Eine Aufgabe durch Rechnen lösen - EKM
Eine Aufgabe durch Rechnen lösen - EKM
Einleitung
Eine Aufgabe durch Rechnen lösen bedeutet in der Mathematik mehr als nur Zahlen in eine Rechnung einzusetzen. Besonders im Zusammenhang mit dem Erweiterten Kompetenznachweis Mathematik wird sichtbar, dass Du eine Sachaufgabe, eine Textaufgabe oder ein mathematisches Problem zuerst verstehen, dann in eine passende Rechnung übersetzen, anschließend korrekt berechnen und am Ende sinnvoll prüfen und erklären musst.
Der aiMOOC zeigt Dir, wie Du eine Aufgabe systematisch bearbeitest. Du lernst, wichtige Informationen zu erkennen, eine passende Rechenstrategie auszuwählen, mit Einheiten sicher umzugehen, Ergebnisse zu kontrollieren und Deinen Lösungsweg verständlich zu präsentieren. Das ist wichtig für Klassenarbeiten, Prüfungen, Projektaufgaben und kooperative Lernformen.
Was bedeutet EKM?
EKM steht im schulischen Mathematik-Kontext für Erweiterter Kompetenznachweis Mathematik. Dabei geht es nicht nur darum, ein einzelnes Ergebnis zu nennen. Bewertet werden auch allgemeine mathematische Kompetenzen wie Problemlösen, Modellieren, Argumentieren, Darstellen, Kommunikation und die sinnvolle Nutzung mathematischer Werkzeuge. Eine EKM-Aufgabe kann deshalb einen längeren Text, eine Alltagssituation, mehrere Rechenschritte, verschiedene Lösungswege oder eine Präsentation enthalten.
Bei einer Aufgabe, die Du durch Rechnen lösen sollst, musst Du häufig aus einer realen Situation eine mathematische Aufgabe machen. Dieser Vorgang heißt Mathematische Modellierung. Du entscheidest, welche Informationen wichtig sind, welche Rechenoperation passt und wie Du das Ergebnis wieder auf die Ausgangssituation beziehst.
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Der Grundgedanke: Vom Text zur Rechnung
Eine Rechenaufgabe im EKM-Stil beginnt oft nicht mit einer fertigen Gleichung, sondern mit einer Situation. Du liest zum Beispiel etwas über einen Einkauf, eine Reise, eine Sportveranstaltung, einen Bauplan, eine Geschwindigkeit, eine Fläche oder eine Verteilung. Deine Aufgabe ist es, aus dem Text eine sinnvolle mathematische Struktur zu entwickeln.
Gute Fragen beim Lesen sind:
- Fragestellung: Was soll am Ende herausgefunden werden?
- Gegebene Größen: Welche Zahlen, Maße und Bedingungen stehen im Text?
- Gesuchte Größe: Welche Größe fehlt?
- Rechenoperation: Muss ich addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren oder mehrere Schritte kombinieren?
- Einheit: In welcher Einheit muss das Ergebnis angegeben werden?
- Kontrolle: Ist mein Ergebnis realistisch?
Die vier Phasen des Lösens
Phase 1: Verstehen
In der ersten Phase liest Du die Aufgabe genau. Du markierst wichtige Angaben und streichst Informationen, die für die Rechnung nicht gebraucht werden. Bei längeren Aufgaben hilft es, die Frage in eigenen Worten zu formulieren. Dadurch erkennst Du besser, welche Größe gesucht ist.
Beispiel: Wenn in einer Aufgabe steht: „Ein Bus fährt 240 Kilometer in 4 Stunden. Wie schnell fährt er durchschnittlich?“, dann ist die gesuchte Größe die Durchschnittsgeschwindigkeit. Die wichtigen Angaben sind 240 Kilometer und 4 Stunden.
Phase 2: Planen
In der zweiten Phase überlegst Du, welche Rechnung passt. Dabei nutzt Du Dein Wissen über Grundrechenarten, Prozentrechnung, Bruchrechnung, Dreisatz, Gleichungen, Flächeninhalt, Umfang, Volumen, Maßstab oder andere mathematische Themen. Ein Plan kann aus einem einzigen Rechenschritt bestehen oder mehrere Schritte enthalten.
Merksatz: Erst planen, dann rechnen. Wer ohne Plan rechnet, findet manchmal ein Ergebnis, aber nicht unbedingt die Lösung der Aufgabe.
Phase 3: Rechnen
In der dritten Phase führst Du die Rechnung sorgfältig aus. Schreibe Zwischenschritte auf, damit Dein Lösungsweg nachvollziehbar bleibt. Achte besonders auf Vorzeichen, Kommastellen, Brüche, Klammern und Einheiten. Wenn Du einen Taschenrechner benutzt, solltest Du trotzdem wissen, welche Rechnung Du eingibst und warum sie zur Aufgabe passt.
Phase 4: Prüfen und Erklären
In der vierten Phase kontrollierst Du das Ergebnis. Ein Überschlag hilft Dir, die Größenordnung zu prüfen. Danach formulierst Du einen Antwortsatz. In einer EKM-Aufgabe reicht oft nicht nur die Zahl. Du sollst auch erklären können, warum Deine Rechnung sinnvoll ist.
Beispiel für einen guten Antwortsatz: Der Bus fährt durchschnittlich 60 Kilometer pro Stunde, weil 240 Kilometer durch 4 Stunden geteilt werden.
Rechenarten und typische Signalwörter
Signalwörter können Dir helfen, eine passende Rechenart zu finden. Sie sind aber keine Garantie. Du musst immer den Zusammenhang verstehen.
| Rechenart | Typische Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Addition | Etwas wird zusammengezählt. | Zwei Beträge werden addiert. |
| Subtraktion | Ein Unterschied oder Rest wird berechnet. | Von einem Startwert wird etwas abgezogen. |
| Multiplikation | Gleiche Gruppen werden zusammengefasst. | 8 Packungen mit je 6 Flaschen ergeben 8 mal 6 Flaschen. |
| Division | Etwas wird aufgeteilt oder ein Durchschnitt berechnet. | 240 Kilometer in 4 Stunden ergeben 60 Kilometer pro Stunde. |
| Dreisatz | Ein Verhältnis wird auf einen anderen Wert übertragen. | Wenn 3 Hefte 6 Euro kosten, kosten 5 Hefte 10 Euro. |
| Prozentrechnung | Ein Anteil vom Ganzen wird berechnet. | 20 Prozent Rabatt auf 50 Euro sind 10 Euro. |
Mathematische Modellierung
Bei vielen EKM-Aufgaben musst Du aus einer Alltagssituation ein mathematisches Modell bilden. Ein Modell ist eine vereinfachte Darstellung der Wirklichkeit. Du wählst nur die Informationen aus, die für die Lösung wichtig sind. Danach rechnest Du im Modell. Am Ende überträgst Du das Ergebnis wieder auf die reale Situation.
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Beispiel für Modellierung
Situation: Eine Klasse plant einen Ausflug. 24 Schülerinnen und Schüler fahren mit. Der Eintritt kostet 6 Euro pro Person. Für die Busfahrt werden insgesamt 180 Euro berechnet. Die Klasse hat bereits 120 Euro in der Klassenkasse. Wie viel Euro muss jede Person zusätzlich bezahlen?
Schritt 1: Verstehen Die Kosten bestehen aus Eintritt und Busfahrt. Das Geld aus der Klassenkasse wird abgezogen. Der Rest wird auf 24 Personen verteilt.
Schritt 2: Planen Zuerst werden die Eintrittskosten berechnet. Dann werden die Gesamtkosten bestimmt. Danach wird das vorhandene Geld abgezogen. Zum Schluss wird der Restbetrag durch 24 geteilt.
Schritt 3: Rechnen
| Rechenschritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Eintrittskosten | 24 mal 6 Euro | 144 Euro |
| Gesamtkosten | 144 Euro plus 180 Euro | 324 Euro |
| Restbetrag | 324 Euro minus 120 Euro | 204 Euro |
| Anteil pro Person | 204 Euro geteilt durch 24 | 8,50 Euro |
Schritt 4: Antwort Jede Person muss zusätzlich 8,50 Euro bezahlen.
Kontrolle: 24 mal 8,50 Euro ergibt 204 Euro. Zusammen mit 120 Euro aus der Klassenkasse ergibt das 324 Euro. Das passt zu den Gesamtkosten.
Überschlag und Plausibilität
Ein Überschlag ist eine grobe Rechnung mit gerundeten Zahlen. Er hilft Dir, Fehler zu erkennen. Wenn Dein genaues Ergebnis sehr weit vom Überschlag entfernt ist, solltest Du Deine Rechnung prüfen.
Beispiel: 198 mal 49 ist ungefähr 200 mal 50. Das ergibt 10.000. Wenn Dein Taschenrechner 970,2 anzeigt, hast Du wahrscheinlich eine falsche Eingabe gemacht.
Einheiten beachten
Viele Fehler entstehen, weil Einheiten nicht zusammenpassen. Vor dem Rechnen musst Du prüfen, ob alle Angaben in derselben Einheit stehen.
| Bereich | Mögliche Einheiten | Typischer Fehler |
|---|---|---|
| Länge | Millimeter, Zentimeter, Meter, Kilometer | Zentimeter und Meter werden verwechselt. |
| Zeit | Sekunden, Minuten, Stunden | Minuten werden nicht in Stunden umgerechnet. |
| Masse | Gramm, Kilogramm, Tonnen | Gramm und Kilogramm werden ohne Umrechnung addiert. |
| Geld | Cent, Euro | Cent werden als Euro behandelt. |
| Flächeninhalt | Quadratzentimeter, Quadratmeter | Länge und Fläche werden verwechselt. |
Typische Fehler und wie Du sie vermeidest
- Lesefehler: Lies die Frage am Ende noch einmal und prüfe, ob Du wirklich diese Frage beantwortet hast.
- Rechenfehler: Schreibe Zwischenschritte auf und rechne wichtige Schritte noch einmal nach.
- Einheitenfehler: Wandle Einheiten vor dem Rechnen um und notiere sie im Ergebnis.
- Rundungsfehler: Runde erst am Ende, wenn die Aufgabe nichts anderes verlangt.
- Antwortfehler: Schreibe einen vollständigen Antwortsatz und beziehe ihn auf die Situation.
Präsentation des Lösungswegs
Im EKM ist die Darstellung des Lösungswegs besonders wichtig. Eine andere Person soll verstehen können, wie Du gedacht hast. Dazu gehören eine klare Gliederung, saubere Rechnungen, sinnvolle Skizzen und ein verständlicher Antwortsatz. Wenn Du in einer Gruppe arbeitest, könnt Ihr Aufgaben verteilen: Eine Person erklärt die Situation, eine Person stellt den Rechenplan vor, eine Person rechnet vor und eine Person übernimmt die Kontrolle.
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Strategien für schwierige Aufgaben
Skizze erstellen
Eine Skizze hilft besonders bei Aufgaben zu Wegen, Flächen, Körpern, Verteilungen und Zeitabläufen. Sie muss nicht schön sein, aber sie muss die wichtigen Informationen zeigen.
Tabelle anlegen
Eine Tabelle hilft, wenn mehrere Werte zusammenhängen. Sie eignet sich für Preislisten, Fahrpläne, Messwerte, Zuordnungen und Dreisatzaufgaben.
Rückwärts rechnen
Manche Aufgaben lassen sich leichter lösen, wenn Du vom Ergebnis aus zurückgehst. Diese Strategie passt besonders bei Aufgaben mit mehreren Veränderungen, zum Beispiel Preisänderungen oder Mengenänderungen.
Ergebnis vergleichen
Wenn mehrere Lösungswege möglich sind, kannst Du Ergebnisse vergleichen. Stimmen sie überein, ist das ein gutes Zeichen. Stimmen sie nicht überein, musst Du die Annahmen und Rechenschritte prüfen.
Kompetenzbereiche im EKM
Eine Aufgabe durch Rechnen zu lösen verbindet mehrere Kompetenzbereiche der Mathematik.
| Kompetenz | Bedeutung in der Aufgabe |
|---|---|
| Problemlösen | Du findest einen Weg, auch wenn die Rechnung nicht sofort sichtbar ist. |
| Modellieren | Du übersetzt eine Alltagssituation in Mathematik. |
| Argumentieren | Du begründest, warum Dein Lösungsweg sinnvoll ist. |
| Darstellen | Du nutzt Skizzen, Tabellen, Rechnungen oder Diagramme. |
| Kommunikation | Du erklärst Deinen Lösungsweg verständlich. |
| Werkzeugnutzung | Du nutzt Lineal, Taschenrechner, Tabellenkalkulation oder Formelsammlung sinnvoll. |
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was ist der erste sinnvolle Schritt beim Lösen einer Sachaufgabe? (Die Aufgabe genau lesen und die Frage verstehen) (!Sofort irgendeine Rechnung beginnen) (!Nur die größte Zahl im Text verwenden) (!Das Ergebnis raten)
Wozu dient ein Überschlag? (Zur groben Kontrolle der Größenordnung) (!Zum Ersetzen aller genauen Rechnungen) (!Zum Weglassen der Einheiten) (!Zum Finden einer zufälligen Antwort)
Was gehört zu einem vollständigen Antwortsatz? (Ein Ergebnis mit Bezug zur Fragestellung) (!Nur eine einzelne Zahl ohne Erklärung) (!Eine neue Aufgabe) (!Eine beliebige Vermutung)
Welche Rechenart passt meistens, wenn gleiche Gruppen zusammengefasst werden? (Multiplikation) (!Subtraktion) (!Runden) (!Messen)
Was bedeutet Modellieren in einer Sachaufgabe? (Eine Alltagssituation in eine passende mathematische Darstellung übersetzen) (!Alle Zahlen ungeprüft addieren) (!Den Aufgabentext abschreiben) (!Das Ergebnis ohne Rechnung nennen)
Warum sind Einheiten beim Rechnen wichtig? (Weil sie zeigen, was eine Zahl bedeutet) (!Weil sie immer weggelassen werden) (!Weil sie das Rechnen unmöglich machen) (!Weil sie nur in Deutsch wichtig sind)
Welche Angabe ist bei einer Aufgabe zur Durchschnittsgeschwindigkeit besonders wichtig? (Strecke und Zeit) (!Farbe und Form) (!Name und Alter) (!Überschrift und Seitenzahl)
Was zeigt ein nachvollziehbarer Lösungsweg? (Welche Schritte zur Lösung geführt haben) (!Dass nur das Ergebnis zählt) (!Dass keine Kontrolle nötig ist) (!Dass die Aufgabe nicht gelesen wurde)
Wann ist eine Skizze besonders hilfreich? (Bei Aufgaben mit Wegen, Flächen oder Anordnungen) (!Bei jeder reinen Kopfrechenaufgabe) (!Wenn man die Frage ignorieren möchte) (!Wenn gar keine Informationen vorhanden sind)
Was sollte nach dem Rechnen immer erfolgen? (Das Ergebnis prüfen und auf die Aufgabe beziehen) (!Alle Zwischenschritte löschen) (!Eine neue Zahl erfinden) (!Die Einheit weglassen)
Memory
| Textinformation | Gegebene Daten und Bedingungen |
| Fragestellung | Gesuchte Größe |
| Rechenplan | Geordnete Rechenschritte |
| Überschlag | Kontrolle der Größenordnung |
| Einheit | Sinnvolle Benennung des Ergebnisses |
| Präsentation | Verständliche Erklärung des Lösungswegs |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Text verstehen | Wichtige Angaben markieren |
| Rechenplan entwickeln | Passende Operation auswählen |
| Rechnung durchführen | Zwischenschritte sauber notieren |
| Ergebnis prüfen | Überschlag und Plausibilität nutzen |
| Antwort formulieren | Ergebnis auf die Frage beziehen |
Kreuzworträtsel
| Addition | Welche Rechenart nutzt man, wenn mehrere Werte zusammengezählt werden? |
| Produkt | Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation? |
| Einheit | Welches Wort zeigt, ob eine Zahl Euro, Meter oder Stunden meint? |
| Skizze | Welche einfache Zeichnung kann beim Verstehen einer Aufgabe helfen? |
| Kontrolle | Wie nennt man das Prüfen von Ergebnis und Lösungsweg? |
| Modell | Wie nennt man eine vereinfachte mathematische Darstellung einer Sachsituation? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Sachaufgabe markieren: Wähle eine kurze Sachaufgabe aus Deinem Mathematikbuch und markiere alle wichtigen Zahlen, Einheiten und Signalwörter.
- Frage formulieren: Schreibe zu drei kleinen Alltagssituationen jeweils eine passende mathematische Frage.
- Rechenweg erklären: Löse eine einfache Aufgabe und erkläre Deinen Lösungsweg so, dass ihn eine jüngere Person verstehen kann.
- Einheiten sammeln: Erstelle eine Übersicht mit typischen Einheiten für Länge, Zeit, Masse, Geld und Fläche.
Standard
- Eigene Sachaufgabe entwickeln: Erfinde eine realistische Sachaufgabe mit mindestens zwei Rechenschritten und schreibe eine vollständige Musterlösung.
- Tabellen nutzen: Erstelle zu einer Preisaufgabe eine Tabelle und löse die Aufgabe mithilfe der Tabelle.
- Überschlag vergleichen: Rechne fünf Aufgaben zuerst überschlägig und anschließend genau. Vergleiche die Ergebnisse und erkläre Abweichungen.
- Fehleranalyse: Erstelle eine falsche Musterlösung zu einer Sachaufgabe und markiere anschließend die Fehler mit Erklärungen.
Schwer
- EKM-Präsentation: Bearbeite eine umfangreiche Sachaufgabe in einer Gruppe und präsentiert den Lösungsweg mit Plakat, Tafelbild oder digitaler Folie.
- Mehrere Lösungswege: Löse dieselbe Aufgabe auf zwei unterschiedlichen Wegen und vergleiche die Vorteile beider Strategien.
- Mathematisches Modellieren: Untersuche eine echte Alltagssituation aus Schule, Sport, Verkehr oder Einkauf und entwickle daraus eine eigene Modellierungsaufgabe.
- Reflexion des Lösungswegs: Schreibe nach dem Lösen einer schwierigen Aufgabe eine Reflexion darüber, welche Strategie geholfen hat und welche Fehlerquellen auftraten.
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Lernkontrolle
- Transferaufgabe Einkauf: Plane den Einkauf für ein Klassenfrühstück mit vorgegebenem Budget, berechne die Kosten und begründe, ob das Budget reicht.
- Vergleich von Lösungswegen: Zwei Lernende lösen dieselbe Aufgabe unterschiedlich. Vergleiche die Wege, finde Gemeinsamkeiten und entscheide, welcher Weg übersichtlicher ist.
- Fehlerdiagnose: Analysiere eine vorgegebene falsche Lösung, beschreibe den Denkfehler und korrigiere den Lösungsweg.
- Modellierungsaufgabe Verkehr: Berechne aus Strecke und Zeit eine Durchschnittsgeschwindigkeit und bewerte, ob das Ergebnis zur Situation passt.
- Einheitenproblem: Löse eine Aufgabe, in der Meter und Zentimeter oder Euro und Cent gemischt vorkommen, und erkläre die notwendige Umrechnung.
- Präsentationsleistung: Erstelle eine kurze schriftliche oder mündliche Erklärung zu einer mehrschrittigen Sachaufgabe, in der Rechenplan, Rechnung, Kontrolle und Antwort deutlich werden.
Lernnachweis
Für einen überzeugenden Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur rechnen kannst, sondern auch Deinen Denkweg sichtbar machst.
- Aufgabenverständnis: Du zeigst, dass Du die Situation, die Frage und die wichtigen Informationen erkannt hast.
- Rechenplan: Du entwickelst eine passende Strategie und begründest die Wahl der Rechenoperationen.
- Korrekte Rechnung: Du rechnest sorgfältig, notierst Zwischenschritte und gehst sicher mit Zahlen um.
- Einheiten und Genauigkeit: Du verwendest passende Einheiten, wandelst Größen korrekt um und rundest sinnvoll.
- Kontrolle: Du prüfst Dein Ergebnis mit Überschlag, Gegenrechnung oder Plausibilitätsprüfung.
- Antwortsatz: Du formulierst eine klare Antwort, die zur Fragestellung passt.
- Darstellung: Du nutzt bei Bedarf Tabellen, Skizzen, Diagramme oder strukturierte Rechnungen.
- Reflexion: Du erklärst, welche Strategie funktioniert hat und welche Fehler Du vermeiden musst.
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