Negative Zahlen kennenlernen
Negative Zahlen kennenlernen
Negative Zahlen kennenlernen - Zahlen
Einleitung
Negative Zahlen begegnen Dir überall dort, wo Werte unter Null beschrieben werden: bei Temperaturen unter dem Gefrierpunkt, bei einem Kontostand im Minus, bei Höhen unter dem Meeresspiegel, bei Spielständen, bei Fahrstühlen mit Untergeschossen oder bei Bewegungen nach links und rechts auf einer Zahlengerade. In diesem aiMOOC lernst Du, was negative Zahlen sind, wie Du sie auf der Zahlengerade findest, wie Du sie vergleichst und wie Du erste Rechnungen mit ihnen verstehst.
Negative Zahlen gehören zu den Zahlen, die kleiner als 0 sind. Man erkennt sie am Minuszeichen vor der Zahl, zum Beispiel −1, −5 oder −12. Positive Zahlen sind größer als 0. Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ. Zusammen mit der 0 und den positiven ganzen Zahlen bilden die negativen ganzen Zahlen die ganzen Zahlen.
Zielgruppe und Lernniveau
Dieser Kurs ist für Lernende geeignet, die den Zahlenstrahl mit positiven Zahlen bereits kennen und nun die Erweiterung zur Zahlengerade kennenlernen. Er passt besonders zu Mathematik in Klasse 5 bis 7, kann aber auch zur Wiederholung in höheren Klassen genutzt werden.
Nach diesem aiMOOC kannst Du:
- Negative Zahlen als Zahlen kleiner als 0 erkennen und beschreiben.
- Zahlen auf einer Zahlengerade ablesen, eintragen und ordnen.
- Vorzeichen, Betrag und Gegenzahl unterscheiden.
- Alltagssituationen mit negativen Zahlen deuten.
- einfache Additionen und Subtraktionen mit negativen Zahlen anschaulich erklären.
Grundidee: Warum brauchen wir negative Zahlen?
Wenn Du nur mit natürlichen Zahlen rechnest, kannst Du 0, 1, 2, 3 und so weiter darstellen. Damit kannst Du zählen: 3 Äpfel, 12 Stifte oder 25 Punkte. Aber viele Situationen im Alltag brauchen Zahlen unter 0. Wenn es draußen −4 Grad Celsius sind, ist die Temperatur niedriger als 0 Grad Celsius. Wenn ein Konto −20 Euro zeigt, ist nicht einfach nichts da, sondern es fehlen 20 Euro. Wenn ein Taucher 8 Meter unter der Wasseroberfläche ist, kann seine Höhe als −8 Meter beschrieben werden, wenn die Wasseroberfläche als 0 Meter gilt.
Negative Zahlen erweitern also unseren Zahlenbereich. Sie machen es möglich, Gegensätze mathematisch zu beschreiben: warm und kalt, Gewinn und Verlust, über und unter, vorwärts und rückwärts, rechts und links.
Positive Zahlen, negative Zahlen und die Null
Eine Zahl mit einem Minuszeichen davor ist negativ, wenn sie kleiner als 0 ist. Beispiele sind −1, −2, −7 und −100. Eine Zahl ist positiv, wenn sie größer als 0 ist. Beispiele sind 1, 2, 7 und 100. Das Pluszeichen wird bei positiven Zahlen meistens weggelassen: Statt +5 schreibt man meist einfach 5.
Die Null ist eine besondere Zahl. Sie ist nicht positiv und nicht negativ. Auf der Zahlengerade ist sie der Mittelpunkt zwischen den positiven und negativen Zahlen. Von ihr aus kannst Du nach rechts zu den positiven Zahlen gehen und nach links zu den negativen Zahlen.
| Schreibweise | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| +7 oder 7 | positive Zahl | 7 Meter über dem Meeresspiegel |
| 0 | weder positiv noch negativ | Gefrierpunkt von Wasser bei 0 Grad Celsius |
| −7 | negative Zahl | 7 Meter unter dem Meeresspiegel |
Die Zahlengerade
Die Zahlengerade ist eine Gerade, auf der Zahlen geordnet dargestellt werden. Nach rechts werden die Zahlen größer, nach links werden sie kleiner. Die Null steht in der Mitte eines betrachteten Ausschnitts. Rechts von 0 stehen die positiven Zahlen, links von 0 die negativen Zahlen.
Auf der Zahlengerade gilt:
- Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.
- Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.
- −1 liegt links von 0, aber rechts von −2.
- Deshalb ist −1 größer als −2.
- −8 ist kleiner als −3, weil −8 weiter links liegt.
Das ist für viele Lernende zunächst ungewohnt. Bei positiven Zahlen ist 8 größer als 3. Bei negativen Zahlen ist −8 aber kleiner als −3, weil −8 weiter von 0 nach links entfernt liegt.
Vergleichen und Ordnen negativer Zahlen
Beim Vergleichen negativer Zahlen hilft Dir die Zahlengerade. Die Zahl, die weiter rechts steht, ist größer. Die Zahl, die weiter links steht, ist kleiner.
Beispiele:
- −2 ist größer als −5, denn −2 liegt weiter rechts.
- −9 ist kleiner als −4, denn −9 liegt weiter links.
- 3 ist größer als −3, denn jede positive Zahl ist größer als jede negative Zahl.
- 0 ist größer als −1, aber kleiner als 1.
Merksatz: Bei negativen Zahlen bedeutet eine größere Ziffer nicht automatisch eine größere Zahl. −10 ist kleiner als −2, weil −10 weiter links auf der Zahlengerade steht.
Betrag und Gegenzahl
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0 auf der Zahlengerade. Abstände sind nie negativ. Deshalb ist der Betrag von −5 gleich 5. Man schreibt: |−5| = 5. Auch der Betrag von 5 ist 5. Beide Zahlen sind gleich weit von 0 entfernt.
Die Gegenzahl einer Zahl hat den gleichen Betrag, aber das andere Vorzeichen. Die Gegenzahl von 7 ist −7. Die Gegenzahl von −7 ist 7. Zahl und Gegenzahl liegen auf der Zahlengerade gleich weit von 0 entfernt, aber auf verschiedenen Seiten.
| Zahl | Betrag | Gegenzahl |
|---|---|---|
| −8 | 8 | 8 |
| −3 | 3 | 3 |
| 0 | 0 | 0 |
| 4 | 4 | −4 |
| 11 | 11 | −11 |
Negative Zahlen im Alltag
Negative Zahlen sind nicht nur ein Thema im Mathematikheft. Sie helfen dabei, echte Situationen genau zu beschreiben.
| Situation | Bedeutung der Null | Negative Zahl |
|---|---|---|
| Temperatur | 0 Grad Celsius | −6 Grad Celsius bedeutet 6 Grad unter 0 |
| Kontostand | 0 Euro | −25 Euro bedeutet 25 Euro Schulden |
| Höhe | Meeresspiegel | −10 Meter bedeutet 10 Meter unter dem Meeresspiegel |
| Fahrstuhl | Erdgeschoss | −1 kann ein Untergeschoss bedeuten |
| Spielstand | ausgeglichener Punktestand | −3 Punkte kann ein Rückstand bedeuten |
Erste Rechenideen mit negativen Zahlen
Auf der Zahlengerade kannst Du Rechenaufgaben als Bewegungen verstehen. Eine positive Zahl addieren bedeutet: Du gehst nach rechts. Eine negative Zahl addieren bedeutet: Du gehst nach links.
Beispiele:
- 2 + 3 = 5: Starte bei 2 und gehe 3 Schritte nach rechts.
- 2 + −3 = −1: Starte bei 2 und gehe 3 Schritte nach links.
- −4 + 2 = −2: Starte bei −4 und gehe 2 Schritte nach rechts.
- −4 + −2 = −6: Starte bei −4 und gehe 2 Schritte nach links.
Bei der Subtraktion kannst Du zunächst an Wegnehmen denken. Später lernst Du: Eine Zahl zu subtrahieren bedeutet, ihre Gegenzahl zu addieren. Zum Einstieg reicht die Vorstellung auf der Zahlengerade: Minus kann die Richtung verändern. Besonders wichtig ist, die Aufgabe langsam zu lesen und auf das Vorzeichen zu achten.
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Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest
Viele Fehler beim Umgang mit negativen Zahlen entstehen, weil man nur auf die Ziffer schaut. Die Ziffer 9 sieht größer aus als die Ziffer 2. Trotzdem ist −9 kleiner als −2. Entscheidend ist die Lage auf der Zahlengerade.
Ein weiterer Fehler ist das Verwechseln von Minuszeichen und Rechenzeichen. In −5 beschreibt das Minuszeichen das Vorzeichen der Zahl. In 8 − 5 beschreibt das Minuszeichen eine Subtraktion. Manchmal stehen beide Bedeutungen nah beieinander, zum Beispiel bei 8 − −5. Dann helfen Klammern und die Idee der Gegenzahl.
Lernstrategie: So wirst Du sicherer
Arbeite mit Bildern, Sprache und Bewegung. Zeichne eine Zahlengerade, markiere die Null, trage positive und negative Zahlen ein und sprich laut: „Nach rechts wird es größer, nach links wird es kleiner.“ Verbinde Rechenaufgaben mit Alltagssituationen. Wenn Du −6 Grad Celsius hörst, stell Dir ein Thermometer vor. Wenn Du −20 Euro hörst, stell Dir einen Kontostand vor. So wird aus einem abstrakten Zeichen eine verständliche Bedeutung.
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Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Welche Zahl ist negativ? (−4) (!0) (!3) (!12)
Wo liegen negative Zahlen auf der Zahlengerade? (Links von der Null) (!Rechts von der Null) (!Immer über der Zahlengerade) (!Immer zwischen 1 und 10)
Welche Aussage über die Null ist richtig? (Die Null ist weder positiv noch negativ) (!Die Null ist immer negativ) (!Die Null ist immer positiv) (!Die Null hat keinen Platz auf der Zahlengerade)
Welche Zahl ist größer? (−2) (!−5) (!−8) (!−10)
Was ist der Betrag von −7? (7) (!−7) (!0) (!14)
Was ist die Gegenzahl von −9? (9) (!−9) (!0) (!−18)
Was bedeutet ein Kontostand von −30 Euro? (Man hat 30 Euro Schulden) (!Man besitzt genau 30 Euro) (!Man hat keinen Kontostand) (!Man bekommt automatisch 30 Euro geschenkt)
Welche Zahl liegt am weitesten links auf der Zahlengerade? (−12) (!−3) (!0) (!5)
Was passiert auf der Zahlengerade, wenn Du eine positive Zahl addierst? (Du gehst nach rechts) (!Du gehst immer nach links) (!Du springst immer zur Null) (!Du verlässt die Zahlengerade)
Welche Rechnung passt zu drei Schritten nach links ab der Zahl 1? (1 + −3 = −2) (!1 + 3 = 4) (!1 − 0 = 1) (!−3 + 3 = 0)
Memory
| Minuszeichen | Kennzeichen negativer Zahlen |
| Null | Weder positiv noch negativ |
| Zahlengerade | Geordnete Darstellung von Zahlen |
| Betrag | Abstand von der Null |
| Gegenzahl | Gleich weit entfernt mit anderem Vorzeichen |
| Temperatur | Beispiel für Werte unter null |
| Schulden | Beispiel für einen negativen Kontostand |
| Rechts | Richtung größerer Zahlen |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| −8 | Am weitesten links |
| −3 | Negative Zahl näher an der Null |
| 0 | Weder positiv noch negativ |
| 4 | Positive Zahl |
| 9 | Am weitesten rechts |
Kreuzworträtsel
| Vorzeichen | Wie heißt das Zeichen, das angibt, ob eine Zahl positiv oder negativ ist? |
| Betrag | Wie heißt der Abstand einer Zahl von der Null? |
| Null | Welche Zahl ist weder positiv noch negativ? |
| Temperatur | Bei welcher Alltagsgröße kommen Werte unter null häufig vor? |
| Schulden | Was kann ein negativer Kontostand bedeuten? |
| Zahlengerade | Auf welcher Darstellung ordnet man positive und negative Zahlen? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von −10 bis 10 und markiere die Zahlen −7, −3, 0, 4 und 9.
- Thermometer lesen: Notiere fünf Temperaturen, darunter mindestens zwei negative Temperaturen, und erkläre ihre Bedeutung.
- Vorzeichen erkennen: Sammle zehn Zahlen aus Schulbuch, Alltag oder Internet und ordne sie in positiv, negativ und null ein.
- Zahlen vergleichen: Schreibe fünf Zahlenpaare mit negativen Zahlen auf und entscheide jeweils, welche Zahl größer ist.
Standard
- Alltagssituationen modellieren: Erfinde vier kurze Alltagssituationen, in denen negative Zahlen sinnvoll sind, und gib passende Zahlenwerte an.
- Betrag und Gegenzahl: Erstelle eine Tabelle mit zehn Zahlen und ergänze jeweils Betrag und Gegenzahl.
- Kontostand erklären: Beschreibe in einem kurzen Text, was bei einem Kontostand von 15 Euro, 0 Euro und −15 Euro unterschiedlich ist.
- Rechenwege darstellen: Löse fünf Aufgaben mit negativen Zahlen und zeichne zu jeder Aufgabe eine Bewegung auf der Zahlengerade.
Schwer
- Fehleranalyse: Erkläre, warum die Aussage „−9 ist größer als −3, weil 9 größer als 3 ist“ falsch ist.
- Lernplakat gestalten: Gestalte ein übersichtliches Plakat zu negativen Zahlen mit Zahlengerade, Merksätzen und Alltagsbeispielen.
- Erklärvideo planen: Schreibe ein Drehbuch für ein zweiminütiges Erklärvideo zum Thema negative Zahlen.
- Mathematische Argumentation: Begründe mit Hilfe der Zahlengerade, warum −1 größer als −4 ist und warum 0 größer als jede negative Zahl ist.
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Lernkontrolle
- Zahlengerade anwenden: Erkläre anhand einer selbst gezeichneten Zahlengerade, warum −6 kleiner als −2 ist.
- Alltagsmodell übertragen: Beschreibe eine Situation aus dem Alltag mit einer negativen Zahl und übertrage sie in eine mathematische Darstellung.
- Begriffe vernetzen: Erkläre den Zusammenhang zwischen Vorzeichen, Betrag und Gegenzahl an drei selbst gewählten Beispielen.
- Fehler begründen: Eine Person sagt: „−12 ist größer als −5.“ Erkläre den Fehler und formuliere eine richtige Begründung.
- Rechenwege reflektieren: Vergleiche zwei Lösungswege für die Aufgabe −3 + 5 und erkläre, welcher Dir mehr hilft.
- Transferaufgabe Temperatur: Die Temperatur steigt von −4 Grad Celsius um 7 Grad. Erkläre mit Worten und mit einer Rechnung, welche Temperatur erreicht wird.
- Transferaufgabe Konto: Ein Konto steht bei −18 Euro. Danach werden 25 Euro eingezahlt. Erkläre, ob der neue Kontostand positiv, negativ oder null ist.
Lernnachweis
Für einen Lernnachweis zum Thema Negative Zahlen solltest Du zeigen, dass Du nicht nur Aufgaben ausrechnen, sondern die Bedeutung der Zahlen erklären kannst. Wichtig sind:
- Begriffssicherheit: Du kannst erklären, was negative Zahlen, positive Zahlen und die Null bedeuten.
- Zahlengerade: Du kannst Zahlen auf der Zahlengerade eintragen, ablesen, vergleichen und ordnen.
- Alltagsbezug: Du kannst negative Zahlen in Situationen wie Temperatur, Kontostand, Höhe oder Spielstand deuten.
- Betrag: Du kannst den Betrag einer Zahl als Abstand von 0 erklären.
- Gegenzahl: Du kannst zu einer Zahl die Gegenzahl finden und ihre Lage auf der Zahlengerade beschreiben.
- Rechenverständnis: Du kannst einfache Additionen und Subtraktionen mit Bewegungen auf der Zahlengerade erklären.
- Argumentation: Du kannst begründen, warum eine negative Zahl größer oder kleiner als eine andere negative Zahl ist.
- Darstellung: Du kannst Deine Lösung mit Skizze, Tabelle, Text oder Rechnung nachvollziehbar darstellen.
OERs zum Thema
Zusammenfassung
Negative Zahlen erweitern den bekannten Zahlenbereich unter die Null. Sie werden mit einem Minuszeichen geschrieben und liegen auf der Zahlengerade links von 0. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Deshalb ist −2 größer als −8. Die Null ist weder positiv noch negativ. Der Betrag einer Zahl beschreibt ihren Abstand von 0. Die Gegenzahl hat denselben Betrag, aber das andere Vorzeichen. Im Alltag helfen negative Zahlen, Temperaturen unter 0, Schulden, Höhen unter einem Bezugspunkt oder Rückstände zu beschreiben.
Links
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THE MONKEY DANCE
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