M10 E - Potenz-, Wurzel- und Exponentialfunktionen vergleichen

M10 E - Potenz-, Wurzel- und Exponentialfunktionen vergleichen

Mini-Beschreibung: Vergleiche auf E-Niveau charakteristische Eigenschaften unterschiedlicher Funktionstypen und ordne passende Terme und Graphen zu.

Zielgruppe: Klasse 10, E-Niveau, Baden-Württemberg.

Einleitung

Drei Terme können ähnlich aussehen und trotzdem sehr verschiedene Graphen erzeugen:

$f(x)=x^4$

$g(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$h(x)=2^x$

Der entscheidende Blick gilt der Position der Variablen, der Definitionsmenge, der Symmetrie, möglichen Asymptoten und dem Änderungsverhalten.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Der Kurs orientiert sich an den Kompetenzen zum funktionalen Zusammenhang in Klasse 9/10 in Baden-Württemberg: Potenzfunktionen $x^n$, die Sonderfälle $x^{-1}$ und $x^{-2}$, die Quadratwurzelfunktion und Exponentialfunktionen werden über charakteristische Eigenschaften untersucht und skizziert.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Funktionaler Zusammenhang

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Funktionstypen: Potenz-, Wurzel- und Exponentialfunktionen an Term und Graph unterscheiden.
2. Symmetrie: Eigenschaften von $x^n$, $x^{-1}$ und $x^{-2}$ formal begründen.
3. Definitionsmenge: Definitions- und Wertemengen sicher bestimmen und für Zuordnungen nutzen.
4. Umkehrfunktion: den Zusammenhang zwischen $x^2$ auf $x\ge 0$ und $\sqrt{x}$ erklären.
5. Exponentielles Wachstum: Wachstums- und Zerfallsmodelle an einem konstanten Faktor erkennen.
6. Argumentieren: digitale Graphen als Vermutungshilfe nutzen, Ergebnisse aber rechnerisch oder formal prüfen.
7. Modellieren: passende Funktionstypen für komplexere Situationen auswählen und Grenzen des Modells benennen.

Vorwissen-Check

Bearbeite zuerst ohne digitales Werkzeug.

1. Vereinfache $x^{-2}$.
2. Berechne $(-2{)}^4$ und $(-2{)}^3$.
3. Bestimme, für welche reellen $x$ der Term $\sqrt{x}$ definiert ist.
4. Berechne $2^0$, $2^1$ und $2^2$.
5. Erkläre den Unterschied zwischen $x^3$ und $3^x$.

Kontrolle: $x^{-2}=\frac{1}{x^2}$; $(-2{)}^4=16$; $(-2{)}^3=-8$; für $\sqrt{x}$ gilt $x\ge 0$; $2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$. Bei $x^3$ ist der Exponent fest, bei $3^x$ steht die Variable im Exponenten.

Funktionstypen vergleichen

Potenzfunktionen mit positivem ganzzahligen Exponenten

Grundform:

$f(x)=x^n,n\in \mathbb{N}$

Gerades $n$: Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

$f(-x)=(-x{)}^n=(-1{)}^n{x}^n=x^n=f(x)$

Ungerades $n$: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

$f(-x)=(-x{)}^n=-x^n=-f(x)$

Für alle positiven ganzzahligen $n$ ist die Definitionsmenge $ℝ$. Bei geradem $n$ ist die Wertemenge $[0,\mathrm{\infty })$, bei ungeradem $n$ ist sie $ℝ$.

Die Punkte $(0|0)$ und $(1|1)$ liegen immer auf dem Graphen. Bei geradem $n$ liegt zusätzlich $(-1|1)$, bei ungeradem $n$ liegt $(-1|-1)$ auf dem Graphen.

Potenzfunktionen mit negativem Exponenten

$f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$

$g(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$

Für beide gilt $x\ne 0$. Die Koordinatenachsen werden nicht geschnitten; sie sind für diese Grundfunktionen Asymptoten.

Für $x^{-1}$ gilt $D=ℝ\setminus \{0\}$ und $W=ℝ\setminus \{0\}$. Für $x^{-2}$ gilt $D=ℝ\setminus \{0\}$ und $W=(0,\mathrm{\infty })$.

Bei $x^{-1}$ gilt:

$f(-x)=-f(x)$

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bei $x^{-2}$ gilt:

$g(-x)=g(x)$

Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse und für alle erlaubten $x$ positiv.

Wurzelfunktionen

Die Quadratwurzelfunktion lautet:

$g(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

mit

$D_g=[0,\mathrm{\infty })$

und

$W_g=[0,\mathrm{\infty })$.

Die Funktion $f(x)=x^2$ ist auf ganz $ℝ$ nicht umkehrbar, weil zum Beispiel $f(2)=f(-2)=4$ gilt. Beschränkt man sie auf $x\ge 0$, wird sie eindeutig umkehrbar. Dann ist $\sqrt{x}$ ihre Umkehrfunktion.

Für $x\ge 0$ gilt:

$\sqrt{x^2}=x$

Für beliebige reelle $x$ gilt dagegen:

$\sqrt{x^2}=|x|$

Verallgemeinerung: Bei $x^{\frac{1}{n}}$ hängt die reelle Definitionsmenge davon ab, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Gerade Wurzeln verlangen einen nichtnegativen Radikanden; ungerade Wurzeln sind auch für negative reelle Zahlen definiert.

Exponentialfunktionen

Grundform:

$f(x)=a^x,a>0,a\ne 1$

Hier ist die Basis $a$ fest und die Variable steht im Exponenten.

Für jede solche Grundfunktion gilt:

$D_f=ℝ$

$W_f=(0,\mathrm{\infty })$

$f(0)=1$

und

$\frac{f(x+1)}{f(x)}=a$.

Damit ist der Faktor von einem Schritt zum nächsten konstant.

Falls $a>1$: exponentielles Wachstum.

Falls $0<a<1$: exponentielle Abnahme.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Für verschobene und gestreckte Modelle ist auch

$f(x)=c\cdot a^x+d$

wichtig. Bei $c\ne 0$ ist $y=d$ eine waagerechte Asymptote.

Der schnellste Vergleich

Potenzfunktion: Variable in der Basis, fester Exponent.

$x^n$

Wurzelfunktion: Variable unter einer Wurzel beziehungsweise als gebrochene Potenz.

$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

Exponentialfunktion: feste positive Basis, Variable im Exponenten.

$a^x$

Merksatz: Nicht die Form des Graphen allein entscheidet. Prüfe immer Term, Definitionsmenge, Symmetrie, markante Punkte und Änderungsverhalten gemeinsam.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Zuordnung

Beispiel A: $x^{-2}$ erkennen

Schritt 1 – umformen

$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$

Schritt 2 – Definitionsmenge

$x=0$ ist ausgeschlossen.

Schritt 3 – Symmetrie

$f(-x)=f(x)$, also Achsensymmetrie zur $y$-Achse.

Schritt 4 – Vorzeichen

$f(x)>0$ für alle $x\ne 0$.

Schritt 5 – Graph wählen

Gesucht sind zwei Äste oberhalb der $x$-Achse, mit Annäherung an beide Achsen.

Beispiel B: $\sqrt{x}$ erkennen

Schritt 1 – Definitionsmenge

$x\ge 0$.

Schritt 2 – Startpunkt

$f(0)=0$.

Schritt 3 – Kontrollpunkte

$f(1)=1$, $f(4)=2$, $f(9)=3$.

Schritt 4 – Umkehrbezug

Der Graph ist die Spiegelung des rechten Parabelastes von $y=x^2$ an $y=x$.

Beispiel C: $2^x$ erkennen

Schritt 1 – Variable lokalisieren

Die Variable steht im Exponenten.

Schritt 2 – Kontrollpunkt

$2^0=1$, also liegt $(0|1)$ auf dem Graphen.

Schritt 3 – Wachstumsfaktor

$\frac{2^{x+1}}{2^x}=2$.

Schritt 4 – Nullstelle prüfen

$2^x>0$ für alle reellen $x$. Der Grundgraph hat keine Nullstelle.

Dynamisches Graphenlabor mit Schiebereglern

Experiment 1 – Potenzexponent $n$:

1. Lege einen ganzzahligen Schieberegler $n$ von $-4$ bis $6$ mit Schrittweite $1$ an.
2. Gib $f(x)=x^n$ ein.
3. Vergleiche gerade und ungerade Werte von $n$.
4. Untersuche zusätzlich, was sich für negative $n$ bei $x=0$ ändert.

Experiment 2 – Exponentialbasis $a$:

1. Lege einen Schieberegler $a$ von $\mathrm{0,2}$ bis $3$ an.
2. Gib $g(x)=a^x$ ein.
3. Vergleiche $0<a<1$, $a=1$ und $a>1$.
4. Formuliere eine Vermutung zum Zusammenhang zwischen $a$ und Wachstum beziehungsweise Abnahme.

Experiment 3 – Transformation:

1. Gib $h(x)=c\cdot a^x+d$ ein.
2. Erzeuge Schieberegler für $c$ und $d$.
3. Verändere zuerst nur $d$ und beobachte die Asymptote.
4. Verändere danach nur $c$ und beschreibe Streckung oder Spiegelung.

Digitale Prüfung: Ein Graphikprogramm zeigt nur einen Ausschnitt. Zoomen kann Eigenschaften scheinbar verändern. Prüfe deshalb markante Punkte und algebraische Eigenschaften zusätzlich. KI-Ausgaben können Ideen liefern, ersetzen aber keinen mathematischen Beweis. Verwende bei digitalen Werkzeugen keine personenbezogenen Daten.

Interaktive Beispiele mit Hilfestufen und Feedback

Beispiel 1: Term zuordnen

Ordne den Eigenschaften einen Term zu: Der Graph ist zur $y$-Achse symmetrisch, bei $x=0$ nicht definiert und sonst positiv.

Hilfestufe 1: Die Definitionslücke bei $x=0$ spricht für einen negativen Exponenten.

Hilfestufe 2: Achsensymmetrie spricht für einen geraden Exponenten.

Lösung:

$f(x)=x^{-2}$

Feedback: Wenn Du nur „Hyperbel“ notiert hast, ergänze die Symmetrie. $x^{-1}$ besitzt ebenfalls eine Definitionslücke, hat aber eine andere Symmetrie.

Beispiel 2: Zwei Terme unterscheiden

Vergleiche $p(x)=x^4$ und $q(x)=4^x$.

Hilfestufe 1: Prüfe, wo die Variable steht.

Hilfestufe 2: Berechne beide Funktionen für $x=0$ und $x=2$.

$p(0)=0,q(0)=1$

$p(2)=16,q(2)=16$

Feedback: Ein gemeinsamer Punkt macht zwei Funktionen nicht gleich. Für Gleichheit müssten ihre Funktionswerte für jedes gemeinsame Argument übereinstimmen.

Beispiel 3: Gegenbeispiel prüfen

Behauptung: $\sqrt{x^2}=x$ für alle reellen $x$.

Hilfestufe 1: Teste einen negativen Wert.

$x=-3$

Rechnung:

$\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$

aber

$x=-3$.

Feedback: Die Behauptung ist falsch. Korrekt ist $\sqrt{x^2}=|x|$.

Typische Fehler

1. Negativer Exponent: $x^{-2}$ bedeutet $\frac{1}{x^2}$, nicht $-x^2$.
2. Quadratwurzel: $\sqrt{x^2}=|x|$, nicht allgemein $x$.
3. Definitionsmenge: Bei $x^{-1}$ und $x^{-2}$ ist $x=0$ ausgeschlossen.
4. Exponentialfunktion: $x^3$ ist keine Exponentialfunktion; $3^x$ ist eine.
5. Graphisches Ablesen: Ein Bildausschnitt ist kein Beweis für Symmetrie, Nullstellen oder Grenzverhalten.
6. Modellkritik: Ein passender Graph garantiert noch nicht, dass die Annahmen eines Sachmodells realistisch sind.

Transfer: Funktionen in Modellen

Modell 1: Flächeninhalt und Seitenlänge

Für ein Quadrat gilt:

$A=s^2$

Nach $s$ aufgelöst:

$s=\sqrt{A}$

Die Wurzelfunktion beschreibt hier den Rückweg von der Fläche zur Seitenlänge.

Modell 2: Konstanter Wachstumsfaktor

Bei einem idealisierten Prozess mit Anfangswert $N_0$ und konstantem Faktor $a$ pro Zeiteinheit gilt:

$N(t)=N_0\cdot a^t$

Das Modell ist exponentiell, weil bei gleichen Zeitschritten mit demselben Faktor multipliziert wird.

Modell 3: Zwei Funktionstypen verknüpfen

Eine kreisförmige Fläche wachse modellhaft nach

$A(t)=A_0\cdot a^t$

mit $a>1$. Für den Radius gilt

$r(t)=\sqrt{\frac{A(t)}{\pi }}$.

Einsetzen liefert:

$r(t)=\sqrt{\frac{A_0\cdot a^t}{\pi }}$

und damit

$r(t)=\sqrt{\frac{A_0}{\pi }}\cdot {\left(\sqrt{a}\right)}^t$.

E-Niveau-Schluss: Obwohl eine Wurzel vorkommt, ist der Radius als Funktion der Zeit wieder exponentiell. Der neue Wachstumsfaktor ist $\sqrt{a}$.

Selbstkontrolle

Prüfe, ob Du ohne Hilfe beantworten kannst:

1. Wo steht die Variable bei einer Potenzfunktion, wo bei einer Exponentialfunktion?
2. Welche Symmetrie hat $x^6$, welche $x^5$?
3. Warum ist $x=0$ für $x^{-2}$ ausgeschlossen?
4. Warum muss $x^2$ vor der Umkehrung zur Quadratwurzelfunktion eingeschränkt werden?
5. Woran erkennst Du in einer Wertetabelle exponentielles Verhalten?
6. Welche Aussage eines digitalen Graphen musst Du rechnerisch nachprüfen?

Wenn Du bei mindestens zwei Fragen unsicher bist, wiederhole das Graphenlabor und die Schritt-für-Schritt-Zuordnungen.

Kompetenzcheck E-Niveau

1. Beweis zur Symmetrie: Zeige mit $f(-x)$, warum $x^n$ für gerade natürliche $n$ achsensymmetrisch und für ungerade natürliche $n$ punktsymmetrisch ist.
2. Gegenbeispiel: Widerlege die Aussage $\sqrt{x^2}=x$ für alle reellen $x$ mit einem Gegenbeispiel und formuliere die korrekte Aussage.
3. Vergleich: Begründe, warum $x^{-2}$ und $x^2$ trotz gleicher Achsensymmetrie nicht verwechselt werden dürfen.
4. Exponentialkriterium: Leite aus $f(x)=a^x$ her, warum der Quotient $\frac{f(x+1)}{f(x)}$ konstant ist.
5. Modellentscheidung: Entscheide für eine Datensituation, ob eine Potenz-, Wurzel- oder Exponentialfunktion plausibel ist, und begründe mit mindestens zwei Eigenschaften.
6. Digitale Validierung: Erzeuge einen Graphen digital, formuliere eine Vermutung und bestätige oder widerlege sie anschließend algebraisch.

Reflexion

1. Welche Eigenschaft hilft Dir beim Zuordnen am schnellsten: Definitionsmenge, Symmetrie, markante Punkte oder Änderungsverhalten? Begründe.
2. Bei welcher Funktion würdest Du einem Graphikprogramm am wenigsten „blind“ vertrauen? Nenne eine mögliche Darstellungsfalle.
3. Welche Herleitung in diesem Kurs war für Dich ein echter Beweis und welche Beobachtung nur eine Vermutung?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignen sich Exponentialgleichungen, Logarithmen, Transformation von Funktionen, Wachstumsmodelle und der vertiefte Vergleich von Potenzfunktion und Exponentialfunktion.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Woran erkennst Du eine Exponentialfunktion der Grundform? (Die Variable steht im Exponenten) (!Die Variable steht immer unter einer Wurzel) (!Der Exponent ist immer minus eins) (!Der Graph muss durch den Ursprung gehen)

Welche Umformung ist korrekt? (x hoch minus zwei ist eins durch x Quadrat) (!x hoch minus zwei ist minus x Quadrat) (!x hoch minus zwei ist eins durch zwei x) (!x hoch minus zwei ist x Quadrat)

Welche Symmetrie hat der Graph von x hoch vier? (Achsensymmetrie zur y Achse) (!Punktsymmetrie zum Ursprung) (!Achsensymmetrie zur x Achse) (!Keine Symmetrie)

Welche Zahl ist aus der Definitionsmenge von x hoch minus eins ausgeschlossen? (Null) (!Eins) (!Minus eins) (!Zwei)

Welche Definitionsmenge hat die reelle Quadratwurzelfunktion? (Alle nichtnegativen reellen Zahlen) (!Alle reellen Zahlen außer Null) (!Nur die positiven ganzen Zahlen) (!Nur die negativen reellen Zahlen)

Warum wird x Quadrat vor der Umkehrung zur Quadratwurzelfunktion auf nichtnegative x Werte eingeschränkt? (Damit jedem Funktionswert eindeutig ein Ausgangswert zugeordnet wird) (!Damit der Graph eine Asymptote erhält) (!Damit der Exponent negativ wird) (!Damit die Funktion durch eins null verläuft)

Was ist bei f von x gleich a hoch x von einem Schritt zum nächsten konstant? (Der Multiplikationsfaktor a) (!Die Differenz der Funktionswerte) (!Der Funktionswert selbst) (!Die x Koordinate)

Welche Basis beschreibt exponentielles Wachstum? (Eine Basis größer als eins) (!Eine Basis gleich null) (!Eine Basis kleiner als null) (!Eine Basis gleich eins)

Welcher Term ist eine Potenzfunktion und keine Exponentialfunktion? (x hoch drei) (!Drei hoch x) (!Zwei hoch x) (!Ein halb hoch x)

Welche Aussage gilt für x hoch minus zwei für alle erlaubten x Werte? (Die Funktionswerte sind positiv) (!Die Funktionswerte sind immer negativ) (!Der Graph geht durch den Ursprung) (!Die Funktion ist bei Null definiert)

Memory

Potenzfunktion	Variable in der Basis
Exponentialfunktion	Variable im Exponenten
Quadratwurzelfunktion	Umkehrung des rechten Parabelastes
Reziprokfunktion	Grundterm eins durch x
Gerade Potenz	Achsensymmetrie zur y Achse
Ungerade Potenz	Punktsymmetrie zum Ursprung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Potenzfunktion	$x^5$
Reziproke Potenzfunktion	$x^{-1}$
Inverse Quadratpotenz	$x^{-2}$
Wurzelfunktion	$\sqrt{x}$
Exponentialfunktion	$2^x$

Kreuzworträtsel

Potenzfunktion	Wie heißt ein Funktionstyp mit fester Hochzahl und variabler Basis?
Wurzelfunktion	Wie heißt der Funktionstyp von Quadratwurzel aus x?
Exponentialfunktion	Wie heißt ein Funktionstyp mit der Variablen im Exponenten?
Achsensymmetrie	Welche Symmetrie besitzt x hoch vier zur y Achse?
Definitionsmenge	Wie heißt die Menge der erlaubten Eingabewerte?
Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph annähert?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Potenzfunktion wie $x^4$ ist der Exponent . Bei einer Exponentialfunktion wie $2^x$ steht die Variable im . Der Term $x^{-1}$ ist bei $x=0$ nicht . Die Quadratwurzelfunktion ist die Umkehrfunktion des eingeschränkten rechten Astes der . Für $a>1$ beschreibt $a^x$ exponentielles . Der Graph von $x^{-2}$ besitzt eine zur y Achse.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graphenkarten: Zeichne Karten zu $x^2$, $x^3$, $x^{-1}$ und $x^{-2}$ und notiere je zwei charakteristische Eigenschaften.
2. Wertetabelle: Erstelle für $\sqrt{x}$ eine Wertetabelle mit mindestens fünf leicht berechenbaren Punkten und zeichne den Graphen.
3. Fehlerposter: Gestalte ein Mini-Poster zu den drei Fehlern $x^{-2}=-x^2$, $\sqrt{x^2}=x$ und „$x^3$ ist exponentiell“.
4. Erklärbild: Stelle in einer Zeichnung dar, wie der rechte Ast von $x^2$ an $y=x$ zur Quadratwurzelfunktion gespiegelt wird.

Standard

1. GeoGebra: Untersuche mit einem Schieberegler $f(x)=x^n$ für ganzzahlige $n$ und protokolliere mindestens vier systematische Beobachtungen.
2. Term-Graph-Zuordnung: Erstelle sechs eigene Karten mit Termen und sechs Karten mit Graphbeschreibungen. Tausche sie mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner und begründet jede Zuordnung.
3. Modell Quadrat: Entwickle aus $A=s^2$ ein Wurzelmodell für die Seitenlänge und prüfe es für mindestens vier Flächeninhalte.
4. Wachstumsdaten: Erfinde eine kurze Datentabelle mit konstantem Multiplikationsfaktor, bestimme ein passendes Exponentialmodell und prüfe zwei weitere Werte.

Schwer

1. Symmetriebeweis: Beweise allgemein mit $f(-x)$ die Symmetrieaussagen für gerade und ungerade natürliche Exponenten.
2. Wachstumsvergleich: Vergleiche $x^4$ und $2^x$ mit einer digitalen Wertetabelle. Formuliere eine Vermutung zum langfristigen Verhalten und trenne klar zwischen Beobachtung und Beweis.
3. Gegenbeispielwerkstatt: Formuliere drei plausible, aber falsche Aussagen zu Wurzel-, Potenz- oder Exponentialfunktionen und widerlege jede mit einem Gegenbeispiel.
4. Komplexes Modell: Entwickle ein Modell, in dem eine Größe exponentiell wächst und eine zweite Größe als Wurzel der ersten Größe definiert ist. Leite den neuen Funktionsterm her, visualisiere beide Größen und diskutiere die Modellgrenzen.

Lernkontrolle

1. Funktionsdiagnose: Du erhältst drei Graphen ohne Term. Entwickle eine begründete Reihenfolge von Tests, mit denen Du Potenz-, Wurzel- und Exponentialfunktionen unterscheiden kannst.
2. Umkehrfunktion: Erkläre, warum $x^2$ auf ganz $ℝ$ keine Umkehrfunktion besitzt, und zeige, wie eine geeignete Einschränkung das Problem löst.
3. Parameterwirkung: Vergleiche $2^x$, $2^x+3$ und $-2\cdot 2^x+3$. Beschreibe die Transformationen und begründe die jeweilige Asymptote.
4. Modellkritik: Eine Wertetabelle wirkt exponentiell. Nenne mindestens zwei rechnerische Prüfungen und zwei sachliche Fragen, bevor Du das Modell akzeptierst.
5. Beweis und Gegenbeispiel: Beweise eine korrekte Symmetrieaussage für $x^n$ und widerlege eine falsche Wurzelaussage mit einem Gegenbeispiel.
6. Transfermodell: Für eine kreisförmige Fläche gilt $A(t)=A_0\cdot a^t$. Leite $r(t)$ her und begründe, welcher Funktionstyp für den Radius in Abhängigkeit von $t$ entsteht.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du:

1. Terme sicher einem Funktionstyp zuordnen.
2. charakteristische Grapheneigenschaften erklären und nicht nur ablesen.
3. Definitions- und Wertemengen korrekt angeben.
4. Symmetrie mit $f(-x)$ begründen.
5. $x^{-1}$ und $x^{-2}$ einschließlich ihrer Definitionslücke unterscheiden.
6. die Quadratwurzelfunktion als Umkehrfunktion einer eingeschränkten Quadratfunktion erklären.
7. exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme über den konstanten Faktor erkennen.
8. digitale Graphen durch Rechnung, Herleitung oder Gegenbeispiel prüfen.
9. ein komplexeres Modell entwickeln, den Funktionstyp begründen und Modellgrenzen benennen.

OERs zum Thema

Medienhinweis: Die eingebundenen Grafiken stammen aus Wikimedia Commons; Urheber- und Lizenzangaben sind über die jeweilige Dateiseite abrufbar. Eingebettete YouTube-Videos werden verlinkt und nicht kopiert. Prüfe externe und digitale Inhalte fachlich, bevor Du sie für eine Begründung übernimmst.

Verknüpfte Lernbereiche

Funktionen Potenzfunktion Wurzelfunktion Exponentialfunktion Definitionsmenge Wertemenge Symmetrie Umkehrfunktion Asymptote Exponentielles Wachstum Modellieren