Flächeninhalt von Trapezen - aiMOOC

Einleitung

Der Flächeninhalt von Trapezen gehört zur Geometrie und hilft dir, ebene Figuren zu untersuchen, zu vergleichen und in Sachsituationen zu berechnen. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist. Diese beiden parallelen Seiten heißen meistens Grundseiten. Häufig werden sie mit $a$ und $c$ bezeichnet. Der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundseiten heißt Höhe und wird meist mit $h$ bezeichnet.

Die zentrale Formel lautet:

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

oder gleichwertig:

$A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

Dabei ist $A$ der Flächeninhalt, $a$ und $c$ sind die beiden parallelen Grundseiten und $h$ ist die Höhe. Diese Formel bedeutet: Du bildest zuerst den Mittelwert der beiden parallelen Seiten und multiplizierst ihn anschließend mit der Höhe.

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Grundidee: Was wird beim Trapez gemessen?

Beim Flächeninhalt geht es darum, wie groß eine Fläche ist. Du kannst dir den Flächeninhalt als Anzahl von Quadraten vorstellen, die eine Figur bedecken. Bei einem Rechteck ist das einfach: Länge mal Breite. Bei einem Trapez sind die beiden parallelen Seiten aber unterschiedlich lang. Deshalb nutzt man den Durchschnitt dieser beiden parallelen Seiten.

Wenn die längere Grundseite $a$ und die kürzere Grundseite $c$ heißen, dann beschreibt der Ausdruck

$\frac{a+c}{2}$

die mittlere Grundseitenlänge. Multipliziert man diese mittlere Länge mit der Höhe $h$, erhält man den Flächeninhalt.

Fachbegriffe am Trapez

1. Trapez: Ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler gegenüberliegender Seiten.
2. Grundseite: Eine der beiden parallelen Seiten eines Trapezes.
3. Schenkel: Eine der beiden nicht parallelen Seiten eines Trapezes.
4. Höhe: Der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundseiten.
5. Flächeninhalt: Die Größe der Fläche innerhalb der Begrenzungslinien einer Figur.
6. Parallelität: Zwei Geraden oder Strecken verlaufen überall im gleichen Abstand und schneiden sich nicht.

Die Trapezformel

Für ein Trapez mit den parallelen Seiten $a$ und $c$ sowie der Höhe $h$ gilt:

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Die Formel kann auch so geschrieben werden:

$A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

Beide Schreibweisen bedeuten dasselbe. Die erste Schreibweise betont den Mittelwert der parallelen Seiten. Die zweite Schreibweise betont, dass man die Summe der parallelen Seiten mit der Höhe multipliziert und anschließend halbiert.

Bedeutung der Variablen

1. $A$: Flächeninhalt des Trapezes.
2. $a$: eine parallele Grundseite, häufig die längere.
3. $c$: die andere parallele Grundseite, häufig die kürzere.
4. $h$: Höhe, also der senkrechte Abstand zwischen $a$ und $c$.

Wichtig ist: Die Höhe ist nicht immer eine Seitenlänge des Trapezes. Sie muss immer senkrecht zu den parallelen Seiten gemessen werden. Bei einem schrägen Trapez liegt die Höhe oft im Inneren der Figur, manchmal aber auch außerhalb der Figur.

Warum funktioniert die Formel?

Eine anschauliche Herleitung entsteht, wenn du zwei gleiche Trapeze zusammensetzt. Legst du ein zweites, kongruentes Trapez passend an das erste, entsteht ein Parallelogramm. Dieses Parallelogramm hat die Grundseite $a+c$ und die gleiche Höhe $h$. Für das Parallelogramm gilt:

$A_{\text{Parallelogramm}}=(a+c)\cdot h$

Da das Parallelogramm aus zwei gleich großen Trapezen besteht, ist ein einzelnes Trapez genau halb so groß:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

Damit erhältst du die bekannte Formel:

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Um den Flächeninhalt eines Trapezes sicher zu berechnen, gehst du am besten immer nach demselben Schema vor.

1. Skizze: Zeichne oder betrachte das Trapez und markiere die parallelen Seiten.
2. Beschriftung: Beschrifte die parallelen Seiten mit $a$ und $c$.
3. Höhe: Markiere den senkrechten Abstand zwischen den parallelen Seiten.
4. Formel: Schreibe $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ auf.
5. Einsetzen: Setze die gegebenen Werte mit Einheiten ein.
6. Rechnen: Beachte die Rechenreihenfolge und rechne sorgfältig.
7. Einheit: Gib das Ergebnis in einer Flächeneinheit an, zum Beispiel ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$ oder ${\text{km}}^2$.
8. Plausibilitätsprüfung: Prüfe, ob dein Ergebnis realistisch ist.

Beispiel 1: Einfaches Trapez

Gegeben ist ein Trapez mit:

$a=8\text{cm}$

$c=4\text{cm}$

$h=5\text{cm}$

Gesucht ist der Flächeninhalt $A$.

Zuerst setzt du die Werte in die Formel ein:

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

$A=\frac{8\text{cm}+4\text{cm}}{2}\cdot 5\text{cm}$

$A=\frac{12\text{cm}}{2}\cdot 5\text{cm}$

$A=6\text{cm}\cdot 5\text{cm}$

$A=30{\text{cm}}^2$

Der Flächeninhalt beträgt also $30{\text{cm}}^2$.

Beispiel 2: Sachaufgabe Grundstück

Ein Grundstück hat die Form eines Trapezes. Die parallelen Seiten sind $32\text{m}$ und $18\text{m}$ lang. Der senkrechte Abstand zwischen ihnen beträgt $24\text{m}$. Gesucht ist die Grundstücksfläche.

$A=\frac{32\text{m}+18\text{m}}{2}\cdot 24\text{m}$

$A=\frac{50\text{m}}{2}\cdot 24\text{m}$

$A=25\text{m}\cdot 24\text{m}$

$A=600{\text{m}}^2$

Die Grundstücksfläche beträgt $600{\text{m}}^2$.

Beispiel 3: Rückwärts rechnen

Manchmal kennst du den Flächeninhalt und die beiden parallelen Seiten, aber nicht die Höhe. Dann kannst du die Formel umstellen.

Gegeben:

$A=84{\text{cm}}^2$

$a=10\text{cm}$

$c=4\text{cm}$

Gesucht:

$h$

Ausgangsformel:

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Einsetzen:

$84{\text{cm}}^2=\frac{10\text{cm}+4\text{cm}}{2}\cdot h$

$84{\text{cm}}^2=7\text{cm}\cdot h$

Umstellen:

$h=\frac{84{\text{cm}}^2}{7\text{cm}}$

$h=12\text{cm}$

Die Höhe beträgt $12\text{cm}$.

Häufige Fehler

Viele Fehler entstehen nicht durch schwierige Rechnungen, sondern durch ungenaues Lesen oder falsches Messen.

1. Höhe und Schenkel werden verwechselt. Die Höhe steht senkrecht auf den parallelen Seiten; ein Schenkel ist meistens schräg.
2. Nur eine Grundseite wird verwendet. Für die Trapezformel brauchst du beide parallelen Seiten.
3. Die Summe $a+c$ wird nicht halbiert. Ohne das Halbieren berechnest du die Fläche des zusammengesetzten Parallelogramms.
4. Einheiten werden gemischt. Wenn eine Länge in Zentimetern und eine andere in Metern gegeben ist, musst du zuerst umrechnen.
5. Das Ergebnis wird ohne Flächeneinheit angegeben. Bei Flächen brauchst du immer Quadrateinheiten, zum Beispiel ${\text{cm}}^2$.

Sonderfälle und Zusammenhänge

Rechtwinkliges Trapez

Ein rechtwinkliges Trapez besitzt mindestens einen rechten Winkel. In diesem Fall fällt eine Seitenkante häufig mit der Höhe zusammen. Die Formel bleibt gleich:

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Der Vorteil ist: Die Höhe lässt sich oft direkt als Seitenlänge ablesen.

Gleichschenkliges Trapez

Ein gleichschenkliges Trapez hat zwei gleich lange Schenkel. Es ist achsensymmetrisch, wenn die Grundseiten passend übereinanderliegen. Für den Flächeninhalt ist die Gleichschenkligkeit nicht entscheidend. Entscheidend sind weiterhin die beiden parallelen Seiten und die Höhe.

Zusammenhang mit Rechteck und Parallelogramm

Die Trapezformel ist eng mit der Formel für das Parallelogramm verbunden. Ein Trapez kann durch Verdopplung zu einem Parallelogramm ergänzt werden. Außerdem kann man sich die mittlere Grundseitenlänge als Breite eines Rechtecks vorstellen, das dieselbe Höhe und denselben Flächeninhalt besitzt:

$A=m\cdot h$

Dabei ist

$m=\frac{a+c}{2}$

die sogenannte Mittelparallele des Trapezes.

Einheiten und Umrechnungen

Längen werden in Einheiten wie $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{m}$ oder $\text{km}$ gemessen. Flächen werden in Quadrateinheiten angegeben:

1. $1{\text{cm}}^2$ ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $1\text{cm}$.
2. $1{\text{m}}^2$ ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $1\text{m}$.
3. $1\text{ha}$ entspricht $10000{\text{m}}^2$ und wird häufig bei Grundstücken verwendet.

Vor dem Einsetzen in die Formel müssen alle Längen in derselben Längeneinheit vorliegen. Erst danach rechnest du den Flächeninhalt aus.

Strategien für schwierige Aufgaben

Bei zusammengesetzten Figuren kann ein Trapez Teil einer größeren Fläche sein. Dann zerlegst du die Figur in bekannte Teilflächen, zum Beispiel in Rechtecke, Dreiecke und Trapeze. Anschließend berechnest du die einzelnen Flächeninhalte und addierst oder subtrahierst sie.

Bei Textaufgaben hilft dir folgende Denkfrage: Welche Strecken sind parallel und wie groß ist ihr senkrechter Abstand? Sobald du diese drei Angaben gefunden hast, kannst du die Formel sicher verwenden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Trapezes mit den parallelen Seiten a und c sowie der Höhe h? (A gleich a plus c mal h geteilt durch 2) (!A gleich a mal c mal h) (!A gleich 2 mal a plus c mal h) (!A gleich a minus c mal h)

Was beschreibt die Höhe h in einem Trapez? (Den senkrechten Abstand zwischen den parallelen Seiten) (!Die längere der beiden parallelen Seiten) (!Die Summe aller vier Seiten) (!Die schräge Seitenkante des Trapezes)

Welche Seiten eines Trapezes werden in der Flächenformel addiert? (Die beiden parallelen Seiten) (!Die beiden Schenkel) (!Eine Grundseite und ein Schenkel) (!Alle vier Seiten)

Warum wird bei der Trapezformel durch 2 geteilt? (Weil zwei gleiche Trapeze ein Parallelogramm bilden) (!Weil jedes Trapez zwei rechte Winkel hat) (!Weil die Höhe halbiert werden muss) (!Weil ein Trapez immer aus zwei Dreiecken besteht)

Ein Trapez hat a gleich 9 cm, c gleich 5 cm und h gleich 4 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt? (28 Quadratzentimeter) (!14 Quadratzentimeter) (!36 Quadratzentimeter) (!56 Quadratzentimeter)

Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt? (Quadratmeter) (!Meter) (!Kilogramm) (!Zentimeter)

Was musst du tun, wenn a in Zentimetern und h in Metern angegeben ist? (Die Längen zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen) (!Die Einheiten einfach weglassen) (!Nur die größere Zahl verwenden) (!Die Höhe immer verdoppeln)

Welche Angabe ist für den Flächeninhalt eines Trapezes nicht direkt nötig? (Die Länge eines schrägen Schenkels) (!Die Höhe) (!Die erste parallele Seite) (!Die zweite parallele Seite)

Ein Trapez hat den Flächeninhalt 45 Quadratzentimeter und die mittlere Grundseitenlänge 9 Zentimeter. Wie groß ist die Höhe? (5 Zentimeter) (!4 Zentimeter) (!9 Zentimeter) (!36 Zentimeter)

Was ist die Mittelparallele eines Trapezes im Zusammenhang mit dem Flächeninhalt? (Der Mittelwert der beiden parallelen Seiten) (!Die längste Seite des Trapezes) (!Die Summe aller Seiten) (!Der Abstand zwischen zwei Schenkeln)

Memory

Trapez	Viereck mit einem Paar paralleler Seiten
Grundseite	Parallele Seite des Trapezes
Höhe	Senkrechter Abstand der Grundseiten
Flächeninhalt	Größe der bedeckten Fläche
Mittelparallele	Durchschnitt der parallelen Seiten
Schenkel	Nicht parallele Seitenkante

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Parallele Seiten addieren	Erster Schritt bei der Formel
Summe halbieren	Mittlere Grundseitenlänge bestimmen
Mit der Höhe multiplizieren	Fläche berechnen
Quadrateinheit notieren	Ergebnis richtig angeben
Plausibilität prüfen	Rechenergebnis kontrollieren

Kreuzworträtsel

Trapez	Wie heißt ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten?
Hoehe	Wie nennt man den senkrechten Abstand zwischen den parallelen Seiten?
Grundseite	Wie nennt man eine parallele Seite im Trapez?
Schenkel	Wie nennt man eine nicht parallele Seitenkante im Trapez?
Flaeche	Was beschreibt die Größe des Inneren einer Figur?
Einheit	Was darf beim Ergebnis einer Flächenberechnung nicht fehlen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Trapez ist ein mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Die beiden parallelen Seiten heißen . Der senkrechte Abstand zwischen ihnen heißt . Für den Flächeninhalt addiert man die beiden parallelen Seiten und bildet daraus den . Anschließend multipliziert man diesen Wert mit der . Die Formel lautet A gleich Klammer a plus c Klammer mal h geteilt durch . Das Ergebnis eines Flächeninhalts wird immer in einer angegeben. Bei Sachaufgaben ist es wichtig, alle Längen zuerst in dieselbe umzuwandeln.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Skizze: Zeichne drei verschiedene Trapeze und markiere jeweils die beiden parallelen Seiten sowie die Höhe.
2. Formeltraining: Erstelle eine kleine Formelsammlung zu Rechteck, Dreieck, Parallelogramm und Trapez.
3. Alltagsbezug: Fotografiere oder skizziere einen Gegenstand, der ungefähr wie ein Trapez aussieht, und beschrifte ihn mathematisch.
4. Rechenweg: Rechne drei eigene Aufgaben zum Flächeninhalt von Trapezen vor und schreibe jeden Zwischenschritt auf.

Standard

1. Sachaufgabe: Erfinde eine realistische Grundstücksaufgabe in Trapezform und löse sie vollständig mit Einheiten.
2. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Video oder eine Präsentation, in der du die Trapezformel durch Verdopplung zum Parallelogramm erklärst.
3. Fehleranalyse: Schreibe drei typische Fehler bei der Trapezberechnung auf und erkläre, wie man sie vermeidet.
4. Umkehraufgabe: Entwickle zwei Aufgaben, bei denen nicht der Flächeninhalt, sondern die Höhe oder eine Grundseite gesucht ist.

Schwer

1. Modellierung: Miss in deiner Umgebung eine trapezförmige Fläche aus, zum Beispiel ein Beet oder eine Tischplatte, und berechne ihren Flächeninhalt möglichst genau.
2. Beweis: Formuliere eine eigene Herleitung der Trapezformel mithilfe eines Parallelogramms oder eines Rechtecks.
3. Zusammengesetzte Fläche: Entwirf eine zusammengesetzte Figur aus mindestens einem Trapez, einem Rechteck und einem Dreieck und berechne den gesamten Flächeninhalt.
4. Vergleich: Untersuche, wie sich der Flächeninhalt verändert, wenn die Höhe gleich bleibt, aber eine Grundseite länger wird.

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Lernkontrolle

1. Transferaufgabe: Erkläre, warum die Länge der schrägen Schenkel allein nicht ausreicht, um den Flächeninhalt eines Trapezes zu bestimmen.
2. Begründung: Zeige an einer Skizze, warum zwei gleiche Trapeze zu einem Parallelogramm zusammengesetzt werden können.
3. Modellierung: Ein trapezförmiger Gartenweg soll gepflastert werden. Beschreibe, welche Maße du aufnehmen musst und warum genau diese Maße genügen.
4. Fehlerdiagnose: Eine Schülerin rechnet $A=(a+c)\cdot h$. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
5. Einheitenverständnis: Begründe, warum das Ergebnis einer Flächenberechnung nicht in Metern, sondern in Quadratmetern angegeben wird.
6. Vergleichsaufgabe: Zwei Trapeze haben dieselbe Höhe und dieselbe Summe der parallelen Seiten. Erkläre, warum sie denselben Flächeninhalt besitzen können, obwohl sie unterschiedlich aussehen.
7. Rückwärtsdenken: Beschreibe, wie du die Höhe eines Trapezes berechnest, wenn der Flächeninhalt und die beiden parallelen Seiten bekannt sind.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest du zeigen, dass du nicht nur die Formel auswendig kannst, sondern sie sinnvoll anwenden und erklären kannst.

1. Grundlagen: Du kannst die Begriffe Trapez, Grundseite, Schenkel, Höhe und Flächeninhalt korrekt verwenden.
2. Rechnen: Du kannst den Flächeninhalt eines Trapezes mit gegebenen Maßen berechnen.
3. Begründen: Du kannst erklären, warum die Formel $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ gilt.
4. Anwenden: Du kannst Sachaufgaben erkennen, modellieren und mit passenden Einheiten lösen.
5. Reflektieren: Du kannst typische Fehler finden und verbessern.

Links

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Zusammenfassung

Der Flächeninhalt eines Trapezes wird mit den beiden parallelen Seiten und der Höhe berechnet. Die Formel lautet:

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Die beiden parallelen Seiten werden addiert, halbiert und mit der Höhe multipliziert. Die Höhe ist immer der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten. Das Ergebnis wird in einer Quadrateinheit angegeben. Besonders wichtig ist, dass du die Formel nicht nur anwenden, sondern auch mit der Ergänzung zu einem Parallelogramm erklären kannst.

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
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