M8 G - Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Höhen zeichnen

M8 G - Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Höhen zeichnen

Mini-Beschreibung: Zeichne besondere Linien in geometrischen Figuren und erkenne ihre Lage.

Zielgruppe: Klasse 8, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau

Lehrplanbezug: Leitidee Raum und Form. Im G-Niveau werden Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Höhen gezeichnet; dynamische Geometriesoftware hilft beim Erkunden und Prüfen.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Mathematik, Raum und Form

Einleitung

Drei Linien helfen Dir, ein Dreieck genau zu untersuchen:

1. Mittelsenkrechte: Sie gehört zu einer Strecke.
2. Winkelhalbierende: Sie gehört zu einem Winkel.
3. Höhe: Sie gehört zu einem Dreieck und steht senkrecht auf einer Seite oder deren Verlängerung.

Du arbeitest mit Zirkel, Geodreieck, Lineal und dynamischer Geometriesoftware.

Satzstarter für Deine Lösungen:

1. Ich zeichne zuerst ...
2. Danach prüfe ich ...
3. Die Linie ist eine ... , weil ...
4. Ich erkenne den rechten Winkel daran, dass ...
5. Meine digitale Konstruktion ist plausibel, weil ...

Lernziele

Nach dem aiMOOC kannst Du:

1. eine Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal oder Geodreieck zeichnen,
2. eine Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal zeichnen,
3. Höhen in verschiedenen Dreiecken einzeichnen,
4. besondere Schnittpunkte erkennen,
5. Deine Konstruktion durch Messen und Ziehen in dynamischer Geometriesoftware prüfen,
6. einen kurzen Konstruktionsweg nachvollziehbar beschreiben und begründen.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich auf Papier.

1. Zeichne eine Strecke $AB=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und markiere ihren Mittelpunkt $M$.
2. Zeichne durch $M$ eine Gerade, die senkrecht auf $AB$ steht.
3. Zeichne einen Winkel von $60^{\circ }$.
4. Zeige mit dem Geodreieck, wie Du einen rechten Winkel von $90^{\circ }$ erkennst.

Selbstkontrolle: Wenn Du Mittelpunkt, rechten Winkel und Winkelmaß sicher findest, bist Du startklar.

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte gehört zu einer Strecke $AB$.

Sie erfüllt zwei Bedingungen:

$M\in AB$

$|AM|=|MB|$

und für die Mittelsenkrechte $m$ gilt:

$m\perp AB$

Merke: Die Mittelsenkrechte geht durch den Mittelpunkt einer Strecke und steht dort senkrecht auf der Strecke.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Schritt 1: Zeichne die Strecke $AB$.

Schritt 2: Stelle den Zirkel auf mehr als die halbe Streckenlänge ein.

Schritt 3: Zeichne mit gleichem Radius Kreisbögen um $A$ und um $B$. Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten $P$ und $Q$.

Schritt 4: Verbinde $P$ und $Q$. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte.

Prüfung:

$|PA|=|PB|$

$|QA|=|QB|$

und

$PQ\perp AB$

Konstruktion mit dem Geodreieck

1. Miss die Länge von $AB$.
2. Markiere den Mittelpunkt $M$.
3. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf $AB$.
4. Zeichne durch $M$ die Senkrechte.

Schnellcheck: Entsteht am Mittelpunkt ein rechter Winkel? Dann muss gelten:

$\mathrm{\angle }AMQ=90^{\circ }$

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Dynamisch untersuchen

Zieh-Auftrag:

1. Verschiebe die Endpunkte der Strecke.
2. Beobachte die Mittelsenkrechte.
3. Setze einen Punkt $X$ auf die Mittelsenkrechte.
4. Miss $|XA|$ und $|XB|$.

Du solltest beobachten:

$|XA|=|XB|$

Begründungsstarter: „Der Punkt $X$ liegt auf der Mittelsenkrechten. Deshalb ...“

Winkelhalbierende

Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Für einen Winkel $\alpha$ gilt:

${\alpha }_1={\alpha }_2$

und damit

${\alpha }_1={\alpha }_2=\frac{\alpha }{2}$

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Schritt 1: Steche den Zirkel in den Scheitelpunkt $S$.

Schritt 2: Zeichne einen Kreisbogen. Er schneidet die beiden Winkelschenkel in $A$ und $B$.

Schritt 3: Zeichne mit gleichem Zirkelradius Bögen um $A$ und $B$. Sie schneiden sich in $P$.

Schritt 4: Zeichne die Gerade durch $S$ und $P$.

Prüfung:

$\mathrm{\angle }ASP=\mathrm{\angle }PSB$

Bei $\alpha =80^{\circ }$ muss jede Hälfte $40^{\circ }$ groß sein.

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Dynamisch untersuchen

Zieh-Auftrag:

1. Verändere das Dreieck.
2. Beobachte die drei Winkelhalbierenden.
3. Prüfe, ob ihr gemeinsamer Schnittpunkt im Dreieck bleibt.

Der gemeinsame Schnittpunkt heißt Inkreismittelpunkt.

Merke: Er liegt im Inneren des Dreiecks.

Höhen im Dreieck

Eine Höhe beginnt an einem Eckpunkt und steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite oder ihrer Verlängerung.

Für die Höhe $h_a$ gilt:

$h_a\perp a$

Höhe mit dem Geodreieck zeichnen

Beispiel: Höhe von $A$ auf die Seite $a=BC$.

Schritt 1: Lege eine Kante des Geodreiecks auf $BC$.

Schritt 2: Verschiebe das Geodreieck parallel, bis die Senkrechte durch $A$ läuft.

Schritt 3: Zeichne die Senkrechte von $A$ zu $BC$.

Der Schnittpunkt mit $BC$ oder der Verlängerung von $BC$ heißt Lotfußpunkt.

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Drei Höhen – ein Schnittpunkt

Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Höhenschnittpunkt oder Orthozentrum.

Spitzwinkliges Dreieck: Der Höhenschnittpunkt liegt innen.

Rechtwinkliges Dreieck: Der Höhenschnittpunkt liegt im Eckpunkt des rechten Winkels.

Stumpfwinkliges Dreieck: Der Höhenschnittpunkt liegt außerhalb.

Dynamisch untersuchen

Forscherauftrag:

1. Ziehe an einem Eckpunkt.
2. Erzeuge zuerst ein spitzwinkliges Dreieck.
3. Erzeuge dann ein rechtwinkliges Dreieck.
4. Erzeuge zuletzt ein stumpfwinkliges Dreieck.
5. Beobachte nur die Lage des Höhenschnittpunkts.

Satzstarter: „Wenn das Dreieck ... ist, liegt der Höhenschnittpunkt ...“

Drei Linien sicher unterscheiden

Mittelsenkrechte

Start: Strecke

Kennzeichen: Mittelpunkt und rechter Winkel

Symbolisch:

$|AM|=|MB|$

$m\perp AB$

Winkelhalbierende

Start: Winkel

Kennzeichen: zwei gleich große Teilwinkel

Symbolisch:

${\alpha }_1={\alpha }_2$

Höhe

Start: Eckpunkt eines Dreiecks

Kennzeichen: senkrecht zur Gegenseite oder zu deren Verlängerung

Symbolisch:

$h_a\perp a$

Interaktives Beispiel: Welche Linie brauchst Du?

Situation A: Ein Punkt soll von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sein.

Gesucht ist die Mittelsenkrechte von $AB$.

Situation B: Ein Strahl soll einen Winkel von $70^{\circ }$ genau teilen.

Gesucht ist die Winkelhalbierende.

$70^{\circ }:2=35^{\circ }$

Situation C: Du brauchst den senkrechten Abstand vom Eckpunkt $C$ zur Seite $AB$.

Gesucht ist die Höhe von $C$ auf $AB$.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Mittelsenkrechte

Zeichne $AB=8\mathrm{c}\mathrm{m}$. Konstruiere die Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal.

Hilfe 1: Dein Zirkelradius muss größer als $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ sein.

Hilfe 2: Zeichne von $A$ und $B$ aus Kreisbögen mit genau demselben Radius.

Feedback: Die Verbindung der beiden Bogenschnittpunkte muss $AB$ im Mittelpunkt schneiden und einen rechten Winkel bilden.

Übung 2: Winkelhalbierende

Zeichne einen Winkel von $100^{\circ }$. Konstruiere die Winkelhalbierende.

Hilfe 1: Beginne mit einem Kreisbogen um den Scheitelpunkt.

Hilfe 2: Von den zwei Treffpunkten auf den Schenkeln zeichnest Du Bögen mit gleichem Radius.

Feedback: Nach dem Konstruieren sollten beide Teilwinkel $50^{\circ }$ groß sein.

Übung 3: Höhe

Zeichne ein stumpfwinkliges Dreieck $ABC$. Zeichne die Höhe von $A$ auf $BC$.

Hilfe 1: Verlängere $BC$, wenn die Senkrechte die Seite selbst nicht trifft.

Hilfe 2: Die Höhe muss durch $A$ gehen und auf $BC$ oder seiner Verlängerung senkrecht stehen.

Feedback: Bei einem stumpfwinkligen Dreieck können Höhen außerhalb des Dreiecks verlaufen.

Typische Fehler

1. Mittelsenkrechte mit Seitenhalbierender verwechselt: Die Mittelsenkrechte muss nicht durch einen Eckpunkt gehen. Prüfe Mittelpunkt und rechten Winkel.
2. Zirkelradius verändert: Bei den beiden Kreisbögen muss derselbe Radius verwendet werden.
3. Winkel nur ungefähr halbiert: Konstruiere mit gleichen Radien und miss danach zur Kontrolle.
4. Höhe endet an der falschen Stelle: Entscheidend ist der rechte Winkel zur Gegenseite oder ihrer Verlängerung.
5. Digitale Zeichnung nur angeschaut: Ziehe an den Punkten und prüfe, welche Eigenschaft erhalten bleibt.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Dynamische Geometriesoftware ist stark beim Erkunden.

Prüfe immer:

1. Bleibt die Eigenschaft beim Ziehen erhalten?
2. Stimmen Winkel und Abstände auch nach einer Veränderung?
3. Wurde wirklich konstruiert oder nur optisch passend gezeichnet?
4. Kannst Du die Beobachtung mit einer geometrischen Eigenschaft begründen?

Wichtig: Viele getestete Fälle sind ein guter Hinweis, aber noch kein allgemeiner mathematischer Beweis.

Auch KI-Ausgaben musst Du prüfen. Eine KI kann eine Konstruktion oder Begründung falsch beschreiben. Überprüfe deshalb Zeichnung, Messwerte und geometrische Eigenschaften selbst.

Verwende bei digitalen Aufgaben keine personenbezogenen Daten. Lade keine Namen, Fotos, Adressen oder Standortdaten hoch.

Selbstkontrolle

Setze gedanklich ein Häkchen, wenn Du die Aussage sicher prüfen kannst.

1. Eine Mittelsenkrechte schneidet eine Strecke im Mittelpunkt.
2. Eine Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Strecke.
3. Eine Winkelhalbierende erzeugt zwei gleich große Winkel.
4. Eine Höhe geht durch einen Eckpunkt.
5. Eine Höhe steht senkrecht auf der Gegenseite oder deren Verlängerung.
6. Der Höhenschnittpunkt kann außerhalb eines Dreiecks liegen.

Mini-Test auf Papier: Zeichne ein beliebiges Dreieck und markiere je eine Mittelsenkrechte, eine Winkelhalbierende und eine Höhe mit drei verschiedenen Linienarten.

Transfer

Treffpunkt-Aufgabe: Zwei Orte $A$ und $B$ sollen von einem Treffpunkt gleich weit entfernt sein. Alle möglichen Treffpunkte liegen auf der Mittelsenkrechten von $AB$.

Winkel-Aufgabe: Eine Kamera soll genau in die Mitte eines Sichtwinkels ausgerichtet werden. Die Richtung entspricht der Winkelhalbierenden.

Abstands-Aufgabe: Gesucht ist der senkrechte Abstand eines Dreieckseckpunkts von der Gegenseite. Dazu brauchst Du die zugehörige Höhe.

Kompetenzcheck

1. Erkennen: Kannst Du an einer Zeichnung begründen, ob eine Linie Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende oder Höhe ist?
2. Konstruieren: Kannst Du eine Mittelsenkrechte ohne Abmessen nur mit Zirkel und Lineal erzeugen?
3. Prüfen: Kannst Du eine Winkelhalbierende durch Messen der beiden Teilwinkel kontrollieren?
4. Übertragen: Kannst Du bei einem stumpfwinkligen Dreieck eine Seite verlängern, um eine Höhe zu zeichnen?
5. Digital untersuchen: Kannst Du eine Figur in GeoGebra verändern und eine bleibende Eigenschaft formulieren?
6. Begründen: Kannst Du einen Satz mit „Die Linie ist eine ... , weil ...“ vollständig beenden?

Reflexion

1. Welche der drei Linien erkennst Du am schnellsten?
2. Bei welcher Konstruktion hilft Dir der Zirkel besonders?
3. Warum ist „sieht senkrecht aus“ keine ausreichende Begründung?
4. Welche digitale Messung würdest Du verwenden, um Deine Konstruktion zu prüfen?

Folgekurs

Als nächster Schritt passt:

M8 G - Umkreis, Inkreis und besondere Punkte im Dreieck

Dort nutzt Du die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden weiter.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt eine Mittelsenkrechte richtig? (Sie geht durch den Mittelpunkt einer Strecke und steht senkrecht auf ihr) (!Sie verbindet zwei Eckpunkte eines Dreiecks) (!Sie halbiert immer eine Dreiecksseite vom Eckpunkt aus) (!Sie teilt jeden Winkel in drei Teile)

Was muss beim Zirkelkonstruieren der Mittelsenkrechten gleich bleiben? (Der Radius der Kreisbögen um beide Endpunkte) (!Die Farbe der beiden Kreisbögen) (!Die Länge der gesamten Geraden) (!Die Größe eines Winkels am Rand)

Was macht eine Winkelhalbierende? (Sie teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel) (!Sie halbiert jede Strecke) (!Sie steht immer auf einer Strecke senkrecht) (!Sie verbindet zwei Seitenmittelpunkte)

Welche Eigenschaft hat eine Höhe im Dreieck? (Sie verläuft durch einen Eckpunkt und steht senkrecht auf der Gegenseite oder deren Verlängerung) (!Sie verläuft immer durch den Seitenmittelpunkt) (!Sie halbiert immer den Winkel am Eckpunkt) (!Sie ist immer parallel zur Gegenseite)

Wo liegt der Höhenschnittpunkt bei einem spitzwinkligen Dreieck? (Im Inneren des Dreiecks) (!Immer auf einer Seite) (!Immer außerhalb des Dreiecks) (!Immer im Mittelpunkt einer Seite)

Wo liegt der Höhenschnittpunkt bei einem rechtwinkligen Dreieck? (Im Eckpunkt des rechten Winkels) (!Im Mittelpunkt der Hypotenuse) (!Immer außerhalb des Dreiecks) (!Auf der längsten Höhe)

Was erhält man als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks? (Den Umkreismittelpunkt) (!Den Höhenschnittpunkt) (!Den Lotfußpunkt) (!Den Schwerpunkt)

Was erhält man als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks? (Den Inkreismittelpunkt) (!Den Umkreismittelpunkt) (!Den Höhenschnittpunkt) (!Den Seitenmittelpunkt)

Wie prüfst Du eine digitale Konstruktion sinnvoll? (Du veränderst die Figur und prüfst, ob die geforderte Eigenschaft erhalten bleibt) (!Du verlässt Dich nur auf das Aussehen) (!Du prüfst nur eine einzige Lage) (!Du übernimmst jede automatische Ausgabe ungeprüft)

Woran erkennst Du sicher eine Höhe? (An der Senkrechten vom Eckpunkt zur Gegenseite oder ihrer Verlängerung) (!Am Mittelpunkt jeder Seite) (!An zwei gleich großen Teilwinkeln) (!An zwei gleich langen Strecken vom Seitenmittelpunkt)

Memory

Mittelsenkrechte	Senkrechte durch den Streckenmittelpunkt
Winkelhalbierende	Teilt einen Winkel in zwei gleiche Winkel
Höhe	Lot vom Eckpunkt auf die Gegenseite
Umkreismittelpunkt	Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Inkreismittelpunkt	Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Höhenschnittpunkt	Schnittpunkt der drei Höhen
Lotfußpunkt	Treffpunkt von Höhe und Gegenseite

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Senkrecht durch den Streckenmittelpunkt	Mittelsenkrechte
Zwei gleich große Teilwinkel	Winkelhalbierende
Lot vom Eckpunkt zur Gegenseite	Höhe
Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten	Umkreismittelpunkt
Schnittpunkt der drei Höhen	Höhenschnittpunkt

Kreuzworträtsel

Mittelsenkrechte	Welche besondere Gerade steht senkrecht auf einer Strecke und geht durch deren Mittelpunkt?
Winkelhalbierende	Welche besondere Linie teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile?
Höhenschnittpunkt	Wie heißt der gemeinsame Schnittpunkt der drei Höhen?
Geodreieck	Welches Zeichengerät hilft beim Zeichnen und Prüfen rechter Winkel?
Orthogonal	Welches Fachwort bedeutet senkrecht?
Zirkel	Welches Werkzeug erzeugt Kreisbögen bei klassischen Konstruktionen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Mittelsenkrechte geht durch den einer Strecke. Sie steht auf der Strecke . Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Winkel. Eine Höhe beginnt an einem des Dreiecks. Die drei Höhen schneiden sich im . Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich im . Dynamische Geometriesoftware hilft beim einer Konstruktion.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Mittelsenkrechte zeichnen: Zeichne drei verschieden lange Strecken und konstruiere jeweils die Mittelsenkrechte. Markiere Mittelpunkt und rechten Winkel.
2. Winkelhalbierende zeichnen: Zeichne Winkel von $40^{\circ }$, $80^{\circ }$ und $120^{\circ }$. Konstruiere jeweils die Winkelhalbierende und prüfe durch Messen.
3. Höhe im Dreieck: Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck und eine Höhe. Beschrifte Eckpunkt, Gegenseite und Lotfußpunkt.
4. Konstruktionsfoto: Erstelle eine Bildfolge Deiner Zirkelkonstruktion ohne Namen, Gesichter oder andere personenbezogene Daten.

Standard

1. Konstruktionsvergleich: Zeichne dieselbe Mittelsenkrechte einmal mit Zirkel und Lineal und einmal mit dem Geodreieck. Vergleiche die Ergebnisse.
2. Dynamische Geometrie: Verändere in GeoGebra ein Dreieck und dokumentiere mit drei Skizzen, wie sich die Lage des Höhenschnittpunkts verändert.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine fehlerhafte Winkelhalbierende und erkläre mit Messwerten, woran der Fehler erkennbar ist.
4. Erklärvideo Geometrie: Plane ein kurzes Erklärvideo zu einer Konstruktion. Zeige jeden Schritt und nenne jeweils die Kontrolle.

Schwer

1. Ortslinie: Begründe an einer Zeichnung, warum jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$ gleich weit entfernt ist.
2. Besondere Punkte im Dreieck: Konstruiere in einem Dreieck den Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt und beschreibe ihre Lage.
3. Gleichseitiges Dreieck: Untersuche, was bei einem gleichseitigen Dreieck mit Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und Höhen geschieht. Formuliere eine Vermutung und prüfe sie dynamisch.
4. Digitale Prüfung: Lass Dir von einer KI einen Konstruktionsweg erklären. Prüfe jeden Schritt mit einer eigenen Zeichnung und kennzeichne unklare oder falsche Aussagen. Eine KI-Aussage gilt nicht als Beweis.

Lernkontrolle

1. Konstruktionsentscheidung: Gegeben sind zwei Orte $A$ und $B$. Beschreibe, wie Du alle Punkte findest, die von beiden Orten gleich weit entfernt sind, und begründe Deine Wahl der Linie.
2. Fehler finden: Eine Schülerin zeichnet eine Gerade durch den Mittelpunkt von $AB$, aber der Winkel zu $AB$ beträgt $83^{\circ }$. Erkläre, warum dies keine Mittelsenkrechte ist und wie Du die Zeichnung korrigierst.
3. Höhenlage erklären: Vergleiche ein spitzwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck. Begründe, warum bei einem der beiden Dreiecke eine Seitenverlängerung zum Zeichnen bestimmter Höhen nötig ist.
4. Dynamische Beobachtung: Verändere ein Dreieck in GeoGebra so lange, bis der Höhenschnittpunkt von innen nach außen wandert. Beschreibe, welche Änderung der Dreiecksform dabei entscheidend ist.
5. Konstruktionen vergleichen: Erkläre den Unterschied zwischen Mittelsenkrechter und Höhe anhand ihrer Startbedingungen und ihrer senkrechten Beziehung.
6. Begründung prüfen: Jemand sagt: „Die Linie sieht ungefähr wie eine Winkelhalbierende aus.“ Formuliere eine mathematisch bessere Prüfung.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

1. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Höhe sicher unterscheidest,
2. mindestens zwei der Konstruktionen sauber mit Zirkel, Lineal oder Geodreieck ausführst,
3. rechte Winkel, Mittelpunkte und gleich große Winkel sichtbar markierst,
4. einen Konstruktionsweg in sinnvoller Reihenfolge beschreibst,
5. Deine Zeichnung durch Messen oder dynamisches Verändern überprüfst,
6. typische Fehler erkennst und korrigierst,
7. Beobachtung und Begründung unterscheidest,
8. einen einfachen Transfer auf eine neue geometrische Situation schaffst.

OERs zum Thema

Freie und dynamische Medien

Wikimedia Commons – freie Medien:

1. Perpendicular Bisector.gif – animierte Zirkelkonstruktion
2. Angle bisector construction el.gif – animierte Winkelhalbierenden-Konstruktion
3. PerpendicularBisectorConstruction.svg – Konstruktionsdarstellung aus GeoGebra
4. Altitudes and orthic triangle SVG.svg – Höhen im Dreieck
5. Orthocenter triangle.svg – Höhenschnittpunkt

Dynamische Geometrie:

1. GeoGebra – Mittelsenkrechte
2. GeoGebra – Winkelhalbierende
3. GeoGebra – Höhen, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
4. GeoGebra – Angle Bisector, Median and Altitude

Hinweis: Prüfe bei externen Medien die jeweilige Dateiseite beziehungsweise Plattformangabe. Wikimedia-Commons-Dateien zeigen ihre Lizenz auf der Dateibeschreibungsseite.

Verknüpfte Lernbereiche

Besondere Linien im Dreieck Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Höhe Senkrechte Dreieck Umkreis Inkreis Höhenschnittpunkt Dynamische Geometrie