M10 E - Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung interpretieren

Einleitung

Mini-Beschreibung: Berechne und interpretiere Kenngrößen einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Vergleiche Verteilungen anhand von Erwartungswert und Streuung und verwende das Summenzeichen $\sum$ sicher.

Dieser aiMOOC richtet sich an Klasse 10, E-Niveau, Baden-Württemberg. Du arbeitest rechnerisch, grafisch, mit Simulationen und mit Begründungen.

Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet möglichen Werten Wahrscheinlichkeiten zu.

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Lernziele

Du kannst

1. Wahrscheinlichkeitsverteilungen prüfen, darstellen und aus Diagrammen lesen.
2. Erwartungswerte mit $E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$ berechnen und deuten.
3. Varianzen mit $V(X)=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2{p}_i$ bestimmen.
4. Standardabweichungen mit $\sigma =\sqrt{V(X)}$ berechnen und interpretieren.
5. Verteilungen anhand von Lage und Streuung vergleichen.
6. die Kurzform $V(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{p}_i-{\mu }^2$ herleiten.
7. allgemeine Aussagen durch Beweis oder Gegenbeispiel prüfen.
8. digitale Ergebnisse mit Plausibilitätschecks kontrollieren.

Vorwissen-Check

Für eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit Werten $x_1,\dots ,x_n$ und Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,p_n$ gilt:

$p_i\ge 0$ und $\sum _{i=1}^n{p}_i=1$.

Check A: Sind $\mathrm{0,2}$, $\mathrm{0,3}$ und $\mathrm{0,5}$ eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Antwort anzeigen

Ja, denn alle Wahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ und $\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,5}=1$.

Check B: $X$ nimmt $0$ mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,25}$ und $2$ mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,75}$ an. Bestimme den gewichteten Mittelwert.

Antwort anzeigen

$0\cdot \mathrm{0,25}+2\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{1,5}$.

Beim fairen Würfel sind alle sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Check C: Erkläre am Bild, warum der Erwartungswert eines fairen Würfels zwischen $1$ und $6$ liegen muss.

Grundideen

Erwartungswert: Lage

Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Mittelwert:

$\mu =E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot P(X=x_i)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$.

Er beschreibt die langfristige mittlere Lage. Er muss kein möglicher Einzelwert sein.

Plausibilitätscheck:

$min(x_i)\le E(X)\le max(x_i)$.

Varianz: quadratische Streuung

Die Varianz gewichtet die quadrierten Abstände zum Erwartungswert:

$V(X)=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2{p}_i$.

Daraus folgt unmittelbar

$V(X)\ge 0$.

Quadratische Abstände machen die Streuung geometrisch sichtbar.

Standardabweichung: Streuung in Originaleinheit

$\sigma =\sqrt{V(X)}$.

Hat $X$ die Einheit Euro, dann hat $V(X)$ die Einheit Euro², aber $\sigma$ wieder Euro.

Gleicher Mittelwert bedeutet nicht gleiche Streuung.

Datei:Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.jpg

Visuelle Schrittfolge

1. Verteilung prüfen

$\sum p_i=1$

2. Erwartungswert berechnen

$\mu =\sum x_i{p}_i$

3. Abstände quadrieren und gewichten

$V(X)=\sum (x_i-\mu {)}^2{p}_i$

4. Wurzel ziehen

$\sigma =\sqrt{V(X)}$

5. Im Kontext deuten

$\mu$ beschreibt Lage, $\sigma$ beschreibt Streuung.

Interaktives Beispiel 1: vollständig berechnen

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$\mathrm{0,1}$	$\mathrm{0,2}$	$\mathrm{0,4}$	$\mathrm{0,3}$

Schritt 1:

$\mathrm{0,1}+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,4}+\mathrm{0,3}=1$.

Schritt 2:

$\mu =\sum _{i=1}^4{x}_i{p}_i$

$\mu =0\cdot \mathrm{0,1}+1\cdot \mathrm{0,2}+2\cdot \mathrm{0,4}+3\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{1,9}$.

Schritt 3:

$V(X)=(0-\mathrm{1,9}{)}^2\cdot \mathrm{0,1}+(1-\mathrm{1,9}{)}^2\cdot \mathrm{0,2}+(2-\mathrm{1,9}{)}^2\cdot \mathrm{0,4}+(3-\mathrm{1,9}{)}^2\cdot \mathrm{0,3}$

$V(X)=\mathrm{0,89}$.

Schritt 4:

$\sigma =\sqrt{\mathrm{0,89}}\approx \mathrm{0,94}$.

Interpretation: Langfristig liegt der Mittelwert bei $\mathrm{1,9}$. Die Ergebnisse streuen in einer Größenordnung von etwa $\mathrm{0,94}$ um diesen Wert. Das bedeutet nicht, dass jeder Einzelwert höchstens $\mathrm{0,94}$ entfernt ist.

Stop & Check: Warum darf $\mathrm{1,9}$ auftreten, obwohl $\mathrm{1,9}$ kein möglicher Einzelwert ist?

Feedback anzeigen

Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert. Ein Mittelwert muss nicht selbst als Ergebnis vorkommen.

Interaktives Beispiel 2: gleiche Lage, andere Streuung

Wert	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(A=x)$	$\mathrm{0,05}$	$\mathrm{0,20}$	$\mathrm{0,50}$	$\mathrm{0,20}$	$\mathrm{0,05}$
$P(B=x)$	$\mathrm{0,20}$	$\mathrm{0,10}$	$\mathrm{0,40}$	$\mathrm{0,10}$	$\mathrm{0,20}$

Für beide gilt

$E(A)=E(B)=2$.

Aber

$V(A)=\mathrm{0,8},{\sigma }_A=\sqrt{\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{0,89}$

und

$V(B)=\mathrm{1,8},{\sigma }_B=\sqrt{\mathrm{1,8}}\approx \mathrm{1,34}$.

Deutung: $B$ legt mehr Wahrscheinlichkeit auf die Randwerte. Daher streut $B$ stärker.

Denkfrage: Reicht der Erwartungswert allein aus, um eine Verteilung zu beschreiben?

Feedback anzeigen

Nein. Hier haben zwei verschiedene Verteilungen denselben Erwartungswert, aber unterschiedliche Streuung.

Formale Herleitung auf E-Niveau

Kurzform der Varianz beweisen

Aus

$V(X)=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2{p}_i$

folgt

$V(X)=\sum _{i=1}^n(x_i^2-2\mu x_i+{\mu }^2)p_i$.

Trenne die Summen:

$V(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{p}_i-2\mu \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i+{\mu }^2\sum _{i=1}^n{p}_i$.

Mit

$\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i=\mu$

und

$\sum _{i=1}^n{p}_i=1$

erhältst Du

$V(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{p}_i-2{\mu }^2+{\mu }^2$

und damit

$V(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{p}_i-{\mu }^2$.

Prüffrage: Welche beiden Eigenschaften der Verteilung wurden im Beweis eingesetzt?

Lineare Transformation verallgemeinern

Für $Y=aX+b$ gilt

$E(Y)=aE(X)+b$,

$V(Y)=a^{2}V(X)$

und

${\sigma }_Y=|a|{\sigma }_X$.

Eine reine Verschiebung $Y=X+b$ verändert den Erwartungswert, aber nicht die Varianz.

Gegenbeispiel: $X$ und $X+10$ haben dieselbe Varianz, aber ihre Erwartungswerte unterscheiden sich um $10$. Damit ist die Aussage „Gleiche Varianz bedeutet gleicher Erwartungswert“ widerlegt.

Simulation: Theorie und Daten vergleichen

Bei der Summe zweier fairer Würfel treten Werte nahe 7 häufiger auf.

Simuliere die Summe zweier fairer Würfel für $50$, $500$ und $5000$ Wiederholungen.

1. Erzeuge nur anonyme Zufallsdaten; speichere keine personenbezogenen Daten.
2. Bestimme den empirischen Mittelwert.
3. Zeichne ein Stabdiagramm der relativen Häufigkeiten.
4. Vergleiche es mit der theoretischen Verteilung.
5. Prüfe, ob sich der empirische Mittelwert bei wachsender Wiederholungszahl in Richtung $7$ stabilisiert.

Wichtig: Eine Simulation ist kein Beweis. Sie liefert empirische Hinweise.

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Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: berechnen

$x$	$1$	$2$	$5$
$P(X=x)$	$\mathrm{0,2}$	$\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,3}$

Berechne $E(X)$, $V(X)$ und $\sigma$.

Hilfe 1

Beginne mit $E(X)=1\cdot \mathrm{0,2}+2\cdot \mathrm{0,5}+5\cdot \mathrm{0,3}$.

Hilfe 2

Nutze danach $V(X)=\sum (x_i-\mu {)}^2{p}_i$.

Feedback und Ergebnis

$E(X)=\mathrm{2,7}$, $V(X)=\mathrm{2,41}$, $\sigma \approx \mathrm{1,55}$. Liegt Dein Erwartungswert nicht zwischen $1$ und $5$, stimmt die Gewichtung nicht.

Übung B: vergleichen

Zwei Automaten liefern im Mittel denselben Wert $20$. Es gilt ${\sigma }_A=\mathrm{1,2}$ und ${\sigma }_B=\mathrm{4,8}$.

Entscheide, welcher Automat stärker streut, und begründe.

Hilfe

Vergleiche die Standardabweichungen, weil die Einheit gleich ist.

Feedback

$B$ streut stärker, weil $\mathrm{4,8}>\mathrm{1,2}$. Daraus folgt aber nicht automatisch, welcher Automat „besser“ ist.

Übung C: beweisen

Zeige für $Y=X+5$:

$V(Y)=V(X)$.

Hilfe 1

Nutze $E(Y)=E(X)+5$.

Hilfe 2

Setze in $V(Y)=E((Y-E(Y){)}^2)$ ein.

Feedback

$Y-E(Y)=X+5-(E(X)+5)=X-E(X)$. Deshalb bleiben alle quadratischen Abweichungen gleich.

Übung D: Gegenbeispiel

Prüfe die Behauptung: „Wenn zwei Verteilungen denselben Erwartungswert haben, besitzen sie dieselbe Standardabweichung.“

Feedback

Die Verteilungen $A$ und $B$ aus Beispiel 2 widerlegen die Behauptung: $E(A)=E(B)=2$, aber ${\sigma }_A\approx \mathrm{0,89}$ und ${\sigma }_B\approx \mathrm{1,34}$.

Typische Fehler

Fehler	Prüffrage	Korrektur
Wahrscheinlichkeiten ergeben nicht $1$.	Gilt $\sum p_i=1$?	Erst Verteilung prüfen.
Erwartungswert wird als häufigster Wert gedeutet.	Ist Mittelwert gleich Modus?	Nicht zwingend.
Abweichungen werden nicht quadriert.	Steht $(x_i-\mu {)}^2$?	Abweichung quadrieren.
Varianz und Standardabweichung werden verwechselt.	Wurde die Wurzel gezogen?	$\sigma =\sqrt{V(X)}$.
Digitales Ergebnis wird ungeprüft übernommen.	Liegt $\mu$ im Wertebereich?	Plausibilität prüfen.

Digitale Werkzeuge und KI kritisch nutzen

1. Gib die Verteilung vollständig an und kontrolliere $\sum p_i=1$.
2. Lass Zwischenschritte anzeigen und vergleiche sie mit den Definitionen.
3. Prüfe die Einheiten.
4. Runde erst am Ende.
5. Verwende keine personenbezogenen Daten.
6. KI-Ausgaben können Fehler enthalten und ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

1. ☐ Ich kann eine diskrete Verteilung prüfen.
2. ☐ Ich kann $E(X)$ mit $\sum$ notieren und berechnen.
3. ☐ Ich kann $V(X)$ mit Definitions- und Kurzformel berechnen.
4. ☐ Ich kann $\sigma$ im Kontext deuten.
5. ☐ Ich kann Verteilungen mit gleichem Erwartungswert anhand der Streuung unterscheiden.
6. ☐ Ich kann ein Gegenbeispiel konstruieren.
7. ☐ Ich kann digitale Ergebnisse plausibilisieren.

Transfer

Ein Produktionsprozess $A$ hat $E(A)=50$ und ${\sigma }_A=\mathrm{1,5}$. Prozess $B$ hat $E(B)=52$ und ${\sigma }_B=\mathrm{0,8}$.

Aufgabe: Begründe, warum daraus noch keine Entscheidung für einen Prozess folgt. Nenne mindestens zwei zusätzliche Informationen, etwa Sollwert, Toleranzgrenzen oder Kosten von Abweichungen.

Kompetenzcheck

1. Rechenweg prüfen: Eine Rechnung liefert $E(X)=8$, obwohl alle möglichen Werte zwischen $0$ und $5$ liegen. Erkläre, warum das unmöglich ist, und nenne zwei mögliche Rechenfehler.
2. Darstellung wechseln: Überführe eine Wert-Wahrscheinlichkeits-Tabelle in ein Stabdiagramm und erläutere, wie Lage und Streuung erkennbar werden.
3. Verteilung konstruieren: Erfinde zwei verschiedene Verteilungen mit demselben Erwartungswert, aber unterschiedlicher Varianz.
4. Formel herleiten: Leite $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ aus der Definition her.
5. Gegenbeispiel entwickeln: Widerlege „Eine größere Standardabweichung bedeutet immer einen größeren Erwartungswert“.
6. Modell prüfen: Beschreibe, wann ein formal korrekt gerechnetes Wahrscheinlichkeitsmodell sachlich ungeeignet sein kann.

Reflexion

1. Lage und Streuung: Welche Information liefert $E(X)$, die $\sigma$ nicht liefert?
2. Beweis und Simulation: Woran erkennst Du den Unterschied zwischen empirischer Bestätigung und mathematischem Beweis?
3. Digitale Prüfung: Welcher Plausibilitätscheck deckt einen falschen Erwartungswert besonders schnell auf?
4. Weiterlernen: Welche Herleitung möchtest Du noch sicherer beherrschen?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich die Binomialverteilung. Für $X\sim B(n,p)$ gelten

$E(X)=np$,

$V(X)=np(1-p)$

und

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$.

Verschiedene Binomialverteilungen im Wahrscheinlichkeitsdiagramm.

Die Standardabweichung steuert die Breite; das ist eine Brücke zu stetigen Modellen.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel berechnet den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen? (E von X ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit) (!E von X ist die Wurzel aus der Varianz) (!E von X ist die größte Wahrscheinlichkeit) (!E von X ist immer ein möglicher Einzelwert)

Was muss für die Wahrscheinlichkeiten einer vollständigen diskreten Verteilung gelten? (Ihre Summe ist eins) (!Ihre Summe ist null) (!Jede Wahrscheinlichkeit ist größer als eins) (!Alle Wahrscheinlichkeiten müssen gleich sein)

Was beschreibt die Standardabweichung hauptsächlich? (Die Streuung um den Erwartungswert) (!Die Anzahl der möglichen Ergebnisse) (!Die größte Einzelwahrscheinlichkeit) (!Den kleinsten möglichen Wert)

Welche Aussage zur Varianz ist immer richtig? (Die Varianz ist nicht negativ) (!Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert) (!Die Varianz ist eine Wahrscheinlichkeit) (!Die Varianz ist immer gleich der Standardabweichung)

Was bedeutet gleicher Erwartungswert bei zwei Verteilungen? (Sie haben dieselbe Lagekennzahl) (!Sie sind vollständig identisch) (!Sie haben zwingend dieselbe Streuung) (!Sie haben zwingend dieselben Wahrscheinlichkeiten)

Warum werden Abweichungen bei der Varianz quadriert? (Dadurch heben sich positive und negative Abweichungen nicht auf) (!Dadurch wird jede Wahrscheinlichkeit gleich groß) (!Dadurch wird der Erwartungswert immer null) (!Dadurch verschwindet die Einheit vollständig)

Welche Größe hat wieder dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable? (Die Standardabweichung) (!Die Varianz) (!Das Quadrat der Standardabweichung) (!Die Summe der Wahrscheinlichkeiten)

Was zeigt ein Gegenbeispiel zu einer allgemeinen Behauptung? (Dass die Behauptung nicht allgemein gilt) (!Dass die Behauptung immer wahr ist) (!Dass alle Beispiele gleich sind) (!Dass keine Rechnung nötig ist)

Wie verändert eine Verschiebung um eine Konstante die Varianz? (Sie bleibt unverändert) (!Sie wird immer null) (!Sie wird um dieselbe Konstante größer) (!Sie wird negativ)

Welcher Plausibilitätscheck ist für einen Erwartungswert sinnvoll? (Er liegt zwischen kleinstem und größtem möglichen Wert) (!Er muss eine ganze Zahl sein) (!Er muss größer als jede Wahrscheinlichkeit sein) (!Er muss mit der Standardabweichung übereinstimmen)

Memory

Erwartungswert	Lage der Verteilung
Varianz	gewichtete quadratische Abweichung
Standardabweichung	Streuung in Originaleinheit
Summenzeichen	kompakte Schreibweise einer Summe
Wahrscheinlichkeitsverteilung	Zuordnung von Werten und Wahrscheinlichkeiten
Gegenbeispiel	Widerlegung einer allgemeinen Behauptung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Lagekennzahl	Erwartungswert
Streuungsquadrat	Varianz
Streuungsmaß	Standardabweichung
Gewichtete Summe	Summenschreibweise
Modellprüfung	Plausibilitätscheck
Widerlegung	Gegenbeispiel

...

Kreuzworträtsel

Erwartungswert	Welche Kennzahl beschreibt die langfristige mittlere Lage einer Verteilung?
Varianz	Welche Kennzahl mittelt quadrierte Abweichungen gewichtet mit Wahrscheinlichkeiten?
Streuung	Welcher Begriff beschreibt, wie weit Werte um eine Lage verteilt sind?
Zufallsvariable	Wie heißt eine Größe, die Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zuordnet?
Summenzeichen	Wie heißt das Symbol zur kompakten Darstellung vieler Summanden?
Gegenbeispiel	Was widerlegt eine allgemeine Behauptung durch einen einzigen passenden Fall?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine diskrete Verteilung ordnet möglichen Werten passende zu.

Der gewichtete Mittelwert heißt .

Die gewichtete mittlere quadratische Abweichung heißt .

Die positive Quadratwurzel der Varianz ist die .

Das Symbol Sigma dient als .

Zwei Verteilungen können denselben Erwartungswert und trotzdem unterschiedliche besitzen.

Ein einzelner passender Fall kann als eine allgemeine Behauptung widerlegen.

Digitale Ergebnisse müssen durch einen geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stabdiagramm: Zeichne zu einer selbst gewählten gültigen diskreten Verteilung ein Stabdiagramm und markiere den Erwartungswert.
2. Würfelexperiment: Simuliere einen fairen Würfel und vergleiche den empirischen Mittelwert nach wenigen und vielen Würfen.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine fehlerhafte Erwartungswertrechnung und erkläre, wie ein Plausibilitätscheck den Fehler sichtbar macht.
4. Erklärkarte: Gestalte eine Lernkarte zu $E(X)$, $V(X)$ und $\sigma$ mit Formel, Einheit und Bedeutung.

Standard

1. Verteilungsvergleich: Konstruiere zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und verschiedener Standardabweichung. Visualisiere beide.
2. Simulation: Simuliere die Summe zweier Würfel mit drei verschiedenen Wiederholungszahlen und dokumentiere die Entwicklung des Mittelwerts.
3. Interview zur Modellierung: Befrage eine Person aus Technik, Wirtschaft oder Naturwissenschaft dazu, wo Streuung wichtig ist. Veröffentliche keine personenbezogenen Daten.
4. Digitale Kontrolle: Berechne Kennwerte mit einem digitalen Werkzeug und prüfe jedes Ergebnis zusätzlich von Hand oder durch eine zweite Methode.

Schwer

1. Varianzbeweis: Schreibe einen vollständigen Beweis der Kurzform $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ und markiere jede verwendete Voraussetzung.
2. Transformation: Beweise für $Y=aX+b$ die Beziehungen für Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
3. Gegenbeispiele: Formuliere drei plausible, aber falsche Aussagen über Erwartungswert und Streuung und widerlege jede.
4. Komplexes Modell: Entwickle ein diskretes Modell für eine reale Entscheidungssituation, begründe die Wahrscheinlichkeiten, vergleiche mindestens zwei Varianten und diskutiere Modellgrenzen.

Lernkontrolle

1. Modellvergleich: Zwei Verteilungen haben denselben Erwartungswert, aber verschiedene Standardabweichungen. Erkläre, welche weiteren Kriterien vor einer Entscheidung nötig sind.
2. Beweisprüfung: In einer Herleitung wird aus $\sum p_i=1$ fälschlich $\sum x_i{p}_i=1$ geschlossen. Analysiere den Fehler und korrigiere ihn.
3. Einheitenwechsel: Eine Größe wird von Metern in Zentimeter umgerechnet. Leite ab, wie sich Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung verändern.
4. Simulation bewerten: Eine Simulation mit $20$ Wiederholungen liefert einen Mittelwert weit vom Erwartungswert entfernt. Erkläre, warum das die Theorie nicht automatisch widerlegt.
5. Gegenbeispiel konstruieren: Erfinde zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und zeige rechnerisch verschiedene Standardabweichungen.
6. KI-Ausgabe prüfen: Ein KI-System liefert eine negative Varianz. Begründe mathematisch, warum das falsch sein muss, und beschreibe eine systematische Prüfung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung korrekt notierst und prüfst,
2. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung nachvollziehbar berechnest,
3. $\sum$ korrekt verwendest,
4. Kennwerte im Sachzusammenhang interpretierst,
5. Verteilungen anhand von Lage und Streuung vergleichst,
6. die Varianz-Kurzform herleitest,
7. Behauptungen mit Beweis oder Gegenbeispiel prüfst,
8. digitale Ergebnisse kritisch kontrollierst.

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien im Kurs stammen aus Wikimedia Commons. Vertiefend: Varianz, Standardabweichung, Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Verknüpfte Lernbereiche

Stochastik Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert Varianz Standardabweichung Binomialverteilung Simulation Mathematischer Beweis