Gauß-Algorithmus - Lineare Algebra
Gauß-Algorithmus - Lineare Algebra
Gauß-Algorithmus - Lineare Algebra
Einleitung
Mit dem Gauß-Algorithmus löst Du ein lineares Gleichungssystem. Du formst die Gleichungen so um, dass eine Treppe aus Zahlen entsteht. Danach liest Du die Lösung von unten nach oben ab.
Der Algorithmus ist nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt. Die folgende Animation zeigt, wie durch Zeilenumformungen Nullen entstehen.
Lernziele
Du kannst ein lineares Gleichungssystem als erweiterte Matrix schreiben, erlaubte Zeilenumformungen anwenden, eine Zeilenstufenform herstellen und die Lösung prüfen.
Die Grundidee
Diese drei Umformungen sind erlaubt:
- Zeilentausch: Zwei Zeilen werden vertauscht.
- Skalierung: Eine Zeile wird mit einer Zahl ungleich null multipliziert.
- Zeilenaddition: Ein Vielfaches einer Zeile wird zu einer anderen Zeile addiert.
Dabei bleibt die Lösungsmenge gleich. Das Ziel ist die Treppenform. Unter jedem Pivot-Element sollen Nullen stehen.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen beschreibt zwei Geraden. Eine gemeinsame Lösung ist ihr Schnittpunkt.
Kurzes Beispiel
Gegeben ist:
Als erweiterte Matrix:
Tausche zuerst die Zeilen. Rechne dann :
Aus der zweiten Zeile folgt . Dann folgt aus der ersten Zeile . Die Lösung ist .
Mögliche Ergebnisse
- Eindeutige Lösung: Jede Variable erhält genau einen Wert.
- Keine Lösung: Es entsteht ein Widerspruch wie .
- Unendlich viele Lösungen: Mindestens eine Variable bleibt frei und es entsteht kein Widerspruch.
Die nächste Animation zeigt die Umformung eines Gleichungssystems als Bewegung von Ebenen.
Lernvideo
Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei jedem neuen Rechenschritt und rechne selbst weiter.
Aufgaben zum Video
- Videoaufgabe - Grundidee: Erkläre in einem Satz, welches Problem der Gauß-Algorithmus löst.
- Videoaufgabe - Umformungen: Notiere die im Video verwendeten Zeilenumformungen mit Zeilennamen.
- Videoaufgabe - Nullen: Stoppe vor einem Eliminationsschritt und sage voraus, welche Zahl zu null werden soll.
- Videoaufgabe - Treppenform: Zeichne die im Video entstehende Zeilenstufenform ab und markiere die Pivot-Elemente.
- Videoaufgabe - Rückwärtseinsetzen: Erkläre, warum die letzte Gleichung zuerst gelöst wird.
- Videoaufgabe - Kontrolle: Setze die im Video gefundene Lösung in die ursprünglichen Gleichungen ein.
- Videoaufgabe - Fehlerquelle: Nenne einen Rechenfehler, der beim Addieren von Zeilen leicht passieren kann.
Video zur Wiederholung
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wozu dient der Gauß-Algorithmus? (Zum Lösen linearer Gleichungssysteme) (!Zum Zeichnen von Kreisen) (!Zum Berechnen von Prozenten) (!Zum Messen von Winkeln)
Welche Zeilenumformung ist erlaubt? (Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren) (!Eine Zeile durch null teilen) (!Nur die rechte Seite verändern) (!Eine Zahl ohne Rechenregel löschen)
Welche Form wird zuerst angestrebt? (Zeilenstufenform) (!Kreisform) (!Bruchform) (!Scheitelpunktform)
Was ist ein Pivot-Element? (Der führende von null verschiedene Eintrag einer Zeile) (!Die rechte Klammer der Matrix) (!Immer die größte Zahl der Matrix) (!Die Anzahl der Variablen)
Wo beginnt das Rückwärtseinsetzen? (In der untersten von null verschiedenen Zeile) (!Immer in der ersten Spalte) (!Außerhalb der Matrix) (!Bei einer zufälligen Gleichung)
Was bedeutet die Zeile null gleich vier? (Das Gleichungssystem hat keine Lösung) (!Das Gleichungssystem hat genau vier Lösungen) (!Die Variable ist null) (!Alle Zahlen sind erlaubt)
Was bedeutet eine vollständige Nullzeile? (Sie liefert keine neue Bedingung) (!Sie beweist immer einen Widerspruch) (!Sie macht jede Variable zu null) (!Sie beendet jede Rechnung mit einer eindeutigen Lösung)
Welche Lösung hat das Beispiel im Lerntext? (x gleich zwei und y gleich eins) (!x gleich eins und y gleich zwei) (!x gleich drei und y gleich null) (!x gleich null und y gleich drei)
Mit welcher Zahl darf eine Zeile nicht multipliziert werden? (Mit null) (!Mit eins) (!Mit minus eins) (!Mit zwei)
Warum sind die erlaubten Zeilenumformungen nützlich? (Sie erhalten die Lösungsmenge) (!Sie ändern jede Lösung) (!Sie entfernen alle Variablen sofort) (!Sie machen jede Matrix quadratisch)
Memory
| Pivot-Element | Führender Eintrag einer Zeile |
| Zeilenstufenform | Treppenform der Matrix |
| Nullzeile | Gleichung ohne neue Bedingung |
| Widerspruchszeile | Unmögliche Gleichung |
| Rückwärtseinsetzen | Rechnen von unten nach oben |
| Lösungsprobe | Einsetzen in die Ausgangsgleichungen |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Gauß-Algorithmus |
|---|---|
| Zeilen tauschen | Reihenfolge ändern |
| Zeile skalieren | Mit einer Zahl ungleich null multiplizieren |
| Zeilen addieren | Nullen erzeugen |
| Treppenform | Vorwärtselimination beendet |
| Rückwärtseinsetzen | Variablen von unten bestimmen |
Kreuzworträtsel
| Matrix | Wie heißt die rechteckige Anordnung von Zahlen? |
| Pivot | Wie heißt der führende Eintrag einer Zeile? |
| Treppenform | Welche Form soll durch die Vorwärtselimination entstehen? |
| Nullzeile | Wie heißt eine Zeile, die nur Nullen enthält? |
| Variable | Wie heißt eine unbekannte Größe? |
| Widerspruch | Was zeigt eine Gleichung wie null gleich fünf? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Video-Notizen: Schreibe zu jeder erlaubten Zeilenumformung ein eigenes kleines Beispiel.
- Farbcodierte Matrix: Markiere in einer Stufenform die Pivot-Elemente und die erzeugten Nullen mit verschiedenen Farben.
- Mini-Erklärung: Erkläre den Gauß-Algorithmus in höchstens fünf einfachen Sätzen.
- Fehlerjagd: Erfinde einen falschen Zeilenschritt und erkläre, woran man den Fehler erkennt.
Standard
- Dreidimensionales Gleichungssystem: Löse mit dem Gauß-Algorithmus , und .
- Methodenvergleich: Löse ein Gleichungssystem einmal mit Gauß und einmal mit dem Einsetzungsverfahren. Vergleiche die Rechenwege.
- Eigenes Gleichungssystem: Erfinde drei Gleichungen, deren Lösung , und ist.
- Erklärplakat: Gestalte ein Plakat mit den Schritten Matrix aufstellen, Nullen erzeugen, Treppenform bilden, rückwärts einsetzen und prüfen.
Schwer
- Parameteraufgabe: Untersuche und . Bestimme für welche Werte von keine oder unendlich viele Lösungen entstehen.
- Geometrische Deutung: Zeichne oder modelliere Ebenen und erkläre, wie eine eindeutige Lösung, keine Lösung und unendlich viele Lösungen aussehen.
- Algorithmus entwerfen: Schreibe einen einfachen Pseudocode für die Vorwärtselimination.
- Lernvideo erstellen: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du ein selbst gewähltes Gleichungssystem vollständig löst und die Probe zeigst.
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Lernkontrolle
- Begründung der Zeilenaddition: Erkläre, warum das Addieren eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung die gemeinsame Lösung nicht verändert.
- Rechenweg prüfen: Untersuche einen fremden Gauß-Rechenweg, finde den ersten falschen Schritt und verbessere alle folgenden Schritte.
- Sachproblem modellieren: Erfinde eine Alltagssituation mit drei unbekannten Größen, stelle ein lineares Gleichungssystem auf und löse es mit Gauß.
- Lösungsfälle übertragen: Entscheide anhand einer gegebenen Stufenform, ob keine, eine oder unendlich viele Lösungen vorliegen, und begründe Deine Entscheidung.
- Strategien vergleichen: Vergleiche zwei verschiedene Folgen erlaubter Zeilenumformungen, die zur gleichen Lösung führen. Bewerte, welcher Weg übersichtlicher ist.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du ein lineares Gleichungssystem sicher in eine erweiterte Matrix überträgst, erlaubte Zeilenumformungen verständlich notierst, eine Zeilenstufenform erzeugst, rückwärts einsetzt, verschiedene Lösungsfälle erkennst und das Ergebnis durch Einsetzen prüfst.
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