M6 M - Originallänge, Bildlänge und Maßstab berechnen

Einleitung

Ein Stadtplan passt in eine Tasche, ein Hausgrundriss auf ein Blatt Papier und eine Modelleisenbahn in ein Zimmer. Das funktioniert, weil Längen maßstäblich verkleinert oder vergrößert werden. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du aus zwei bekannten Größen die dritte berechnest: Originallänge, Bildlänge oder Maßstab. Dabei verbindest Du die Maßstabsrechnung mit proportionalem Denken und dem Dreisatz.

Zielgruppe: Klasse 6, M-Niveau. Du sollst nicht nur Formeln einsetzen, sondern verstehen, warum der Rechenweg funktioniert, Größen passend umrechnen, Ergebnisse auf Plausibilität prüfen und Maßstäbe in Karten, Grundrissen und Modellen deuten.

Ein Lineal macht die Bildlänge messbar. Vor dem Rechnen ist eine saubere Längenmessung wichtig.

Die drei Größen auf einen Blick

Größe	Zeichen	Bedeutung	Beispiel
Bildlänge	$B$	Länge in Karte, Plan, Zeichnung oder Modell	$B=4\mathrm{c}\mathrm{m}$
Originallänge	$O$	entsprechende Länge in der Wirklichkeit	$O=200\mathrm{m}$
Maßstab	$1:n$	1 Längeneinheit im Bild entspricht $n$ gleichen Längeneinheiten im Original	$1:5000$

Merksatz: Beim Maßstab $1:n$ gilt immer $\frac{B}{O}=\frac{1}{n}$, wenn Bild- und Originallänge in derselben Einheit stehen.

Was bedeutet 1 : n?

Der Maßstab $1:100$ bedeutet nicht „1 cm entspricht 100 m“. Er bedeutet zunächst allgemein:

1 Einheit im Bild ↔ 100 gleiche Einheiten im Original

Beispiele:

Bild	Wirklichkeit bei $1:100$
$1\mathrm{m}\mathrm{m}$	$100\mathrm{m}\mathrm{m}=10\mathrm{c}\mathrm{m}$
$1\mathrm{c}\mathrm{m}$	$100\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$
$\mathrm{4,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$450\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{4,5}\mathrm{m}$

Ein Dreikantmaßstab trägt mehrere Maßstabsskalen. Du kannst damit Längen in Plänen direkt abgreifen.

Einheit zuerst, Rechnung danach

Die häufigste Fehlerquelle ist eine falsche Einheit. Für Maßstabsrechnungen müssen die beiden verglichenen Längen zunächst in dieselbe Einheit gebracht werden.

Umrechnung	Rechenweg	Denkstütze
$1\mathrm{m}$ in Zentimeter	$1\cdot 100=100\mathrm{c}\mathrm{m}$	größere Einheit → kleinere Einheit: Zahl wird größer
$\mathrm{3,2}\mathrm{m}$ in Zentimeter	$\mathrm{3,2}\cdot 100=320\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{m}\to \mathrm{c}\mathrm{m}$
$25000\mathrm{c}\mathrm{m}$ in Meter	$25000:100=250\mathrm{m}$	kleinere Einheit → größere Einheit: Zahl wird kleiner
$250000\mathrm{c}\mathrm{m}$ in Kilometer	$250000\mathrm{c}\mathrm{m}=2500\mathrm{m}=\mathrm{2,5}\mathrm{k}\mathrm{m}$	zwei sichere Schritte

Visuelle Stellenwertkette für Längen: $\mathrm{k}\mathrm{m}\stackrel{\times 1000}{\to }\mathrm{m}\stackrel{\times 100}{\to }\mathrm{c}\mathrm{m}\stackrel{\times 10}{\to }\mathrm{m}\mathrm{m}$; zurück jeweils durch $1000$, $100$ bzw. $10$ teilen.

Interaktives Stellenwert- und Längenmodell:

Die Grundformeln

Für einen Verkleinerungsmaßstab $1:n$ gelten drei zusammengehörige Formeln:

Gesucht	Formel	Sprachregel
Originallänge	$O=B\cdot n$	vom Bild zur Wirklichkeit: multiplizieren
Bildlänge	$B=\frac{O}{n}$	von der Wirklichkeit zum Bild: dividieren
Maßstabszahl	$n=\frac{O}{B}$	Wirklichkeit durch Bild, nach Einheitenangleichung

Plausibilitätscheck bei $1:n$ mit $n>1$: $O>B$. Die Wirklichkeit muss also länger sein als die Abbildung.

Originallänge berechnen

Gegeben sind Bildlänge $B$ und Maßstab $1:n$. Gesucht ist die Wirklichkeit.

Beispiel 1: Stadtplan

Auf einem Stadtplan im Maßstab $1:5000$ misst eine Straße $\mathrm{3,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Schritt-für-Schritt:

Schritt	Rechnung	Warum?
1	$1\mathrm{c}\mathrm{m}⟷5000\mathrm{c}\mathrm{m}$	Maßstab deuten
2	$\mathrm{3,6}\mathrm{c}\mathrm{m}⟷\mathrm{3,6}\cdot 5000\mathrm{c}\mathrm{m}$	gleiche Vervielfachung
3	$\mathrm{3,6}\cdot 5000=18000$	multiplizieren
4	$18000\mathrm{c}\mathrm{m}=180\mathrm{m}$	passende Einheit

Ergebnis: $O=180\mathrm{m}$.

Dreisatzbild dazu

$\begin{array}{ccc}1\mathrm{c}\mathrm{m}& ⟶& 5000\mathrm{c}\mathrm{m}\\ \mathrm{3,6}\mathrm{c}\mathrm{m}& ⟶& \mathrm{3,6}\cdot 5000\mathrm{c}\mathrm{m}\end{array}$

Du erkennst die proportionale Idee: Wird die Bildlänge mit $\mathrm{3,6}$ vervielfacht, wird auch die Originallänge mit $\mathrm{3,6}$ vervielfacht.

Topografische Karten sind klassische Anwendungen für Maßstäbe. Bei $1:25000$ entsprechen $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ auf der Karte $250\mathrm{m}$ in der Wirklichkeit.

Maßstabsleiste statt Zahlenmaßstab

Eine Maßstabsleiste zeigt direkt, welche reale Strecke zu einer gezeichneten Strecke gehört. Das ist besonders praktisch, wenn eine Karte auf dem Bildschirm vergrößert oder verkleinert wurde.

Lernidee: Miss mit einem Lineal die Länge eines Abschnitts der Maßstabsleiste. Vergleiche dann proportional, wie viele solcher Abschnitte in Deine gesuchte Kartenstrecke passen.

Bildlänge berechnen

Gegeben sind Originallänge $O$ und Maßstab $1:n$. Gesucht ist die Länge im Bild.

Beispiel 2: Grundriss

Ein Klassenzimmer ist $8\mathrm{m}$ lang. Der Grundriss wird im Maßstab $1:100$ gezeichnet.

Zuerst gleiche Einheiten: $8\mathrm{m}=800\mathrm{c}\mathrm{m}$

Dann: $B=\frac{O}{n}=\frac{800\mathrm{c}\mathrm{m}}{100}=8\mathrm{c}\mathrm{m}$

Ergebnis: Im Grundriss muss das Klassenzimmer $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang gezeichnet werden.

Grundrisse reduzieren reale Räume auf eine maßstäbliche Zeichnung.

Proportionales Denken statt Formelraten

Du kannst dieselbe Aufgabe als Zuordnungstabelle verstehen:

Wirklichkeit	Plan
$100\mathrm{c}\mathrm{m}$	$1\mathrm{c}\mathrm{m}$
$800\mathrm{c}\mathrm{m}$	$8\mathrm{c}\mathrm{m}$

Von $100$ zu $800$ ist es $\times 8$. Deshalb muss auch auf der Bildseite $1\cdot 8=8$ gerechnet werden.

Dynamische proportionale Zuordnung:

Maßstab berechnen

Gegeben sind Bildlänge und Originallänge. Gesucht ist das Verhältnis.

Beispiel 3: Modellauto

Ein Modellauto ist $10\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang. Das Original ist $4\mathrm{m}$ lang.

Einheiten angleichen: $4\mathrm{m}=400\mathrm{c}\mathrm{m}$

Dann: $n=\frac{O}{B}=\frac{400\mathrm{c}\mathrm{m}}{10\mathrm{c}\mathrm{m}}=40$

Ergebnis: Der Maßstab ist $1:40$.

Modelleisenbahnen zeigen besonders anschaulich, dass verschiedene Maßstäbe dieselbe Wirklichkeit unterschiedlich stark verkleinern.

Verhältnis kürzen

Manchmal erhältst Du zuerst ein Verhältnis, das noch nicht in der Form $1:n$ steht.

Beispiel: $5\mathrm{c}\mathrm{m}:250\mathrm{c}\mathrm{m}$

Beide Seiten durch $5$: $5:250=1:50$

Maßstab: $1:50$.

Karten, Grundrisse und Maßstabsmodelle

Karte

Bei einer Karte im Maßstab $1:100000$ gilt: $1\mathrm{c}\mathrm{m}⟷100000\mathrm{c}\mathrm{m}=1000\mathrm{m}=1\mathrm{k}\mathrm{m}$

Damit wird die praktische Kopfrechenregel: $1\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{f}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{e}⟷1\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}$

Video: Maßstab und Verhältnis, Klasse 6

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Grundriss

Bei $1:50$ gilt: $1\mathrm{c}\mathrm{m}⟷50\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}$.

Ein Sofa mit $2\mathrm{m}$ Originallänge wird deshalb $\frac{200\mathrm{c}\mathrm{m}}{50}=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang gezeichnet.

Maßstabsmodell

Ein Gebäude ist $36\mathrm{m}$ hoch. Ein Modell im Maßstab $1:200$ hat die Höhe $\frac{3600\mathrm{c}\mathrm{m}}{200}=18\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Architekturmodelle übertragen reale Gebäude proportional in kleinere Längen.

Bei einem Maßstabsmodell müssen alle entsprechenden Längen im selben Verhältnis verkleinert sein.

Bewegliches 3D-Modell als Transfer

Bei einem echten Maßstabsmodell werden Länge, Breite und Höhe mit demselben linearen Faktor verkleinert. Drehe den Quader und beobachte seine Kanten. Übertrage dann gedanklich einen Maßstab wie $1:20$ auf jede Kante.

Transferfrage: Ein Quader hat im Original die Kanten $6\mathrm{m}$, $4\mathrm{m}$ und $3\mathrm{m}$. Welche Kantenlängen hat ein Modell im Maßstab $1:100$?

$6\mathrm{m}\to 6\mathrm{c}\mathrm{m},4\mathrm{m}\to 4\mathrm{c}\mathrm{m},3\mathrm{m}\to 3\mathrm{c}\mathrm{m}$

Der Dreisatz als Denkmaschine

Der Maßstab ist eine proportionale Zuordnung. Darum funktioniert der Dreisatz zuverlässig.

Vom Einen zum Vielen

Beispiel $1:25000$, Kartenstrecke $\mathrm{7,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$\begin{array}{ccc}1\mathrm{c}\mathrm{m}& ⟷& 25000\mathrm{c}\mathrm{m}\\ \mathrm{7,2}\mathrm{c}\mathrm{m}& ⟷& x\end{array}$

$x=\mathrm{7,2}\cdot 25000=180000\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{1,8}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Vom Vielen zum Einen

Sind $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ im Bild $240\mathrm{m}$ in Wirklichkeit, dann:

$240\mathrm{m}=24000\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\begin{array}{ccc}6\mathrm{c}\mathrm{m}& ⟷& 24000\mathrm{c}\mathrm{m}\\ 1\mathrm{c}\mathrm{m}& ⟷& 24000:6=4000\mathrm{c}\mathrm{m}\end{array}$

Also ist der Maßstab $1:4000$.

Video: proportionaler Dreisatz

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Interaktiver Maßstabsrechner

Hier kannst Du fehlende Bildlängen, Originallängen oder Maßstäbe selbst bestimmen und direkt prüfen:

Dynamischer Zahlenstrahl als Größenkontrolle

Ein Zahlenstrahl hilft Dir, Größenordnungen zu vergleichen. Vor einer Rechnung kannst Du zum Beispiel $0\mathrm{m}$, $100\mathrm{m}$, $500\mathrm{m}$ und $1\mathrm{k}\mathrm{m}$ markieren und prüfen, ob Dein Ergebnis sinnvoll liegt.

Strategie: Welche Größe ist gesucht?

Frage	Erkennungswort	Rechenidee
Wie lang ist es in Wirklichkeit?	Original, Natur, wirklich, tatsächlich	$O=B\cdot n$
Wie lang muss ich zeichnen?	Karte, Bild, Plan, Modell	$B=O:n$
Welcher Maßstab wurde verwendet?	Maßstab gesucht	$n=O:B$, vorher gleiche Einheit

Vier-Schritt-Plan:

1. Gegeben und gesucht: Markiere $B$, $O$ und $1:n$.
2. Einheiten umrechnen: Bringe verglichene Längen in dieselbe Einheit.
3. Proportional rechnen: Nutze Formel, Dreisatz oder Zuordnungstabelle.
4. Plausibilitätsprüfung: Bei einer Verkleinerung muss die Originallänge größer als die Bildlänge sein.

Typische Fehler und Gegenmittel

Fehler	Beispiel	Gegenmittel
Einheiten nicht angeglichen	$4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $2\mathrm{k}\mathrm{m}$ direkt dividiert	zuerst alles in dieselbe Einheit
Multiplizieren und Dividieren verwechselt	beim Weg zur Wirklichkeit durch $n$ geteilt	Pfeilfrage: Bild → Original bedeutet bei $1:n$ mal $n$
Maßstab falsch herum	$40:1$ statt $1:40$	für übliche Verkleinerungen Form $1:n$ herstellen
Unplausible Einheit	Schulweg mit $340000\mathrm{c}\mathrm{m}$ beendet	Ergebnis in $\mathrm{m}$ oder $\mathrm{k}\mathrm{m}$ umwandeln

Trainingsatelier

Stufe 1: Rechnen mit festen Maßstäben

Aufgabe	Gesucht	Ansatz
$B=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $1:200$	$O$	$5\cdot 200=1000\mathrm{c}\mathrm{m}=10\mathrm{m}$
$O=30\mathrm{m}$, $1:500$	$B$	$3000:500=6\mathrm{c}\mathrm{m}$
$B=8\mathrm{c}\mathrm{m}$, $O=40\mathrm{m}$	Maßstab	$40\mathrm{m}=4000\mathrm{c}\mathrm{m};4000:8=500$

Stufe 2: Fehlende Zeilen ergänzen

Maßstab	Bildlänge	Originallänge
$1:100$	$\mathrm{3,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$	?
$1:25000$	?	$1\mathrm{k}\mathrm{m}$
?	$12\mathrm{c}\mathrm{m}$	$6\mathrm{m}$
$1:50$	?	$\mathrm{2,5}\mathrm{m}$

Kontrolle: $\mathrm{3,5}\mathrm{m};4\mathrm{c}\mathrm{m};1:50;5\mathrm{c}\mathrm{m}$

Stufe 3: Schätzen vor Rechnen

Bevor Du exakt rechnest, gib eine Größenordnung an.

Beispiel: $\mathrm{6,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$ bei $1:50000$. Da $1\mathrm{c}\mathrm{m}\leftrightarrow 500\mathrm{m}$, müssen knapp $7\mathrm{c}\mathrm{m}$ ungefähr $\mathrm{3,5}\mathrm{k}\mathrm{m}$ sein.

Exakt: $\mathrm{6,8}\cdot 50000=340000\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{3,4}\mathrm{k}\mathrm{m}$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet der Maßstab 1 : 100? (1 cm im Bild entspricht 100 cm im Original) (!1 cm im Bild entspricht 100 m im Original) (!100 cm im Bild entsprechen 1 cm im Original) (!Das Bild ist 100-mal größer als das Original)

Welche Formel berechnet die Originallänge bei einem Maßstab 1 : n? (O gleich B mal n) (!O gleich B geteilt durch n) (!O gleich n geteilt durch B) (!O gleich B plus n)

Ein Weg misst auf einer Karte 4 cm. Der Maßstab ist 1 : 50000. Wie lang ist der Weg in Wirklichkeit? (2 km) (!200 m) (!20 km) (!500 m)

Ein Raum ist 6 m lang. Wie lang wird er im Maßstab 1 : 100 gezeichnet? (6 cm) (!60 cm) (!0,6 cm) (!600 cm)

Ein Modell ist 12 cm lang, das Original 6 m. Welcher Maßstab wurde verwendet? (1 zu 50) (!1 zu 5) (!1 zu 500) (!50 zu 1)

Warum müssen Bild- und Originallänge beim Bestimmen des Maßstabs dieselbe Einheit haben? (Damit das Verhältnis der Längen korrekt gebildet wird) (!Damit immer mit Kilometern gerechnet wird) (!Damit nie dividiert werden muss) (!Damit der Maßstab größer als 100 wird)

Welche Aussage passt zu einer proportionalen Zuordnung beim Maßstab? (Wird die Bildlänge verdoppelt, verdoppelt sich bei gleichem Maßstab auch die Originallänge) (!Wird die Bildlänge verdoppelt, halbiert sich die Originallänge) (!Die Originallänge bleibt immer gleich) (!Der Maßstab muss sich bei jeder Strecke ändern)

Bei welchem Maßstab entspricht 1 cm im Plan genau 1 m in der Wirklichkeit? (1 zu 100) (!1 zu 10) (!1 zu 1000) (!1 zu 10000)

Eine Kartenstrecke von 3 cm entspricht 750 m. Welcher erste Schritt ist sinnvoll? (750 m in Zentimeter umrechnen) (!3 cm in Quadratmeter umrechnen) (!750 m durch 1000 teilen und sofort 1 zu 250 angeben) (!Die beiden Längen addieren)

Welche Plausibilitätsaussage stimmt bei einer Verkleinerung im Maßstab 1 : 200? (Die Originallänge ist größer als die Bildlänge) (!Die Originallänge ist immer kleiner als die Bildlänge) (!Bildlänge und Originallänge sind gleich) (!Die Originallänge ist unabhängig von der Bildlänge)

Memory

Bildlänge	Länge in Karte oder Plan
Originallänge	Länge in der Wirklichkeit
Maßstabszahl	Nenner n bei 1 zu n
Dreisatz	proportionale Rechenmethode
Grundriss	maßstäbliche Draufsicht eines Raums oder Gebäudes
Maßstabsleiste	grafische Darstellung realer Entfernungen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Bild mal Maßstabszahl	Originallänge berechnen
Original durch Maßstabszahl	Bildlänge berechnen
Original durch Bild	Maßstabszahl bestimmen
gleiche Maßeinheit	Voraussetzung für einen Längenvergleich
gleicher Vervielfachungsfaktor	proportionales Denken

...

Kreuzworträtsel

Massstab	Wie heißt das Verhältnis zwischen Bild und Wirklichkeit?
Original	Wie nennt man die wirkliche Länge eines dargestellten Gegenstands?
Bildlaenge	Welche Länge misst Du direkt auf Karte oder Plan?
Dreisatz	Welche Rechenmethode nutzt proportionale Zuordnungen?
Grundriss	Wie heißt die maßstäbliche Draufsicht eines Gebäudes?
Lineal	Mit welchem Werkzeug misst Du eine Strecke auf Papier?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Maßstab beschreibt das Verhältnis zwischen einer Darstellung und der . Beim Maßstab 1 zu n entspricht eine Einheit im Bild gleichen Einheiten im Original. Um die Originallänge zu berechnen, wird die Bildlänge mit der multipliziert. Um die Bildlänge zu berechnen, wird die Originallänge durch die geteilt. Beim Bestimmen eines Maßstabs müssen Bild- und Originallänge zuerst in dieselbe umgerechnet werden. Eine Maßstabsrechnung ist eine Zuordnung. Wird bei festem Maßstab die Bildlänge verdoppelt, dann wird auch die Originallänge . Ein Grundriss ist eine maßstäbliche . Bei einer Verkleinerung mit 1 zu n und n größer als 1 ist die Originallänge als die Bildlänge. Ein sinnvoller letzter Schritt ist die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Maßstab im Klassenzimmer: Miss die Länge Deines Tisches und zeichne ihn im Maßstab $1:20$. Notiere Messwert, Umrechnung und Bildlänge.
2. Kartenstrecke schätzen: Nimm eine Karte mit Maßstabsangabe. Schätze zuerst die reale Entfernung zweier Punkte und berechne sie danach.
3. Fehlerdetektiv Maßstab: Erfinde drei typische Fehler bei Maßstabsrechnungen und schreibe jeweils eine kurze Korrektur dazu.
4. Einheiten-Poster: Gestalte ein übersichtliches Lernposter zu $\mathrm{k}\mathrm{m}$, $\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $\mathrm{m}\mathrm{m}$ mit Umrechnungspfeilen.

Standard

1. Grundriss eines Zimmers: Miss einen Raum und erstelle einen Grundriss im Maßstab $1:50$. Zeichne mindestens Tür, Fenster und zwei Möbelstücke maßstäblich ein.
2. Schulweg auf der Karte: Ermittle mit einer Karte die ungefähre Länge eines bekannten Weges. Dokumentiere Bildlänge, Maßstab, Rechnung und Plausibilitätscheck.
3. Maßstabsmodell: Baue aus Papier oder Karton ein einfaches Quader-Modell eines Gegenstands im Maßstab $1:10$ oder $1:20$.
4. Dreisatz-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Maßstabsaufgabe mit einer Zuordnungstabelle und einem Dreisatz löst.

Schwer

1. Maßstab rückwärts: Fotografiere oder zeichne ein Objekt, miss eine Strecke im Bild und am Original und bestimme den verwendeten Maßstab. Begründe alle Umrechnungen.
2. Zwei Karten vergleichen: Vergleiche dieselbe Region in zwei unterschiedlichen Maßstäben. Erkläre mathematisch, warum dieselbe Strecke unterschiedlich lang dargestellt wird.
3. Modellstadt planen: Entwirf einen kleinen Platz mit drei Gebäuden. Lege einen Maßstab fest, berechne alle Bildmaße und fertige einen Plan oder ein Modell an.
4. Interview mit Praxisbezug: Befrage eine Person aus Architektur, Handwerk, Vermessung, Kartografie oder Modellbau dazu, wo Maßstäbe verwendet werden. Ergänze mindestens ein selbst gerechnetes Beispiel.

Lernkontrolle

1. Transfer Karte und Realität: Eine Wanderkarte hat den Maßstab $1:25000$. Zwei Routen messen auf der Karte $\mathrm{7,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $\mathrm{9,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme die realen Längen, vergleiche sie und begründe, welche Rechnungsschritte gleich bleiben.
2. Fehleranalyse Einheiten: Jemand berechnet aus $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ im Plan und $10\mathrm{m}$ im Original den Maßstab $1:2$. Erkläre den Denkfehler und korrigiere die Rechnung.
3. Planungsaufgabe Grundriss: Ein Raum ist $\mathrm{7,5}\mathrm{m}$ lang und $5\mathrm{m}$ breit. Entscheide, ob $1:20$, $1:50$ oder $1:100$ für ein DIN-A4-Blatt sinnvoller ist. Berechne die jeweiligen Bildmaße und begründe Deine Wahl.
4. Proportionalität erklären: Erkläre mit eigenen Worten und einer Wertetabelle, warum bei festem Maßstab die Zuordnung von Bildlänge zu Originallänge proportional ist.
5. Unbekannter Maßstab: Ein Modellgebäude ist $18\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch. Das reale Gebäude ist $36\mathrm{m}$ hoch. Bestimme den Maßstab und berechne danach, wie breit im Modell eine reale Breite von $24\mathrm{m}$ sein muss.
6. Plausibilitätsurteil: Ein Schüler erhält für $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ Kartenlänge bei $1:50000$ das Ergebnis $200\mathrm{k}\mathrm{m}$. Prüfe das Ergebnis ohne vollständige Neuberechnung und erkläre, wie Du den Fehler erkennst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du die drei Größen Bildlänge, Originallänge und Maßstab sicher unterscheiden und passende Einheiten verwenden kannst. Wichtig ist außerdem, dass Du nicht nur ein Ergebnis nennst, sondern Deinen proportionalen Rechenweg nachvollziehbar darstellst.

1. Maßstab deuten: Erkläre die Bedeutung von $1:n$ in Worten und mit einem Zahlenbeispiel.
2. Originallänge berechnen: Löse eine Karten- oder Planaufgabe mit $O=B\cdot n$.
3. Bildlänge berechnen: Löse eine Zeichen- oder Modellaufgabe mit $B=O:n$.
4. Maßstab bestimmen: Gleiche Einheiten an und bilde $n=O:B$.
5. Proportionales Denken: Zeige mindestens einmal eine Zuordnungstabelle oder einen Dreisatz.
6. Einheiten sicher umrechnen: Nutze $\mathrm{m}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{m}$ und $\mathrm{k}\mathrm{m}$ passend.
7. Plausibilität prüfen: Begründe, warum Dein Ergebnis zur Sachsituation passt.
8. Darstellung erstellen: Fertige eine kleine maßstäbliche Zeichnung oder einen Grundriss an.

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien:

1. GeoGebra: Interaktive Übungen zu Maßstab, proportionalen Zuordnungen und Längeneinheiten.
2. Wikimedia Commons: Frei lizenzierte Karten, Grundrisse, Maßstabsleisten, Lineale und Modellabbildungen.
3. Wikipedia: Hintergrundwissen zu Maßstab, Kartografie und maßstäblichen Darstellungen.

Medienwerkstatt

Die folgenden Medien kannst Du aktiv zum Lernen verwenden und nicht nur ansehen.

Medium	Lernauftrag
	Miss zwei Abschnitte der Leiste und beschreibe, wie sich die reale Entfernung proportional mit der gemessenen Bildlänge ändert.
	Wähle eine Strecke im Grundriss. Erfinde einen sinnvollen Maßstab und berechne dazu eine mögliche Originallänge.
	Vergleiche zwei Modellmaßstäbe. Erkläre, bei welchem Maßstab dasselbe Original im Modell größer erscheint.
	Lege einen Maßstab fest und berechne beispielhaft eine Modellhöhe für ein $30\mathrm{m}$ hohes Gebäude.

Verknüpfte Lernbereiche

Maßstab Längenmaße Proportionalität Dreisatz Verhältnis Karte Grundriss Modellbau Geometrie