M6 E - Dynamische Veränderung von Länge, Fläche und Volumen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Was passiert, wenn eine Kantenlänge wächst? Wird dann der Umfang genauso groß wie vorher mal zwei? Verdoppelt sich auch der Flächeninhalt? Und was geschieht mit dem Volumen eines Körpers?

In diesem aiMOOC untersuchst Du solche Veränderungen dynamisch. Du stellst zuerst eine Vermutung auf, veränderst anschließend Längen mit Schiebereglern oder Zahlenwerten, überprüfst Deine Vermutung an mehreren Beispielen und formulierst am Ende eine Regel.

Ausgangsgröße	typische Einheit	Vorstellung	Veränderung bei gleichförmiger Skalierung mit Faktor $k$
Länge	$\mathrm{c}\mathrm{m}$	Strecke	$L^{\prime }=k\cdot L$
Fläche	${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	Einheitsquadrate	$A^{\prime }=k^2\cdot A$
Volumen	${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$	Einheitswürfel	$V^{\prime }=k^3\cdot V$

Wichtig: Die Potenzregel $k,k^2,k^3$ gilt dann, wenn alle entsprechenden Längen gleichförmig mit demselben Faktor verändert werden. Wenn bei einem Rechteck oder Quader nur eine Kantenlänge verändert wird, musst Du genauer hinschauen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen und ihre Veränderungen unterscheiden.
2. den Einfluss einer veränderten Kantenlänge auf ein Rechteck untersuchen.
3. Oberflächeninhalt und Volumen eines Quaders vergleichen.
4. Veränderungen mit einem Faktor $k$ beschreiben.
5. Vermutungen durch Tabellen, Rechnungen und dynamische Modelle prüfen.
6. erklären, warum beim gleichförmigen Vergrößern Länge, Fläche und Volumen unterschiedlich schnell wachsen.

Vom Messen zum Verändern

Eine Länge beschreibt eine Strecke. Eine Fläche besteht anschaulich aus Einheitsquadraten. Ein Volumen lässt sich mit Einheitswürfeln verstehen.

Größe	Beispiel	Rechnung	Ergebnis
Länge	Kante mit $4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$L=4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$4\mathrm{c}\mathrm{m}$
Fläche	Rechteck $4\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}$	$A=4\cdot 3$	$12{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
Volumen	Quader $4\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}\times 2\mathrm{c}\mathrm{m}$	$V=4\cdot 3\cdot 2$	$24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Forschungszyklus:

Vermuten	Verändern	Rechnen	Vergleichen	Begründen
Was erwartest Du?	Bewege einen Regler.	Bestimme neue Werte.	Prüfe alt gegen neu.	Formuliere eine Regel.

Dynamische Faktor-Skala

Der Veränderungsfaktor $k$ sagt, wie stark eine Länge verändert wird.

Faktor $k$	Bedeutung	Beispiel für $6\mathrm{c}\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}$	halbieren	$6\cdot \frac{1}{2}=3\mathrm{c}\mathrm{m}$
$1$	unverändert	$6\cdot 1=6\mathrm{c}\mathrm{m}$
$\mathrm{1,5}$	auf das Eineinhalbfache vergrößern	$6\cdot \mathrm{1,5}=9\mathrm{c}\mathrm{m}$
$2$	verdoppeln	$6\cdot 2=12\mathrm{c}\mathrm{m}$
$3$	verdreifachen	$6\cdot 3=18\mathrm{c}\mathrm{m}$

$3⟵6⟶9⟶12⟶18$

Die Zahlen zeigen mögliche Bilder derselben Ausgangslänge $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ unter verschiedenen Faktoren.

Rechteck: Eine Seitenlänge verändert sich

Für ein Rechteck mit Seitenlängen $a$ und $b$ gilt:

$U=2a+2b=2(a+b)$

$A=a\cdot b$

Beispiel A: Nur die Länge wird verdoppelt

Ausgangsrechteck:

$a=4\mathrm{c}\mathrm{m},b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U=2(4+3)=14\mathrm{c}\mathrm{m}$

$A=4\cdot 3=12{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Nun wird nur $a$ verdoppelt:

$a^{\prime }=8\mathrm{c}\mathrm{m},b^{\prime }=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U^{\prime }=2(8+3)=22\mathrm{c}\mathrm{m}$

$A^{\prime }=8\cdot 3=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Größe	vorher	nachher	Veränderung
Länge $a$	$4$	$8$	verdoppelt
Umfang $U$	$14$	$22$	nicht verdoppelt
Fläche $A$	$12$	$24$	verdoppelt

Erkenntnis: Wird bei einem Rechteck nur eine Seitenlänge mit $k$ multipliziert und die andere bleibt gleich, dann wird der Flächeninhalt mit $k$ multipliziert. Der Umfang wird im Allgemeinen nicht einfach mit $k$ multipliziert.

Rechenweg aufklappen

$a\to ka$

$A=a\cdot b\to A^{\prime }=(ka)\cdot b=k(ab)=kA$

$U=2(a+b)\to U^{\prime }=2(ka+b)$

Im zweiten Ausdruck bleibt der Anteil $2b$ unverändert. Deshalb gilt im Allgemeinen nicht $U^{\prime }=kU$.

Dynamische Rechteckfläche

Verändere im Applet Länge und Breite. Erstelle mindestens fünf verschiedene Rechtecke. Notiere zu jedem Rechteck $a$, $b$, $U$ und $A$.

Forscherauftrag: Halte $b$ fest und verdopple nur $a$. Prüfe an mindestens drei Startwerten, ob sich der Flächeninhalt tatsächlich immer verdoppelt.

Beispiel B: Beide Seiten werden verdoppelt

Aus $a=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ wird:

$a^{\prime }=8\mathrm{c}\mathrm{m},b^{\prime }=6\mathrm{c}\mathrm{m}$

Für den Umfang:

$U^{\prime }=2(8+6)=28\mathrm{c}\mathrm{m}=2\cdot 14\mathrm{c}\mathrm{m}$

Für die Fläche:

$A^{\prime }=8\cdot 6=48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2=4\cdot 12{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Muster:

$a\to 2a,b\to 2b$

$U\to 2U$

$A\to 2^{2}A=4A$

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Quadrat: Besonders gut für Skalierungen

Beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang. Mit Seitenlänge $s$ gilt:

$U=4s$

$A=s^2$

Wird jede Seitenlänge mit $k$ multipliziert, dann gilt:

$U^{\prime }=4(ks)=k\cdot 4s=kU$

$A^{\prime }=(ks{)}^2=k^2{s}^2=k^{2}A$

Faktor der Seitenlänge	Faktor des Umfangs	Faktor der Fläche
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$
$2$	$2$	$4$
$3$	$3$	$9$
$4$	$4$	$16$

Vermutung: Wenn die Seitenlänge verdreifacht wird, wird die Fläche vielleicht auch verdreifacht.

Überprüfung mit $s=2\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$A=2^2=4{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$A^{\prime }=(3\cdot 2{)}^2=6^2=36{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$\frac{36}{4}=9$

Die Fläche wird also neunmal so groß.

Visueller Rechenweg

$s\stackrel{\cdot 3}{\to }3s$

$A=s\cdot s\stackrel{\cdot 3\text{in beiden Richtungen}}{\to }(3s)\cdot (3s)=9s^2$

Das Quadrat wird nicht nur in eine, sondern in zwei unabhängige Richtungen vergrößert.

Quader: Von der Fläche in den Raum

Ein Quader besitzt drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$.

Sein Volumen ist:

$V=a\cdot b\cdot c$

Sein Oberflächeninhalt ist:

$O=2(ab+ac+bc)$

Die Summe aller zwölf Kantenlängen ist:

$K=4(a+b+c)$

Einheitswürfel helfen Dir, das Volumen zu verstehen: Bei einem Quader mit $a=4$, $b=3$ und $c=2$ liegen $4\cdot 3=12$ Würfel in einer Schicht und es gibt $2$ Schichten.

$V=12\cdot 2=24$

Dynamischer Quader mit Einheitswürfeln

Verändere Breite, Höhe und Tiefe. Fülle den Quader mit Einheitswürfeln und beobachte, wie die Anzahl der Würfel wächst.

Messprotokoll:

$a$	$b$	$c$	Grundschicht $a\cdot b$	Volumen $a\cdot b\cdot c$
2	3	1	6	6
2	3	2	6	12
2	3	4	6	24
4	3	4	12	48

Beispiel C: Nur eine Quaderkante wird verdoppelt

Ausgangsquader:

$a=2\mathrm{c}\mathrm{m},b=3\mathrm{c}\mathrm{m},c=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

Volumen:

$V=2\cdot 3\cdot 4=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Oberfläche:

$O=2(2\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 4)=52{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Nun wird nur $a$ verdoppelt:

$a^{\prime }=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V^{\prime }=4\cdot 3\cdot 4=48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$O^{\prime }=2(4\cdot 3+4\cdot 4+3\cdot 4)=80{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Größe	vorher	nachher	Faktor
Kante $a$	2	4	$2$
Volumen	24	48	$2$
Oberfläche	52	80	nicht $2$

Warum? Beim Volumen steht die veränderte Kante als ein Faktor im Produkt:

$V^{\prime }=(2a)bc=2abc=2V$

Bei der Oberfläche enthalten nur vier der sechs Rechtecksflächen die Kante $a$. Die beiden Flächen mit Inhalt $bc$ bleiben unverändert.

Dynamische Oberfläche und dynamisches Volumen

Dieses Applet ist besonders wichtig: Verändere jeweils nur eine Kante und danach alle drei Kanten.

Versuchsreihe 1: Halte $b$ und $c$ fest. Verändere nur $a$.

Versuchsreihe 2: Verdopple $a$, $b$ und $c$ gleichzeitig.

Versuchsreihe 3: Verdreifache alle drei Kanten.

Trage Deine Ergebnisse in eine Tabelle ein und vergleiche die Faktoren von Länge, Oberfläche und Volumen.

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Würfel: Länge, Fläche und Volumen im direkten Vergleich

Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Für die Kantenlänge $s$ gilt:

$K=12s$

$O=6s^2$

$V=s^3$

Beispiel D: Kantenlänge verdoppeln

Aus $s=2\mathrm{c}\mathrm{m}$ wird $s^{\prime }=4\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Größe	bei $s=2$	bei $s=4$	Veränderungsfaktor
gesamte Kantenlänge $K$	$24\mathrm{c}\mathrm{m}$	$48\mathrm{c}\mathrm{m}$	$2$
Oberfläche $O$	$24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$4$
Volumen $V$	$8{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$	$64{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$	$8$

Die zentrale Regel:

$\text{Länge: }k,\text{Fläche: }{k}^2,\text{Volumen: }{k}^3$

Für $k=2$:

$2,2^2=4,2^3=8$

Für $k=3$:

$3,3^2=9,3^3=27$

Beispiel E: Kantenlänge halbieren

Aus $s=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ wird $s^{\prime }=2\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$k=\frac{1}{2}$

$K^{\prime }=\frac{1}{2}K$

$O^{\prime }={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}O=\frac{1}{4}O$

$V^{\prime }={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3}V=\frac{1}{8}V$

Achtung: Halbiert man alle Kanten, bleibt nicht die Hälfte des Volumens übrig, sondern nur ein Achtel.

Oberfläche durch Netze verstehen

Ein Quadernetz zeigt alle sechs Seitenflächen in der Ebene.

Für die drei verschiedenen Rechtecksarten gilt:

$ab,ac,bc$

Jede kommt zweimal vor:

$O=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)$

Beim Würfel sind alle sechs Flächen Quadrate:

$O=6s^2$

Falt-Idee: Zeichne ein Würfelnetz auf Papier, schneide es aus und falte es. Markiere auf jeder Fläche ein Quadrat von $1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. So wird sichtbar, warum Oberfläche eine zweidimensionale Größe bleibt, obwohl sie zu einem dreidimensionalen Körper gehört.

Vermutungen entwickeln und überprüfen

Vermutung	Test	Ergebnis	Begründung
„Wenn ich eine Rechteckseite verdopple, verdoppelt sich immer der Umfang.“	$4\times 3\to 8\times 3$	falsch	$14\to 22$
„Wenn ich eine Rechteckseite verdopple, verdoppelt sich die Fläche.“	$4\times 3\to 8\times 3$	richtig	$12\to 24$
„Wenn ich alle Quadratseiten verdopple, vervierfacht sich die Fläche.“	$3\times 3\to 6\times 6$	richtig	$9\to 36$
„Wenn ich eine Quaderkante verdopple, verdoppelt sich das Volumen.“	$2\cdot 3\cdot 4\to 4\cdot 3\cdot 4$	richtig	$24\to 48$
„Wenn ich alle Würfelkanten verdopple, verdoppelt sich das Volumen.“	$2^3\to 4^3$	falsch	$8\to 64$

Allgemeine Regeln mit Faktor k

Rechteck, nur $a$ verändert:

$a^{\prime }=ka,b^{\prime }=b$

$A^{\prime }=kA$

$U^{\prime }=2(ka+b)$

Quader, nur $a$ verändert:

$a^{\prime }=ka,b^{\prime }=b,c^{\prime }=c$

$V^{\prime }=kV$

$O^{\prime }=2(kab+kac+bc)$

Alle Längen gleichförmig verändert:

$a^{\prime }=ka,b^{\prime }=kb,c^{\prime }=kc$

$O^{\prime }=k^{2}O$

$V^{\prime }=k^{3}V$

Diagramm: Wachstum vergleichen

Nimm einen Würfel mit Ausgangskante $s=1$. Dann werden die Faktoren direkt sichtbar.

$k$	Kantenlänge $s$	Oberflächeninhalt $O=6s^2$	Volumen $V=s^3$
1	1	6	1
2	2	24	8
3	3	54	27
4	4	96	64
5	5	150	125

Beobachtung: Die Längenwerte wachsen gleichmäßig. Die Flächenwerte wachsen schneller. Die Volumenwerte wachsen bei großen Faktoren noch deutlich stärker.

Animierter Denkweg

Schritt 1 anzeigen: Länge

$s\to ks$

Eine Richtung wird mit $k$ skaliert.

Schritt 2 anzeigen: Fläche

$s\cdot s\to (ks)(ks)=k^2{s}^2$

Zwei unabhängige Richtungen werden mit $k$ skaliert.

Schritt 3 anzeigen: Volumen

$s\cdot s\cdot s\to (ks)(ks)(ks)=k^3{s}^3$

Drei unabhängige Richtungen werden mit $k$ skaliert.

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Typische Denkfehler

Denkfehler	Gegenbeispiel	richtige Idee
„Verdoppelte Länge bedeutet immer verdoppelte Fläche.“	Quadrat: $2^2=4$	Werden zwei Richtungen verdoppelt, entsteht Faktor $4$.
„Verdoppelte Länge bedeutet immer verdoppeltes Volumen.“	Würfel: $2^3=8$	Werden drei Richtungen verdoppelt, entsteht Faktor $8$.
„Wenn eine Rechteckseite verdoppelt wird, verdoppelt sich der Umfang.“	$4\times 3:14\to 22$	Nur zwei Randstücke werden länger.
„Oberfläche und Volumen haben dieselbe Einheit.“	${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\ne {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$	Fläche zählt Quadrate, Volumen zählt Würfel.

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind frei lizenzierte oder gemeinfreie Medien. Die jeweilige Dateibeschreibungsseite enthält Urheber- und Lizenzangaben.

1. Rectangle circumference.svg – CC BY-SA 3.0 / GFDL.
2. Illustration for the area of a rectangle.svg – CC0.
3. Cuboid abc.svg – CC BY-SA 3.0.
4. QuaderNetz.svg – gemeinfrei.
5. Cube scaling comparison.svg – CC0.
6. Unitcube.svg – gemeinfrei.
7. Cube Animation.gif – CC BY-SA 2.5.
8. Amazing cube net.svg – CC BY-SA 4.0 / GFDL.
9. Cubic volume.svg – CC BY-SA 4.0.

Die YouTube- und GeoGebra-Inhalte werden als Originalquellen eingebettet und nicht neu hochgeladen. Beachte bei externer Nutzung die jeweiligen Plattform-, Datenschutz- und Lizenzhinweise.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Bei einem Rechteck bleibt die Breite gleich und nur die Länge wird verdoppelt. Was geschieht mit dem Flächeninhalt? (Er verdoppelt sich) (!Er bleibt gleich) (!Er vervierfacht sich) (!Er verachtfacht sich)

Ein Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Wie groß ist sein Umfang? (14 cm) (!12 cm) (!7 cm) (!24 cm)

Ein Rechteck mit 4 cm mal 3 cm wird zu 8 cm mal 3 cm. Wie groß ist der neue Umfang? (22 cm) (!28 cm) (!24 cm) (!16 cm)

Alle Seiten eines Quadrats werden verdoppelt. Mit welchem Faktor verändert sich sein Flächeninhalt? (Faktor 4) (!Faktor 2) (!Faktor 6) (!Faktor 8)

Alle Kanten eines Würfels werden verdoppelt. Mit welchem Faktor verändert sich sein Volumen? (Faktor 8) (!Faktor 2) (!Faktor 4) (!Faktor 6)

Ein Quader hat die Kantenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm. Wie groß ist sein Volumen? (24 Kubikzentimeter) (!9 Kubikzentimeter) (!18 Kubikzentimeter) (!52 Kubikzentimeter)

Bei einem Quader wird nur eine Kante verdoppelt, die anderen beiden bleiben gleich. Was passiert mit dem Volumen? (Es verdoppelt sich) (!Es vervierfacht sich) (!Es verachtfacht sich) (!Es bleibt gleich)

Alle Kanten eines Quaders werden verdreifacht. Mit welchem Faktor verändert sich die Oberfläche? (Faktor 9) (!Faktor 3) (!Faktor 18) (!Faktor 27)

Alle Kanten eines Würfels werden halbiert. Welcher Anteil des ursprünglichen Volumens bleibt? (Ein Achtel) (!Eine Hälfte) (!Ein Viertel) (!Drei Viertel)

Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Liter pro Zentimeter)

Memory

Umfang	Randlänge einer ebenen Figur
Flächeninhalt	Anzahl passender Einheitsquadrate
Volumen	Anzahl passender Einheitswürfel
Skalierungsfaktor	Multiplikator für eine Länge
Quadratregel	Flächenfaktor bei gleichförmiger Skalierung
Kubikregel	Volumenfaktor bei gleichförmiger Skalierung
Quadernetz	sechs ausgebreitete Seitenflächen
Oberfläche	Summe aller Begrenzungsflächen eines Körpers

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Lineare Veränderung	Umfang bei gleichförmiger Skalierung
Quadratische Veränderung	Fläche bei gleichförmiger Skalierung
Kubische Veränderung	Volumen bei gleichförmiger Skalierung
Einheitsquadrat	Flächeninhalt
Einheitswürfel	Rauminhalt

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die gesamte Randlänge einer ebenen Figur?
Fläche	Welche Größe wird in Quadrateinheiten gemessen?
Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Quader	Welcher Körper besitzt sechs rechteckige Seitenflächen?
Faktor	Wie heißt die Zahl, mit der eine Länge bei einer Skalierung multipliziert wird?
Würfel	Welcher Quader besitzt ausschließlich gleich lange Kanten?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Umfang eines Rechtecks beschreibt die Länge seines .

Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird mit der Formel $A=a\cdot b$ .

Wird bei einem Rechteck nur eine Seitenlänge verdoppelt, dann wird sein Flächeninhalt so groß.

Werden beide Seiten eines Quadrats verdoppelt, wächst seine Fläche auf das .

Das Volumen eines Quaders berechnet man mit $V=a\cdot b\cdot c$ und misst es in .

Wird nur eine Quaderkante verdoppelt, während die anderen gleich bleiben, dann verdoppelt sich das .

Werden alle Würfelkanten verdoppelt, wächst die Oberfläche auf das .

Werden alle Würfelkanten verdoppelt, wächst das Volumen auf das .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rechteck untersuchen: Zeichne ein Rechteck mit $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $3\mathrm{c}\mathrm{m}$. Verdopple nur die längere Seite und markiere farbig, welche Randstücke länger geworden sind.
2. Flächenplättchen: Stelle ein Rechteck mit kariertem Papier dar und zeige durch Abzählen, warum sich die Fläche verdoppelt, wenn nur eine Seite verdoppelt wird.
3. Würfelmodell: Baue mit Bauwürfeln einen Würfel mit Kantenlänge zwei Einheitswürfeln und anschließend einen mit Kantenlänge vier. Vergleiche die Anzahl der Bausteine.
4. Vermutungskarte: Schreibe drei Vermutungen über das Verdoppeln von Länge, Fläche und Volumen auf und kennzeichne später, welche davon bestätigt wurden.

Standard

1. GeoGebra Rechteckversuch: Verändere in einem dynamischen Rechteck nur eine Seitenlänge. Dokumentiere fünf Messwerte für Länge, Umfang und Fläche und beschreibe das Muster.
2. Quaderprotokoll: Untersuche im Quader-Applet drei verschiedene Ausgangsquader. Verdopple jeweils nur eine Kante und vergleiche Volumen und Oberfläche.
3. Skalierungstabelle: Erstelle für einen Würfel eine Tabelle zu $k=\frac{1}{2},1,2,3$ und berechne Kantenlänge, Oberfläche und Volumen.
4. Erklärvideo: Produziere ein höchstens zweiminütiges Video, in dem Du mit Papierquadraten oder Bauwürfeln den Unterschied zwischen $k$, $k^2$ und $k^3$ sichtbar machst.

Schwer

1. Gegenbeispiel finden: Widerlege die Aussage „Wenn eine Seitenlänge verdoppelt wird, verdoppelt sich immer der Umfang“ mit zwei verschiedenen Rechtecken und erkläre den Grund allgemein.
2. Allgemeine Quaderregel: Leite mit $a,b,c$ und $k$ her, wie sich Volumen und Oberfläche verändern, wenn nur $a$ mit $k$ multipliziert wird.
3. Messprojekt Verpackung: Miss eine quaderförmige Verpackung. Berechne Oberfläche und Volumen. Entwirf danach eine gleichförmig doppelt so große Version und vergleiche Materialbedarf und Rauminhalt.
4. Datenvisualisierung: Erstelle ein Säulen- oder Liniendiagramm für $k=1,2,3,4,5$, das die Faktoren $k$, $k^2$ und $k^3$ vergleicht, und erläutere die Unterschiede.

Lernkontrolle

1. Transfer Rechteck: Ein rechteckiger Garten ist $8\mathrm{m}$ lang und $5\mathrm{m}$ breit. Nur die Länge wird um den Faktor $\mathrm{1,5}$ vergrößert. Berechne alten und neuen Umfang sowie alten und neuen Flächeninhalt und erkläre, warum beide Größen unterschiedliche Veränderungsfaktoren besitzen.
2. Transfer Quadrat: Ein quadratisches Spielfeld wird so vergrößert, dass jede Seite dreimal so lang wird. Begründe ohne vollständiges Ausrechnen, mit welchen Faktoren sich Umfang und Fläche verändern.
3. Transfer Quader: Ein Aquarium wird nur in der Länge verdoppelt, Breite und Höhe bleiben gleich. Erkläre, warum sich das Fassungsvermögen verdoppelt, die Glasfläche aber nicht zwingend.
4. Fehleranalyse Würfel: Eine Person behauptet: „Doppelte Würfelkante bedeutet doppeltes Volumen.“ Widerlege die Aussage mit einem Beispiel und erkläre anschließend die allgemeine Regel.
5. Vergleich Skalierungen: Vergleiche einen Quader, bei dem nur eine Kante verdoppelt wird, mit einem Quader, bei dem alle drei Kanten verdoppelt werden. Beschreibe die Unterschiede für Oberfläche und Volumen.
6. Modellkritik: Erkläre, warum die Regel $V^{\prime }=k^{3}V$ nicht gilt, wenn nur eine einzige Kante eines Quaders mit $k$ multipliziert wird.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Veränderungen begründen kannst.

1. Du kannst Umfang, Flächeninhalt, Oberflächeninhalt und Volumen sicher unterscheiden.
2. Du verwendest passende Einheiten wie $\mathrm{c}\mathrm{m}$, ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ und ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.
3. Du berechnest Umfang und Fläche von Rechtecken.
4. Du berechnest Oberfläche und Volumen einfacher Quader und Würfel.
5. Du unterscheidest zwischen „nur eine Kante verändern“ und „alle Kanten gleichförmig skalieren“.
6. Du kannst die Regeln $k$, $k^2$ und $k^3$ an Beispielen erklären.
7. Du stellst eine Vermutung auf und überprüfst sie mit mehreren Beispielen.
8. Du kannst einen falschen Zusammenhang durch ein Gegenbeispiel widerlegen.
9. Du kannst Messwerte in einer Tabelle oder einem Diagramm darstellen und daraus eine Regel formulieren.

OERs zum Thema

Wikipedia: Quader

Wikipedia: Flächeninhalt

Wikipedia: Volumen

GeoGebra: Dynamischer Flächeninhalt eines Rechtecks

GeoGebra: Oberfläche und Volumen eines Quaders

Verknüpfte Lernbereiche

M6 E - Dynamische Veränderung von Länge, Fläche und Volumen Länge Umfang Flächeninhalt Rechteck Quadrat Quader Würfel Oberflächeninhalt Volumen Maßstab Proportionalität