M5 G - Teilbarkeit durch 2, 5 und 10

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC entdeckst Du drei besonders einfache und nützliche Teilbarkeitsregeln. Du lernst, wie Du bei einer natürlichen Zahl sehr schnell entscheidest, ob sie durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist.

Der wichtigste Detektiv-Hinweis lautet:

Schau zuerst auf ...	Warum?
die Einerstelle	Alle vollen Zehner sind durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.

Du brauchst also meistens keine lange Division. Die letzte Ziffer verrät Dir schon sehr viel.

Lernziele: Du kannst

1. Teilbarkeit als „Teilen ohne Rest“ erklären.
2. bei Zahlen die Einerstelle sicher erkennen.
3. die Teilbarkeitsregeln für $2$, $5$ und $10$ anwenden.
4. die Regeln mit Zehnerpaketen und der Einerstelle begründen.
5. Zusammenhänge zwischen den drei Regeln erkennen und erklären.
6. typische Fehler bei Aussagen zur Teilbarkeit entdecken.

Das Stellenwertmaterial zeigt die Grundidee unseres Zehnersystems: Zehn Einer können zu einem Zehner gebündelt werden, zehn Zehner zu einem Hunderter. Für unsere Teilbarkeitsregeln ist besonders spannend, was nach allen vollständigen Zehnerpaketen an der Einerstelle übrig bleibt.

Was bedeutet teilbar?

Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn beim Teilen kein Rest übrig bleibt.

Beispiele:

$48:2=24$

Also ist $48$ durch $2$ teilbar.

$45:5=9$

Also ist $45$ durch $5$ teilbar.

$130:10=13$

Also ist $130$ durch $10$ teilbar.

Dagegen gilt:

$47:2=23\text{ Rest }1$

Damit ist $47$ nicht durch $2$ teilbar.

Als Kurzschreibweise kann man auch schreiben:

$2\mid 48$ bedeutet: „$2$ teilt $48$“.

$2\nmid 47$ bedeutet: „$2$ teilt $47$ nicht“.

Die Einerstelle ist der Schlüssel

Schau Dir zum Beispiel die Zahl $437$ an:

$437=400+30+7$

oder noch passender:

$437=43\cdot 10+7$

Die $43$ vollständigen Zehnerpakete ergeben $430$. Diese Zahl ist durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.

Für die Entscheidung bleibt nur die Einerstelle:

$437=\underset{\text{volle Zehner}}{\underbrace{430}}+\underset{\text{Einer}}{\underbrace{7}}$

Da $7$ weder durch $2$ noch durch $5$ noch durch $10$ teilbar ist, ist auch $437$ durch keinen dieser drei Teiler teilbar.

Stellenwert-Lupe:

Zahl	Hunderter	Zehner	Einer	Entscheidend für $2,5,10$
$248$	$2$	$4$	$8$	Einerziffer $8$
$915$	$9$	$1$	$5$	Einerziffer $5$
$520$	$5$	$2$	$0$	Einerziffer $0$

Teilbarkeit durch 2

Eine natürliche Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn ihre Einerziffer eine der Ziffern

$0,2,4,6,8$

ist.

Diese Zahlen heißen auch gerade Zahlen.

Einerziffer	Durch $2$ teilbar?
$0$	ja
$1$	nein
$2$	ja
$3$	nein
$4$	ja
$5$	nein
$6$	ja
$7$	nein
$8$	ja
$9$	nein

Beispiele:

$124$ endet auf $4$:

$124:2=62$

$736$ endet auf $6$:

$736:2=368$

$351$ endet auf $1$. Deshalb ist $351$ nicht durch $2$ teilbar.

Teilbarkeit durch 5

Eine natürliche Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn ihre Einerziffer

$0\text{ oder }5$

ist.

Beispiele:

$235=23\cdot 10+5$

$235:5=47$

und

$420=42\cdot 10+0$

$420:5=84$

Dagegen endet $423$ auf $3$. Deshalb ist $423$ nicht durch $5$ teilbar.

Teilbarkeit durch 10

Eine natürliche Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn ihre Einerziffer

$0$

ist.

Beispiele:

$70:10=7$

$340:10=34$

$1250:10=125$

Eine Zahl mit der Endziffer $5$ ist zwar durch $5$ teilbar, aber nicht durch $10$.

Die drei Regeln auf einen Blick

Teiler	Erlaubte Einerziffern	Beispiel	Gegenbeispiel
$2$	$0,2,4,6,8$	$346$	$347$
$5$	$0,5$	$615$	$618$
$10$	$0$	$920$	$925$

Merke:

$\text{Endziffer }0\Rightarrow \text{teilbar durch }2,5\text{ und }10$

$\text{Endziffer }5\Rightarrow \text{teilbar durch }5,\text{ aber nicht durch }2\text{ oder }10$

$\text{Endziffer }2,4,6,8\Rightarrow \text{teilbar durch }2,\text{ aber nicht durch }5\text{ oder }10$

Warum funktionieren die Regeln?

Jede natürliche Zahl kann in volle Zehner und Einer zerlegt werden.

Beispiel:

$786=78\cdot 10+6$

Der Teil

$78\cdot 10=780$

ist durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.

Für die Teilbarkeit von $786$ muss deshalb nur noch die Einerziffer $6$ untersucht werden.

Allgemein kannst Du Dir merken:

$n=10\cdot q+r$

Dabei steht $r$ für die Einerziffer.

Für $2$ gilt:

$r\in \{0,2,4,6,8\}$

Für $5$ gilt:

$r\in \{0,5\}$

Für $10$ gilt:

$r=0$

Genau deshalb reichen bei diesen drei Teilern die letzten Ziffern aus.

Visueller Rechenweg: Zerlegen statt lang teilen

Zahl	Zerlegung	Einerziffer	durch $2$	durch $5$	durch $10$
$248$	$24\cdot 10+8$	$8$	ja	nein	nein
$915$	$91\cdot 10+5$	$5$	nein	ja	nein
$520$	$52\cdot 10+0$	$0$	ja	ja	ja
$437$	$43\cdot 10+7$	$7$	nein	nein	nein

Schrittfolge:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Zahl anschauen}}} $\to$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Einerstelle markieren}}} $\to$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Regel auswählen}}} $\to$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Entscheidung begründen}}}

Muster auf der Zahlentafel

Suche in jeder Reihe die Endziffern. Die Regel wiederholt sich immer wieder.

$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$
$30$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$

Muster:

1. Bei Vielfachen von $2$ wechseln sich „passt“ und „passt nicht“ ab.
2. Vielfache von $5$ enden abwechselnd auf $0$ und $5$.
3. Vielfache von $10$ stehen immer bei einer Endziffer $0$.

Arbeitsidee: Übertrage eine Zahlentafel von $0$ bis $100$. Markiere Vielfache von $2$, $5$ und $10$ mit drei verschiedenen Symbolen. Wo überschneiden sich die Markierungen?

Zahlengeraden-Spuren

An einer Zahlengeraden entstehen regelmäßige Sprünge.

Zweiersprünge:

$0\to 2\to 4\to 6\to 8\to 10\to 12\to 14\to 16\to 18\to 20$

Fünfersprünge:

$0\to 5\to 10\to 15\to 20\to 25\to 30$

Zehnersprünge:

$0\to 10\to 20\to 30\to 40\to 50$

Die Zehnerspur liegt gleichzeitig auf der Zweier- und auf der Fünferspur.

$10,20,30,40,50,\dots$

sind also durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.

Zusammenhang zwischen 2, 5 und 10

Eine besonders wichtige Beziehung lautet:

$\text{durch }10\text{ teilbar}\Rightarrow \text{durch }2\text{ und durch }5\text{ teilbar}$

Warum?

Eine durch $10$ teilbare Zahl endet auf $0$. Die Ziffer $0$ erfüllt gleichzeitig die Zweierregel und die Fünferregel.

Auch die Umkehrung stimmt:

$\text{durch }2\text{ und durch }5\text{ teilbar}\Rightarrow \text{durch }10\text{ teilbar}$

Denn die einzige Einerziffer, die sowohl in

$\{0,2,4,6,8\}$

als auch in

$\{0,5\}$

vorkommt, ist

$0$.

Beim Bild kannst Du besonders auf die Bereiche für Vielfache von $2$ und $5$ achten. Ihre Überschneidung hilft Dir, die Vielfachen von $10$ zu verstehen.

Malreihen als Muster

Teilbarkeit hängt eng mit Vielfachen zusammen.

$V_2=\{0,2,4,6,8,10,12,\dots \}$

$V_5=\{0,5,10,15,20,25,30,\dots \}$

$V_{10}=\{0,10,20,30,40,\dots \}$

Beobachte bei der Animation besonders die Reihen zu $2$, $5$ und $10$. Welche Endziffern wiederholen sich?

Erklärvideo: Teilbarkeit durch 2, 5 und 10

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Das Video behandelt genau die Endstellenregeln für $2$, $5$ und $10$. Stoppe nach jeder Regel und erfinde selbst zwei passende Beispiele.

Kurzes Wiederholungsvideo

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Konzentriere Dich beim Anschauen zunächst nur auf die Regeln zu $2$, $5$ und $10$.

Detektivaufgaben: Finde die entscheidende Spur

Fall A: Die verschwundene Einerziffer

Eine Zahl liegt zwischen $130$ und $150$ und ist durch $10$ teilbar. Welche Zahl ist gemeint?

Lösung: $140$. Zwischen $130$ und $150$ ist nur $140$ ein Vielfaches von $10$.

Fall B: Der Fünfer-Fingerabdruck

Eine dreistellige Zahl hat $3$ Hunderter, $4$ Zehner und ist durch $5$, aber nicht durch $2$ teilbar. Welche Einerziffer muss sie haben?

Lösung: Die Einerziffer ist $5$. Die Zahl ist $345$.

Fall C: Drei Regeln auf einmal

Eine Zahl endet auf $0$. Welche der drei Regeln erfüllt sie sicher?

Lösung: Sie ist durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.

Fall D: Verdächtige Behauptung

Mila sagt: „$475$ ist durch $10$ teilbar, weil die Zahl durch $5$ teilbar ist.“ Finde den Fehler.

Lösung: $475$ endet auf $5$. Deshalb ist die Zahl durch $5$, aber nicht durch $10$ teilbar. Für $10$ muss die Einerziffer $0$ sein.

Fehlerdetektiv

Behauptung	Prüfe mit der Einerstelle	Ergebnis
$628$ ist durch $2$ teilbar.	Endziffer $8$	richtig
$735$ ist durch $10$ teilbar.	Endziffer $5$	falsch
$910$ ist durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.	Endziffer $0$	richtig
Jede durch $2$ teilbare Zahl ist auch durch $10$ teilbar.	Zum Beispiel Endziffer $4$	falsch
Jede durch $10$ teilbare Zahl ist auch durch $5$ teilbar.	Endziffer $0$	richtig

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Einerziffer kann eine Zahl haben, die durch 2 teilbar ist? (8) (!5) (!7) (!9)

Welche Einerziffern zeigen sicher die Teilbarkeit durch 5? (0 oder 5) (!2 oder 4) (!1 oder 3) (!6 oder 8)

Wann ist eine natürliche Zahl durch 10 teilbar? (Wenn ihre Einerziffer 0 ist) (!Wenn ihre Einerziffer 5 ist) (!Wenn ihre Einerziffer gerade ist) (!Wenn ihre Zehnerziffer 0 ist)

Welche Zahl ist durch 2 teilbar? (346) (!351) (!725) (!913)

Welche Zahl ist durch 5, aber nicht durch 10 teilbar? (235) (!240) (!242) (!243)

Welche Zahl ist durch 2, 5 und 10 teilbar? (870) (!875) (!872) (!873)

Warum reicht bei den Regeln für 2, 5 und 10 die Einerstelle? (Weil volle Zehner durch 2 5 und 10 teilbar sind) (!Weil nur einstellige Zahlen teilbar sein können) (!Weil die Hunderterstelle immer 0 ist) (!Weil man die Zehnerstelle ignorieren darf ohne Grund)

Welche Aussage über Zahlen mit der Endziffer 5 stimmt? (Sie sind durch 5 teilbar) (!Sie sind immer durch 2 teilbar) (!Sie sind immer durch 10 teilbar) (!Sie sind nie durch 5 teilbar)

Welche Aussage über Zahlen mit der Endziffer 0 stimmt? (Sie sind durch 2 5 und 10 teilbar) (!Sie sind nur durch 2 teilbar) (!Sie sind nur durch 5 teilbar) (!Sie sind durch keinen der drei Teiler teilbar)

Eine Zahl ist durch 2 und durch 5 teilbar. Was folgt daraus? (Sie ist auch durch 10 teilbar) (!Sie endet sicher auf 5) (!Sie ist ungerade) (!Sie kann nicht durch 10 teilbar sein)

Memory

Zweierregel	gerade Endziffer
Fünferregel	Endziffer Null oder Fünf
Zehnerregel	Endziffer Null
Einerstelle	ganz rechte Stelle
Restfrei	Teilen ohne Rest
Vielfaches	Ergebnis einer passenden Multiplikation

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zweierregel	gerade Endziffer
Fünferregel	Endziffer Null oder Fünf
Zehnerregel	Endziffer Null
Einerstelle	ganz rechte Stelle einer Zahl
Teilbarkeit	Division ohne Rest

Kreuzworträtsel

Einerstelle	Welche Stelle einer Zahl entscheidet bei den Regeln für 2 5 und 10?
Endziffer	Wie nennt man die letzte Ziffer einer Zahl noch?
Vielfaches	Wie heißt eine Zahl die durch Multiplikation mit einer natürlichen Zahl entsteht?
Restfrei	Wie nennt man eine Division bei der nichts übrig bleibt?
Gerade	Wie nennt man eine Zahl die durch 2 teilbar ist?
Dezimalsystem	In welchem Stellenwertsystem arbeiten wir mit Zehnern und Einern?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Zahl ist teilbar, wenn bei der Division kein übrig bleibt.

Bei den Teilbarkeitsregeln für 2, 5 und 10 ist besonders die wichtig.

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer ist.

Die Endziffer 8 zeigt deshalb die Teilbarkeit durch an.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder endet.

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf endet.

Eine Zahl mit der Endziffer 0 ist gleichzeitig durch 2, 5 und teilbar.

Eine Zahl mit der Endziffer 5 ist nicht durch teilbar.

Volle Zehner sind immer durch 2, 5 und teilbar.

Bei der Zerlegung 437 gleich 43 mal 10 plus 7 ist die 7 die .

Wer die Einerstelle prüft, kann viele Aufgaben ohne lange lösen.

Die gemeinsame Einerziffer der Zweierregel und der Fünferregel ist .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Endziffern-Sammler: Suche in Deiner Umgebung zehn Zahlen auf Verpackungen, Seitenzahlen oder Schildern. Notiere jeweils die Einerziffer und entscheide, ob die Zahl durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist.
2. Zahlentafel markieren: Erstelle eine Zahlentafel von $1$ bis $50$. Verwende verschiedene Zeichen für Vielfache von $2$, $5$ und $10$. Beschreibe das Muster.
3. Einerstellen-Lupe: Schreibe zwölf dreistellige Zahlen auf Karten. Kreise nur die Einerstelle ein und sortiere die Karten nach den drei Teilbarkeitsregeln.
4. Zweier-Spur: Erfinde zehn gerade und zehn ungerade Zahlen. Erkläre mit der Endziffer, warum Deine Sortierung stimmt.

Standard

1. Zahlen-Detektiv: Erfinde fünf Rätsel wie „Meine Zahl liegt zwischen 200 und 250, ist durch 5, aber nicht durch 10 teilbar“. Tausche die Rätsel mit einer anderen Person.
2. Regel begründen: Erkläre mit der Zerlegung $n=10\cdot q+r$, warum bei der Teilbarkeit durch $5$ nur die Einerziffer wichtig ist. Nutze zusätzlich ein konkretes Zahlenbeispiel.
3. Mini-Erklärvideo: Produziere ein Video von höchstens zwei Minuten, in dem Du eine der drei Regeln mit einem selbst gezeichneten Stellenwertmodell erklärst.
4. Sprungbild: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $60$ und markiere Zweier-, Fünfer- und Zehnersprünge. Erkläre die Überschneidungen.

Schwer

1. Wenn zwei Regeln gelten: Begründe ohne Division, warum jede Zahl, die durch $2$ und durch $5$ teilbar ist, auch durch $10$ teilbar sein muss.
2. Fehlerwerkstatt: Erfinde vier falsche Aussagen zu den drei Teilbarkeitsregeln. Gib jeweils ein Gegenbeispiel und verbessere die Aussage.
3. Teilbarkeits-Algorithmus: Formuliere eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, mit der ein Computer anhand der Einerziffer entscheidet, welche der drei Regeln erfüllt sind.
4. Musterdiagramm: Untersuche die Zahlen von $1$ bis $100$. Zähle, wie viele durch $2$, $5$ und $10$ teilbar sind, und stelle die Ergebnisse in einem Diagramm dar. Erkläre die Unterschiede.

Lernkontrolle

1. Unbekannte Zahl: Eine Zahl endet auf $0$. Begründe ohne konkrete Division, durch welche der Zahlen $2$, $5$ und $10$ sie teilbar sein muss.
2. Aussage prüfen: Leon behauptet: „Jede Zahl, die durch $5$ teilbar ist, ist auch durch $10$ teilbar.“ Entscheide, ob die Aussage stimmt, und begründe mit einem Gegenbeispiel oder einer Regel.
3. Zahl zerlegen: Zerlege $684$ in volle Zehner und Einer. Erkläre damit, warum die Einerziffer für die Teilbarkeit durch $2$ entscheidend ist.
4. Ziffer einsetzen: Ergänze $47◻$ so, dass die Zahl erstens durch $2$, zweitens durch $5$ und drittens durch $10$ teilbar ist. Nenne jeweils alle möglichen Ziffern.
5. Zwei Regeln ergeben eine dritte: Erkläre, warum die gemeinsame Erfüllung der Zweierregel und der Fünferregel genau zur Zehnerregel führt.
6. Verpackungsproblem: Ein Betrieb füllt $250$ Teile in gleich große Gruppen. Begründe nur mit Teilbarkeitsregeln, ob Gruppen zu $2$, $5$ und $10$ ohne Rest möglich sind.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du

1. die Bedeutung von Teilbarkeit als Teilen ohne Rest sicher erklären kannst.
2. die Einerstelle einer Zahl schnell erkennst.
3. die Regeln für $2$, $5$ und $10$ korrekt anwendest.
4. Entscheidungen nicht nur nennst, sondern über die Einerziffer begründest.
5. Zahlen in volle Zehner und Einer zerlegen kannst, zum Beispiel $437=43\cdot 10+7$.
6. erklären kannst, warum Zahlen mit Endziffer $0$ durch $2$, $5$ und $10$ teilbar sind.
7. begründen kannst, warum „durch $2$ und durch $5$ teilbar“ auch „durch $10$ teilbar“ bedeutet.
8. falsche Aussagen zur Teilbarkeit mit einem Gegenbeispiel widerlegen kannst.

OERs zum Thema

Weitere frei zugängliche Lernmaterialien:

1. Wikimedia Commons: Divisibility rules
2. GeoGebra: Teilbarkeit durch 2, 4, 5 und 10
3. GeoGebra: Teilbarkeit – interaktive Materialien für Schulstufe 5–6

Verknüpfte Lernbereiche

Teilbarkeit Natürliche Zahlen Stellenwertsystem Einerstelle Gerade und ungerade Zahlen Teiler und Vielfache Division mit Rest Dezimalsystem Mathematisches Argumentieren