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Nebenwinkel Scheitelwinkel Stufenwinkel Wechselwinkel - aiMOOC

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Nebenwinkel Scheitelwinkel Stufenwinkel Wechselwinkel - aiMOOC



Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten Winkelpaare kennen, die beim Schneiden von Geraden entstehen: Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel. Diese Begriffe helfen Dir, unbekannte Winkelgrößen zu berechnen, ohne jeden Winkel einzeln messen zu müssen. Besonders in der Geometrie, bei Dreiecken, Parallelen, Konstruktionen und Beweisen sind diese Winkelbeziehungen grundlegend.

Du arbeitest in diesem Kurs mit der MediaWiki-Extension Math. Deshalb werden wichtige Zusammenhänge auch als mathematische Formeln dargestellt, zum Beispiel α+β=180 oder α=γ. So lernst Du nicht nur die Begriffe, sondern auch die mathematische Schreibweise.


Vorwissen: Winkel und Geraden

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Halbgeraden einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Dieser gemeinsame Punkt heißt Scheitelpunkt, die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels. Die Größe eines Winkels wird meist in Grad angegeben. Ein voller Winkel hat 360, ein gestreckter Winkel hat 180, ein rechter Winkel hat 90.

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel. Diese vier Winkel stehen in festen Beziehungen zueinander. Manche Winkel liegen nebeneinander, manche gegenüber. Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, entstehen zusätzlich besondere Winkelbeziehungen zwischen den beiden Schnittpunkten.


Grundbegriffe

  1. Scheitelpunkt: Der gemeinsame Punkt, an dem sich die Schenkel eines Winkels treffen.
  2. Schenkel: Die beiden Halbgeraden, die einen Winkel begrenzen.
  3. Gerade: Eine unendlich lange, gerade Linie ohne Anfang und Ende.
  4. Parallele: Zwei Geraden, die in einer Ebene immer denselben Abstand haben und sich nicht schneiden.
  5. Transversale: Eine Gerade, die zwei oder mehrere andere Geraden schneidet.
  6. Winkelmaß: Die Größe eines Winkels, meist angegeben in Grad.


Nebenwinkel

Nebenwinkel sind zwei Winkel, die einen gemeinsamen Schenkel haben und deren andere Schenkel zusammen eine Gerade bilden. Sie liegen also direkt nebeneinander an einer Geradenkreuzung. Zusammen ergeben Nebenwinkel immer einen gestreckten Winkel.

Für Nebenwinkel gilt:

α+β=180

Wenn Du einen Nebenwinkel kennst, kannst Du den anderen berechnen:

β=180α

Beispiel: Wenn α=65, dann ist der Nebenwinkel

β=18065=115.

Nebenwinkel sind besonders nützlich, wenn Du an einer Geradenkreuzung nur einen Winkel gegeben hast. Da ein gestreckter Winkel immer 180 misst, kannst Du den benachbarten Winkel sofort berechnen.


Merksatz Nebenwinkel

Nebenwinkel ergänzen sich immer zu 180.


Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind zwei Winkel, die sich an einer Geradenkreuzung gegenüberliegen. Sie haben denselben Scheitelpunkt, aber keinen gemeinsamen Schenkel. Ihre Schenkel liegen jeweils auf denselben Geraden, nur in entgegengesetzter Richtung.

Für Scheitelwinkel gilt:

α=γ

und

β=δ

Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Das lässt sich mit Nebenwinkeln begründen: Wenn zwei benachbarte Winkel zusammen 180 ergeben und der gegenüberliegende Winkel ebenfalls denselben Nebenwinkel ergänzt, müssen die beiden gegenüberliegenden Winkel gleich groß sein.

Beispiel: Wenn ein Winkel an einer Geradenkreuzung 48 groß ist, dann ist sein Scheitelwinkel ebenfalls 48. Die beiden Nebenwinkel sind jeweils

18048=132.


Merksatz Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.


Stufenwinkel

Stufenwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden, der Transversale, geschnitten werden. Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten in entsprechender Lage. Man kann sie sich wie zwei Winkel vorstellen, die auf derselben „Stufe“ stehen: beide liegen zum Beispiel oberhalb einer Parallelen und auf derselben Seite der Transversalen.

Wenn die geschnittenen Geraden parallel sind, gilt:

α=α

Allgemein formuliert:

Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.

Beispiel: Zwei parallele Geraden werden von einer Transversalen geschnitten. Ein Stufenwinkel ist 72 groß. Dann ist der zugehörige Stufenwinkel am anderen Schnittpunkt ebenfalls 72 groß.

Der Stufenwinkelsatz ist auch umkehrbar: Wenn entsprechende Stufenwinkel gleich groß sind, kann man daraus schließen, dass die beiden Geraden parallel sind. Das ist wichtig für geometrische Beweise.


Merksatz Stufenwinkel

Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.


Wechselwinkel

Wechselwinkel entstehen ebenfalls, wenn zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten werden. Sie liegen an unterschiedlichen Schnittpunkten und auf unterschiedlichen Seiten der Transversalen. Häufig liegen sie im Inneren zwischen den parallelen Geraden. Darum werden sie auch als innere Wechselwinkel betrachtet, wenn sie zwischen den Parallelen liegen.

Wenn die geschnittenen Geraden parallel sind, gilt:

α=β

Allgemein formuliert:

Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.

Beispiel: Zwei parallele Geraden werden von einer Transversalen geschnitten. Ein Wechselwinkel ist 110 groß. Dann ist der dazugehörige Wechselwinkel ebenfalls 110 groß. Der Nebenwinkel dazu ist

180110=70.


Merksatz Wechselwinkel

Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.


Überblick über die vier Winkelpaare

Winkelpaar Entstehung Lage Wichtige Beziehung
Nebenwinkel Zwei sich schneidende Geraden Nebeneinander α+β=180
Scheitelwinkel Zwei sich schneidende Geraden Gegenüberliegend α=γ
Stufenwinkel Zwei parallele Geraden mit Transversale Entsprechende Lage α=α
Wechselwinkel Zwei parallele Geraden mit Transversale Gegenseitige Lage an der Transversalen α=β


Rechenstrategien

Beim Berechnen unbekannter Winkel hilft eine klare Reihenfolge. Zuerst suchst Du nach gegebenen Winkeln. Dann prüfst Du, ob ein gesuchter Winkel ein Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel oder Wechselwinkel zu einem bekannten Winkel ist. Danach verwendest Du die passende Formel.


Strategie 1: Nebenwinkel nutzen

Wenn zwei Winkel nebeneinander auf einer Geraden liegen, rechnest Du:

gesuchter Winkel=180bekannter Winkel

Beispiel:

α=38

β=18038=142


Strategie 2: Scheitelwinkel nutzen

Wenn zwei Winkel gegenüberliegen, sind sie gleich groß:

α=γ

Beispiel:

α=124

γ=124


Strategie 3: Stufenwinkel an Parallelen nutzen

Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten werden, sind entsprechende Stufenwinkel gleich groß:

α=α

Beispiel:

α=57

α=57


Strategie 4: Wechselwinkel an Parallelen nutzen

Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten werden, sind Wechselwinkel gleich groß:

α=β

Beispiel:

α=103

β=103


Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

  1. Nebenwinkel: Verwechsle Nebenwinkel nicht mit Scheitelwinkeln. Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergeben zusammen 180.
  2. Scheitelwinkel: Scheitelwinkel liegen gegenüber und sind gleich groß. Sie ergeben nicht zusammen 180, außer jeder ist 90.
  3. Stufenwinkel: Stufenwinkel sind nur dann sicher gleich groß, wenn die beiden geschnittenen Geraden parallel sind.
  4. Wechselwinkel: Achte auf die Lage. Wechselwinkel wechseln die Seite der Transversalen.
  5. Parallele: Prüfe immer, ob Parallelität gegeben ist. Ohne Parallelität gelten Stufenwinkel- und Wechselwinkelsatz nicht automatisch.


Anwendung im Alltag

Winkelpaare kommen nicht nur im Mathematikheft vor. Du findest sie bei Straßenkreuzungen, Bahnschienen, Architektur, Brücken, Fensterrahmen, Fliesenmustern und technischen Zeichnungen. Wenn parallele Linien von einer dritten Linie geschnitten werden, entstehen häufig Stufenwinkel und Wechselwinkel. Beim Prüfen, ob zwei Kanten parallel sind, können gleiche Stufenwinkel oder gleiche Wechselwinkel als Argument dienen.


Video

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Beispielaufgaben mit Lösungen


Beispiel 1: Nebenwinkel

Gegeben ist α=76. Gesucht ist der Nebenwinkel β.

β=18076=104

Antwort: Der Nebenwinkel ist 104 groß.


Beispiel 2: Scheitelwinkel und Nebenwinkel

An einer Geradenkreuzung ist ein Winkel 41 groß. Gesucht sind die drei anderen Winkel.

Der Scheitelwinkel ist gleich groß:

41

Die beiden Nebenwinkel sind:

18041=139

Antwort: Die vier Winkel sind 41, 139, 41 und 139.


Beispiel 3: Stufenwinkel

Zwei parallele Geraden werden von einer Transversalen geschnitten. Ein Stufenwinkel ist 84 groß.

α=α=84

Antwort: Der entsprechende Stufenwinkel ist 84 groß.


Beispiel 4: Wechselwinkel und Nebenwinkel kombiniert

Zwei parallele Geraden werden von einer Transversalen geschnitten. Ein Wechselwinkel ist 118 groß. Gesucht ist ein benachbarter Nebenwinkel.

Der Wechselwinkel ist gleich groß:

118

Der Nebenwinkel dazu ist:

180118=62

Antwort: Der benachbarte Nebenwinkel ist 62 groß.


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Wie groß ist die Summe zweier Nebenwinkel? (180 Grad) (!90 Grad) (!270 Grad) (!360 Grad)




Welche Aussage über Scheitelwinkel ist richtig? (Scheitelwinkel sind gleich groß) (!Scheitelwinkel ergeben immer 180 Grad) (!Scheitelwinkel liegen nebeneinander) (!Scheitelwinkel entstehen nur an Kreisen)




Wann sind Stufenwinkel gleich groß? (Wenn die geschnittenen Geraden parallel sind) (!Wenn die Geraden senkrecht zur Tafel stehen) (!Wenn ein Winkel spitz ist) (!Wenn die Winkel nebeneinander liegen)




Wie nennt man eine Gerade, die zwei andere Geraden schneidet? (Transversale) (!Diagonale) (!Mittelsenkrechte) (!Tangente)




Welche Formel passt zu Nebenwinkeln? (alpha plus beta gleich 180 Grad) (!alpha gleich beta plus 180 Grad) (!alpha mal beta gleich 180 Grad) (!alpha minus beta gleich 180 Grad)




Welche Winkel liegen sich an einer Geradenkreuzung gegenüber? (Scheitelwinkel) (!Nebenwinkel) (!Stufenwinkel) (!Nullwinkel)




Was gilt für Wechselwinkel an parallelen Geraden? (Sie sind gleich groß) (!Sie ergeben immer 360 Grad) (!Sie sind immer rechte Winkel) (!Sie liegen immer nebeneinander)




Ein Winkel ist 40 Grad groß. Wie groß ist sein Nebenwinkel? (140 Grad) (!40 Grad) (!90 Grad) (!220 Grad)




Ein Winkel ist 73 Grad groß. Wie groß ist sein Scheitelwinkel? (73 Grad) (!17 Grad) (!107 Grad) (!180 Grad)




Welche Voraussetzung ist für den Stufenwinkelsatz besonders wichtig? (Die geschnittenen Geraden sind parallel) (!Die Winkel werden mit dem Zirkel gezeichnet) (!Alle Winkel sind stumpf) (!Es gibt nur eine Gerade)





Memory

Nebenwinkel Ergänzen sich zu 180 Grad
Scheitelwinkel Liegen einander gegenüber
Stufenwinkel Haben entsprechende Lage
Wechselwinkel Liegen auf wechselnden Seiten
Transversale Schneidet zwei Geraden
Parallelen Schneiden sich nicht





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Nebenwinkel Zwei benachbarte Winkel ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel
Scheitelwinkel Zwei gegenüberliegende Winkel an einer Geradenkreuzung sind gleich groß
Stufenwinkel Zwei Winkel liegen an parallelen Geraden in entsprechender Lage
Wechselwinkel Zwei Winkel liegen an parallelen Geraden auf wechselnden Seiten der Transversalen
Transversale Eine Gerade schneidet zwei andere Geraden




...


Kreuzworträtsel

Winkel Wie heißt die geometrische Figur aus zwei Schenkeln mit gemeinsamem Scheitel?
Scheitel Wie heißt der gemeinsame Punkt der beiden Schenkel eines Winkels?
Nebenwinkel Welche Winkel ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel?
Stufenwinkel Welche Winkel liegen bei Parallelen in entsprechender Lage?
Wechselwinkel Welche Winkel wechseln die Seite der Transversalen?
Parallelen Welche Geraden schneiden sich in einer Ebene nicht?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Winkel entsteht aus zwei

mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier

. Zwei nebeneinanderliegende Winkel, deren äußere Schenkel eine Gerade bilden, heißen

. Nebenwinkel ergeben zusammen

Grad. Zwei gegenüberliegende Winkel an einer Geradenkreuzung heißen

. Scheitelwinkel sind immer

groß. Werden zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten, entstehen besondere Winkelbeziehungen. Stufenwinkel liegen in

Lage. Wechselwinkel liegen auf

Seiten der Transversalen. Stufenwinkel und Wechselwinkel sind nur dann sicher gleich groß, wenn die geschnittenen Geraden

sind.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Winkelpaare markieren: Zeichne zwei sich schneidende Geraden und markiere alle Nebenwinkel und Scheitelwinkel mit unterschiedlichen Farben.
  2. Nebenwinkel berechnen: Erfinde fünf eigene Aufgaben, bei denen ein Winkel gegeben ist und der Nebenwinkel berechnet werden muss.
  3. Scheitelwinkel erklären: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler mit einer Skizze, warum Scheitelwinkel gleich groß sind.
  4. Winkel im Klassenzimmer: Suche im Klassenzimmer Beispiele für Geradenkreuzungen und beschreibe, wo Nebenwinkel oder Scheitelwinkel vorkommen könnten.


Standard

  1. Parallelen untersuchen: Zeichne zwei parallele Geraden und eine Transversale. Markiere je zwei Stufenwinkel und zwei Wechselwinkel.
  2. Rechenweg darstellen: Löse drei Winkelaufgaben und schreibe zu jedem Schritt auf, welchen Winkelsatz Du verwendest.
  3. Fehler finden: Erstelle eine absichtlich falsche Lösung zu einer Winkelaufgabe und lasse eine andere Person den Fehler finden.
  4. Lernplakat gestalten: Gestalte ein Lernplakat mit den vier Winkelpaaren, jeweils einer Skizze, einem Merksatz und einer Formel.


Schwer

  1. Winkelsatz beweisen: Begründe mit Nebenwinkeln, warum Scheitelwinkel gleich groß sein müssen.
  2. Parallelität nachweisen: Entwickle eine Aufgabe, bei der man mithilfe gleicher Stufenwinkel oder Wechselwinkel zeigen kann, dass zwei Geraden parallel sind.
  3. Geometrisches Modell bauen: Baue mit Papierstreifen ein Modell aus zwei Parallelen und einer Transversalen und erkläre daran Stufenwinkel und Wechselwinkel.
  4. Erklärvideo produzieren: Drehe ein kurzes Erklärvideo, in dem Du alle vier Winkelpaare an einer selbst gezeichneten Figur erklärst.



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Lernkontrolle

  1. Winkelbeziehungen anwenden: In einer Zeichnung mit zwei parallelen Geraden und einer Transversalen ist ein Winkel mit 64 gegeben. Bestimme alle anderen Winkel und begründe jeden Schritt mit einem passenden Winkelsatz.
  2. Zusammenhänge erklären: Erkläre, warum Nebenwinkel und Scheitelwinkel auch ohne parallele Geraden auftreten, Stufenwinkel und Wechselwinkel aber für die Gleichheitsaussage parallele Geraden benötigen.
  3. Fehlvorstellung korrigieren: Eine Person behauptet: „Wechselwinkel sind immer gleich groß, egal wie die Geraden liegen.“ Prüfe diese Aussage und formuliere eine mathematisch korrekte Antwort.
  4. Transferaufgabe Architektur: Untersuche ein Foto eines Gebäudes, einer Brücke oder eines Fensters auf parallele Linien und Winkelpaare. Beschreibe, welche Winkelbeziehungen Du erkennst und wie sie beim Konstruieren helfen könnten.
  5. Beweisidee entwickeln: Entwickle eine kurze Begründung dafür, dass aus gleichen Stufenwinkeln die Parallelität zweier Geraden gefolgert werden kann.
  6. Eigene Prüfungsaufgabe: Entwirf eine anspruchsvolle Aufgabe mit Nebenwinkeln, Scheitelwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln. Gib eine vollständige Musterlösung an.




Lernnachweis

Bearbeite zum Lernnachweis eine vollständige Winkelanalyse. Zeichne zwei parallele Geraden und eine Transversale. Markiere acht Winkel, benenne sie mit α, β, γ, δ sowie α, β, γ, δ. Wähle einen Startwinkel, zum Beispiel α=68. Berechne alle übrigen Winkel und schreibe zu jedem berechneten Winkel, ob Du Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel oder Wechselwinkel verwendet hast.


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Links


Zusammenfassung

Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel sind zentrale Winkelbeziehungen der ebenen Geometrie. Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergeben zusammen 180. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß. Stufenwinkel entstehen bei zwei von einer Transversalen geschnittenen Geraden in entsprechender Lage; an parallelen Geraden sind sie gleich groß. Wechselwinkel liegen auf wechselnden Seiten der Transversalen; an parallelen Geraden sind sie ebenfalls gleich groß. Wer diese Beziehungen sicher erkennt, kann viele Winkelaufgaben logisch lösen, ohne alle Winkel messen zu müssen.

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Schulfach+

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Baden-Württemberg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Mittlere Reife

  1. Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler
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Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).

Bayern

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.

Berlin/Brandenburg

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Hamburg

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Hessen

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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  1. Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist
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Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.

Schleswig-Holstein

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  1. (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)

Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.

Mecklenburg-Vorpommern

Abitur

  1. (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)

Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.

Rheinland-Pfalz

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  1. (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)

Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.




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