Kongruenzsätze für Dreiecke - aiMOOC

Einleitung

Kongruenzsätze für Dreiecke helfen Dir, in der Geometrie zu entscheiden, ob zwei Dreiecke wirklich deckungsgleich sind. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen. Man kann das eine Dreieck durch eine Verschiebung, Drehung oder Spiegelung so auf das andere legen, dass alle Eckpunkte, Seiten und Winkel übereinanderliegen. In der mathematischen Schreibweise verwendet man dafür das Kongruenzzeichen:

$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

Diese Schreibweise bedeutet nicht nur: „Die beiden Dreiecke sind kongruent.“ Sie legt auch eine Reihenfolge fest: $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$ und $C$ entspricht $F$. Deshalb gehören die Seiten $AB$ und $DE$, $BC$ und $EF$ sowie $CA$ und $FD$ zusammen.

Die Kongruenzsätze sind besonders wichtig, weil Du nicht immer alle sechs Größen eines Dreiecks vergleichen musst. Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Innenwinkel. Die Kongruenzsätze sagen Dir, welche wenigen Angaben ausreichen, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Für die Klasse 7-8 sind vor allem die Sätze SSS, SWS, WSW, SWW und SSW mit Bedingung wichtig.

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Grundbegriffe

Kongruenz und Deckungsgleichheit

In der Geometrie bedeutet kongruent: Zwei Figuren haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Ihre Lage darf unterschiedlich sein. Ein Dreieck darf also verschoben, gedreht oder gespiegelt sein und bleibt trotzdem kongruent, wenn alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich sind.

Für zwei Dreiecke $\mathrm{△}ABC$ und $\mathrm{△}DEF$ gilt bei passender Zuordnung:

$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF\Rightarrow AB=DE,BC=EF,CA=FD$

und

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }D,\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }E,\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }F$

Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig. Wenn Du $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$ schreibst, dann darfst Du nicht beliebig Seiten vergleichen. Du musst die entsprechenden Eckpunkte beachten.

Seiten und Winkel im Dreieck

Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Innenwinkel. Häufig werden die Eckpunkte mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnet. Die Seite gegenüber von $A$ heißt oft $a$, die Seite gegenüber von $B$ heißt $b$, die Seite gegenüber von $C$ heißt $c$. Die Winkel heißen häufig $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

Für jedes Dreieck gilt:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Diese Innenwinkelsumme ist besonders wichtig für die Kongruenzsätze WSW und SWW. Wenn zwei Winkel bekannt sind, ist der dritte Winkel automatisch festgelegt.

Was bedeutet ein Kongruenzsatz?

Ein Kongruenzsatz ist ein Kriterium. Er sagt Dir: Wenn bestimmte Seiten und Winkel zweier Dreiecke übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent. Du musst dann nicht mehr alles nachmessen. Ein Kongruenzsatz ist also eine sichere Abkürzung beim Beweisen, Konstruieren und Argumentieren.

Die Buchstaben in den Abkürzungen bedeuten:

Abkürzung	Bedeutung	Erklärung
S	Seite	Eine Seitenlänge ist bekannt oder stimmt mit der entsprechenden Seitenlänge überein.
W	Winkel	Eine Winkelgröße ist bekannt oder stimmt mit dem entsprechenden Winkel überein.

Überblick über die Kongruenzsätze

Die wichtigsten Kongruenzsätze für Dreiecke sind:

Kongruenzsatz	Gesuchte Übereinstimmung	Merksatz
SSS	Drei Seiten stimmen überein.	Drei Seiten legen ein Dreieck eindeutig fest.
SWS	Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.	Der Winkel muss zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen.
WSW	Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein.	Eine Seite mit ihren beiden Randwinkeln legt das Dreieck fest.
SWW	Eine Seite, ein anliegender Winkel und der gegenüberliegende Winkel stimmen überein.	Der dritte Winkel ergibt sich durch die Innenwinkelsumme.
SSW	Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite stimmen überein.	Nur mit der Zusatzbedingung zur längeren Seite ist der Satz eindeutig.

Der Kongruenzsatz SSS

Bedeutung von SSS

Der Kongruenzsatz SSS bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Seitenlängen überein, dann sind sie kongruent.

Für zwei Dreiecke kann man schreiben:

$AB=DE,BC=EF,CA=FD\Rightarrow \mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

Der Grund ist anschaulich: Wenn Du eine Seite zeichnest und die beiden anderen Seitenlängen mit dem Zirkel abträgst, können die möglichen Eckpunkte nur an den Schnittpunkten zweier Kreise liegen. Die zwei entstehenden Möglichkeiten sind Spiegelbilder und daher kongruent.

Konstruktion mit SSS

So konstruierst Du ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten:

1. Grundseite: Zeichne zuerst eine der drei Seiten als Strecke.
2. Zirkel: Zeichne um den einen Endpunkt einen Kreis mit der Länge der zweiten Seite.
3. Schnittpunkt: Zeichne um den anderen Endpunkt einen Kreis mit der Länge der dritten Seite.
4. Dreieck: Verbinde den Schnittpunkt der Kreise mit den beiden Endpunkten der Grundseite.
5. Kontrolle: Prüfe, ob die drei Seitenlängen wirklich zu den Vorgaben passen.

SSS funktioniert nur, wenn die Dreiecksungleichung erfüllt ist. Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte Seite sein. Zum Beispiel kann man aus den Seitenlängen $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ kein Dreieck konstruieren, weil $3+4<10$ gilt.

Der Kongruenzsatz SWS

Bedeutung von SWS

Der Kongruenzsatz SWS bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, dann sind sie kongruent. Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel, der zwischen den beiden bekannten Seiten liegt.

Ein Beispiel in mathematischer Schreibweise:

$AB=DE,AC=DF,\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }EDF\Rightarrow \mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

Hier liegen die Seiten $AB$ und $AC$ am Winkel $\mathrm{\angle }BAC$. Genauso liegen die Seiten $DE$ und $DF$ am Winkel $\mathrm{\angle }EDF$.

Warum der eingeschlossene Winkel wichtig ist

Beim Satz SWS darf der Winkel nicht irgendwo liegen. Er muss zwischen den beiden bekannten Seiten liegen. Wenn der Winkel nicht eingeschlossen ist, entsteht der problematische Fall SSW. Dieser kann ohne Zusatzbedingung mehrdeutig sein. Deshalb ist die genaue Lage des Winkels entscheidend.

Konstruktion mit SWS

So konstruierst Du ein Dreieck mit zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel:

1. Strecke: Zeichne eine der gegebenen Seiten.
2. Winkelmesser: Trage am passenden Endpunkt den gegebenen Winkel ab.
3. Seitenlänge: Markiere auf dem neuen Schenkel die zweite gegebene Seitenlänge.
4. Verbindung: Verbinde den neuen Punkt mit dem freien Endpunkt der ersten Seite.
5. Prüfung: Vergleiche die Lage des Winkels mit der Aufgabenstellung.

Der Kongruenzsatz WSW

Bedeutung von WSW

Der Kongruenzsatz WSW bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite und den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln überein, dann sind sie kongruent. Die gegebene Seite liegt also zwischen den beiden bekannten Winkeln.

Ein Beispiel:

$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }DEF,BC=EF,\mathrm{\angle }BCA=\mathrm{\angle }EFD\Rightarrow \mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

Die Seite $BC$ liegt zwischen den Winkeln bei $B$ und $C$. Entsprechend liegt $EF$ zwischen den Winkeln bei $E$ und $F$.

Konstruktion mit WSW

So konstruierst Du ein Dreieck mit einer Seite und zwei anliegenden Winkeln:

1. Grundseite: Zeichne die gegebene Seite.
2. Winkel: Trage an einem Endpunkt den ersten Winkel ab.
3. Winkel: Trage am anderen Endpunkt den zweiten Winkel ab.
4. Schnittpunkt: Der Schnittpunkt der beiden Winkelschenkel ist der dritte Eckpunkt.
5. Kontrolle: Prüfe, ob die Seite wirklich zwischen den beiden gegebenen Winkeln liegt.

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Der Kongruenzsatz SWW

Bedeutung von SWW

Der Kongruenzsatz SWW bedeutet: Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite, einem anliegenden Winkel und einem gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind sie kongruent. Auch wenn nicht beide Winkel direkt an der gegebenen Seite liegen, ist das Dreieck eindeutig bestimmt, weil der dritte Winkel durch die Innenwinkelsumme festgelegt ist.

Wenn zum Beispiel zwei Winkel bekannt sind, gilt:

$\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$

Damit wird aus dem Fall SWW im Grunde ein Fall WSW, sobald der fehlende Winkel berechnet ist.

Konstruktion mit SWW

So konstruierst Du ein Dreieck mit einer Seite und zwei Winkeln, von denen nur einer anliegt:

1. Seite: Zeichne die gegebene Seite.
2. Winkelberechnung: Berechne den fehlenden Winkel mit $180^{\circ }-\alpha -\beta$.
3. Winkelmesser: Trage den anliegenden Winkel an der gegebenen Seite ab.
4. Winkelmesser: Trage den berechneten Winkel am anderen Endpunkt der Seite ab.
5. Dreieckskonstruktion: Verbinde den entstehenden Schnittpunkt der Winkelschenkel mit den Endpunkten der Seite.

Der Kongruenzsatz SSW mit Zusatzbedingung

Bedeutung von SSW

Der Kongruenzsatz SSW ist nur unter einer wichtigen Bedingung ein Kongruenzsatz: Zwei Seiten und ein Winkel bestimmen ein Dreieck eindeutig, wenn der gegebene Winkel der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt.

Ein Beispiel:

$AB=DE,AC=DF,AC>AB,\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }DEF\Rightarrow \mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

Der Winkel $\mathrm{\angle }ABC$ liegt der Seite $AC$ gegenüber. Wenn $AC$ die längere der beiden gegebenen Seiten ist, entsteht kein mehrdeutiger Fall.

Warum SSW gefährlich sein kann

Wenn der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben. Dann sind die Angaben nicht eindeutig. Deshalb solltest Du bei SSW immer prüfen:

1. Lage des Winkels: Welcher Seite liegt der gegebene Winkel gegenüber?
2. Seitenvergleich: Ist diese gegenüberliegende Seite die längere der beiden gegebenen Seiten?
3. Eindeutigkeit: Entsteht genau ein Dreieck oder können zwei verschiedene Dreiecke entstehen?

Kein Kongruenzsatz: WWW

Stimmen zwei Dreiecke nur in ihren drei Winkeln überein, dann sind sie nicht unbedingt kongruent. Sie haben zwar dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein. In diesem Fall sind sie ähnlich, aber nicht zwingend kongruent.

Ein kleines Dreieck mit den Winkeln $50^{\circ }$, $60^{\circ }$ und $70^{\circ }$ kann dieselben Winkel haben wie ein großes Dreieck. Trotzdem sind die Seitenlängen verschieden. Deshalb gilt: WWW ist kein Kongruenzsatz für Dreiecke.

Kongruenzsätze anwenden

Vorgehensweise beim Prüfen

Wenn Du entscheiden sollst, ob zwei Dreiecke kongruent sind, hilft Dir diese Strategie:

1. Zuordnung: Ordne zuerst die entsprechenden Eckpunkte einander zu.
2. Markierung: Markiere gleiche Seiten mit gleichen Strichen und gleiche Winkel mit gleichen Bögen.
3. Vergleich: Prüfe, welche drei Angaben sicher übereinstimmen.
4. Kongruenzsatz: Wähle den passenden Kongruenzsatz aus.
5. Begründung: Formuliere einen vollständigen Satz, zum Beispiel: „Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent.“
6. Reihenfolge: Schreibe die Dreiecke in der richtigen Reihenfolge, zum Beispiel $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$.

Beispiel 1: SSS erkennen

Gegeben sind zwei Dreiecke $\mathrm{△}ABC$ und $\mathrm{△}DEF$. Es gilt:

$AB=DE=5\text{ cm}$

$BC=EF=7\text{ cm}$

$CA=FD=6\text{ cm}$

Alle drei entsprechenden Seiten stimmen überein. Also gilt:

$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

Begründung: Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent.

Beispiel 2: SWS erkennen

Gegeben ist:

$AB=DE=4\text{ cm}$

$AC=DF=6\text{ cm}$

$\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }EDF=40^{\circ }$

Der Winkel liegt jeweils zwischen den beiden bekannten Seiten. Deshalb gilt:

$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$

Begründung: Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent.

Beispiel 3: WWW reicht nicht

Zwei Dreiecke haben jeweils die Winkel $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ und $90^{\circ }$. Daraus folgt nicht, dass sie kongruent sind. Ein Dreieck kann Seitenlängen $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ und $5\text{ cm}$ haben, ein anderes Dreieck kann doppelt so groß sein. Die Winkel bleiben gleich, aber die Dreiecke sind nicht deckungsgleich. Sie sind ähnlich, aber nicht kongruent.

Typische Fehler

Falsche Zuordnung der Eckpunkte

Ein häufiger Fehler entsteht, wenn die Reihenfolge der Buchstaben nicht beachtet wird. Aus $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$ folgt nicht, dass $AB$ zu $EF$ gehört. Richtig ist: $AB$ gehört zu $DE$.

SWS mit falschem Winkel

Bei SWS muss der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten liegen. Liegt er nicht dazwischen, darfst Du nicht SWS verwenden.

WWW mit Kongruenz verwechseln

Drei gleiche Winkel beweisen nur Ähnlichkeit, nicht Kongruenz. Für Kongruenz muss auch die Größe festgelegt sein.

SSW ohne Zusatzbedingung verwenden

Der Fall SSW ist nur eindeutig, wenn der gegebene Winkel der längeren der beiden bekannten Seiten gegenüberliegt. Ohne diese Bedingung ist Vorsicht nötig.

Bedeutung im Alltag und in der Mathematik

Kongruenzsätze sind nicht nur ein Schulstoff. Sie spielen eine Rolle beim technischen Zeichnen, in der Architektur, beim Konstruieren von Bauteilen, in der Kartografie und in der Vermessung. Wenn Dreiecke eindeutig konstruiert werden können, lassen sich Formen zuverlässig planen und überprüfen. Auch in der Informatik und in CAD-Programmen ist die eindeutige Bestimmung geometrischer Formen wichtig.

In Beweisen helfen Kongruenzsätze, aus wenigen Informationen viele weitere Aussagen abzuleiten. Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, kannst Du schließen, dass alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich sind. Dadurch lassen sich zum Beispiel Eigenschaften von Parallelogrammen, Rauten, Drachenvierecken oder gleichschenkligen Dreiecken begründen.

Merksätze

1. SSS: Drei gleich lange entsprechende Seiten reichen für Kongruenz.
2. SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel reichen für Kongruenz.
3. WSW: Eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel reichen für Kongruenz.
4. SWW: Eine Seite, ein anliegender Winkel und ein gegenüberliegender Winkel reichen, weil der dritte Winkel festliegt.
5. SSW: Zwei Seiten und ein Winkel reichen nur dann, wenn der Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt.
6. WWW: Drei gleiche Winkel reichen nicht für Kongruenz, sondern nur für Ähnlichkeit.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet es, wenn zwei Dreiecke kongruent sind? (Sie sind deckungsgleich) (!Sie haben nur gleich große Winkel) (!Sie haben nur gleich lange Grundseiten) (!Sie besitzen immer einen rechten Winkel)

Welcher Kongruenzsatz besagt, dass drei entsprechende Seiten ausreichen? (SSS) (!SWS) (!WSW) (!WWW)

Was muss beim Kongruenzsatz SWS zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen? (Der eingeschlossene Winkel) (!Die längste Seite) (!Der gegenüberliegende Winkel) (!Der Schwerpunkt)

Warum ist WWW kein Kongruenzsatz? (Die Dreiecke können unterschiedlich groß sein) (!Drei Winkel gibt es im Dreieck nicht) (!Die Winkelsumme ist unbekannt) (!Winkel kann man nicht messen)

Was gilt für die Innenwinkel eines Dreiecks? (Sie ergeben zusammen 180 Grad) (!Sie ergeben zusammen 90 Grad) (!Sie ergeben zusammen 270 Grad) (!Sie ergeben zusammen 360 Grad)

Welche Angabe beschreibt den Kongruenzsatz WSW richtig? (Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein) (!Drei Winkel stimmen überein) (!Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel stimmen immer überein) (!Eine Seite und drei Winkel stimmen überein)

Wann ist der Kongruenzsatz SSW eindeutig anwendbar? (Wenn der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt) (!Wenn der gegebene Winkel der kürzeren gegebenen Seite gegenüberliegt) (!Wenn nur zwei Winkel bekannt sind) (!Wenn keine Seite bekannt ist)

Was bedeutet die Schreibweise Dreieck ABC kongruent Dreieck DEF für die Zuordnung? (A entspricht D, B entspricht E und C entspricht F) (!A entspricht E, B entspricht F und C entspricht D) (!A entspricht F, B entspricht D und C entspricht E) (!Die Reihenfolge ist beliebig)

Welches Werkzeug verwendest Du besonders beim Abtragen von Seitenlängen? (Zirkel) (!Geodreieck als Zirkelersatz) (!Taschenrechner) (!Waage)

Welche Aussage ist beim Konstruieren nach SSS zusätzlich wichtig? (Die Dreiecksungleichung muss erfüllt sein) (!Alle Winkel müssen gleich 60 Grad sein) (!Die längste Seite muss zuerst gezeichnet werden) (!Das Dreieck muss rechtwinklig sein)

Memory

SSS	Drei Seiten
SWS	Eingeschlossener Winkel
WSW	Anliegende Winkel
SWW	Fehlender Winkel berechenbar
SSW	Längere Gegenseite
WWW	Ähnlichkeit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
SSS	Drei entsprechende Seiten stimmen überein.
SWS	Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
WSW	Eine Seite und beide anliegenden Winkel stimmen überein.
SWW	Eine Seite und zwei Winkel bestimmen das Dreieck über die Innenwinkelsumme.
SSW	Der Winkel liegt der längeren gegebenen Seite gegenüber.

Kreuzworträtsel

Kongruenz	Wie heißt die Deckungsgleichheit geometrischer Figuren?
Zirkel	Welches Werkzeug nutzt Du zum Abtragen gleicher Seitenlängen?
Winkel	Welche Größe wird in Grad gemessen und liegt zwischen zwei Schenkeln?
Seite	Wie heißt eine Strecke zwischen zwei Eckpunkten im Dreieck?
Spiegelung	Welche Abbildung kann zwei SSS-Konstruktionen auf verschiedene Seiten der Grundseite bringen?
Schnittpunkt	Wie heißt der Punkt, an dem sich zwei Konstruktionslinien treffen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Form und Größe sind. Beim Kongruenzsatz SSS stimmen drei entsprechende überein. Beim Kongruenzsatz SWS muss der bekannte Winkel zwischen den beiden gegebenen liegen. Beim Satz WSW ist eine Seite mit ihren beiden Winkeln gegeben. Der Satz SWW funktioniert, weil die Innenwinkelsumme im Dreieck immer Grad beträgt. Der Fall SSW ist nur eindeutig, wenn der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite . Drei gleiche Winkel reichen nicht für Kongruenz, sondern nur für .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kongruenz erkennen: Zeichne zwei kongruente Dreiecke in unterschiedlicher Lage und markiere gleiche Seiten und gleiche Winkel mit passenden Zeichen.
2. Begriffe erklären: Schreibe in eigenen Worten, was der Unterschied zwischen kongruent und ähnlich ist.
3. SSS-Konstruktion: Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$ und beschreibe Deine Schritte.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsche Begründung zu WWW und verbessere sie anschließend.

Standard

1. SWS-Anwendung: Erstelle eine Konstruktionsaufgabe zum Satz SWS, löse sie und schreibe eine vollständige Konstruktionsbeschreibung.
2. WSW-Plakat: Gestalte ein Lernplakat zum Kongruenzsatz WSW mit Skizze, Merksatz und Beispiel.
3. Kongruenzbeweis: Suche in einem Viereck zwei Dreiecke, die kongruent sein könnten, und begründe die Kongruenz mit einem passenden Kongruenzsatz.
4. Partnerinterview: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler SSS, SWS und WSW und notiere, welche Rückfragen gestellt wurden.

Schwer

1. SSW-Untersuchung: Zeichne einen Fall, in dem SSW eindeutig ist, und einen Fall, in dem SSW nicht eindeutig ist. Erkläre den Unterschied.
2. Beweisstrategie: Entwickle einen kurzen Beweis dafür, dass die Diagonale eines Parallelogramms zwei kongruente Dreiecke erzeugt.
3. Dreiecksdetektiv: Fotografiere oder zeichne eine Alltagssituation mit Dreiecken, zum Beispiel ein Dach, eine Brücke oder ein Regal, und untersuche mögliche Kongruenzen.
4. Digitales Konstruieren: Konstruiere mit einer Geometriesoftware mehrere Dreiecke zu SSS, SWS, WSW und SSW und dokumentiere, wann das Ergebnis eindeutig ist.

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Lernkontrolle

1. Transferaufgabe SWS: Ein Bauteil soll als Dreieck hergestellt werden. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind vorgegeben. Erkläre, warum alle korrekt hergestellten Bauteile deckungsgleich sind.
2. Argumentieren mit WWW: Zwei Dreiecke haben dieselben Winkel. Beurteile, warum diese Information für eine exakte Kopie eines Werkstücks nicht ausreicht.
3. Konstruktionsentscheidung: Du bekommst drei verschiedene Aufgaben mit je drei Angaben. Entscheide jeweils, ob SSS, SWS, WSW, SWW oder SSW passt, und begründe Deine Wahl.
4. Fehleranalyse SSW: Eine Person behauptet, SSW sei immer eindeutig. Widerlege diese Aussage mit einer Skizze oder einer verständlichen Erklärung.
5. Beweis im Viereck: In einem Drachenviereck sind zwei benachbarte Seitenpaare gleich lang. Zeige mithilfe eines Kongruenzsatzes, welche Dreiecke kongruent sind und welche Winkel daraus gleich groß sind.
6. Eigene Problemaufgabe: Entwickle selbst eine Sachaufgabe, in der Kongruenzsätze helfen, eine Länge oder einen Winkel zu begründen. Gib auch eine Musterlösung an.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du eine vollständige Kongruenz-Mappe. Sie enthält eine kurze Begriffserklärung, je eine eigene Beispielkonstruktion zu SSS, SWS, WSW und SWW, eine Untersuchung zum Sonderfall SSW, eine Erklärung, warum WWW kein Kongruenzsatz ist, und eine selbst formulierte Beweisaufgabe. Achte darauf, dass jede Skizze beschriftet ist und jede Begründung einen passenden Kongruenzsatz nennt.

Links

Kongruenzsätze für Dreiecke Kongruenzsatz Kongruenz (Geometrie) Dreieck Innenwinkelsumme Dreiecksungleichung Konstruktion mit Zirkel und Lineal Ähnlichkeit (Geometrie) Geometrie

Zusammenfassung

Die Kongruenzsätze für Dreiecke sind Werkzeuge, mit denen Du eindeutig feststellen kannst, ob zwei Dreiecke deckungsgleich sind. Beim Satz SSS stimmen drei Seiten überein. Beim Satz SWS stimmen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel überein. Beim Satz WSW stimmen eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel überein. Beim Satz SWW hilft die Innenwinkelsumme, den fehlenden Winkel zu bestimmen. Beim Satz SSW musst Du besonders genau prüfen, ob der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt. WWW ist kein Kongruenzsatz, weil gleiche Winkel nur die Form, aber nicht die Größe eines Dreiecks festlegen.

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Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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