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Mathematische Probleme durch Zeichnen lösen - EKM

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Mathematische Probleme durch Zeichnen lösen - EKM




Mathematische Probleme durch Zeichnen lösen - EKM

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Einleitung

Beim Lösen von mathematischen Problemen ist eine gute Zeichnung oft der entscheidende Schritt. Sie macht sichtbar, was im Text steht, was gegeben ist, was gesucht wird und welche Beziehungen zwischen Zahlen, Größen, Formen oder Objekten bestehen. Dieser aiMOOC zeigt Dir, wie Du mathematische Probleme durch Zeichnen lösen kannst. Der Zusatz EKM wird in diesem Kurs als Hinweis auf ein eigenständiges, kompetenzorientiertes Mathematiklernen verstanden: Du sollst nicht nur Ergebnisse finden, sondern Deinen Weg darstellen, begründen, prüfen und verständlich erklären.

Eine mathematische Zeichnung muss nicht schön sein. Sie muss nützlich sein. Eine nützliche Zeichnung vereinfacht eine Situation, ordnet Informationen, zeigt Zusammenhänge und hilft Dir, einen passenden Lösungsweg zu entwickeln. Je nach Aufgabe kann eine Skizze, ein Zahlenstrahl, ein Balkenmodell, eine Tabelle, ein Baumdiagramm, ein Koordinatensystem, eine Planzeichnung, ein Flächenmodell oder eine Hilfslinie sinnvoll sein.

Zeichnen ist deshalb mehr als eine Hilfsstrategie: Es ist ein Teil des mathematischen Modellierens. Du übersetzt eine Situation aus Sprache, Alltag oder Geometrie in eine anschauliche Darstellung. Danach kannst Du rechnen, vergleichen, messen, systematisch zählen, begründen oder überprüfen. So wird aus einem scheinbar unübersichtlichen Problem eine bearbeitbare Aufgabe.


Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

  1. Problemverständnis: Du kannst wichtige Informationen in einer mathematischen Aufgabe erkennen und von unwichtigen Informationen unterscheiden.
  2. Darstellung: Du kannst eine passende Zeichnungsart für ein Problem auswählen.
  3. Mathematisches Modellieren: Du kannst Alltagssituationen in Skizzen, Modelle, Tabellen oder Diagramme übersetzen.
  4. Problemlösen: Du kannst mithilfe einer Zeichnung einen Lösungsweg entwickeln und durchführen.
  5. Argumentieren: Du kannst erklären, warum Deine Zeichnung zur Aufgabe passt.
  6. Kontrolle: Du kannst mithilfe Deiner Zeichnung prüfen, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist.
  7. Kommunikation: Du kannst anderen Deinen Lösungsweg übersichtlich zeigen.


Warum Zeichnen beim Problemlösen hilft

Eine Zeichnung hilft, weil sie das Arbeitsgedächtnis entlastet. Du musst nicht alle Informationen gleichzeitig im Kopf behalten. Stattdessen kannst Du Beziehungen sehen: Was gehört zusammen? Was ist größer? Was fehlt? Welche Reihenfolge ist wichtig? Welche Teile ergeben ein Ganzes?

Beim Zeichnen entstehen oft neue Ideen. Wenn Du zum Beispiel eine Sachaufgabe über Entfernungen auf einem Zahlenstrahl darstellst, erkennst Du Schritte, Abstände und Richtungen. Wenn Du eine Aufgabe über Mengen als Balkenmodell zeichnest, siehst Du Teile, Unterschiede und Summen. Wenn Du ein geometrisches Problem skizzierst, erkennst Du vielleicht eine hilfreiche Symmetrie, eine Hilfslinie oder eine Zerlegung in bekannte Formen.

Wichtig: Eine mathematische Zeichnung ist keine Kunstzeichnung. Sie darf einfach, schematisch und unvollständig sein, solange sie die mathematische Struktur richtig zeigt. Eine Zeichnung ist besonders hilfreich, wenn sie beschriftet ist und wenn Du sie während des Lösens veränderst, ergänzt oder prüfst.


Der EKM-Lösungsweg: Sehen, Zeichnen, Rechnen, Prüfen, Erklären

Ein guter Lösungsweg durch Zeichnen besteht aus mehreren Schritten. Diese Schritte helfen Dir besonders bei offenen Aufgaben, bei Textaufgaben, bei geometrischen Problemen und bei Aufgaben, in denen mehrere Informationen zusammenwirken.

  1. Lesen: Lies die Aufgabe genau und markiere, was gegeben und was gesucht ist.
  2. Verstehen: Formuliere in eigenen Worten, worum es geht.
  3. Auswählen: Entscheide, welche Zeichnungsart zur Aufgabe passt.
  4. Zeichnen: Stelle die Situation vereinfacht, übersichtlich und beschriftet dar.
  5. Mathematisieren: Übersetze die Zeichnung in Rechnungen, Gleichungen, Vergleiche oder Begründungen.
  6. Lösen: Führe die Rechnung oder Argumentation durch.
  7. Prüfen: Vergleiche Dein Ergebnis mit der Zeichnung und mit der Frage.
  8. Erklären: Schreibe einen Antwortsatz und beschreibe Deinen Weg.


Geeignete Zeichnungsarten

Zeichnungsart Wofür sie besonders geeignet ist Typische mathematische Idee
Skizze Eine Situation schnell sichtbar machen Informationen ordnen und Beziehungen erkennen
Zahlenstrahl Abstände, Veränderungen, Temperaturen, Wege, Zeiten Differenzen, Reihenfolge, Plus- und Minus-Schritte
Balkenmodell Teile und Ganzes, Vergleiche, mehr oder weniger Addition, Subtraktion, Verhältnis, Gleichung
Tabelle Systematisches Probieren, mehrere Fälle, Muster Strukturieren, vergleichen, fortsetzen
Baumdiagramm Kombinatorische Möglichkeiten Alle Fälle vollständig erfassen
Koordinatensystem Punkte, Lage, Zuordnungen, Graphen Zusammenhang zwischen zwei Größen
Planzeichnung Wege, Lagebeziehungen, Maßstab, Orientierung Räumliches Denken und Messen
Flächenmodell Multiplikation, Division, Brüche, Flächen Zerlegen, Ergänzen, Produkt verstehen
Hilfslinie Geometrische Beweise und Konstruktionen Verdeckte Zusammenhänge sichtbar machen


Zeichnung und mathematisches Denken

Eine Zeichnung ist dann mathematisch stark, wenn sie nicht nur etwas abbildet, sondern eine Beziehung zeigt. Beim Zahlenstrahl ist zum Beispiel nicht das Aussehen der Linie wichtig, sondern die Abstände, die Reihenfolge und die Richtung. Beim Balkenmodell ist nicht die Farbe wichtig, sondern die Länge der Balken und ihre Beschriftung. Beim Baumdiagramm ist nicht die Verzweigung als Bild wichtig, sondern die Vollständigkeit aller Möglichkeiten.

Du kannst Dir bei jeder Zeichnung drei Fragen stellen:

  1. Darstellung prüfen: Zeigt meine Zeichnung alle wichtigen Informationen?
  2. Beziehung erkennen: Sieht man in der Zeichnung, was zusammengehört?
  3. Lösungsweg finden: Kann ich aus der Zeichnung eine Rechnung, eine Gleichung oder eine Begründung ableiten?

Wenn eine Zeichnung diese drei Fragen beantwortet, ist sie für das Problemlösen hilfreich.


Beispiel 1: Eine Sachaufgabe mit Balkenmodell lösen

Aufgabe: Lina hat 28 Sticker. Max hat 12 Sticker mehr als Lina. Wie viele Sticker haben beide zusammen?

Zeichnungsidee: Ein Balkenmodell zeigt die Mengen von Lina und Max.

Person Darstellung Bedeutung
Lina 28 Lina hat 28 Sticker
Max 28 + 12 Max hat genauso viele wie Lina und zusätzlich 12

Aus der Zeichnung folgt: Max hat 28 + 12 = 40 Sticker. Zusammen haben beide 28 + 40 = 68 Sticker. Die Zeichnung hilft, weil sie zeigt, dass die 12 Sticker nicht die Menge von Max sind, sondern nur der Unterschied zwischen Lina und Max.

Antwort: Lina und Max haben zusammen 68 Sticker.


Beispiel 2: Eine Wegaufgabe mit Zahlenstrahl lösen

Aufgabe: Ein Zug fährt zuerst 45 km, dann weitere 38 km und danach 16 km zurück. Wie weit ist er vom Startpunkt entfernt?

Zeichnungsidee: Ein Zahlenstrahl zeigt Vorwärts- und Rückwärtsschritte. Vorwärts wird nach rechts gezeichnet, zurück nach links.

Schritt Bewegung Ergebnis auf dem Zahlenstrahl
Start bei 0 km 0 km
erster Schritt 45 km vorwärts 45 km
zweiter Schritt 38 km vorwärts 83 km
dritter Schritt 16 km zurück 67 km

Rechnung: 45 + 38 - 16 = 67

Antwort: Der Zug ist 67 km vom Startpunkt entfernt.


Beispiel 3: Ein geometrisches Problem durch Hilfslinien lösen

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In der Geometrie besteht die Schwierigkeit oft darin, die richtige Beziehung zu sehen. Eine Hilfslinie kann ein unbekanntes Problem in bekannte Teilprobleme verwandeln. Wenn Du zum Beispiel eine zusammengesetzte Figur untersuchst, kannst Du sie in Dreiecke, Rechtecke oder Quadrate zerlegen. Dann nutzt Du bekannte Formeln oder Eigenschaften.

Beim Zeichnen von Hilfslinien gelten drei Regeln:

  1. Genauigkeit: Zeichne so genau, dass Lage und Größenverhältnisse erkennbar sind.
  2. Beschriftung: Benenne Punkte, Strecken, Winkel und bekannte Werte.
  3. Begründung: Erkläre, warum die Hilfslinie erlaubt und hilfreich ist.

Eine Hilfslinie ist keine zusätzliche Information. Sie macht nur eine Beziehung sichtbar, die in der Figur schon angelegt ist.


Beispiel 4: Möglichkeiten mit Baumdiagramm finden

Aufgabe: Du hast ein rotes, ein blaues und ein grünes T-Shirt sowie eine schwarze und eine weiße Hose. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?

Ein Baumdiagramm hilft, alle Möglichkeiten vollständig zu sehen.

Erste Entscheidung Zweite Entscheidung Outfit
rotes T-Shirt schwarze Hose rot-schwarz
rotes T-Shirt weiße Hose rot-weiß
blaues T-Shirt schwarze Hose blau-schwarz
blaues T-Shirt weiße Hose blau-weiß
grünes T-Shirt schwarze Hose grün-schwarz
grünes T-Shirt weiße Hose grün-weiß

Die Zeichnung oder Tabelle zeigt: Zu jedem T-Shirt gibt es zwei Hosen. Also gibt es 3 · 2 = 6 Outfits.


Beispiel 5: Brüche mit einem Flächenmodell verstehen

Ein Flächenmodell hilft, Brüche sichtbar zu machen. Wenn ein Rechteck in vier gleich große Teile geteilt wird, steht jeder Teil für ein Viertel. Wenn drei dieser vier Teile markiert sind, ist der markierte Anteil drei Viertel.

Beim Rechnen mit Brüchen ist das Zeichnen besonders hilfreich, weil Du erkennst, ob Brüche gleichnamig gemacht werden müssen. Wenn Du zum Beispiel ein Halb und ein Viertel addieren möchtest, kannst Du ein Rechteck zuerst halbieren und danach jede Hälfte nochmals teilen. Dann siehst Du: Ein Halb entspricht zwei Vierteln. Also gilt: ein Halb plus ein Viertel sind drei Viertel.

Die Zeichnung erklärt nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Grund.


Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler Warum er problematisch ist Bessere Strategie
Die Zeichnung ist zu schön und zu langsam Du verlierst Zeit und konzentrierst Dich auf Details Zeichne einfach, schematisch und mathematisch
Die Zeichnung ist nicht beschriftet Andere können Deinen Weg nicht nachvollziehen Beschrifte Zahlen, Größen, Punkte und gesuchte Werte
Die Zeichnung zeigt unwichtige Details Der mathematische Kern wird verdeckt Zeichne nur, was für die Lösung wichtig ist
Die Zeichnung passt nicht zur Frage Du rechnest vielleicht am Problem vorbei Vergleiche die Zeichnung mit der gesuchten Größe
Die Zeichnung wird nach dem Rechnen nicht geprüft Fehler bleiben unentdeckt Nutze die Zeichnung für Überschlag und Kontrolle


Strategiekarte für Dein Heft

Du kannst diese Strategiekarte abschreiben und bei Aufgaben nutzen:

Frage an Dich selbst Mögliche Zeichnung
Geht es um Wege, Temperaturen, Schulden oder Zeit? Zahlenstrahl
Geht es um Teile, Ganzes oder Unterschiede? Balkenmodell
Geht es um Formen, Winkel, Flächen oder Strecken? Geometrische Skizze
Geht es um viele Möglichkeiten? Baumdiagramm
Geht es um Wertepaare oder Veränderungen? Koordinatensystem
Geht es um systematisches Probieren? Tabelle


EKM-Kompetenzen beim Zeichnen

Beim EKM-orientierten Lernen zählt nicht nur das richtige Ergebnis. Entscheidend ist, wie Du denkst, darstellst und erklärst. Eine Zeichnung kann deshalb mehrere Kompetenzen sichtbar machen.

Kompetenz Woran man sie erkennt
Verstehen Du zeichnest die gegebene Situation passend zur Aufgabe
Darstellen Du wählst eine geeignete Darstellungsform
Problemlösen Du nutzt die Zeichnung, um einen Lösungsweg zu finden
Rechnen Du leitest sinnvolle Rechnungen aus der Zeichnung ab
Argumentieren Du begründest Deine Schritte mithilfe der Zeichnung
Kommunizieren Du erklärst Deinen Weg so, dass andere ihn nachvollziehen können
Reflexion Du prüfst, ob Ergebnis, Zeichnung und Frage zusammenpassen


Partnerarbeit: Zeichnungen vergleichen

Zeichnen wird besonders wirksam, wenn Du mit anderen darüber sprichst. Zwei Lernende können dieselbe Aufgabe unterschiedlich zeichnen und trotzdem beide einen richtigen Lösungsweg finden. Vergleicht deshalb nicht nur Ergebnisse, sondern auch Darstellungen.

  1. Vergleich: Was ist in beiden Zeichnungen gleich?
  2. Unterschied: Welche Zeichnung zeigt die gesuchte Beziehung klarer?
  3. Verbesserung: Welche Beschriftung fehlt noch?
  4. Begründung: Welche Zeichnung hilft besser beim Erklären?
  5. Transfer: Für welche ähnliche Aufgabe wäre diese Zeichnung wieder nützlich?


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient eine mathematische Zeichnung beim Problemlösen vor allem? (Sie macht Beziehungen und wichtige Informationen sichtbar) (!Sie ersetzt immer jede Rechnung) (!Sie soll möglichst kunstvoll aussehen) (!Sie verhindert, dass man die Aufgabe lesen muss)




Welche Zeichnungsart passt besonders gut zu Abständen und Veränderungen? (Zahlenstrahl) (!Kreisdiagramm) (!Porträtzeichnung) (!Wortliste)




Welche Aussage beschreibt ein Balkenmodell am besten? (Es zeigt Teile, Ganzes und Unterschiede mit Strecken oder Balken) (!Es zeigt ausschließlich Winkel in Dreiecken) (!Es ist eine Landkarte mit Maßstab) (!Es ist eine Liste ohne mathematische Beziehungen)




Was solltest Du in einer Skizze unbedingt eintragen? (Wichtige Größen und gesuchte Werte) (!Alle Farben der echten Gegenstände) (!Möglichst viele Verzierungen) (!Nur die Überschrift der Aufgabe)




Wann ist ein Baumdiagramm besonders hilfreich? (Wenn alle Möglichkeiten systematisch erfasst werden sollen) (!Wenn eine Strecke gemessen werden soll) (!Wenn nur eine einzelne Zahl abgeschrieben wird) (!Wenn ein Kreis besonders schön gezeichnet werden soll)




Was bedeutet es, eine Aufgabe zu mathematisieren? (Eine Situation in mathematische Darstellungen oder Rechnungen zu übersetzen) (!Eine Aufgabe auswendig zu lernen) (!Eine Zeichnung ohne Bezug zur Frage zu malen) (!Nur den Antwortsatz abzuschreiben)




Welche Frage hilft beim Prüfen einer Zeichnung? (Passt die Zeichnung zur gesuchten Größe?) (!Ist die Zeichnung bunt genug?) (!Wurde möglichst klein geschrieben?) (!Kann man alle unwichtigen Details erkennen?)




Welche Zeichnung ist bei Bruchvorstellungen oft besonders nützlich? (Flächenmodell) (!Wetterkarte) (!Säulendiagramm ohne Werte) (!Comicfigur)




Was ist eine Hilfslinie in der Geometrie? (Eine zusätzlich eingezeichnete Linie, die vorhandene Beziehungen sichtbar macht) (!Eine beliebige Linie ohne Zweck) (!Eine Linie, die die Aufgabe verändert) (!Eine Linie, die alle Rechnungen verbietet)




Was gehört zu einem vollständigen Lösungsweg? (Zeichnung, Rechnung, Prüfung und Erklärung) (!Nur das Ergebnis ohne Begründung) (!Nur eine Überschrift) (!Nur eine schöne Farbe)





Memory

Skizze Situation vereinfacht darstellen
Zahlenstrahl Abstände und Veränderungen zeigen
Balkenmodell Teile und Ganzes vergleichen
Baumdiagramm Möglichkeiten vollständig ordnen
Hilfslinie Verdeckte Beziehungen sichtbar machen
Flächenmodell Brüche und Produkte anschaulich machen





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Zahlenstrahl Veränderungsschritte
Balkenmodell Teil-Ganzes-Vergleich
Baumdiagramm Kombinatorische Möglichkeiten
Koordinatensystem Wertepaare und Lage
Flächenmodell Brüche und Multiplikation
Hilfslinie Geometrische Beziehungen




Ordne jede Zeichnungsart dem Problemtyp zu, bei dem sie besonders hilfreich ist.


Kreuzworträtsel

Skizze Wie heißt eine vereinfachte Zeichnung einer Situation?
Tabelle Welche Darstellung ordnet Fälle in Zeilen und Spalten?
Massstab Welcher Begriff beschreibt das Verhältnis zwischen Zeichnung und Wirklichkeit?
Hilfslinie Welche Linie macht in der Geometrie versteckte Beziehungen sichtbar?
Kontrolle Wie heißt der Schritt, bei dem Du Ergebnis und Zeichnung prüfst?
Strategie Wie nennt man einen planvollen Weg zum Lösen eines Problems?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine mathematische Zeichnung hilft, ein

besser zu verstehen. Sie zeigt wichtige

und macht Beziehungen sichtbar. Bei Wegen und Veränderungen ist oft ein

sinnvoll. Wenn Teile und ein Ganzes verglichen werden, hilft ein

. Bei vielen Möglichkeiten kann ein

Ordnung schaffen. In der Geometrie kann eine

verborgene Zusammenhänge zeigen. Eine gute Zeichnung ist nicht unbedingt schön, sondern

. Nach dem Rechnen solltest Du Dein Ergebnis mit der Zeichnung

. Wenn Du Deinen Weg erklärst, zeigst Du mathematische

. So wird Zeichnen zu einer wichtigen

des Problemlösens.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Skizze erstellen: Wähle eine einfache Sachaufgabe aus Deinem Mathematikbuch und zeichne eine Skizze, in der alle wichtigen Informationen beschriftet sind.
  2. Zahlenstrahl nutzen: Erfinde eine Aufgabe mit Vorwärts- und Rückwärtsschritten und löse sie mithilfe eines Zahlenstrahls.
  3. Balkenmodell zeichnen: Zeichne zu einer Aufgabe mit „mehr als“ oder „weniger als“ ein Balkenmodell und erkläre, was jeder Balken bedeutet.
  4. Fehler finden: Zeichne absichtlich eine unvollständige Skizze zu einer Aufgabe und lasse eine Partnerin oder einen Partner erklären, welche Informationen fehlen.


Standard

  1. Sachaufgabe modellieren: Schreibe eine eigene Sachaufgabe aus dem Alltag und löse sie mit einer Zeichnung, einer Rechnung und einem Antwortsatz.
  2. Darstellungen vergleichen: Löse dieselbe Aufgabe einmal mit einer Tabelle und einmal mit einer Zeichnung. Vergleiche, welche Darstellung Dir mehr geholfen hat.
  3. Geometrie untersuchen: Zeichne eine zusammengesetzte Fläche, zerlege sie in bekannte Teilflächen und berechne den Flächeninhalt.
  4. Baumdiagramm entwickeln: Erfinde eine Kombinatorik-Aufgabe mit mindestens drei Entscheidungen und stelle alle Möglichkeiten in einem Baumdiagramm dar.


Schwer

  1. Problemlöseplakat: Gestalte ein Lernplakat mit mindestens fünf Zeichnungsarten, je einem Beispiel und einem Hinweis, wann die Zeichnung nützlich ist.
  2. Mathematische Erklärung: Nimm ein kurzes Erklärvideo auf, in dem Du eine schwierige Aufgabe nur mithilfe Deiner Zeichnung erklärst.
  3. Strategietest: Sammle drei unterschiedliche Aufgaben und entscheide begründet, welche Zeichnungsart jeweils am besten passt.
  4. Transferaufgabe: Entwickle eine offene Problemaufgabe, die man mit mehreren Zeichnungsarten lösen kann, und vergleiche die Lösungswege.



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Lernkontrolle

  1. Strategie begründen: Erkläre an einer selbst gewählten Aufgabe, warum Deine Zeichnungsart besser passt als zwei andere mögliche Darstellungen.
  2. Darstellung übertragen: Löse eine Textaufgabe zuerst mit einer Zeichnung und übersetze Deine Zeichnung anschließend in eine Gleichung.
  3. Fehleranalyse: Du erhältst eine falsche Lösung zu einer Sachaufgabe. Nutze eine Zeichnung, um zu zeigen, an welcher Stelle der Denkfehler liegt.
  4. Vergleich von Lösungswegen: Vergleiche zwei verschiedene Zeichnungen zur gleichen Aufgabe und bewerte, welche den Zusammenhang klarer zeigt.
  5. Alltagsproblem modellieren: Wähle ein reales Problem aus Schule, Sport, Einkauf oder Freizeit und entwickle eine passende Zeichnung zur mathematischen Lösung.
  6. Ergebnis prüfen: Zeige an einer Aufgabe, wie eine Zeichnung helfen kann, ein unplausibles Ergebnis zu erkennen.




Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du mathematische Probleme nicht nur berechnen, sondern auch darstellen, begründen und prüfen kannst.

  1. Aufgabensammlung: Sammle mindestens fünf Aufgaben, die Du durch Zeichnen gelöst hast.
  2. Darstellungsvielfalt: Verwende mindestens drei verschiedene Zeichnungsarten, zum Beispiel Skizze, Zahlenstrahl und Balkenmodell.
  3. Beschriftung: Achte darauf, dass jede Zeichnung vollständig und verständlich beschriftet ist.
  4. Rechenweg: Leite Deine Rechnung sichtbar aus der Zeichnung ab.
  5. Begründung: Erkläre in ganzen Sätzen, warum Deine Zeichnung zur Aufgabe passt.
  6. Kontrolle: Prüfe jedes Ergebnis mithilfe der Zeichnung und schreibe einen Antwortsatz.
  7. Reflexion: Beschreibe am Ende, welche Zeichnungsart Dir am meisten geholfen hat und warum.




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