Funktionale Zusammenhänge in Tabellen darstellen - Funktionen

Einleitung

Funktionale Zusammenhänge in Tabellen darstellen bedeutet, dass Du erkennst, wie eine Größe von einer anderen abhängt, und diesen Zusammenhang übersichtlich in einer Tabelle notierst. In der Mathematik nennt man eine eindeutige Zuordnung oft Funktion: Jedem zulässigen Eingabewert wird genau ein Funktionswert zugeordnet. Tabellen helfen Dir, diese Zuordnung zu verstehen, Werte zu berechnen, Muster zu erkennen und später einen Graphen im Koordinatensystem zu zeichnen.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du funktionale Zusammenhänge aus Alltagssituationen, Textaufgaben, Formeln und Messwerten in Wertetabellen darstellst. Du erfährst, woran Du proportionale, lineare und einfache quadratische Zusammenhänge erkennst. Außerdem übst Du, Tabellen zu vervollständigen, aus Tabellen Aussagen abzuleiten und typische Fehler zu vermeiden.

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Was ist ein funktionaler Zusammenhang?

Ein funktionaler Zusammenhang beschreibt, wie sich eine Größe verändert, wenn sich eine andere Größe verändert. Dabei gibt es meist eine unabhängige Größe und eine abhängige Größe. Die unabhängige Größe kannst Du frei wählen, solange sie in der Definitionsmenge liegt. Die abhängige Größe entsteht durch eine Rechenvorschrift, eine Messung oder eine beobachtete Regel.

Ein Beispiel aus dem Alltag: Eine Kugel Eis kostet 1,50 €. Die Anzahl der Kugeln ist die Eingabe. Der Preis ist die Ausgabe. Wenn Du 2 Kugeln kaufst, zahlst Du 3,00 €. Wenn Du 4 Kugeln kaufst, zahlst Du 6,00 €. Die Tabelle macht den Zusammenhang sichtbar.

Anzahl der Kugeln	1	2	3	4	5
Preis in €	1,50	3,00	4,50	6,00	7,50

Dieser Zusammenhang ist proportional, weil sich der Preis immer im gleichen Verhältnis zur Anzahl der Kugeln verändert. Verdoppelst Du die Anzahl der Kugeln, verdoppelt sich der Preis. Der Graph einer proportionalen Funktion verläuft durch den Ursprung.

Funktion als eindeutige Zuordnung

Eine Funktion ist eine besondere Zuordnung. Sie ordnet jedem erlaubten Eingabewert genau einen Ausgabewert zu. Man schreibt häufig $y = f (x)$ . Dabei ist $x$ der Eingabewert und $f (x)$ der zugehörige Funktionswert. Der Buchstabe $f$ ist der Name der Funktion.

Die Funktionsmaschine ist ein gutes Bild: Du gibst einen Wert hinein, die Maschine rechnet nach einer festen Vorschrift, und ein Ergebnis kommt heraus. Wenn die Vorschrift $f (x) = 2 x + 1$ lautet, wird jeder Eingabewert zuerst mit 2 multipliziert und danach wird 1 addiert.

Eingabe $x$	Rechnung	Ausgabe $f (x)$
0	$2 \cdot 0 + 1$	1
1	$2 \cdot 1 + 1$	3
2	$2 \cdot 2 + 1$	5
3	$2 \cdot 3 + 1$	7

Wichtig ist die Eindeutigkeit: Ein Eingabewert darf bei einer Funktion nicht zwei verschiedene Ausgabewerte haben. Wenn der Eingabewert 2 einmal den Ausgabewert 5 und ein anderes Mal den Ausgabewert 8 hätte, wäre das keine Funktion.

Die Wertetabelle

Eine Wertetabelle ist eine Tabelle, in der Eingabewerte und die dazugehörigen Funktionswerte gesammelt werden. Sie kann senkrecht mit zwei Spalten oder waagerecht mit zwei Zeilen aufgebaut sein. Häufig stehen in der ersten Zeile die $x$ -Werte und in der zweiten Zeile die $y$ -Werte oder $f (x)$ -Werte.

$x$	-2	-1	0	1	2	3
$f (x) = x + 2$	0	1	2	3	4	5

Eine Wertetabelle zeigt nur ausgewählte Werte. Sie ist deshalb sehr hilfreich, aber sie ersetzt nicht immer den vollständigen Graphen oder eine genaue Begründung. Zwischen zwei Tabellenwerten kann sich bei manchen Funktionen viel verändern. Deshalb musst Du immer prüfen, welche Art von Zusammenhang vorliegt und ob die Tabelle genügend Informationen enthält.

Aufbau einer Wertetabelle

Eine gute Wertetabelle ist übersichtlich. Sie enthält eine klare Bezeichnung der Größen, passende Einheiten und geordnete Werte. Bei Funktionsgleichungen wählt man die Eingabewerte meist sinnvoll und regelmäßig, zum Beispiel -2, -1, 0, 1, 2. Bei Sachsituationen ergeben sich die Eingabewerte oft aus dem Kontext, etwa Minuten, Kilometer, Stückzahlen oder Messzeitpunkte.

Eingabewert: Der Wert, der eingesetzt wird, meist $x$ .
Funktionswert: Der Wert, der herauskommt, meist $y$ oder $f (x)$ .
Einheit: Die Größe, in der gemessen wird, zum Beispiel Meter, Euro, Sekunden oder Grad Celsius.
Wertepaar: Ein zusammengehöriges Paar aus Eingabe und Ausgabe, zum Beispiel $(2 | 5)$ .
Rechenvorschrift: Die Regel, mit der aus der Eingabe die Ausgabe berechnet wird.

Senkrechte und waagerechte Tabellen

Beide Darstellungen sind richtig. Eine senkrechte Tabelle ist besonders gut geeignet, wenn Du viele Informationen wie Rechnungen, Einheiten oder Kommentare eintragen willst.

Zeit in h	Strecke in km
1	60
2	120
3	180
4	240

Eine waagerechte Tabelle ist praktisch, wenn Du Werte schnell vergleichen oder einen Graphen zeichnen willst.

Zeit in h	1	2	3	4
Strecke in km	60	120	180	240

Beide Tabellen zeigen denselben Zusammenhang: Bei gleichbleibender Geschwindigkeit von 60 km/h wächst die Strecke pro Stunde um 60 km.

Von der Sachsituation zur Tabelle

Viele funktionale Zusammenhänge beginnen nicht mit einer Formel, sondern mit einer Alltagssituation. Der erste Schritt ist dann, die beteiligten Größen zu erkennen. Danach entscheidest Du, welche Größe die Eingabe und welche Größe die Ausgabe ist. Anschließend berechnest oder misst Du mehrere Werte und trägst sie in eine Wertetabelle ein.

Beispiel: Fahrradverleih

Ein Fahrradverleih verlangt 4 € Grundgebühr und 3 € pro Stunde. Die Zeit ist die Eingabe, der Gesamtpreis ist die Ausgabe. Die Funktionsgleichung lautet $f (x) = 3 x + 4$ , wenn $x$ die Anzahl der Stunden ist.

Zeit in h	0	1	2	3	4	5
Preis in €	4	7	10	13	16	19

Der Zusammenhang ist linear, weil der Preis in jeder Stunde um denselben Betrag steigt. Die 4 € Grundgebühr sorgen dafür, dass der Graph nicht durch den Ursprung geht.

Schritt-für-Schritt-Methode

So gehst Du bei einer Textaufgabe vor:

Größen erkennen: Markiere die veränderlichen Größen, zum Beispiel Zeit und Preis.
Eingabe festlegen: Entscheide, welche Größe Du vorgibst.
Ausgabe bestimmen: Entscheide, welche Größe davon abhängt.
Rechenregel finden: Formuliere die Vorschrift als Satz oder Formel.
Werte berechnen: Setze mehrere Eingabewerte ein.
Tabelle prüfen: Kontrolliere, ob Einheiten, Werte und Muster sinnvoll sind.

Diese Methode hilft Dir, Fehler zu vermeiden. Besonders wichtig ist, dass Du die Einheiten nicht vergisst. Ein Preis in Euro, eine Strecke in Metern oder eine Zeit in Minuten verändert die Bedeutung der Tabelle.

Von der Formel zur Tabelle

Wenn eine Funktionsgleichung gegeben ist, erstellst Du eine Wertetabelle durch Einsetzen. Du wählst passende $x$ -Werte, setzt sie in die Gleichung ein und berechnest die zugehörigen $y$ -Werte.

Beispiel: $f (x) = 2 x - 3$

$x$	-2	-1	0	1	2	3
Rechnung	$2 \cdot (- 2) - 3$	$2 \cdot (- 1) - 3$	$2 \cdot 0 - 3$	$2 \cdot 1 - 3$	$2 \cdot 2 - 3$	$2 \cdot 3 - 3$
$f (x)$	-7	-5	-3	-1	1	3

Du siehst: Wenn $x$ jeweils um 1 größer wird, steigt $f (x)$ jeweils um 2. Diese konstante Änderung ist typisch für eine lineare Funktion.

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Tabellenwerte als Wertepaare

Jede Spalte einer Wertetabelle kann als Wertepaar gelesen werden. Aus der Tabelle zu $f (x) = 2 x - 3$ entstehen zum Beispiel die Punkte $(- 2 | - 7)$ , $(0 | - 3)$ und $(2 | 1)$ . Diese Punkte kannst Du in ein kartesisches Koordinatensystem eintragen.

Eine Wertetabelle ist also eine Brücke zwischen der Funktionsgleichung und dem Graphen. Wenn Du die Punkte korrekt einzeichnest, kannst Du den Verlauf der Funktion sichtbar machen.

Von der Tabelle zum Graphen

Um aus einer Wertetabelle einen Graphen zu zeichnen, liest Du jede Spalte als Wertepaar. Der erste Wert ist die waagerechte Koordinate, der zweite Wert ist die senkrechte Koordinate. Danach trägst Du die Punkte in das Koordinatensystem ein.

Bei einer linearen Funktion liegen alle Punkte auf einer Geraden. Du kannst die Punkte verbinden, wenn der Zusammenhang für alle Werte zwischen den eingetragenen Punkten sinnvoll definiert ist. Bei Messwerten zeichnest Du oft nicht einfach eine Zickzacklinie, sondern suchst einen passenden Trend oder eine Ausgleichslinie.

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Wann darf man Punkte verbinden?

Ob Du Punkte verbinden darfst, hängt vom Kontext ab. Wenn die Eingabe eine stetige Größe ist, etwa Zeit, Temperatur oder Länge, kann eine Verbindung sinnvoll sein. Wenn die Eingabe nur ganze Stückzahlen erlaubt, etwa Anzahl von Eintrittskarten oder Personen, sind nur einzelne Punkte sinnvoll.

Beispiel Stückzahl: Du kannst 1, 2 oder 3 Hefte kaufen, aber nicht 2,5 Hefte. Der Graph besteht deshalb in der Sachsituation nur aus einzelnen Punkten.

Beispiel Zeit: Wenn ein Wasserbehälter gleichmäßig gefüllt wird, kann auch nach 2,5 Minuten ein Wasserstand gemessen werden. Hier ist ein verbundener Graph sinnvoll.

Typische funktionale Zusammenhänge in Tabellen

Tabellen helfen Dir, verschiedene Arten von Funktionen zu unterscheiden. Besonders häufig begegnen Dir proportionale, lineare und quadratische Zusammenhänge. Du erkennst sie an Mustern in der Tabelle.

Proportionale Zusammenhänge

Ein Zusammenhang ist proportional, wenn der Quotient aus Ausgabewert und Eingabewert immer gleich ist. Die Funktionsgleichung hat die Form $f (x) = k \cdot x$ . Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

$x$	1	2	3	4	5
$f (x)$	4	8	12	16	20
$f (x) : x$	4	4	4	4	4

Der konstante Quotient ist hier 4. Das bedeutet: Jeder Eingabewert wird mit 4 multipliziert.

Lineare Zusammenhänge

Ein Zusammenhang ist linear, wenn die Änderung der Funktionswerte bei gleichen Schritten der Eingabewerte konstant ist. Die Funktionsgleichung hat die Form $f (x) = m \cdot x + b$ . Der Wert $m$ beschreibt die Steigung, der Wert $b$ beschreibt den y-Achsenabschnitt.

$x$	0	1	2	3	4
$f (x)$	5	7	9	11	13
Änderung		+2	+2	+2	+2

Der Startwert ist 5. Die Funktionswerte steigen bei jedem Schritt um 2. Deshalb lautet die Funktionsgleichung $f (x) = 2 x + 5$ .

Quadratische Zusammenhänge

Ein quadratischer Zusammenhang kann entstehen, wenn eine Größe mit sich selbst multipliziert wird. Die einfachste quadratische Funktion ist $f (x) = x^{2}$ . Ihre Wertetabelle zeigt, dass gleiche Abstände links und rechts von 0 gleiche Funktionswerte liefern.

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f (x) = x^{2}$	9	4	1	0	1	4	9

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Tabelle zeigt die Achsensymmetrie zur y-Achse bei $f (x) = x^{2}$ . Trotzdem reicht eine Tabelle allein nicht immer aus, um alle Eigenschaften sicher zu beweisen.

Tabellen vervollständigen

Bei vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle teilweise ausgefüllt. Dann musst Du die Regel erkennen und fehlende Werte ergänzen. Achte dabei darauf, ob der Zusammenhang proportional, linear oder anders ist.

Beispiel:

$x$	0	1	2	3	4
$f (x)$	2	5	?	11	?

Die Funktionswerte steigen bei jedem Schritt um 3. Deshalb ist $f (2) = 8$ und $f (4) = 14$ . Die Funktionsgleichung lautet $f (x) = 3 x + 2$ .

$x$	0	1	2	3	4
$f (x)$	2	5	8	11	14

Fehlende Eingabewerte bestimmen

Manchmal fehlt nicht der Funktionswert, sondern der Eingabewert. Dann musst Du rückwärts rechnen. Wenn $f (x) = 4 x - 1$ gilt und der Funktionswert 15 ist, rechnest Du:

$4 x - 1 = 15$

$4 x = 16$

$x = 4$

Die vollständige Zuordnung lautet also: Zum Funktionswert 15 gehört der Eingabewert 4.

Tabellen interpretieren

Eine Tabelle ist mehr als eine Sammlung von Zahlen. Du kannst aus ihr wichtige Aussagen ableiten. Du kannst erkennen, ob Werte steigen oder fallen, ob die Änderung gleichmäßig ist, ob ein Startwert vorhanden ist und ob ein proportionaler Zusammenhang möglich ist.

Zeit in min	0	1	2	3	4
Wasserstand in cm	10	14	18	22	26

Aus dieser Tabelle kannst Du lesen: Der Wasserstand beginnt bei 10 cm. Er steigt pro Minute um 4 cm. Der Zusammenhang ist linear, aber nicht proportional, weil bei 0 Minuten bereits 10 cm Wasser vorhanden sind. Eine passende Funktionsgleichung ist $f (x) = 4 x + 10$ .

Wichtige Fragen an eine Tabelle

Startwert: Welcher Wert steht bei $x = 0$ ?
Änderungsrate: Wie stark verändert sich die Ausgabe, wenn die Eingabe um 1 steigt?
Proportionalität: Ist der Quotient aus Ausgabe und Eingabe konstant?
Linearität: Sind die Differenzen der Funktionswerte bei gleichen Schritten konstant?
Kontext: Welche Bedeutung haben die Zahlen in der Sachsituation?
Einheit: Welche Maßeinheiten gehören zu den Werten?

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Beim Darstellen funktionaler Zusammenhänge in Tabellen passieren oft ähnliche Fehler. Wenn Du diese Fehler kennst, kannst Du Deine Lösungen besser kontrollieren.

Einheitenfehler: Du mischst Minuten und Stunden oder Meter und Kilometer. Schreibe die Einheiten immer in die Tabellenüberschrift.
Vertauschte Größen: Du setzt Eingabe und Ausgabe falsch herum ein. Überlege zuerst, welche Größe von welcher abhängt.
Rechenfehler: Du setzt die Werte falsch in die Formel ein. Schreibe bei schwierigen Aufgaben eine Rechenzeile dazu.
Musterfehler: Du vermutest Proportionalität, obwohl ein Startwert vorhanden ist. Prüfe Quotienten und Differenzen.
Graphfehler: Du verbindest Punkte, obwohl nur ganze Stückzahlen sinnvoll sind. Beachte den Kontext.
Rundungsfehler: Du rundest zu früh und erhältst ungenaue Werte. Runde erst am Ende oder gib die Genauigkeit an.

Beispielaufgaben mit Lösungen

Beispiel 1: Kinokarten

Eine Kinokarte kostet 9 €. Stelle den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Karten und dem Preis in einer Tabelle dar.

Anzahl der Karten	0	1	2	3	4	5
Preis in €	0	9	18	27	36	45

Der Zusammenhang ist proportional. Die Funktionsgleichung lautet $f (x) = 9 x$ . Der Graph verläuft durch den Ursprung.

Beispiel 2: Taxi

Ein Taxi verlangt 5 € Grundpreis und 2 € pro gefahrenem Kilometer. Stelle den Preis für 0 bis 6 km dar.

Strecke in km	0	1	2	3	4	5	6
Preis in €	5	7	9	11	13	15	17

Der Zusammenhang ist linear, aber nicht proportional. Die Funktionsgleichung lautet $f (x) = 2 x + 5$ . Der y-Achsenabschnitt ist 5.

Beispiel 3: Quadratflächen

Die Seitenlänge eines Quadrats wird verändert. Der Flächeninhalt hängt von der Seitenlänge ab.

Seitenlänge in cm	1	2	3	4	5
Flächeninhalt in cm²	1	4	9	16	25

Der Zusammenhang ist quadratisch. Die Funktionsgleichung lautet $f (x) = x^{2}$ . Wenn die Seitenlänge verdoppelt wird, vervierfacht sich der Flächeninhalt.

Merksätze

Funktion: Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert genau einen Ausgabewert zu.
Wertetabelle: Eine Wertetabelle sammelt ausgewählte Eingabewerte und die zugehörigen Funktionswerte.
Wertepaar: Ein Wertepaar besteht aus einem Eingabewert und seinem Funktionswert.
Proportionaler Zusammenhang: Bei proportionalen Zusammenhängen ist der Quotient aus Ausgabe und Eingabe konstant.
Linearer Zusammenhang: Bei linearen Zusammenhängen ist die Änderung der Ausgabe bei gleichen Eingabeschritten konstant.
Quadratischer Zusammenhang: Bei quadratischen Zusammenhängen kommen häufig Quadratzahlen oder Parabeln vor.
Graph: Aus Wertepaaren einer Tabelle entstehen Punkte im Koordinatensystem.
Kontext: Ob Punkte verbunden werden dürfen, entscheidet die Bedeutung der Größen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt eine Funktion in der Mathematik? (Eine eindeutige Zuordnung von Eingabewerten zu Ausgabewerten) (!Eine beliebige Sammlung von Zahlen ohne Regel) (!Eine Zeichnung ohne rechnerischen Zusammenhang) (!Eine Tabelle, in der jeder Wert doppelt vorkommt)

Wie nennt man die Tabelle, in der Eingabewerte und zugehörige Funktionswerte stehen? (Wertetabelle) (!Bruchtafel) (!Zufallstabelle) (!Winkelliste)

Was bedeutet der Ausdruck f von x meistens? (Der Funktionswert zum Eingabewert x) (!Der Name einer Einheit) (!Die Anzahl aller Tabellenzeilen) (!Der Abstand zweier Achsen)

Wann ist ein Zusammenhang proportional? (Wenn der Quotient aus Ausgabewert und Eingabewert konstant ist) (!Wenn der Startwert immer 5 beträgt) (!Wenn die Funktionswerte abwechselnd steigen und fallen) (!Wenn nur negative Eingabewerte erlaubt sind)

Was ist typisch für eine lineare Funktion in einer Wertetabelle mit gleichen x-Schritten? (Die Differenzen der Funktionswerte sind konstant) (!Die Funktionswerte sind immer Quadratzahlen) (!Der Quotient ist bei jeder linearen Funktion null) (!Die Werte dürfen nicht in ein Koordinatensystem eingetragen werden)

Welche Funktionsgleichung passt zu einer proportionalen Zuordnung? (f von x gleich 3 mal x) (!f von x gleich 3 mal x plus 2) (!f von x gleich x mal x plus 1) (!f von x gleich 7 minus x plus x)

Was entsteht aus dem Wertepaar 2 und 5 im Koordinatensystem? (Ein Punkt mit x-Koordinate 2 und y-Koordinate 5) (!Eine Gerade ohne weitere Information) (!Eine Einheit für den Flächeninhalt) (!Ein Rechenzeichen zwischen zwei Tabellen)

Warum darf man Tabellenwerte nicht immer einfach verbinden? (Weil der Kontext entscheiden kann, ob Zwischenwerte sinnvoll sind) (!Weil Graphen nur aus Text bestehen dürfen) (!Weil Tabellen keine Zahlen enthalten dürfen) (!Weil Funktionen nie gezeichnet werden können)

Welche Tabelle passt zu f von x gleich x hoch 2? (x Werte 1 2 3 und Funktionswerte 1 4 9) (!x Werte 1 2 3 und Funktionswerte 2 4 6) (!x Werte 1 2 3 und Funktionswerte 5 5 5) (!x Werte 1 2 3 und Funktionswerte 1 2 3)

Was ist ein häufiger Fehler beim Erstellen einer Wertetabelle? (Einheiten werden verwechselt oder weggelassen) (!Die Überschrift wird zu deutlich formuliert) (!Der Zusammenhang wird zu sorgfältig geprüft) (!Die Eingabewerte werden richtig eingesetzt)

Memory

Eingabewert	unabhängige Größe
Funktionswert	abhängige Größe
Wertetabelle	Übersicht aus Wertepaaren
Steigung	konstante Änderung
Ursprung	Punkt null null
Parabel	Graph einer quadratischen Funktion

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Eingabewert	Wert, der in eine Funktion eingesetzt wird
Funktionswert	Ergebnis der Rechenvorschrift
Proportionalität	konstanter Quotient
Linearität	konstante Differenz bei gleichen Schritten
Wertepaar	zusammengehörige Koordinaten eines Punktes
Kontext	entscheidet über sinnvolle Zwischenwerte

Kreuzworträtsel

Wertetabelle	Wie heißt eine Tabelle mit Eingabewerten und zugehörigen Funktionswerten?
Funktion	Wie heißt eine eindeutige Zuordnung in der Mathematik?
Steigung	Wie heißt die konstante Änderung bei einer linearen Funktion?
Graph	Wie heißt die zeichnerische Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem?
Parabel	Wie heißt der typische Graph einer quadratischen Funktion?
Ursprung	Wie heißt der Punkt mit den Koordinaten null und null?

LearningApps

Lückentext

Eine

ordnet jedem erlaubten Eingabewert genau einen Ausgabewert zu. In einer

trägst Du ausgewählte Eingabewerte und die dazugehörigen Funktionswerte übersichtlich ein. Die unabhängige Größe wird häufig mit

bezeichnet. Die abhängige Größe heißt oft

. Aus jedem Wertepaar entsteht im Koordinatensystem ein

. Bei einer linearen Funktion ist die

bei gleichen Schritten konstant. Bei einer proportionalen Zuordnung verläuft der Graph durch den

. Eine Tabelle zeigt nur ausgewählte Werte und ersetzt deshalb nicht immer den vollständigen

.

Offene Aufgaben

Leicht

Wertetabelle erstellen: Wähle eine Alltagssituation mit Preisen, zum Beispiel Brötchen, Hefte oder Kinokarten, und erstelle eine Wertetabelle mit mindestens sechs Wertepaaren.
Eingabe und Ausgabe: Beschreibe in eigenen Worten drei Situationen, in denen eine Größe von einer anderen abhängt, und markiere jeweils Eingabe und Ausgabe.
Punkte einzeichnen: Zeichne ein Koordinatensystem und trage die Wertepaare aus einer selbst erstellten Wertetabelle ein.
Einheiten prüfen: Suche in einer Schulbuchaufgabe oder Online-Übung eine Tabelle und ergänze fehlende Einheiten in den Tabellenüberschriften.

Standard

Lineare Funktion untersuchen: Erstelle zu $f (x) = 3 x - 2$ eine Wertetabelle von $x = - 3$ bis $x = 3$ , zeichne den Graphen und erkläre die Steigung.
Proportionalität erkennen: Sammle drei Beispiele für proportionale Zusammenhänge aus dem Alltag und begründe jeweils mithilfe einer Tabelle, warum sie proportional sind.
Sachsituation modellieren: Erfinde eine Textaufgabe mit Grundgebühr und Preis pro Einheit, stelle eine Wertetabelle auf und leite eine Funktionsgleichung her.
Tabellen vergleichen: Vergleiche zwei Wertetabellen, von denen eine proportional und eine linear, aber nicht proportional ist, und formuliere die Unterschiede.

Schwer

Messprojekt: Miss über mehrere Zeitpunkte eine veränderliche Größe, zum Beispiel Temperatur, Füllhöhe oder zurückgelegte Strecke, und stelle die Messwerte in einer Tabelle sowie als Graph dar.
Fehleranalyse: Erstelle absichtlich eine fehlerhafte Wertetabelle zu einer Funktion, tausche sie mit einer anderen Person und lasse die Fehler begründet korrigieren.
Modellgrenzen: Untersuche eine Alltagssituation, bei der eine lineare Tabelle nur für einen begrenzten Bereich sinnvoll ist, und erkläre die Grenzen des Modells.
Quadratischer Zusammenhang: Stelle den Zusammenhang zwischen Seitenlänge und Flächeninhalt eines Quadrats dar, vergleiche Tabelle und Graph und beschreibe, warum der Zusammenhang nicht linear ist.

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Lernkontrolle

Transferaufgabe Preisvergleich: Zwei Handy-Tarife haben unterschiedliche Grundgebühren und Minutenpreise. Erstelle für beide Tarife Wertetabellen, vergleiche sie und entscheide begründet, ab welcher Nutzung welcher Tarif günstiger ist.
Graph aus Tabelle deuten: Erkläre, wie Du aus einer Wertetabelle erkennst, ob der zugehörige Graph wahrscheinlich eine Gerade durch den Ursprung, eine andere Gerade oder eine Kurve ist.
Sachsituation bewerten: Eine Tabelle zeigt die Anzahl von Personen und die Kosten für eine Klassenfahrt. Prüfe, ob ein proportionaler Zusammenhang vorliegt, und begründe, welche Kostenart die Proportionalität stören könnte.
Modellentscheidung: Du erhältst Messwerte zu einer Pflanze über mehrere Wochen. Entscheide, ob eine lineare Beschreibung sinnvoll ist, und erläutere, welche Zusatzinformationen Du brauchst.
Fehler begründen: Eine Person verbindet Punkte zu einer durchgehenden Linie, obwohl die x-Werte Stückzahlen von Fahrrädern darstellen. Erkläre, warum das problematisch sein kann, und verbessere die Darstellung.
Darstellungswechsel: Wähle eine Funktionsgleichung, erstelle eine Wertetabelle, zeichne einen Graphen und schreibe einen kurzen Text, der den Zusammenhang in einer Alltagssituation beschreibt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Tabellen ausfüllst, sondern funktionale Zusammenhänge sicher deutest und zwischen Darstellungsformen wechseln kannst. Du solltest zeigen, dass Du aus einer Sachsituation eine Wertetabelle entwickeln, aus einer Funktionsgleichung Werte berechnen, aus einer Tabelle einen Graphen zeichnen und aus Tabellenmustern begründete Aussagen ableiten kannst.

Ein vollständiger Lernnachweis kann folgende Bestandteile enthalten:

Begriffe erklären: Du erklärst die Begriffe Eingabewert, Funktionswert, Wertepaar, Wertetabelle, Graph, Steigung und proportionaler Zusammenhang.
Tabelle erstellen: Du erstellst zu einer Formel oder Sachsituation eine korrekte Wertetabelle mit Einheiten.
Tabelle interpretieren: Du beschreibst Startwert, Änderungsrate, Quotient, Differenzen und Bedeutung der Werte.
Graph zeichnen: Du trägst Wertepaare korrekt in ein Koordinatensystem ein und entscheidest begründet, ob Punkte verbunden werden dürfen.
Zusammenhang erkennen: Du unterscheidest proportionale, lineare und einfache quadratische Zusammenhänge anhand von Tabellen.
Fehler reflektieren: Du findest typische Fehler in Tabellen oder Graphen und erklärst, wie sie korrigiert werden.
Transfer leisten: Du wendest das Verfahren auf eine neue Alltagssituation an und begründest Deine Modellentscheidung.

OERs zum Thema

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Funktionale Zusammenhänge in Tabellen darstellen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.