die Summe der Funktionen)

Was darf bei der Kettenregel nicht fehlen? (Die innere Ableitung) (!Der Nenner zum Quadrat) (!Ein Minuszeichen) (!Eine zweite Variable)

Was ist ein typischer Fehler bei der Produktregel? (Nur die Ableitungen zu multiplizieren) (!Den Nenner zu quadrieren) (!Die innere Funktion zu erkennen) (!Eine Summe zu vereinfachen)

Welche Regeln brauchst Du bei einem verketteten Term im Zähler eines Bruchs? (Kettenregel und Quotientenregel) (!Nur Produktregel) (!Nur Summenregel) (!Nur Faktorregel)

Memory

Produktregel	Produkt zweier Funktionen
Quotientenregel	Bruch aus Funktionen
Kettenregel	Verschachtelte Funktion
Innere Ableitung	Zusätzlicher Faktor
Nennerquadrat	Teil der Quotientenregel

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Produktregel	Funktion mal Funktion
Quotientenregel	Funktion geteilt durch Funktion
Kettenregel	Funktion in einer Funktion
Innere Ableitung	Faktor bei der Kettenregel
Nennerquadrat	Unterer Teil der Quotientenregel

Kreuzworträtsel

Produktregel	Welche Regel gilt bei einer Multiplikation von Funktionen?
Quotientenregel	Welche Regel gilt bei einem Bruch aus Funktionen?
Kettenregel	Welche Regel gilt bei verschachtelten Funktionen?
Ableitung	Was beschreibt die Steigung einer Funktion?
Nenner	Welcher Bruchteil wird quadriert?
Verkettung	Wie heißt eine Funktion in einer Funktion?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Multiplikation nutzt Du die . Bei einem Bruch nutzt Du die . Bei einer verschachtelten Funktion nutzt Du die . Bei der Kettenregel brauchst Du die . Bei der Quotientenregel steht unten der .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Regelkarten: Gestalte drei Karten mit Formel und Merksatz.
2. Sortieren: Ordne neun Funktionen den drei Regeln zu.
3. Erklärbild: Zeichne die Kettenregel als zwei Schachteln.
4. Fehlersuche: Erfinde einen typischen Fehler und verbessere ihn.

Standard

1. Produktregel anwenden: Leite $x^3(x-2)$ ab.
2. Quotientenregel anwenden: Leite $\frac{x+1}{x^2}$ ab.
3. Kettenregel anwenden: Leite $(5x-2{)}^4$ ab.
4. Lernvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo zu einer Regel.

Schwer

1. Regelkombination: Leite $x^2(3x+1{)}^4$ ab.
2. Quotient und Kette: Leite $\frac{(x^2+1{)}^3}{x}$ ab.
3. Vergleich: Löse eine Aufgabe durch Regel und durch Umformen.
4. Anwendung: Erfinde eine Sachaufgabe mit einer Änderungsrate.

Lernkontrolle

1. Regelwahl: Begründe bei drei Funktionen die passende Regel.
2. Fehleranalyse: Erkläre, warum $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$ falsch ist.
3. Strategie: Beschreibe einen Ablauf zur Auswahl mehrerer Regeln.
4. Transfer: Untersuche $\frac{x(2x+1{)}^3}{x^2+1}$ und nenne die Reihenfolge der Regeln.
5. Kontrolle: Prüfe eine selbst gewählte Ableitung durch Umformen oder Ausmultiplizieren.

Lernnachweis

Wichtig sind die sichere Regelwahl, richtige Formeln, verständliche Rechenschritte, das Verbinden mehrerer Regeln und die Erklärung typischer Fehler.

Links

Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel Ableitung Differentialrechnung Produktregel Quotientenregel Kettenregel Potenzregel