M6 E - Brüche als Verhältnis, Anteil und Operator unterscheiden

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Ein Bruch wie $\frac{3}{4}$ kann in verschiedenen Situationen etwas Unterschiedliches bedeuten. Genau das ist für ein gutes Bruchverständnis entscheidend: Du sollst nicht nur rechnen, sondern erkennen, welche Vorstellung zu einer Sachsituation passt.

Der gleiche Bruch $\frac{3}{4}$ kann zum Beispiel bedeuten:

Bruchvorstellung	Leitfrage	Beispiel	Mathematische Idee
Anteil	Welcher Teil eines Ganzen ist gemeint?	3 von 4 gleich großen Pizzastücken	$\frac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}$
Verhältnis	Wie stehen zwei Mengen oder Größen zueinander?	Rot : Blau = $3:4$	$\frac{\text{Rot}}{\text{Blau}}=\frac{3}{4}$
Operator	Was soll mit einer Zahl oder Größe gemacht werden?	$\frac{3}{4}$ von 20 €	$20\cdot \frac{3}{4}=15$
Maßzahl	Wie groß ist eine Größe im Vergleich zu einer Einheit?	$\frac{3}{4}\text{m}$	$\mathrm{0,75}\text{m}$

Wichtig: Die Bedeutungen hängen zusammen, sind aber nicht identisch. Besonders beim Verhältnis musst Du aufpassen: Wenn Rot : Blau = $2:3$ gilt, dann sind nicht $\frac{2}{3}$ aller Teile rot. Insgesamt gibt es $2+3=5$ gleichgewichtete Teile, also ist der rote Anteil $\frac{2}{5}$.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Kompetenz	Das kannst Du dann
Anteil erkennen	Situationen als Teil-Ganzes-Beziehung deuten und mit $\frac{a}{b}$ beschreiben.
Verhältnis erkennen	Zwei Größen miteinander vergleichen und zwischen $a:b$ und dem Anteil an der Gesamtmenge unterscheiden.
Operator anwenden	Einen Bruch als Rechenanweisung $\frac{a}{b}\text{ von }x$ verstehen.
Maßzahl deuten	Brüche mit Einheiten wie $\frac{3}{4}\text{kg}$ oder $\frac{5}{2}\text{m}$ interpretieren.
Darstellungen wechseln	Zwischen Bild, Strecke, Zahlengerade, Bruchschreibweise, Verhältnis und Sachsituation wechseln.
Sachsituationen entscheiden	Begründen, welche Bruchvorstellung in anspruchsvolleren Textaufgaben am besten passt.

Vier Bedeutungen eines Bruchs

Bruch als Anteil

Beim Anteil wird ein Ganzes in gleich große Teile zerlegt. Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile betrachtet werden.

(3) / (4)=(3 ausgewählte Teile) / (4 gleich große Teile insgesamt)

Beispiel: Eine Tafel Schokolade hat 12 gleich große Stücke. 9 Stücke sind noch da.

$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

Der vorhandene Anteil beträgt also $\frac{3}{4}$ der ganzen Tafel.

Ganzes	Zerlegung	Betrachteter Teil	Anteil
12 Stücke	12 gleich große Stücke	9 Stücke	$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

Erkennungsfrage: Geht es um einen Teil von einem festgelegten Ganzen?

Mit dieser beweglichen Bruchdarstellung kannst Du Strecke, Rechteck und Kreis vergleichen. Verändere Zähler und Nenner und beobachte, was gleich bleibt.

Bruch als Verhältnis

Ein Verhältnis vergleicht zwei Mengen oder Größen direkt miteinander.

Wenn in einer Mischung 2 Teile Sirup und 3 Teile Wasser enthalten sind, gilt:

$\text{Sirup}:\text{Wasser}=2:3$

Das Verhältnis kann auch als Quotient geschrieben werden:

$\frac{\text{Sirup}}{\text{Wasser}}=\frac{2}{3}$

Aber der Sirupanteil an der gesamten Mischung ist etwas anderes:

$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$

Das ist eine der wichtigsten Unterscheidungen dieses Themas.

Aussage	Bedeutung	Ergebnis
Sirup : Wasser	Verhältnis zweier Teilmengen	$2:3$
Sirup von gesamter Mischung	Anteil am Ganzen	$\frac{2}{5}$
Wasser von gesamter Mischung	Anteil am Ganzen	$\frac{3}{5}$

Visuelles Verhältnisdiagramm:

●	●	○	○	○
2 Teile A		3 Teile B

Hier gilt $A:B=2:3$, aber $A:\text{Gesamt}=2:5$.

Verändere die Größen im Verhältnis. Prüfe anschließend immer beide Fragen: Wie groß ist das Verhältnis? und Wie groß ist der Anteil an der Gesamtmenge?

Bruch als Operator

Ein Operator ist eine Rechenanweisung. Der Bruch wirkt auf eine Ausgangsgröße.

$\frac{3}{4}\text{ von }20$

kann als zweistufige Handlung verstanden werden:

Schritt	Handlung	Rechnung	Ergebnis
1	Durch den Nenner teilen	$20:4$	$5$
2	Mit dem Zähler multiplizieren	$5\cdot 3$	$15$

Also:

$20\cdot \frac{3}{4}=15$

Der Operator $\frac{3}{4}$ bedeutet hier:

$x\mapsto x\cdot \frac{3}{4}$

Merksatz: Bei $\frac{a}{b}$ von einer Größe kannst Du zuerst durch $b$ teilen und danach mit $a$ multiplizieren.

Beispiel:

$\frac{5}{6}\text{ von }42\text{km}=42:6\cdot 5=7\cdot 5=35\text{km}$

Nutze die interaktiven Aufgaben zu Bruchteilen von Größen. Achte dabei darauf, dass der Bruch nicht nur einen Zustand beschreibt, sondern als Handlungsanweisung auf eine Größe wirkt.

Bruch als Maßzahl

Eine Maßzahl beschreibt, wie groß eine Größe im Vergleich zu einer gewählten Einheit ist.

Beispiele:

$\frac{3}{4}\text{m}$

$\frac{1}{2}\text{kg}$

$\frac{5}{4}\text{h}$

Bei $\frac{3}{4}\text{m}$ ist ein Meter die Einheit. Die Länge beträgt drei Viertel dieser Einheit.

$\frac{3}{4}\text{m}=\mathrm{0,75}\text{m}=75\text{cm}$

Hier ist $\frac{3}{4}$ nicht bloß ein markierter Teil eines Bildes, sondern die Maßzahl einer Größe.

Größe	Bruch als Maßzahl	Gleichwertige Darstellung
Länge	$\frac{3}{4}\text{m}$	$75\text{cm}$
Masse	$\frac{1}{2}\text{kg}$	$500\text{g}$
Zeit	$\frac{3}{4}\text{h}$	$45\text{min}$
Volumen	$\frac{1}{4}\text{l}$	$250\text{ml}$

Maßzahl auf der Zahlengeraden

Ein Bruch kann als Zahl auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Zwischen $0$ und $1$ wird die Einheit passend unterteilt.

Für $\frac{3}{4}$:

$0⟶\frac{1}{4}⟶\frac{2}{4}⟶\frac{3}{4}⟶1$

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Verschiebe die Punkte auf der dynamischen Zahlengeraden und ändere die Unterteilung. Begründe jeweils, warum ein Punkt genau zu einem bestimmten Bruch gehört.

Anteil, Verhältnis, Operator oder Maßzahl?

Nutze diese Entscheidungshilfe:

Frage	Wenn ja, passt besonders gut	Typische Sprache
Wird ein Teil mit einem festgelegten Ganzen verglichen?	Anteil	„3 von 5“, „ein Teil der Klasse“, „gefärbter Teil“
Werden zwei Mengen oder Größen direkt miteinander verglichen?	Verhältnis	„2 zu 3“, „auf 2 Teile kommen 3 Teile“
Wird mit einem Bruch etwas von einer Ausgangsgröße berechnet?	Operator	„$\frac{3}{4}$ von 28“, „auf $\frac{3}{4}$ verkleinern“
Steht der Bruch zusammen mit einer Einheit oder als Lage auf einer Skala?	Maßzahl	„$\frac{3}{4}$ m“, „$\frac{1}{2}$ h“, Zahlengerade

Kurztest im Kopf:

Teil/Ganzes ⇒ Anteil

Teil A/Teil B ⇒ Verhältnis

$\text{Bruch}\cdot \text{Ausgangsgröße}\Rightarrow \text{Operator}$

$\text{Bruch}\cdot \text{Einheit}\Rightarrow \text{Maßzahl}$

Darstellungswechsel

Ein sicheres Bruchverständnis entsteht, wenn Du zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln kannst.

Darstellung	Beispiel für $\frac{3}{4}$	Frage
Symbol	$\frac{3}{4}$	Was bedeuten Zähler und Nenner?
Fläche	3 von 4 gleich großen Feldern gefärbt	Welcher Anteil ist markiert?
Strecke	3 von 4 gleich langen Teilstrecken	Wie weit liegt der Punkt von 0 entfernt?
Zahlengerade	Punkt bei $\mathrm{0,75}$	Welche Zahl wird dargestellt?
Operator	$\frac{3}{4}$ von 24	Auf welche Ausgangsgröße wirkt der Bruch?
Maßzahl	$\frac{3}{4}\text{m}$	Welche Einheit gehört dazu?
Verhältnis	$3:4$	Welche zwei Größen werden miteinander verglichen?

Ziehe die Schieberegler der Bruchstreifen. Suche mehrere unterschiedliche Brüche mit demselben Wert.

Das Bild zeigt, dass man Brüche auch über Flächen vergleichen kann. Ein Darstellungswechsel hilft besonders dann, wenn eine symbolische Rechnung noch nicht klar ist.

Bruch und Dezimaldarstellung als Maßzahl

Für manche Maßzahlen ist eine Dezimaldarstellung praktisch.

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=\mathrm{0,75}$

Damit kannst Du dieselbe Zahl in einer Stellenwerttafel darstellen:

Einer	Zehntel	Hundertstel
0	7	5

$\mathrm{0,75}=7\cdot \frac{1}{10}+5\cdot \frac{1}{100}$

Nutze die interaktive Stellenwerttafel als Darstellungswechsel. Prüfe zum Beispiel:

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

$\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärungen

Beispiel A: Anteil oder Verhältnis?

In einer AG sind 8 Kinder in Team Rot und 12 Kinder in Team Blau.

Schritt 1: Verhältnis der Teams

$\text{Rot}:\text{Blau}=8:12=2:3$

Schritt 2: Gesamtzahl bestimmen

$8+12=20$

Schritt 3: Anteil von Team Rot an allen Kindern

$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

Schritt 4: Unterschied formulieren

$2:3$ beschreibt Rot im Vergleich zu Blau.

$\frac{2}{5}$ beschreibt Rot im Vergleich zur Gesamtgruppe.

Beispiel B: Operator in einer Sachsituation

Ein 36 km langer Radweg ist zu $\frac{5}{6}$ fertiggestellt.

Schritt 1: Ausgangsgröße

$36\text{km}$

Schritt 2: Nenneroperator

$36:6=6$

Schritt 3: Zähleroperator

$6\cdot 5=30$

Schritt 4: Ergebnis

$\frac{5}{6}\text{ von }36\text{km}=30\text{km}$

Der Bruch $\frac{5}{6}$ wirkt hier als Operator.

Beispiel C: Maßzahl in einer Zeitsituation

Ein Training dauert $\frac{3}{4}$ Stunde.

Eine Stunde entspricht $60$ Minuten.

$\frac{3}{4}\cdot 60=45$

Also:

$\frac{3}{4}\text{h}=45\text{min}$

Hier ist $\frac{3}{4}$ eine Maßzahl zur Einheit Stunde. Beim Umrechnen wird der Bruch zusätzlich als Operator auf $60$ Minuten verwendet. Eine Sachsituation kann also mehrere Bruchvorstellungen miteinander verbinden.

Beispiel D: Anspruchsvollere Mischung

Ein Getränk wird im Verhältnis Saft : Wasser = $3:5$ gemischt. Insgesamt sollen 32 dl Getränk entstehen.

Schritt 1: Verhältnis erkennen

$3:5$

Schritt 2: Verhältnisanteile zusammenzählen

$3+5=8$

Schritt 3: Saftanteil an der Gesamtmenge

$\frac{3}{8}$

Schritt 4: Operator anwenden

$\frac{3}{8}\text{ von }32\text{dl}=32:8\cdot 3=12\text{dl}$

Schritt 5: Wasser berechnen

$32-12=20\text{dl}$

In einer einzigen Aufgabe treten hier nacheinander Verhältnis, Anteil, Operator und Maßzahl auf.

Typische Fehler erkennen

Fehlvorstellung	Beispiel	Korrektur
Verhältnis wird mit Anteil verwechselt	Rot : Blau = $2:3$, also seien $\frac{2}{3}$ aller Teile rot.	Gesamtzahl der Verhältnisanteile ist $2+3=5$, also ist der rote Anteil $\frac{2}{5}$.
Operator wird nur als Bildanteil gesehen	$\frac{3}{4}$ von 28 wird gezeichnet, aber nicht berechnet.	$28:4\cdot 3=21$.
Maßzahl verliert die Einheit	$\frac{3}{4}\text{kg}=750$	Richtig ist $750\text{g}$.
Nenner und Zähler werden vertauscht	3 von 8 wird als $\frac{8}{3}$ geschrieben.	Anteil ist $\frac{3}{8}$.
Ungleich große Teilflächen werden als Bruchteile gezählt	3 von 4 gezeichneten Flächen werden als $\frac{3}{4}$ gewertet, obwohl sie verschieden groß sind.	Beim Anteil müssen die Teile des Ganzen gleich groß sein.

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Dynamische Geometrie und 3D-Transfer

Auch räumliche Modelle können Bruchvorstellungen unterstützen. Stelle Dir einen Würfel mit 6 gleich großen Flächen vor. Sind 3 Flächen markiert, beträgt der Anteil der markierten Flächen

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Ob das Würfelnetz flach liegt oder zum Würfel gefaltet wird, ändert diesen Anteil nicht.

Transferfrage: Welche Bruchvorstellung steht im Vordergrund, wenn 3 von 6 Flächen markiert sind? Wie verändert sich die Situation, wenn Du statt der Flächen das Volumen betrachtest?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Bruchvorstellung passt zu 3 von 8 gleich großen Pizzastücken? (Anteil) (!Verhältnis) (!Operator) (!Maßzahl)

In einer Mischung gilt Rot zu Blau gleich 2 zu 3. Welcher Anteil der gesamten Mischung ist rot? (2/5) (!2/3) (!3/2) (!3/5)

Wie viel ist 3/4 von 20? (15) (!5) (!16) (!17)

Welche Aussage verwendet den Bruch 3/4 als Maßzahl? (Der Weg ist 3/4 km lang) (!3 von 4 Kindern tragen eine Mütze) (!Rot zu Blau ist 3 zu 4) (!Nimm 3/4 von 28)

Welche Formulierung ist ein besonders deutlicher Hinweis auf einen Bruch als Operator? (3/5 von 40) (!3 rote und 5 blaue Kugeln) (!3/5 m) (!3 von 5 Feldern)

Welches Verhältnis ist zu 6 zu 9 gleichwertig? (2 zu 3) (!3 zu 2) (!6 zu 3) (!9 zu 6)

Drei von fünf Fahrrädern sind rot. Welcher Anteil der Fahrräder ist rot? (3/5) (!3/2) (!5/3) (!2/5)

Das Verhältnis Saft zu Wasser ist 2 zu 3. Das Getränk umfasst insgesamt 25 Liter. Wie viel Liter Saft sind enthalten? (10 Liter) (!15 Liter) (!12 Liter) (!20 Liter)

Wie viele Minuten sind 3/4 Stunde? (45 Minuten) (!30 Minuten) (!40 Minuten) (!75 Minuten)

Welche Aussage beschreibt am besten den Unterschied zwischen Verhältnis und Anteil? (Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen direkt während ein Anteil einen Teil mit einem Ganzen vergleicht) (!Ein Verhältnis enthält immer eine Einheit) (!Ein Anteil ist immer größer als eins) (!Verhältnis und Anteil bedeuten immer dasselbe)

Memory

Anteil	Teil im Vergleich zum Ganzen
Verhältnis	Vergleich zweier Größen
Operator	Rechenanweisung auf eine Ausgangsgröße
Maßzahl	Zahlenwert einer Größe mit Einheit
Zähler	Anzahl betrachteter gleich großer Teile
Nenner	Anzahl gleich großer Teile des Ganzen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Anteil	Drei von vier gleich großen Kuchenstücken sind gegessen.
Verhältnis	Auf zwei rote Perlen kommen fünf blaue Perlen.
Operator	Berechne drei Viertel von achtundzwanzig Euro.
Maßzahl	Eine Strecke ist drei Viertel Meter lang.
Anteil	Neun von zwölf Feldern eines Rechtecks sind markiert.
Verhältnis	Ein Getränk wird aus drei Teilen Saft und sieben Teilen Wasser gemischt.

Kreuzworträtsel

Anteil	Wie heißt die Bruchvorstellung, die einen Teil mit einem Ganzen vergleicht?
Verhältnis	Wie heißt die Bruchvorstellung, die zwei Größen direkt miteinander vergleicht?
Operator	Wie heißt ein Bruch, wenn er als Rechenanweisung auf eine Größe wirkt?
Maßzahl	Wie heißt die Bedeutung eines Bruchs zusammen mit einer Maßeinheit?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Zähler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Bruch beschreibt als einen Teil im Vergleich zu einem Ganzen. Beim werden zwei Größen direkt miteinander verglichen. Als wirkt ein Bruch auf eine Ausgangsgröße. Eine Größe wie drei Viertel Meter verwendet den Bruch als . Beim Verhältnis zwei zu drei besteht die Gesamtmenge aus Verhältnisanteilen. Deshalb beträgt der Anteil der ersten Menge an der Gesamtmenge . Der Nenner gibt beim Teil-Ganzes-Modell die Anzahl der Teile an. Auf der Zahlengeraden kann ein Bruch als an einer bestimmten Position dargestellt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchbild gestalten: Zeichne drei verschiedene Bilder für $\frac{3}{4}$: als Kreis, als Rechteck und als Strecke. Erkläre jeweils, warum wirklich drei Viertel dargestellt sind.
2. Brüche im Alltag fotografieren: Finde vier Alltagssituationen mit Brüchen. Ordne jede Situation einer der Bedeutungen Anteil, Verhältnis, Operator oder Maßzahl zu.
3. Verhältnisstreifen bauen: Lege mit Papierstreifen oder Bauklötzen das Verhältnis $2:3$. Zeige zusätzlich den Anteil der ersten Farbe an der Gesamtmenge.
4. Erklärkarte erstellen: Gestalte eine Lernkarte mit den vier Leitfragen „Teil vom Ganzen?“, „Vergleich zweier Größen?“, „Rechenanweisung?“, „Größe mit Einheit?“.

Standard

1. Mischungsverhältnis untersuchen: Plane ein Getränk im Verhältnis Saft : Wasser = $3:5$ für 24 Becher. Bestimme Verhältnis, Saftanteil, Wasseranteil und die benötigten Mengen.
2. Operator-Storyboard: Erstelle eine Bildfolge, die zeigt, wie $\frac{5}{6}$ von 42 berechnet wird. Jeder Rechenschritt muss durch ein Bild und einen Term erklärt werden.
3. Messaufgabe entwickeln: Miss fünf Gegenstände und beschreibe mindestens zwei Längen als gebrochene Maßzahlen einer sinnvollen Einheit.
4. GeoGebra-Experiment: Verändere in einer dynamischen Bruchdarstellung Zähler und Nenner. Dokumentiere drei Beispiele, bei denen verschiedene Darstellungen denselben Bruchwert zeigen.

Schwer

1. Mehrdeutige Sachsituation: Erfinde eine Sachsituation, in der derselbe Bruch nacheinander als Verhältnis, Anteil, Operator und Maßzahl vorkommt. Löse sie vollständig.
2. Fehleranalyse Brüche: Schreibe drei typische falsche Schüleraussagen zum Unterschied zwischen Verhältnis und Anteil. Korrigiere jede Aussage mit einem Gegenbeispiel.
3. Interaktive Lernstation: Entwirf eine Lernstation mit beweglichen Bruchstreifen, Zahlengerade und Verhältnisdiagramm. Die Lernenden sollen mindestens drei Darstellungswechsel durchführen.
4. Erklärvideo Bruchvorstellungen: Produziere ein zwei- bis dreiminütiges Erklärvideo, in dem Du an einem einzigen Beispiel alle vier Bruchvorstellungen voneinander abgrenzt.

Lernkontrolle

1. Mischungsproblem: Ein Farbgemisch besteht im Verhältnis Gelb : Blau = $4:7$. Insgesamt werden 33 ml hergestellt. Bestimme den Gelbanteil am Ganzen und die Menge der gelben Farbe. Begründe, an welcher Stelle Du Verhältnis, Anteil und Operator verwendest.
2. Zeit und Weg: Eine Wanderung ist $\frac{3}{5}$ geschafft. Der gesamte Weg ist 15 km lang. Erkläre, warum $\frac{3}{5}$ zunächst als Anteil und anschließend als Operator gedeutet werden kann. Bestimme die zurückgelegte Strecke als Maßzahl.
3. Darstellungswechsel prüfen: Stelle $\frac{5}{8}$ als Fläche, auf einer Zahlengeraden, als Operator auf 32 und als Maßzahl in Metern dar. Erkläre, was sich ändert und was gleich bleibt.
4. Verhältnisfalle: In einer Schachtel ist das Verhältnis roter zu grünen Kugeln $3:5$. Eine Person behauptet, $\frac{3}{5}$ aller Kugeln seien rot. Widerlege die Aussage und formuliere die richtige Bruchangabe.
5. Eigene Modellierung: Formuliere eine realistische Sachsituation, in der mindestens drei der vier Bruchvorstellungen benötigt werden. Löse sie und begründe für jeden Rechenschritt die verwendete Vorstellung.
6. Fehlerdiagnose: Ein Schüler rechnet bei $\frac{4}{7}$ von 35 zuerst $35:4$ und anschließend mal 7. Erkläre den Denkfehler mithilfe der Operatorvorstellung und korrigiere die Rechnung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du:

1. die Begriffe Anteil, Verhältnis, Operator und Maßzahl sicher unterscheiden kannst.
2. zu einer Sachsituation die passende Bruchvorstellung begründet auswählst.
3. Verhältnis und Anteil an der Gesamtmenge korrekt auseinanderhältst.
4. Brüche als Operatoren auf Zahlen und Größen anwenden kannst.
5. gebrochene Maßzahlen mit passenden Einheiten interpretieren und umrechnen kannst.
6. zwischen Flächenmodell, Streckenmodell, Zahlengerade, Bruchschreibweise und Sachsituation wechseln kannst.
7. typische Fehler erklären und korrigieren kannst.
8. in einer mehrschrittigen Aufgabe erkennen kannst, dass verschiedene Bruchvorstellungen nacheinander auftreten.

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruchzahl Anteil Verhältnis Proportionalität Operator Maßzahl Zahlengerade Dezimalzahl Größen und Einheiten Sachrechnen