M6 E - Zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozent flexibel wechseln

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Ein Anteil kann ganz verschieden aussehen und trotzdem dieselbe Zahl beschreiben. In diesem aiMOOC lernst Du, sicher zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozent zu wechseln. Dabei geht es nicht nur um Rechenregeln: Du sollst erkennen, welche Darstellung zu einer Aufgabe passt, Darstellungen miteinander verknüpfen und Deine Wahl begründen.

Das Leitbeispiel dieses Kurses lautet:

$\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$

Die drei Schreibweisen sehen verschieden aus, liegen aber an derselben Stelle auf der Zahlengeraden und beschreiben denselben Anteil eines Ganzen. Genau diese Flexibilität ist ein wichtiges Ziel auf E-Niveau in Klasse 6.

Drei Achtel als Bildidee: Wenn ein Ganzes in acht gleich große Teile zerlegt wird und drei davon gemeint sind, ist der Anteil $\frac{3}{8}$.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du Brüche in Dezimalzahlen und Prozentangaben umwandeln, Dezimalzahlen als Brüche und Prozente schreiben, Prozentangaben in Dezimalzahlen und Brüche überführen und verschiedene Darstellungen auf Gleichwertigkeit prüfen. Du kannst außerdem mit Zahlengeraden, Kreisdiagrammen, Streifenmodellen und Stellenwerttabellen erklären, warum verschiedene Schreibweisen dieselbe rationale Zahl darstellen. Besonders wichtig ist: Du entscheidest je nach Problem, welche Darstellung am übersichtlichsten ist.

Eine Zahl – mehrere Darstellungen

Eine rationale Zahl lässt sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben:

$\frac{a}{b}\text{mit}b\ne 0$

Für unser Leitbeispiel gilt:

$\mathrm{0,375}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$

Damit ist $\mathrm{0,375}$ nicht „eine andere Zahl“ als $\frac{3}{8}$, sondern nur eine andere Darstellung derselben Zahl. Eine Prozentangabe ist ebenfalls eine Darstellung eines Verhältnisses. Das Prozentzeichen bedeutet „von Hundert“:

$1\mathrm{\%}=\frac{1}{100}=\mathrm{0,01}$

Also gilt:

$\mathrm{37,5}\mathrm{\%}=\frac{\mathrm{37,5}}{100}=\mathrm{0,375}=\frac{3}{8}$

Das Streifenmodell zu drei Achteln

Der folgende Streifen ist in acht gleich große Teile zerlegt. Drei Teile sind markiert.

markiert

markiert

markiert

nicht markiert

nicht markiert

nicht markiert

nicht markiert

nicht markiert

Jeder der acht gleich großen Teile entspricht

$\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}=\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$.

Drei solcher Teile ergeben daher

$3\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{8}$

$3\cdot \mathrm{0,125}=\mathrm{0,375}$

$3\cdot \mathrm{12,5}\mathrm{\%}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$.

Darstellungswechsel im selben Modell:

Darstellung	Wert	Was wird betont?
Bruch	$\frac{3}{8}$	3 von 8 gleich großen Teilen
Dezimalzahl	$\mathrm{0,375}$	3 Zehntel, 7 Hundertstel und 5 Tausendstel
Prozent	$\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$	37,5 von 100 gleich großen Teilen

Bruchstreifen vergleichen

Bruchstreifen helfen Dir, gleichwertige Brüche und Größenbeziehungen zu sehen. Zum Beispiel ist $\frac{1}{2}$ genauso lang wie $\frac{2}{4}$ oder $\frac{4}{8}$. Das Bild macht sichtbar, was rechnerisch durch Erweitern und Kürzen beschrieben wird.

Warum $\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$ gilt

Weg 1: Vom Bruch zur Dezimalzahl

Ein Bruchstrich bedeutet Division:

$\frac{3}{8}=3:8$

Der Rechenweg kann schrittweise notiert werden:

Schritt	Rechnung	Bedeutung
1	$\mathrm{3,000}:8$	Die 3 wird durch 8 geteilt.
2	$30:8=3$ Rest $6$	Erste Nachkommastelle: 3 Zehntel.
3	$60:8=7$ Rest $4$	Zweite Nachkommastelle: 7 Hundertstel.
4	$40:8=5$ Rest $0$	Dritte Nachkommastelle: 5 Tausendstel.

Damit ist

$\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}$.

Ein zweiter Weg nutzt einen Dezimalbruch:

$\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 125}{8\cdot 125}=\frac{375}{1000}=\mathrm{0,375}$.

Weg 2: Von der Dezimalzahl zum Prozent

Prozent bedeutet „von Hundert“. Schreibe $\mathrm{0,375}$ deshalb als Anteil mit Bezug auf 100:

$\mathrm{0,375}=\frac{375}{1000}=\frac{\mathrm{37,5}}{100}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$.

Als schnelle Regel kannst Du Dir merken:

$\text{Dezimalzahl}\cdot 100=\text{Prozentzahl}$

Für das Leitbeispiel:

$\mathrm{0,375}\cdot 100=\mathrm{37,5}$

und deshalb

$\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$.

Die Regel ist kein Zaubertrick: Das Verschieben des Kommas um zwei Stellen entsteht aus dem Bezug auf Hundert.

Weg 3: Vom Prozent zurück zum Bruch

Starte mit

$\mathrm{37,5}\mathrm{\%}=\frac{\mathrm{37,5}}{100}$.

Beseitige die Dezimalzahl im Zähler, indem Du Zähler und Nenner mit 10 multiplizierst:

$\frac{\mathrm{37,5}}{100}=\frac{375}{1000}$.

Kürze anschließend:

$\frac{375}{1000}=\frac{75}{200}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$.

Damit ist der Kreis geschlossen:

$\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$.

Die Zahlengerade: gleicher Ort, gleiche Zahl

Eine besonders starke Begründung für die Gleichwertigkeit ist die Zahlengerade. Verschiedene Schreibweisen derselben Zahl müssen an derselben Stelle liegen.

Für das Intervall von 0 bis 1 kannst Du Achtel markieren:

$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{4}{8}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{6}{8}$	$\frac{7}{8}$	$1$
$0$	$\mathrm{0,125}$	$\mathrm{0,25}$	$\mathrm{0,375}$	$\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,625}$	$\mathrm{0,75}$	$\mathrm{0,875}$	$1$
$0\mathrm{\%}$	$\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$	$25\mathrm{\%}$	$\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$	$50\mathrm{\%}$	$\mathrm{62,5}\mathrm{\%}$	$75\mathrm{\%}$	$\mathrm{87,5}\mathrm{\%}$	$100\mathrm{\%}$

In der Spalte zu $\frac{3}{8}$ stehen $\mathrm{0,375}$ und $\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$. Alle drei Angaben markieren denselben Punkt.

Dynamische Zahlengerade

Verschiebe in der GeoGebra-Aktivität Punkte auf der Zahlengeraden und beobachte, wie sich Brüche räumlich einordnen lassen.

Danach kannst Du gezielt Darstellungen verbinden:

Forscherauftrag: Stelle, wenn möglich, nacheinander $\frac{1}{4}$, $\mathrm{0,5}$, $75\mathrm{\%}$ und $\frac{3}{8}$ dar. Begründe jeweils, ob Du zuerst in Bruch-, Dezimal- oder Prozentdarstellung denkst.

Prozent als Hundertstel denken

Ein Prozent ist ein Hundertstel:

$1\mathrm{\%}=\frac{1}{100}$.

Darum eignen sich 10-mal-10-Gitter besonders gut für Prozentangaben.

Bei einem Hunderterfeld steht jedes kleine Kästchen für $1\mathrm{\%}$. 25 markierte Kästchen entsprechen also

$25\mathrm{\%}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$.

Wichtig für $\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$: Ein reines Hunderterfeld mit ganzen Kästchen kann 37,5 % nicht exakt darstellen, wenn jedes Kästchen genau 1 % bedeutet. Du müsstest zusätzlich ein halbes Prozentkästchen darstellen oder feiner unterteilen. Das ist ein Beispiel dafür, dass nicht jede Darstellung für jede Zahl gleich praktisch ist.

Kreisdiagramme und Anteile

Ein Kreisdiagramm eignet sich, wenn ein Ganzes in Anteile zerlegt wird. Ein Viertel des Kreises entspricht

$\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}=25\mathrm{\%}$.

Drei Viertel entsprechen entsprechend

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}=75\mathrm{\%}$.

Für $\frac{3}{8}$ wäre ein Kreis in acht gleich große Sektoren zu zerlegen, von denen drei markiert werden. Der Winkel des markierten Anteils beträgt

$\frac{3}{8}\cdot 360^{\circ }=135^{\circ }$.

Das ist mathematisch korrekt, aber für den schnellen Darstellungswechsel ist ein Streifenmodell oder eine Zahlengerade oft übersichtlicher.

Dezimalzahlen im Stellenwertsystem

Bei einer Dezimalzahl hängt der Wert einer Ziffer von ihrer Stelle ab.

Einer	Komma	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
0	,	3	7	5

Damit gilt:

$\mathrm{0,375}=3\cdot \frac{1}{10}+7\cdot \frac{1}{100}+5\cdot \frac{1}{1000}$

und zusammengefasst:

$\mathrm{0,375}=\frac{300}{1000}+\frac{70}{1000}+\frac{5}{1000}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$.

Interaktives Stellenwertmodell

Mit dieser GeoGebra-Aktivität kannst Du Dezimalzahlen in einer Stellenwerttabelle untersuchen.

Beobachtungsauftrag: Gib $\mathrm{0,375}$, $\mathrm{0,25}$, $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,125}$ ein. Beschreibe, welche Stellen sich verändern und wie die Zahlen als Brüche mit Nenner 10, 100 oder 1000 geschrieben werden können.

Flexibel umwandeln

Bruch → Dezimalzahl

Grundidee:

$\frac{a}{b}=a:b$.

Beispiele:

Bruch	Division	Dezimalzahl
$\frac{1}{2}$	$1:2$	$\mathrm{0,5}$
$\frac{1}{4}$	$1:4$	$\mathrm{0,25}$
$\frac{3}{8}$	$3:8$	$\mathrm{0,375}$
$\frac{7}{20}$	$7:20$	$\mathrm{0,35}$

Manchmal ist Erweitern schneller:

$\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=\mathrm{0,35}$.

Dezimalzahl → Bruch

Lies den Stellenwert der letzten Nachkommastelle ab:

$\mathrm{0,6}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

$\mathrm{0,45}=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$

$\mathrm{0,375}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$.

Merksatz: Nach dem Umwandeln solltest Du den Bruch immer so weit wie möglich kürzen.

Dezimalzahl → Prozent

$\mathrm{0,1}=10\mathrm{\%}$

$\mathrm{0,25}=25\mathrm{\%}$

$\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$

$\mathrm{0,82}=82\mathrm{\%}$.

Rechnerisch:

$d=d\cdot 100\mathrm{\%}$,

weil $100\mathrm{\%}=1$ ist.

Prozent → Dezimalzahl

Teile die Prozentzahl durch 100:

$25\mathrm{\%}=\frac{25}{100}=\mathrm{0,25}$

$\mathrm{37,5}\mathrm{\%}=\frac{\mathrm{37,5}}{100}=\mathrm{0,375}$

$8\mathrm{\%}=\frac{8}{100}=\mathrm{0,08}$.

Achte besonders auf kleine Prozentsätze: $8\mathrm{\%}$ ist nicht $\mathrm{0,8}$, denn $\mathrm{0,8}=80\mathrm{\%}$.

Prozent → Bruch

Beginne mit dem Nenner 100 und kürze:

$20\mathrm{\%}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$

$45\mathrm{\%}=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$

$\mathrm{12,5}\mathrm{\%}=\frac{\mathrm{12,5}}{100}=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$.

Bruch → Prozent

Du kannst zuerst in eine Dezimalzahl umwandeln:

$\frac{5}{8}=5:8=\mathrm{0,625}=\mathrm{62,5}\mathrm{\%}$.

Oder Du suchst einen geeigneten Hundert- oder Tausendstelbruch:

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=75\mathrm{\%}$.

Welche Methode besser ist, hängt vom Nenner ab.

Interaktiver Darstellungswechsel

GeoGebra stellt für die Klassenstufen 5–6 geprüfte Materialien zum Wechsel zwischen Bruch-, Dezimalzahl- und Prozentdarstellung bereit. Nutze die folgende Aktivität, um Darstellungen bewusst miteinander zu verknüpfen.

Eine weitere interaktive Darstellung verbindet Prozente mit äquivalenten Brüchen und Dezimalzahlen über Doppelzahlengeraden und visuelle Modelle.

Arbeitsauftrag: Notiere zu mindestens fünf dargestellten Zahlen jeweils ein Zahlentripel der Form

$\text{Bruch}=\text{Dezimalzahl}=\text{Prozent}$.

Markiere danach, welche Darstellung Dir bei jeder Zahl am schnellsten verständlich war.

Welche Darstellung ist wann sinnvoll?

Nicht die „schönste“ Schreibweise gewinnt, sondern diejenige, die das Problem am klarsten macht.

Situation	Häufig passende Darstellung	Warum?
Eine Pizza wird in gleich große Stücke geteilt.	Bruch oder Kreisdiagramm	„3 von 8 Stücken“ ist direkt sichtbar.
Eine Strecke wird auf einer Skala abgelesen.	Dezimalzahl oder Zahlengerade	Stellenwerte und Größenordnung sind schnell vergleichbar.
Zwei Rabatte werden verglichen.	Prozent	Beide Angaben beziehen sich auf 100 und sind sofort vergleichbar.
Eine Wahrscheinlichkeit wird exakt angegeben.	Bruch	Exakte Anteile wie $\frac{1}{3}$ bleiben ohne Rundung erhalten.
Geldbeträge oder Messwerte werden notiert.	Dezimalzahl	Das dezimale Stellenwertsystem passt zu üblichen Einheiten.
Ein Anteil soll anschaulich erklärt werden.	Streifen-, Kreis- oder Hundertermodell	Das Teil-Ganzes-Verhältnis wird sichtbar.

Beispiel: Beim Vergleich von $\frac{3}{8}$ und $40\mathrm{\%}$ kann Prozentdarstellung besonders praktisch sein:

$\frac{3}{8}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}<40\mathrm{\%}$.

Auf einer Zahlengeraden wäre derselbe Vergleich ebenfalls möglich:

$\mathrm{0,375}<\mathrm{0,4}$.

Beide Wege sind richtig. Die bessere Wahl ist diejenige, mit der Du den Vergleich sicher und nachvollziehbar begründen kannst.

Endliche und periodische Dezimalzahlen

Nicht jeder Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl. Zum Beispiel:

$\frac{1}{3}=\mathrm{0,}\bar{3}=\mathrm{33,}\bar{3}\mathrm{\%}$.

Wenn Du stattdessen $\mathrm{33,3}\mathrm{\%}$ schreibst, hast Du gerundet:

$\frac{1}{3}\approx \mathrm{33,3}\mathrm{\%}$.

Das Zeichen $=$ bedeutet genau gleich. Das Zeichen $\approx$ bedeutet ungefähr gleich. Diese Unterscheidung ist beim Darstellungswechsel wichtig.

Für E-Niveau kannst Du außerdem eine Regel entdecken: Ein vollständig gekürzter Bruch hat genau dann eine endliche Dezimaldarstellung, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Deshalb endet $\frac{3}{8}$, denn $8=2^3$. Dagegen ist $\frac{1}{3}$ periodisch.

Typische Fehler erkennen und verbessern

Fehleridee	Beispiel	Korrektur
Prozentzeichen nur „anhängen“	$\mathrm{0,37}=\mathrm{0,37}\mathrm{\%}$	Richtig ist $\mathrm{0,37}=37\mathrm{\%}$.
Durch 10 statt durch 100 teilen	$8\mathrm{\%}=\mathrm{0,8}$	Richtig ist $8\mathrm{\%}=\mathrm{0,08}$.
Dezimalbruch nicht kürzen	$\mathrm{0,375}=\frac{375}{1000}$ bleibt stehen	Gekürzt: $\frac{3}{8}$.
Gerundete Zahl als exakt behandeln	$\frac{1}{3}=\mathrm{0,33}$	Richtig: $\frac{1}{3}\approx \mathrm{0,33}$.
Ungleich große Bildteile zählen	3 von 8 verschieden großen Flächen	Ein Bruchmodell braucht gleich große Teilflächen.

Erklärvideos

Das folgende Erklärvideo des Cornelsen Verlags zeigt den Wechsel von Dezimalzahlen zu Prozenten.

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Das zweite Video behandelt den Weg von Prozentangaben zu Brüchen und Dezimalzahlen.

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Videoauftrag: Stoppe jeweils vor einer Beispielrechnung. Rechne selbst weiter und vergleiche erst danach mit dem gezeigten Lösungsweg.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Dezimalzahl ist gleich $\frac{3}{8}$? (0,375) (!0,38) (!0,625) (!3,8)

Welche Prozentangabe ist gleich $\mathrm{0,25}$? (25 %) (!2,5 %) (!0,25 %) (!250 %)

Welcher Bruch ist gleich $50\mathrm{\%}$? (1/2) (!1/5) (!2/5) (!5/100)

Warum beschreiben $\frac{3}{8}$ und $\mathrm{0,375}$ dieselbe Zahl? (Weil 3 geteilt durch 8 genau 0,375 ergibt) (!Weil beide Schreibweisen drei Ziffern enthalten) (!Weil jeder Bruch kleiner als jede Dezimalzahl ist) (!Weil Dezimalzahlen immer Prozente sind)

Welche Darstellung ist zum direkten Vergleichen zweier Rabatte meist besonders geeignet? (Prozentdarstellung) (!Römische Zahl) (!Gemischte Zahl) (!Wortdarstellung ohne Zahl)

Welche Aussage ist richtig? (8 % entspricht 0,08) (!8 % entspricht 0,8) (!8 % entspricht 8,0) (!8 % entspricht 0,008)

Welcher Bruch ist gleich $\mathrm{0,125}$? (1/8) (!1/4) (!1/5) (!1/10)

Was bedeutet das Prozentzeichen inhaltlich? (Von Hundert) (!Von Zehn) (!Von Tausend) (!Mal Hundert ohne Bezug)

Welche Aussage zu $\frac{1}{3}$ ist korrekt? (Die Dezimaldarstellung ist periodisch) (!Die Dezimaldarstellung endet nach zwei Stellen) (!Der Bruch ist genau 0,33) (!Der Bruch ist genau 33 %)

Welche Darstellung zeigt besonders gut, dass gleichwertige Zahlen am selben Ort liegen? (Zahlengerade) (!Buchstabentabelle) (!Kalender) (!Wortliste)

Memory

Bruchdarstellung	Teil eines in gleich große Stücke zerlegten Ganzen
Dezimaldarstellung	Darstellung im Stellenwertsystem zur Basis zehn
Prozentdarstellung	Anteil bezogen auf Hundert
Zahlengerade	Zeigt Zahlen als Punkte in einer Größenordnung
Streifenmodell	Vergleicht Anteile über gleich lange Balken
Kreisdiagramm	Veranschaulicht Anteile eines Ganzen als Sektoren
Kürzen	Vereinfacht einen Bruch ohne seinen Wert zu verändern
Erweitern	Verändert Zähler und Nenner mit demselben Faktor

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Bruchdarstellung	Teil-Ganzes-Beziehung
Dezimaldarstellung	Stellenwertsystem
Prozentdarstellung	Hundertstelbezug
Zahlengerade	Größenvergleich
Kreisdiagramm	Anteil als Kreissektor

Kreuzworträtsel

Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Zähler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Prozent	Welches Wort bedeutet sinngemäß von Hundert?
Dezimalzahl	Wie heißt eine Zahl in Stellenwertschreibweise mit Komma?
Zahlengerade	Welche Darstellung ordnet Zahlen als Punkte auf einer Linie?
Hundertstel	Wie heißt der Stellenwert direkt rechts von den Zehnteln?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Bruchstrich kann als gelesen werden. Die Dezimalzahl $\mathrm{0,375}$ entspricht dem vollständig gekürzten Bruch . Eine Prozentangabe bezieht sich auf . Um eine Dezimalzahl in eine Prozentangabe umzuwandeln, wird die Prozentzahl durch Multiplikation mit bestimmt. Die Zahl $\mathrm{0,25}$ entspricht . Beim Zurückwandeln von Prozent in eine Dezimalzahl teilt man die Prozentzahl durch . Eine Zahlengerade zeigt gleichwertige Darstellungen am . Ein Hunderterfeld ist besonders geeignet, um zu veranschaulichen. Bei $\frac{1}{3}$ entsteht eine Dezimaldarstellung. Wird eine periodische Zahl abgebrochen, muss statt des Gleichheitszeichens häufig das Zeichen verwendet werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Darstellungskarten: Gestalte sechs Karten. Auf jeder Karte steht eine Zahl entweder als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent. Finde jeweils die beiden fehlenden Darstellungen und verbinde zusammengehörige Karten.
2. Bruchstreifen: Zeichne einen Streifen für $\frac{3}{8}$. Beschrifte denselben Anteil zusätzlich mit Dezimalzahl und Prozentangabe.
3. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 1 und trage $\frac{1}{4}$, $\mathrm{0,5}$, $75\mathrm{\%}$ und $\frac{3}{8}$ ein.
4. Alltagsprozente: Suche in Prospekten, Nachrichten oder Verpackungen drei Prozentangaben. Schreibe jede als Dezimalzahl und, wenn sinnvoll, als gekürzten Bruch.

Standard

1. Darstellungsvergleich: Erkläre an $\frac{5}{8}$, welche Darstellung als Bruch, Dezimalzahl, Prozent und Streifenmodell jeweils einen besonderen Vorteil hat.
2. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische Fehler beim Umwandeln, zum Beispiel einen falschen Kommasprung. Gib jeweils eine verständliche Korrektur mit $\mathrm{...}$-Rechnung an.
3. Mini-Erklärvideo: Produziere ein höchstens zweiminütiges Video, in dem Du $\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$ mit mindestens zwei visuellen Modellen erklärst.
4. Klassenumfrage: Führe eine kleine Umfrage durch, stelle die Ergebnisse als Bruchanteile und Prozente dar und begründe, ob ein Kreisdiagramm oder Balkendiagramm geeigneter ist.

Schwer

1. Strategievergleich: Wandle $\frac{7}{20}$, $\frac{11}{25}$, $\frac{5}{8}$ und $\frac{1}{3}$ auf mindestens zwei verschiedenen Wegen um. Vergleiche Effizienz und Genauigkeit der Wege.
2. Periodische Dezimalzahl: Untersuche $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{9}$ und $\frac{7}{12}$. Entscheide, welche Dezimaldarstellungen periodisch sind, und erläutere den Unterschied zwischen exakter und gerundeter Prozentangabe.
3. Interaktive Lernstation: Entwickle mit GeoGebra oder einem vergleichbaren freien Werkzeug eine Station, an der ein Punkt auf einer Zahlengeraden verschoben wird und dazu passende Bruch-, Dezimal- und Prozentdarstellungen angezeigt werden.
4. Darstellungsberatung: Erfinde vier Sachsituationen, in denen jeweils eine andere Darstellung besonders geeignet ist. Begründe Deine Wahl und zeige, warum mindestens eine andere Darstellung in derselben Situation unpraktischer wäre.

Lernkontrolle

1. Transfer: Rabattvergleich: Ein Geschäft wirbt einmal mit $35\mathrm{\%}$ Rabatt und einmal mit „Du zahlst nur $\frac{5}{8}$ des ursprünglichen Preises“. Entscheide, welches Angebot günstiger ist, und begründe mit einer selbst gewählten Darstellung.
2. Transfer: Messwerte: Zwei Längen werden mit $\mathrm{0,375}$ m und $\frac{2}{5}$ m angegeben. Entscheide ohne Taschenrechner, welche länger ist. Begründe, welche Darstellung für Deinen Vergleich am geeignetsten war.
3. Modellkritik: Ein Kreis ist in acht unterschiedlich große Sektoren geteilt, drei davon sind markiert. Jemand behauptet, der markierte Anteil sei $\frac{3}{8}$. Beurteile die Aussage und formuliere die Bedingung für ein korrektes Bruchmodell.
4. Darstellungsentscheidung: Für eine Schulwahl erhalten drei Vorschläge unterschiedliche Anteile. Erkläre, warum Prozentangaben für den Vergleich oft geeigneter sind als Brüche mit verschiedenen Nennern, und nenne eine Situation, in der Brüche dennoch vorteilhaft wären.
5. Genauigkeit: Eine Person schreibt $\frac{1}{3}=\mathrm{0,33}=33\mathrm{\%}$. Analysiere die Aussage, korrigiere sie mathematisch und erkläre, wann $=$ und wann $\approx$ verwendet werden muss.
6. Mehrfachdarstellung: Entwickle zu $\mathrm{0,625}$ eine zusammenhängende Erklärung mit Bruch, Prozent, Zahlengerade und Streifenmodell. Zeige, wie jede Darstellung dieselbe Zahl sichtbar macht.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du Darstellungen nicht nur mechanisch umwandelst, sondern ihren Zusammenhang verstehst. Wichtig sind sichere Umwandlungen zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozent, korrektes Kürzen und Erweitern, die Erklärung des Prozentbegriffs als Hundertstelbezug, die Nutzung von Zahlengerade, Streifenmodell, Kreisdiagramm und Stellenwerttabelle sowie eine begründete Wahl einer passenden Darstellung. Du solltest außerdem exakte von gerundeten Angaben unterscheiden und typische Fehler nachvollziehbar korrigieren können.

Ein überzeugender Lernnachweis enthält mindestens ein vollständig erklärtes Beispiel der Form

$\text{Bruch}=\text{Dezimalzahl}=\text{Prozent}$

und mindestens eine Begründung mit einer visuellen Darstellung.

OERs zum Thema

Die folgenden frei zugänglichen Wikipedia-Artikel dienen als Nachschlagewerke zu den mathematischen Grundlagen.

Weitere freie und interaktive Lernmedien

GeoGebra bietet interaktive Materialien zu rationalen Zahlen, Prozentrechnung, Stellenwerten und Darstellungswechseln. Die in diesem aiMOOC eingebetteten Aktivitäten können zum Erkunden, Üben und Begründen genutzt werden.

Wikimedia-Commons-Medien in diesem Kurs sind freie beziehungsweise offen lizenzierte Materialien. Die jeweilige Lizenz und Urheberangabe ist auf der Dateibeschreibungsseite hinterlegt.

Verknüpfte Lernbereiche

Rationale Zahlen Bruchrechnung Dezimalzahl Prozent Prozentrechnung Zahlengerade Stellenwertsystem Kreisdiagramm Erweitern Kürzen