Ganze Zahlen und negative Zahlen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Ganze Zahlen und negative Zahlen gehören zu den wichtigsten Grundlagen der Mathematik. Du kennst aus dem Alltag wahrscheinlich schon Situationen, in denen Zahlen kleiner als Null vorkommen: Temperaturen unter dem Gefrierpunkt, Schulden auf einem Konto, Stockwerke unter dem Erdgeschoss oder Höhen unter dem Meeresspiegel. Solche Zahlen nennt man negative Zahlen. Zusammen mit der Null und den positiven natürlichen Zahlen bilden sie die Menge der ganzen Zahlen.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie ganze Zahlen aufgebaut sind, wie Du sie am Zahlenstrahl einordnest, wie Du sie vergleichst und wie Du mit ihnen rechnest. Dabei wird die MediaWiki-Extension Math genutzt, um mathematische Schreibweisen sauber darzustellen.

Was sind ganze Zahlen?

Die Menge der ganzen Zahlen wird in der Mathematik mit dem Zeichen $\mathbb{Z}$ bezeichnet. Sie enthält alle positiven Zahlen ohne Komma, die Null und alle negativen Zahlen ohne Komma:

$\mathbb{Z}=\{\dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots \}$

Das Zeichen $\mathbb{Z}$ kommt vom deutschen Wort Zahlen. Ganze Zahlen haben keine Nachkommastellen. Deshalb gehören Zahlen wie $3$, $0$ und $-8$ zu den ganzen Zahlen. Zahlen wie $\mathrm{2,5}$, $\frac{1}{2}$ oder $-\mathrm{3,7}$ sind dagegen keine ganzen Zahlen, sondern gehören zu anderen Zahlenmengen.

Positive Zahlen, negative Zahlen und Null

Eine positive Zahl ist größer als $0$. Häufig schreibt man positive Zahlen ohne Pluszeichen: Statt $+7$ schreibt man meist einfach $7$. Eine negative Zahl ist kleiner als $0$ und besitzt ein Minuszeichen als Vorzeichen, zum Beispiel $-4$. Die Null ist weder positiv noch negativ.

$5>0$ bedeutet: $5$ ist größer als $0$.

$-5<0$ bedeutet: $-5$ ist kleiner als $0$.

$0$ liegt genau zwischen den positiven und den negativen Zahlen.

Der Zahlenstrahl und die Zahlengerade

Auf einem Zahlenstrahl werden Zahlen in einer festen Reihenfolge angeordnet. Für ganze Zahlen verwendet man oft eine Zahlengerade, weil sie nach links und rechts unbegrenzt weitergeht. Rechts von der Null liegen die positiven Zahlen, links von der Null liegen die negativen Zahlen.

Wichtig ist: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.

Beispiele:

$-6<-2$, weil $-6$ weiter links liegt als $-2$.

$-1<0$, weil $-1$ links von $0$ liegt.

$4>-3$, weil $4$ rechts von $-3$ liegt.

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Ganze Zahlen im Alltag

Negative Zahlen sind nicht nur ein mathematisches Hilfsmittel. Sie beschreiben echte Situationen:

1. Temperatur: Bei $-6^{\circ }\text{C}$ ist es sechs Grad unter dem Gefrierpunkt.
2. Schulden: Ein Kontostand von $-20$ Euro bedeutet, dass zwanzig Euro fehlen.
3. Höhe: Ein Ort kann $-5$ Meter unter dem Meeresspiegel liegen.
4. Aufzug: In Gebäuden kann das Stockwerk $-1$ für ein Untergeschoss stehen.
5. Spielstand: Eine Punktedifferenz von $-3$ bedeutet, dass drei Punkte Rückstand bestehen.

Solche Beispiele helfen Dir, negative Zahlen nicht nur als Zeichen auf dem Papier zu sehen, sondern als Zahlen mit Bedeutung.

Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden

Das Minuszeichen kann zwei Rollen haben. Es kann als Vorzeichen zeigen, dass eine Zahl negativ ist. Es kann aber auch als Rechenzeichen für eine Subtraktion verwendet werden.

Beispiele:

$-7$ ist eine negative Zahl. Das Minuszeichen ist hier ein Vorzeichen.

$9-7$ ist eine Rechnung. Das Minuszeichen ist hier ein Rechenzeichen.

In der Rechnung $5-(-3)$ kommen beide Bedeutungen vor. Das erste Minuszeichen bedeutet Subtraktion, das zweite Minuszeichen gehört zur Zahl $-3$.

Gegenzahlen

Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine Gegenzahl. Die Gegenzahl liegt auf der Zahlengeraden gleich weit von der Null entfernt, aber auf der anderen Seite.

Die Gegenzahl von $6$ ist $-6$.

Die Gegenzahl von $-9$ ist $9$.

Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.

Mathematisch schreibt man: Die Gegenzahl von $a$ ist $-a$. Wenn $a=4$ ist, dann ist $-a=-4$. Wenn $a=-4$ ist, dann ist $-a=4$.

Betrag einer ganzen Zahl

Der Betrag einer Zahl beschreibt ihren Abstand von der Null. Abstände sind nie negativ. Deshalb ist der Betrag immer positiv oder null.

Der Betrag von $7$ ist $7$.

Der Betrag von $-7$ ist ebenfalls $7$.

Man schreibt:

$|7|=7$

$|-7|=7$

$|0|=0$

Der Betrag hilft besonders beim Vergleichen und Rechnen mit negativen Zahlen.

Ganze Zahlen vergleichen und ordnen

Beim Vergleichen ganzer Zahlen helfen die Zeichen $<$, $>$ und $=$. Eine Zahl ist größer, wenn sie auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt.

Beispiele:

$-3>-8$, weil $-3$ weiter rechts liegt als $-8$.

$-10<1$, weil $-10$ links von $1$ liegt.

$0>-4$, weil $0$ rechts von $-4$ liegt.

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass $-9$ größer sei als $-3$, weil $9$ größer als $3$ ist. Bei negativen Zahlen ist es umgekehrt: $-9$ liegt weiter links und ist deshalb kleiner.

Addition ganzer Zahlen

Beim Addieren ganzer Zahlen kannst Du Dir Bewegungen auf der Zahlengerade vorstellen.

Eine positive Zahl addieren bedeutet: nach rechts gehen.

Eine negative Zahl addieren bedeutet: nach links gehen.

Beispiele:

$3+4=7$

$3+(-4)=-1$

$-3+4=1$

$-3+(-4)=-7$

Wenn beide Zahlen dasselbe Vorzeichen haben, addierst Du die Beträge und übernimmst das gemeinsame Vorzeichen:

$(-5)+(-2)=-7$

Wenn die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben, bildest Du die Differenz der Beträge und übernimmst das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag:

$-8+3=-5$, weil $|-8|>|3|$.

Subtraktion ganzer Zahlen

Eine Subtraktion kann als Addition der Gegenzahl verstanden werden. Das ist eine sehr wichtige Regel:

$a-b=a+(-b)$

Beispiele:

$7-3=7+(-3)=4$

$7-(-3)=7+3=10$

$-7-3=-7+(-3)=-10$

$-7-(-3)=-7+3=-4$

Besonders wichtig ist: Ein Minus vor einer negativen Zahl wird beim Umwandeln zur Addition einer positiven Zahl.

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Multiplikation und Division ganzer Zahlen

Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen entscheidet das Vorzeichen über das Vorzeichen des Ergebnisses.

$(+)\cdot (+)=(+)$

$(-)\cdot (-)=(+)$

$(+)\cdot (-)=(-)$

$(-)\cdot (+)=(-)$

Das bedeutet:

$4\cdot 3=12$

$(-4)\cdot (-3)=12$

$4\cdot (-3)=-12$

$(-4)\cdot 3=-12$

Für die Division gilt dieselbe Vorzeichenregel:

$12:3=4$

$(-12):(-3)=4$

$12:(-3)=-4$

$(-12):3=-4$

Rechengesetze bei ganzen Zahlen

Für ganze Zahlen gelten viele bekannte Rechengesetze. Das hilft Dir, sicher und geschickt zu rechnen.

Das Kommutativgesetz der Addition lautet:

$a+b=b+a$

Beispiel:

$-4+9=9+(-4)=5$

Das Assoziativgesetz der Addition lautet:

$(a+b)+c=a+(b+c)$

Beispiel:

$(-2+5)+(-3)=-2+(5+(-3))=0$

Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation und Addition:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Beispiel:

$-3\cdot (4+2)=(-3)\cdot 4+(-3)\cdot 2=-12-6=-18$

Typische Fehler und Strategien

Viele Fehler entstehen, weil Vorzeichen und Rechenzeichen verwechselt werden. Deshalb ist es hilfreich, negative Zahlen zunächst mit Klammern zu schreiben.

Statt $5+-3$ schreibt man übersichtlicher:

$5+(-3)$

Auch bei der Subtraktion negativer Zahlen helfen Klammern:

$8-(-2)$

Eine gute Strategie ist es, jede Subtraktion in eine Addition der Gegenzahl umzuwandeln:

$8-(-2)=8+2=10$

Beim Vergleichen negativer Zahlen hilft immer die Zahlengerade. Frage Dich: Welche Zahl liegt weiter rechts?

Merksätze

1. Ganze Zahl: Ganze Zahlen sind positive Zahlen ohne Komma, die Null und negative Zahlen ohne Komma.
2. Negative Zahl: Negative Zahlen sind kleiner als Null und stehen auf der Zahlengeraden links von der Null.
3. Zahlengerade: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.
4. Gegenzahl: Die Gegenzahl liegt gleich weit von Null entfernt, aber auf der anderen Seite.
5. Betrag: Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von Null.
6. Subtraktion: Eine Zahl subtrahieren heißt, ihre Gegenzahl addieren.
7. Vorzeichenregel: Bei Multiplikation und Division ergeben gleiche Vorzeichen ein positives Ergebnis, unterschiedliche Vorzeichen ein negatives Ergebnis.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Menge wird mit dem Zeichen Z für ganze Zahlen bezeichnet? (Alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma sowie die Null) (!Nur die positiven Zahlen) (!Nur die negativen Zahlen) (!Alle Zahlen mit Komma)

Wo liegen negative Zahlen auf der Zahlengeraden? (Links von der Null) (!Rechts von der Null) (!Immer genau bei der Null) (!Nur zwischen Null und Eins)

Welche Aussage über die Null ist richtig? (Die Null ist weder positiv noch negativ) (!Die Null ist immer positiv) (!Die Null ist immer negativ) (!Die Null gehört nicht zu den ganzen Zahlen)

Welche Zahl ist größer? (minus 2) (!minus 8) (!minus 12) (!minus 20)

Was ist die Gegenzahl von minus 6? (6) (!minus 6) (!0) (!minus 12)

Was ist der Betrag von minus 9? (9) (!minus 9) (!0) (!18)

Was ergibt minus 4 plus minus 3? (minus 7) (!7) (!minus 1) (!1)

Was ergibt 8 minus minus 5? (13) (!3) (!minus 13) (!minus 3)

Welche Vorzeichenregel gilt bei der Multiplikation? (Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis) (!Gleiche Vorzeichen ergeben immer ein negatives Ergebnis) (!Unterschiedliche Vorzeichen ergeben immer ein positives Ergebnis) (!Das Vorzeichen spielt keine Rolle)

Welche Zahl gehört nicht zu den ganzen Zahlen? (2 Komma 5) (!minus 4) (!0) (!17)

Memory

Ganze Zahlen	Positive Zahlen, Null und negative Zahlen ohne Komma
Zahlengerade	Darstellung von Zahlen nach links und rechts
Gegenzahl	Gleich weit von Null entfernt auf der anderen Seite
Betrag	Abstand einer Zahl von Null
Vorzeichen	Plus oder Minus vor einer Zahl
Subtraktion	Addition der Gegenzahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Positive Zahl	Größer als Null
Negative Zahl	Kleiner als Null
Null	Weder positiv noch negativ
Betrag	Abstand von Null
Gegenzahl	Zahl mit entgegengesetztem Vorzeichen
Zahlengerade	Geordnete Darstellung ganzer Zahlen

Kreuzworträtsel

Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von der Null?
Vorzeichen	Wie heißt das Plus oder Minus vor einer Zahl?
Null	Welche Zahl ist weder positiv noch negativ?
Addition	Welche Rechenart bedeutet Zusammenzählen?
Ganzzahl	Wie nennt man eine Zahl ohne Nachkommastellen aus der Menge Z?
Gegenzahl	Wie heißt die Zahl mit gleichem Abstand zur Null und anderem Vorzeichen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Zeichen bezeichnet. Negative Zahlen sind kleiner als . Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen von der Null. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto ist sie. Die Gegenzahl von minus acht ist . Der Betrag beschreibt den einer Zahl von der Null. Eine Subtraktion kann als Addition der verstanden werden. Bei der Multiplikation ergeben gleiche Vorzeichen ein Ergebnis. Unterschiedliche Vorzeichen ergeben bei Multiplikation und Division ein Ergebnis. Die Zahl Null ist weder positiv noch .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlenstrahl: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$ und markiere fünf positive Zahlen, fünf negative Zahlen und die Null.
2. Alltag: Sammle fünf Alltagssituationen, in denen negative Zahlen vorkommen, und erkläre jede Situation in einem Satz.
3. Temperatur: Notiere eine Woche lang fiktive oder echte Temperaturen und ordne sie von der kältesten bis zur wärmsten Temperatur.
4. Gegenzahl: Erstelle zehn Zahlenkarten und schreibe auf die Rückseite jeweils die passende Gegenzahl.

Standard

1. Vergleichen: Erstelle eine Tabelle mit zehn Zahlenpaaren und setze jeweils das richtige Zeichen $<$, $>$ oder $=$ ein.
2. Betrag: Erkläre mit einer eigenen Zeichnung, warum $|-7|=7$ gilt.
3. Rechenweg: Schreibe zu fünf Aufgaben mit negativen Zahlen einen ausführlichen Rechenweg und erkläre die Bedeutung jedes Vorzeichens.
4. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Fehler beim Rechnen mit negativen Zahlen und verbessere sie mit einer Erklärung.

Schwer

1. Modellieren: Entwickle eine Sachaufgabe zu Schulden, Temperatur oder Höhenangaben, in der mindestens drei negative Zahlen vorkommen.
2. Mathematische Argumentation: Begründe, warum $-9<-2$ gilt, obwohl $9>2$ ist.
3. Vorzeichenregel: Erkläre die Regel $(-)\cdot (-)=(+)$ mit einem selbst gewählten Beispiel oder Modell.
4. Lernvideo: Plane ein kurzes Erklärvideo zur Subtraktion negativer Zahlen mit Drehbuch, Beispielaufgaben und Merksatz.

Lernkontrolle

1. Transfer: Ein Fahrstuhl startet im Stockwerk $-2$, fährt fünf Stockwerke nach oben, dann drei Stockwerke nach unten und anschließend vier Stockwerke nach oben. Erkläre den Rechenweg und bestimme das Zielstockwerk.
2. Argumentieren: Zwei Lernende behaupten Unterschiedliches: Person A sagt, $-12$ sei größer als $-5$, weil $12$ größer als $5$ ist. Person B widerspricht. Entscheide begründet.
3. Sachaufgabe: Eine Taucherin befindet sich $8$ Meter unter der Wasseroberfläche und steigt $3$ Meter auf. Danach taucht sie weitere $6$ Meter ab. Beschreibe die Situation mit ganzen Zahlen und berechne die neue Tiefe.
4. Strategie: Erkläre, warum die Umwandlung $a-b=a+(-b)$ beim Rechnen mit negativen Zahlen hilfreich ist.
5. Anwendung: Erstelle ein eigenes Beispiel, in dem eine negative Zahl nicht schlecht oder falsch ist, sondern eine sinnvolle Information darstellt.
6. Vergleich: Ordne die Zahlen $-4$, $7$, $-10$, $0$, $3$ und $-1$ der Größe nach und begründe Deine Reihenfolge mit der Zahlengeraden.

Lernnachweis

1. Grundverständnis: Erkläre schriftlich, was ganze Zahlen sind, und nenne drei Beispiele sowie drei Gegenbeispiele.
2. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade und markiere die Zahlen $-6$, $-1$, $0$, $2$ und $5$.
3. Rechnen: Berechne jeweils mit Rechenweg: $-5+9$, $6-(-4)$, $(-3)\cdot 7$ und $(-24):(-6)$.
4. Begründen: Beschreibe den Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen an zwei Beispielen.
5. Reflexion: Formuliere drei Merksätze, die Dir beim Rechnen mit ganzen Zahlen helfen.

Links

Ganze Zahlen und negative Zahlen Ganze Zahl Negative Zahl Null Zahlenstrahl Zahlengerade Vorzeichen Minuszeichen Gegenzahl Betrag Addition Subtraktion Multiplikation Division Rechengesetz Zahlenmenge

Zusammenfassung

Ganze Zahlen umfassen positive Zahlen ohne Komma, die Null und negative Zahlen ohne Komma. Sie werden als $\mathbb{Z}$ geschrieben. Negative Zahlen liegen auf der Zahlengerade links von der Null und sind kleiner als Null. Beim Vergleichen ganzer Zahlen ist die Lage auf der Zahlengeraden entscheidend: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Die Gegenzahl hat denselben Abstand von Null, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von Null. Beim Rechnen mit ganzen Zahlen helfen klare Regeln: Eine Subtraktion kann als Addition der Gegenzahl verstanden werden, und bei Multiplikation sowie Division bestimmen gleiche oder unterschiedliche Vorzeichen das Vorzeichen des Ergebnisses.