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Koordinatensystem mit negativen Zahlen - aiMOOC

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Koordinatensystem mit negativen Zahlen - aiMOOC



Einleitung

Ein Koordinatensystem hilft Dir, Punkte eindeutig in einer Ebene zu beschreiben. In Klasse 7 und 8 ist besonders das kartesische Koordinatensystem wichtig, weil Du damit Punkte, Strecken, Figuren, Graphen und später auch Funktionen darstellen kannst. Sobald auch negative Zahlen vorkommen, reicht der Blick in den rechten oberen Bereich nicht mehr aus: Das Koordinatensystem besteht dann aus vier Bereichen, den Quadranten. Du lernst, wie Du Punkte mit positiven und negativen Koordinaten liest, einzeichnest, spiegelst und in Sachzusammenhängen verwendest.

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In diesem aiMOOC arbeitest Du mit der Math-Erweiterung und mathematischer Schreibweise. Ein Punkt wird häufig so notiert: P(xy). Dabei ist x die erste Koordinate und y die zweite Koordinate. Beispiel: A(32) bedeutet: Gehe vom Ursprung aus zuerst 3 Einheiten nach links und dann 2 Einheiten nach oben.


Grundidee des Koordinatensystems

Ein Koordinatensystem ist ein Ordnungssystem. Es macht sichtbar, wo sich ein Punkt befindet. Im ebenen kartesischen Koordinatensystem werden zwei Zahlengeraden senkrecht zueinander angeordnet. Die waagerechte Achse heißt x-Achse, die senkrechte Achse heißt y-Achse. Der Schnittpunkt beider Achsen heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Er wird mit O(00) bezeichnet.


Die x-Achse

Die x-Achse verläuft waagerecht. Auf ihr liest Du die erste Koordinate eines Punktes ab. Diese erste Koordinate heißt auch Abszisse. Positive x-Werte liegen rechts vom Ursprung, negative x-Werte liegen links vom Ursprung. Der Punkt B(40) liegt auf der x-Achse rechts vom Ursprung. Der Punkt C(40) liegt auf der x-Achse links vom Ursprung.


Die y-Achse

Die y-Achse verläuft senkrecht. Auf ihr liest Du die zweite Koordinate eines Punktes ab. Diese zweite Koordinate heißt auch Ordinate. Positive y-Werte liegen oberhalb des Ursprungs, negative y-Werte liegen unterhalb des Ursprungs. Der Punkt D(03) liegt auf der y-Achse oberhalb des Ursprungs. Der Punkt E(03) liegt auf der y-Achse unterhalb des Ursprungs.


Der Koordinatenursprung

Der Koordinatenursprung ist der Startpunkt des Koordinatensystems. Er hat die Koordinaten O(00). Von dort aus werden alle Punkte beschrieben. Wenn Du einen Punkt einzeichnest, beginnst Du gedanklich immer im Ursprung: zuerst gehst Du in x-Richtung, danach in y-Richtung. Diese Reihenfolge ist wichtig, weil (32) ein anderer Punkt ist als (23).


Negative Zahlen im Koordinatensystem

Negative Zahlen erweitern das Koordinatensystem nach links und nach unten. Auf einer Zahlengeraden stehen negative Zahlen links von der Null. Im Koordinatensystem gilt diese Idee für beide Achsen.

  1. Positive x-Koordinate: Der Punkt liegt rechts vom Ursprung.
  2. Negative x-Koordinate: Der Punkt liegt links vom Ursprung.
  3. Positive y-Koordinate: Der Punkt liegt oberhalb des Ursprungs.
  4. Negative y-Koordinate: Der Punkt liegt unterhalb des Ursprungs.

Die Koordinaten eines Punktes kannst Du als geordnetes Paar verstehen. Bei P(xy) gibt x an, wie weit Du nach rechts oder links gehst. Der Wert y gibt an, wie weit Du nach oben oder unten gehst. Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung.


Beispiel mit vier Punkten

Betrachte die Punkte A(32), B(32), C(32) und D(32). Alle vier Punkte haben ähnliche Zahlenwerte, aber verschiedene Vorzeichen. Dadurch liegen sie in verschiedenen Bereichen des Koordinatensystems.

  1. Punkt A: A(32) liegt rechts und oben.
  2. Punkt B: B(32) liegt links und oben.
  3. Punkt C: C(32) liegt links und unten.
  4. Punkt D: D(32) liegt rechts und unten.

Du erkennst: Das Vorzeichen der x-Koordinate entscheidet über links oder rechts. Das Vorzeichen der y-Koordinate entscheidet über oben oder unten.


Die vier Quadranten

Die x-Achse und die y-Achse teilen die Ebene in vier Bereiche. Diese Bereiche heißen Quadranten. Sie werden meist gegen den Uhrzeigersinn nummeriert.

  1. I. Quadrant: x>0 und y>0. Punkte liegen rechts oben.
  2. II. Quadrant: x<0 und y>0. Punkte liegen links oben.
  3. III. Quadrant: x<0 und y<0. Punkte liegen links unten.
  4. IV. Quadrant: x>0 und y<0. Punkte liegen rechts unten.

Ein Punkt auf einer Achse gehört nicht zu einem Quadranten. Beispiel: F(05) liegt auf der y-Achse, weil seine x-Koordinate 0 ist. Der Punkt G(60) liegt auf der x-Achse, weil seine y-Koordinate 0 ist.


Achsenpunkte erkennen

Punkte mit einer Koordinate 0 liegen auf einer Achse. Dies ist ein häufiger Prüfpunkt in Klassenarbeiten.

  1. Punkt auf der x-Achse: P(a0), zum Beispiel P(70).
  2. Punkt auf der y-Achse: Q(0b), zum Beispiel Q(04).
  3. Punkt im Ursprung: O(00).


Punkte einzeichnen

Um einen Punkt korrekt einzuzeichnen, brauchst Du eine feste Reihenfolge. Diese Reihenfolge verhindert viele Fehler.

  1. Starte im Ursprung: Beginne bei O(00).
  2. Gehe in x-Richtung: Ist x positiv, gehst Du nach rechts. Ist x negativ, gehst Du nach links.
  3. Gehe in y-Richtung: Ist y positiv, gehst Du nach oben. Ist y negativ, gehst Du nach unten.
  4. Markiere den Punkt: Setze den Punkt und beschrifte ihn deutlich.

Beispiel: Für H(53) gehst Du vom Ursprung aus 5 Einheiten nach links und 3 Einheiten nach unten. Der Punkt liegt im III. Quadranten.


Punkte ablesen

Wenn Du einen eingezeichneten Punkt abliest, gehst Du umgekehrt vor. Zuerst liest Du die x-Koordinate ab, dann die y-Koordinate. Du kannst Dir merken: Erst waagerecht, dann senkrecht. Ein Punkt, der 2 Einheiten links vom Ursprung und 6 Einheiten oberhalb des Ursprungs liegt, hat die Koordinaten (26). Die Reihenfolge darf nicht vertauscht werden.


Spiegelungen im Koordinatensystem

Mit Koordinaten kannst Du Spiegelungen sehr genau beschreiben. Dabei ändern sich oft nur die Vorzeichen.


Spiegelung an der x-Achse

Bei einer Spiegelung an der x-Achse bleibt die x-Koordinate gleich. Die y-Koordinate wechselt das Vorzeichen. Aus P(xy) wird P(xy).

Beispiel: Aus A(43) wird A(43).


Spiegelung an der y-Achse

Bei einer Spiegelung an der y-Achse bleibt die y-Koordinate gleich. Die x-Koordinate wechselt das Vorzeichen. Aus P(xy) wird P(xy).

Beispiel: Aus B(52) wird B(52).


Punktspiegelung am Ursprung

Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten das Vorzeichen. Aus P(xy) wird P(xy).

Beispiel: Aus C(61) wird C(61).


Strecken, Figuren und Formen

Wenn Du mehrere Punkte verbindest, entstehen Strecken, Dreiecke, Vierecke oder andere Figuren. Ein Koordinatensystem ist deshalb ein wichtiges Werkzeug der Geometrie. Du kannst Figuren zeichnen, vergleichen, verschieben, spiegeln und vergrößern.

Ein Rechteck kann zum Beispiel durch die Punkte A(42), B(32), C(31) und D(41) beschrieben werden. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zu den Achsen. Die Länge der waagerechten Seite beträgt 3(4)=7 Einheiten. Die Länge der senkrechten Seite beträgt 2(1)=3 Einheiten. Der Flächeninhalt ist daher A=73=21 Flächeneinheiten.


Abstand bei achsenparallelen Punkten

Wenn zwei Punkte die gleiche y-Koordinate haben, liegen sie auf einer waagerechten Linie. Ihr Abstand ist die Differenz der x-Werte als positiver Wert. Beispiel: A(54) und B(24) haben den Abstand 2(5)=7.

Wenn zwei Punkte die gleiche x-Koordinate haben, liegen sie auf einer senkrechten Linie. Ihr Abstand ist die Differenz der y-Werte als positiver Wert. Beispiel: C(36) und D(31) haben den Abstand 1(6)=7.


Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Viele Fehler entstehen nicht durch schwierige Rechnungen, sondern durch ungenaues Lesen oder Zeichnen. Achte besonders auf die Reihenfolge und auf die Vorzeichen.

  1. Koordinaten nicht vertauschen: (25) ist nicht dasselbe wie (52).
  2. Vorzeichen genau beachten: Ein Minuszeichen vor der x-Koordinate bedeutet links, ein Minuszeichen vor der y-Koordinate bedeutet unten.
  3. Achsen beschriften: Ohne Achsenbeschriftung ist ein Koordinatensystem schwer lesbar.
  4. Gleiche Abstände verwenden: Die Einheiten auf einer Achse müssen gleichmäßig eingetragen werden.
  5. Ursprung markieren: Der Punkt O(00) hilft Dir beim Orientieren.


Sachzusammenhänge

Koordinatensysteme werden nicht nur in der Schule verwendet. Du findest sie in Landkarten, Navigationssystemen, Computerspielen, Robotik, Diagrammen, Architektur und Physik. Negative Zahlen sind dabei besonders wichtig, wenn ein Wert unter einem Vergleichswert liegt oder wenn Richtungen unterschieden werden müssen.

Beispiel: In einem Computerspiel kann die Spielfigur bei (00) starten. Wenn sie 4 Felder nach links und 2 Felder nach oben geht, steht sie bei (42). Wenn sie danach 3 Felder nach unten geht, steht sie bei (41). Koordinaten beschreiben also nicht nur Orte, sondern auch Bewegungen.


Zusammenfassung

Das Koordinatensystem mit negativen Zahlen erweitert Deine Möglichkeiten, Punkte in der Ebene genau zu beschreiben. Die x-Achse zeigt nach rechts in den positiven und nach links in den negativen Bereich. Die y-Achse zeigt nach oben in den positiven und nach unten in den negativen Bereich. Jeder Punkt hat ein geordnetes Koordinatenpaar (xy). Die vier Quadranten helfen Dir, Punkte schnell einzuordnen. Beim Zeichnen gilt immer: zuerst x-Richtung, danach y-Richtung.


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Koordinaten hat der Ursprung im Koordinatensystem? (0 und 0) (!1 und 1) (!minus 1 und 0) (!0 und 1)




Welche Achse verläuft waagerecht? (x-Achse) (!y-Achse) (!z-Achse) (!Ursprungsachse)




Was bedeutet eine negative x-Koordinate? (Der Punkt liegt links vom Ursprung) (!Der Punkt liegt rechts vom Ursprung) (!Der Punkt liegt oberhalb des Ursprungs) (!Der Punkt liegt genau im Ursprung)




Was bedeutet eine negative y-Koordinate? (Der Punkt liegt unterhalb des Ursprungs) (!Der Punkt liegt oberhalb des Ursprungs) (!Der Punkt liegt rechts vom Ursprung) (!Der Punkt liegt auf der x-Achse)




In welchem Quadranten liegt der Punkt mit positiver x-Koordinate und positiver y-Koordinate? (Erster Quadrant) (!Zweiter Quadrant) (!Dritter Quadrant) (!Vierter Quadrant)




In welchem Quadranten liegt der Punkt minus 3 und 5? (Zweiter Quadrant) (!Erster Quadrant) (!Dritter Quadrant) (!Vierter Quadrant)




Welche Aussage trifft auf einen Punkt auf der x-Achse zu? (Die y-Koordinate ist 0) (!Die x-Koordinate ist 0) (!Beide Koordinaten sind immer negativ) (!Beide Koordinaten sind immer positiv)




Welche Aussage trifft auf einen Punkt auf der y-Achse zu? (Die x-Koordinate ist 0) (!Die y-Koordinate ist 0) (!Die x-Koordinate ist immer positiv) (!Die y-Koordinate ist immer negativ)




Was passiert bei einer Spiegelung an der y-Achse? (Die x-Koordinate wechselt das Vorzeichen) (!Die y-Koordinate wechselt das Vorzeichen) (!Beide Koordinaten bleiben gleich) (!Beide Koordinaten werden 0)




Welche Reihenfolge ist beim Einzeichnen eines Punktes richtig? (Zuerst x-Richtung dann y-Richtung) (!Zuerst y-Richtung dann x-Richtung) (!Zuerst Quadrant dann Ursprung) (!Zuerst Spiegelung dann Achse)





Memory

Ursprung Startpunkt bei 0 und 0
x-Achse waagerechte Achse
y-Achse senkrechte Achse
Abszisse erste Koordinate
Ordinate zweite Koordinate
Quadrant Bereich zwischen den Achsen
Vorzeichen zeigt die Richtung an





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
rechts und oben Erster Quadrant
links und oben Zweiter Quadrant
links und unten Dritter Quadrant
rechts und unten Vierter Quadrant
Schnittpunkt der Achsen Ursprung






Kreuzworträtsel

Ursprung Wie heißt der Schnittpunkt von x-Achse und y-Achse?
Abszisse Wie heißt die erste Koordinate eines Punktes?
Ordinate Wie heißt die zweite Koordinate eines Punktes?
Quadrant Wie heißt ein Bereich zwischen zwei Achsen?
Vorzeichen Was zeigt bei einer Koordinate die Richtung an?
Spiegelung Welche geometrische Abbildung kann ein Vorzeichen ändern?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus einer waagerechten

und einer senkrechten

. Der Schnittpunkt der Achsen heißt

. Ein Punkt wird durch ein geordnetes Paar aus

und y-Koordinate beschrieben. Eine negative x-Koordinate bedeutet, dass der Punkt links vom

liegt. Eine negative y-Koordinate bedeutet, dass der Punkt

des Ursprungs liegt. Der Punkt mit positiver x-Koordinate und negativer y-Koordinate liegt im

Quadranten. Beim Einzeichnen gehst Du zuerst in

und danach in y-Richtung.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Punkte einzeichnen: Zeichne ein Koordinatensystem von 6 bis 6 auf beiden Achsen und trage die Punkte A(23), B(41), C(25) und D(53) ein.
  2. Punkte ablesen: Zeichne selbst fünf Punkte in ein Koordinatensystem und lass eine Mitschülerin oder einen Mitschüler die Koordinaten ablesen.
  3. Quadranten bestimmen: Erstelle eine Tabelle mit zwölf Punkten und ordne jeden Punkt dem passenden Quadranten oder einer Achse zu.
  4. Fehler finden: Schreibe drei absichtlich falsche Aussagen zu Punkten im Koordinatensystem und verbessere sie anschließend.


Standard

  1. Figuren im Koordinatensystem: Zeichne ein Viereck mit mindestens einem Punkt in jedem Quadranten und beschreibe seine Lage mit Koordinaten.
  2. Spiegelung an Achsen: Wähle vier Punkte und spiegle sie an der x-Achse und an der y-Achse. Formuliere jeweils eine Regel mit x und y.
  3. Koordinaten-Geschichte: Erfinde eine kurze Schatzkarte, bei der eine Person mit Koordinaten von Punkt zu Punkt geführt wird.
  4. Partneraufgabe Koordinaten: Beschreibe eine Figur nur durch Koordinaten. Eine andere Person zeichnet die Figur nach und vergleicht anschließend mit Deiner Vorlage.


Schwer

  1. Symmetrie untersuchen: Konstruiere eine Figur, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und begründe mit Koordinaten, woran man die Symmetrie erkennt.
  2. Flächeninhalt berechnen: Zeichne ein Rechteck oder ein achsenparalleles Dreieck mit negativen Koordinaten und berechne den Flächeninhalt.
  3. Koordinaten in Bewegung: Beschreibe eine Bewegung im Koordinatensystem als Folge von Schritten, zum Beispiel links, rechts, oben und unten, und berechne die Endposition.
  4. Eigene Lernhilfe erstellen: Gestalte ein Erklärplakat oder ein kurzes Lernvideo zum Thema negative Zahlen im Koordinatensystem mit mindestens drei Beispielen und einer typischen Fehlerquelle.



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Lernkontrolle

  1. Begründung Quadranten: Erkläre, warum der Punkt P(74) im zweiten Quadranten liegt, und verwende dabei die Bedeutung beider Vorzeichen.
  2. Transfer Computerspiel: Eine Figur startet bei (00), geht 5 Felder nach links, 3 Felder nach unten, 2 Felder nach rechts und 6 Felder nach oben. Bestimme die Endposition und beschreibe den Weg.
  3. Fehleranalyse Koordinaten: Eine Schülerin zeichnet A(25) rechts oben ein. Erkläre den Fehler und beschreibe, wie der Punkt richtig eingezeichnet wird.
  4. Spiegelungsregel anwenden: Vergleiche die Punkte B(46), C(46) und D(46). Erkläre, welche Spiegelungen die Punkte miteinander verbinden.
  5. Sachaufgabe Koordinatensystem: Ein Rechteck hat die Eckpunkte A(32), B(52), C(54) und D(34). Begründe, warum es ein Rechteck ist, und berechne seinen Flächeninhalt.




Lernnachweis

Für den Lernnachweis erstellst Du eine eigene Koordinatensystem-Aufgabe mit Lösung. Deine Aufgabe soll mindestens vier Punkte mit negativen Koordinaten enthalten. Zeichne die Punkte, verbinde sie zu einer Figur, bestimme die Quadranten und erkläre eine Spiegelung. Ergänze eine Musterlösung, in der Du die Bedeutung der x-Koordinate, der y-Koordinate und der Vorzeichen verwendest.


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