Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme - aiMOOC

Einleitung

Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme gehören zur Stochastik und zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Zufallsexperiment heißt mehrstufig, wenn mehrere Zufallsvorgänge nacheinander durchgeführt werden. Beispiele sind das zweimalige Werfen einer Münze, das mehrmalige Werfen eines Würfels oder das Ziehen mehrerer Kugeln aus einer Urne.

Ein Baumdiagramm zeigt alle möglichen Abläufe eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Jeder vollständige Weg vom Start bis zu einem Endpunkt heißt Pfad. Die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen helfen Dir, Pfadwahrscheinlichkeiten und Ereigniswahrscheinlichkeiten systematisch zu berechnen.

Grundbegriffe

Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ergebnis vor der Durchführung nicht sicher vorhergesagt werden kann. Trotzdem kennt man die möglichen Ergebnisse. Beim mehrstufigen Zufallsexperiment besteht der Vorgang aus mehreren Stufen.

Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis

Ein einzelner möglicher Ausgang heißt Ergebnis. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge und wird oft mit $\Omega$ bezeichnet. Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen. Beim zweimaligen Münzwurf sind die Ergebnisse $KK$, $KZ$, $ZK$ und $ZZ$ möglich. Das Ereignis „genau einmal Kopf“ besteht aus $KZ$ und $ZK$.

Wahrscheinlichkeit

Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Sie liegt zwischen $0$ und $1$. Bei einem sicheren Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit $1$. Bei einem unmöglichen Ereignis beträgt sie $0$. Bei einem Laplace-Experiment gilt: Wahrscheinlichkeit gleich Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Baumdiagramme verstehen

Aufbau

Ein Baumdiagramm beginnt mit einem Startpunkt. Von dort verzweigen Äste zu den möglichen Ergebnissen der ersten Stufe. Von jedem Knoten aus verzweigt sich der Baum weiter zur nächsten Stufe.

1. Startpunkt: Beginn des Experiments.
2. Ast: Möglicher Ausgang einer Stufe.
3. Knoten: Verzweigungspunkt im Diagramm.
4. Pfad: Vollständiger Weg vom Start bis zum Endpunkt.
5. Endpunkt: Abschluss eines Ergebnisses.

Erste Pfadregel

Die erste Pfadregel lautet: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Beispiel: Wird eine faire Münze zweimal geworfen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und danach Zahl $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Zweite Pfadregel

Die zweite Pfadregel lautet: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Pfadwahrscheinlichkeiten addiert. Beispiel: Beim zweimaligen Münzwurf besteht das Ereignis „genau einmal Kopf“ aus $KZ$ und $ZK$. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

Merksatz: Entlang eines Pfades wird multipliziert, zwischen passenden Pfaden wird addiert.

Mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen

Ziehen mit Zurücklegen

Beim Ziehen mit Zurücklegen wird ein gezogener Gegenstand wieder zurückgelegt. Dadurch bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Liegen in einer Urne $3$ rote und $2$ blaue Kugeln, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Rot bei jeder Ziehung $\frac{3}{5}$. Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot mit Zurücklegen ist $\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$.

Ziehen ohne Zurücklegen

Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird ein gezogener Gegenstand nicht zurückgelegt. Dadurch ändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Liegen in einer Urne $3$ rote und $2$ blaue Kugeln, ist die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot $\frac{3}{5}$. Wurde Rot gezogen, liegen danach noch $2$ rote und $2$ blaue Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit für nochmals Rot beträgt dann $\frac{2}{4}$. Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ohne Zurücklegen ist $\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$.

Abhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit

Zwei Stufen sind unabhängig, wenn das Ergebnis der ersten Stufe die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe nicht verändert. Das ist oft beim Ziehen mit Zurücklegen der Fall. Zwei Stufen sind abhängig, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten ändern. Das ist oft beim Ziehen ohne Zurücklegen der Fall.

Eine Bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt eine Wahrscheinlichkeit unter einer Bedingung. Beim Ziehen ohne Zurücklegen hängt die Wahrscheinlichkeit der zweiten Ziehung davon ab, was in der ersten Ziehung passiert ist.

Gegenereignis

Das Gegenereignis zu einem Ereignis enthält alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Wenn die direkte Berechnung schwierig ist, kann das Gegenereignis helfen. Beispiel: Beim dreimaligen Würfeln ist „mindestens eine Sechs“ manchmal einfacher über das Gegenereignis „keine Sechs“ zu berechnen. Die Wahrscheinlichkeit für keine Sechs in drei Würfen ist $\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{125}{216}$. Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs $1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}$.

Typische Vorgehensweise

1. Aufgabe verstehen: Bestimme die Anzahl der Stufen.
2. Möglichkeiten bestimmen: Notiere die Ergebnisse jeder Stufe.
3. Baumdiagramm zeichnen: Zeichne alle Äste vollständig ein.
4. Wahrscheinlichkeiten eintragen: Schreibe die passende Wahrscheinlichkeit an jeden Ast.
5. Pfadregel anwenden: Multipliziere entlang eines Pfades.
6. Ereignis bestimmen: Markiere alle Pfade, die zum Ereignis gehören.
7. Wahrscheinlichkeit berechnen: Addiere die passenden Pfadwahrscheinlichkeiten.
8. Ergebnis prüfen: Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ liegt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment? (Ein Zufallsexperiment mit mehreren nacheinander ausgeführten Stufen) (!Ein Zufallsexperiment mit genau einem möglichen Ergebnis) (!Eine Rechnung ohne Wahrscheinlichkeiten) (!Ein Diagramm ohne Verzweigungen)

Was stellt ein vollständiger Pfad im Baumdiagramm dar? (Ein mögliches Ergebnis des gesamten Zufallsexperiments) (!Nur die erste Stufe) (!Eine einzelne Zahl ohne Bedeutung) (!Die Überschrift einer Aufgabe)

Welche Rechenart verwendest Du entlang eines Pfades? (Multiplikation) (!Addition) (!Subtraktion) (!Runden)

Welche Rechenart verwendest Du zwischen mehreren passenden Pfaden? (Addition) (!Multiplikation) (!Division durch die Anzahl der Stufen) (!Wurzelziehen)

Was passiert beim Ziehen ohne Zurücklegen? (Die Wahrscheinlichkeiten können sich nach jeder Ziehung ändern) (!Die Wahrscheinlichkeiten bleiben immer gleich) (!Die gezogene Kugel wird zurückgelegt) (!Es gibt keine zweite Stufe)

Was ist ein Ereignis? (Eine Menge von Ergebnissen) (!Immer nur ein einzelner Ast) (!Ein Baum ohne Endpunkte) (!Eine Zeichnung ohne Rechnung)

Welche Wahrscheinlichkeit hat ein sicheres Ereignis? (1) (!0) (!2) (!10)

Welche Wahrscheinlichkeit hat ein unmögliches Ereignis? (0) (!1) (!2) (!100)

Wann sind Ziehungen aus einer Urne typischerweise abhängig? (Beim Ziehen ohne Zurücklegen) (!Beim Ziehen mit Zurücklegen) (!Beim Werfen einer fairen Münze) (!Beim Drehen eines unveränderten Glücksrads)

Welche Aussage beschreibt das Gegenereignis richtig? (Es enthält alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören) (!Es enthält immer nur ein Ergebnis) (!Es hat immer die Wahrscheinlichkeit 1) (!Es wird nur beim Würfeln benutzt)

Memory

Pfad	Vollständiger Weg im Baumdiagramm
Stufe	Einzelner Schritt im Zufallsexperiment
Ereignis	Menge passender Ergebnisse
Produktregel	Multiplizieren entlang eines Pfades
Summenregel	Addieren passender Pfade
Gegenereignis	Alles außerhalb des Ereignisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Multiplizieren	Entlang eines Pfades
Addieren	Zwischen passenden Pfaden
Zurücklegen	Gleichbleibende Wahrscheinlichkeiten
Nicht zurücklegen	Veränderliche Wahrscheinlichkeiten
Gegenereignis	Rechnen mit 1 minus

Kreuzworträtsel

Pfad	Vollständiger Weg vom Start zum Endpunkt
Urne	Gefäß für Kugeln im Modell
Stufe	Einzelner Schritt im Zufallsexperiment
Ereignis	Menge von Ergebnissen
Laplace	Experiment mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen
Baum	Diagramm mit verzweigten Ästen

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Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Zufallsexperiment mit mehreren Schritten heißt . Ein vollständiger Weg im Baumdiagramm heißt . Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten . Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten . Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich oft die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Baumdiagramm zeichnen: Zeichne ein Baumdiagramm zum zweimaligen Werfen einer Münze und beschrifte alle Äste mit Wahrscheinlichkeiten.
2. Würfelaufgabe: Liste alle Ergebnisse beim zweimaligen Würfeln auf, bei denen die erste Zahl gerade ist.
3. Urnenmodell beschreiben: Erfinde eine Urne mit roten und blauen Kugeln und formuliere eine Aufgabe zum Ziehen mit Zurücklegen.
4. Pfadregel erklären: Erkläre in eigenen Worten, warum man entlang eines Pfades multipliziert.

Standard

1. Ziehen ohne Zurücklegen: Erstelle ein Baumdiagramm für eine Urne mit drei roten und zwei blauen Kugeln bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen.
2. Ereignis bestimmen: Markiere in einem Baumdiagramm alle Pfade, die zum Ereignis „genau eine rote Kugel“ gehören.
3. Gegenereignis nutzen: Löse eine Aufgabe mit mindestens drei Stufen über das Gegenereignis.
4. Fehleranalyse: Suche in einer Beispielrechnung drei Fehler und erkläre die Korrektur.

Schwer

1. Vergleich mit und ohne Zurücklegen: Vergleiche dieselbe Urnenaufgabe einmal mit Zurücklegen und einmal ohne Zurücklegen.
2. Eigenes Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu den beiden Pfadregeln.
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit untersuchen: Entwickle eine Aufgabe, in der die zweite Stufe von der ersten Stufe abhängt.
4. Alltagsbezug Stochastik: Finde ein Beispiel aus Alltag, Spiel oder Sport und modelliere es als mehrstufiges Zufallsexperiment.

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Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Erkläre, warum ein Baumdiagramm bei mehrstufigen Zufallsexperimenten hilfreich ist.
2. Transfer Urnenmodell: Übertrage eine Urnenaufgabe auf Lose, Karten oder Qualitätskontrolle.
3. Abhängigkeit erkennen: Vergleiche zwei Zufallsexperimente und entscheide, ob die Stufen abhängig oder unabhängig sind.
4. Gegenereignis bewerten: Entscheide bei mehreren Aufgaben, ob der direkte Weg oder das Gegenereignis einfacher ist.
5. Fehler im Baumdiagramm: Analysiere ein fehlerhaftes Baumdiagramm und verbessere die Astwahrscheinlichkeiten.
6. Modellkritik: Prüfe, welche Annahmen ein Baumdiagramm in einer realen Situation vereinfacht.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis erstellst Du ein eigenes vollständiges Beispiel zu einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Es soll eine Problemstellung, ein Baumdiagramm, passende Wahrscheinlichkeiten, mindestens eine Pfadwahrscheinlichkeit, ein Ereignis mit mehreren Pfaden und eine Erklärung zu Abhängigkeit oder Unabhängigkeit enthalten.

OERs zum Thema

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Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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