Dezimalzahlen addieren und subtrahieren - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren ist ein zentrales Thema der Mathematik in den Klassen 5 und 6. Du brauchst es immer dann, wenn Du mit Geld, Längen, Massen, Zeitspannen, Messwerten oder Daten rechnest. Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma oder, in manchen Ländern und Computerprogrammen, mit einem Punkt als Dezimaltrennzeichen. In Deutschland schreibt man meist $\mathrm{3,75}$, in vielen englischsprachigen Zusammenhängen dagegen $3.75$. Wichtig ist: Das Komma trennt den ganzen Anteil vom gebrochenen Anteil.

Beim Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen ist der wichtigste Grundsatz: Stelle die Zahlen stellengerecht untereinander. Das bedeutet, dass Einer unter Einern, Zehntel unter Zehnteln, Hundertstel unter Hundertsteln und Tausendstel unter Tausendsteln stehen. Besonders hilfreich ist es, die Kommata genau untereinander zu schreiben. Fehlende Nachkommastellen darfst Du mit Nullen ergänzen, weil sich der Wert der Zahl dadurch nicht ändert: $\mathrm{4,5}=\mathrm{4,50}=\mathrm{4,500}$.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was Dezimalzahlen sind, wie das Stellenwertsystem hinter dem Komma funktioniert und warum das Komma beim schriftlichen Rechnen unter dem Komma der anderen Zahl stehen muss. Du kannst Dezimalzahlen im Kopf, halbschriftlich und schriftlich addieren und subtrahieren. Außerdem kannst Du typische Fehler erkennen, Ergebnisse überschlagen und entscheiden, ob ein Ergebnis sinnvoll ist.

Grundwissen: Was sind Dezimalzahlen?

Eine Dezimalzahl ist eine Schreibweise für Zahlen im Zehnersystem. Vor dem Komma stehen die ganzen Stellen: Einer, Zehner, Hunderter und so weiter. Hinter dem Komma stehen die Bruchteile eines Ganzen: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und weitere Stellen. Die Zahl $\mathrm{12,345}$ besteht aus $12$ Ganzen, $3$ Zehnteln, $4$ Hundertsteln und $5$ Tausendsteln.

In Bruchschreibweise gilt zum Beispiel: $\mathrm{0,3}=\frac{3}{10}$, $\mathrm{0,04}=\frac{4}{100}$ und $\mathrm{0,005}=\frac{5}{1000}$. Deshalb heißen Dezimalzahlen auch Dezimalbrüche. Beim Rechnen hilft Dir diese Vorstellung: Du rechnest mit Teilen, die gleich groß sind. Zehntel dürfen nicht aus Versehen wie Hundertstel behandelt werden.

Die Stellenwerttafel

Die Stellenwerttafel zeigt, welchen Wert jede Ziffer in einer Zahl hat. Das ist beim Rechnen mit Dezimalzahlen besonders wichtig.

Hunderter	Zehner	Einer	Komma	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
0	1	2	,	3	4	5

Die Zahl in der Tabelle ist $\mathrm{12,345}$. Die $3$ steht nicht für drei Ganze, sondern für drei Zehntel. Die $4$ steht für vier Hundertstel, die $5$ für fünf Tausendstel. Verschiebt man eine Ziffer an eine andere Stelle, ändert sich der Wert stark: $\mathrm{0,4}$ ist vier Zehntel, $\mathrm{0,04}$ ist vier Hundertstel.

Gleichwertige Schreibweisen mit Nullen

Du darfst rechts am Ende einer Dezimalzahl Nullen ergänzen oder weglassen, ohne den Wert zu verändern. Das ist beim Rechnen sehr nützlich.

$\mathrm{2,7}=\mathrm{2,70}=\mathrm{2,700}$

Diese Schreibweisen sind gleichwertig, weil zusätzliche Nullen am Ende keine weiteren Teile hinzufügen. Anders ist es, wenn eine Null zwischen anderen Ziffern steht. Dann ist sie wichtig: $\mathrm{2,07}$ ist nicht dasselbe wie $\mathrm{2,7}$. Die Zahl $\mathrm{2,07}$ bedeutet zwei Ganze und sieben Hundertstel, während $\mathrm{2,7}$ zwei Ganze und sieben Zehntel bedeutet.

Dezimalzahlen addieren

Beim Addieren von Dezimalzahlen verbindest Du mehrere Werte zu einer Summe. Das Verfahren ist fast so wie bei natürlichen Zahlen. Der Unterschied ist, dass Du auf die Stellen nach dem Komma achten musst.

Schriftliche Addition: Regel

1. Komma: Schreibe die Kommata genau untereinander.
2. Stellenwert: Schreibe gleiche Stellen untereinander: Einer unter Einer, Zehntel unter Zehntel, Hundertstel unter Hundertstel.
3. Null: Ergänze fehlende Nachkommastellen bei Bedarf mit Nullen.
4. Addition: Rechne von rechts nach links wie bei der schriftlichen Addition.
5. Ergebnis: Setze das Komma im Ergebnis genau unter die anderen Kommata.

Beispiel 1: Gleiche Anzahl von Nachkommastellen

$\mathrm{3,45}+\mathrm{2,31}$

$\begin{array}{c}\mathrm{3,45}\\ +\mathrm{2,31}\\ \mathrm{5,76}\end{array}$

Erklärung: Hundertstel plus Hundertstel ergibt Hundertstel, Zehntel plus Zehntel ergibt Zehntel, Einer plus Einer ergibt Einer. Deshalb ist $\mathrm{3,45}+\mathrm{2,31}=\mathrm{5,76}$.

Beispiel 2: Unterschiedliche Anzahl von Nachkommastellen

$\mathrm{7,8}+\mathrm{0,36}$

Schreibe zuerst $\mathrm{7,8}$ als $\mathrm{7,80}$.

$\begin{array}{c}\mathrm{7,80}\\ +\mathrm{0,36}\\ \mathrm{8,16}\end{array}$

Die zusätzliche Null verändert den Wert nicht, macht aber die Rechnung übersichtlicher. Das Ergebnis ist $\mathrm{8,16}$.

Beispiel 3: Addition mit Übertrag

$\mathrm{4,68}+\mathrm{2,75}$

$\begin{array}{c}\mathrm{4,68}\\ +\mathrm{2,75}\\ \mathrm{7,43}\end{array}$

Bei den Hundertsteln gilt $8+5=13$. Du schreibst $3$ Hundertstel und überträgst $1$ Zehntel. Bei den Zehnteln rechnest Du dann $6+7+1=14$. Du schreibst $4$ Zehntel und überträgst $1$ Einer. So entsteht das Ergebnis $\mathrm{7,43}$.

Dezimalzahlen subtrahieren

Beim Subtrahieren von Dezimalzahlen ziehst Du einen Wert von einem anderen ab. Auch hier gilt: Das Komma entscheidet, welche Stellen zusammengehören. Du darfst beim Minuenden und beim Subtrahenden rechts Nullen ergänzen, damit beide Zahlen gleich viele Nachkommastellen haben.

Schriftliche Subtraktion: Regel

1. Minuend: Schreibe die Zahl, von der abgezogen wird, nach oben.
2. Subtrahend: Schreibe die Zahl, die abgezogen wird, darunter.
3. Komma: Setze die Kommata genau untereinander.
4. Null: Ergänze fehlende Nachkommastellen mit Nullen.
5. Subtraktion: Rechne von rechts nach links und entbündele, wenn nötig.

Beispiel 1: Einfache Subtraktion

$\mathrm{6,75}-\mathrm{2,14}$

$\begin{array}{c}\mathrm{6,75}\\ -\mathrm{2,14}\\ \mathrm{4,61}\end{array}$

Das Ergebnis ist $\mathrm{4,61}$.

Beispiel 2: Ergänzen von Nullen

$\mathrm{5,2}-\mathrm{1,47}$

Schreibe $\mathrm{5,2}$ als $\mathrm{5,20}$.

$\begin{array}{c}\mathrm{5,20}\\ -\mathrm{1,47}\\ \mathrm{3,73}\end{array}$

Du kannst bei den Hundertsteln nicht $0-7$ rechnen, ohne zu entbündeln. Deshalb entbündelst Du ein Zehntel zu zehn Hundertsteln. Das Ergebnis ist $\mathrm{3,73}$.

Beispiel 3: Subtraktion mit mehreren Entbündelungen

$10-\mathrm{3,875}$

Schreibe $10$ als $\mathrm{10,000}$.

$\begin{array}{c}\mathrm{10,000}\\ -\mathrm{3,875}\\ \mathrm{6,125}\end{array}$

Das Ergänzen der Nullen macht sichtbar, dass Du mit Tausendsteln rechnest. Das Ergebnis ist $\mathrm{6,125}$.

Kopfrechnen und halbschriftliche Strategien

Nicht jede Aufgabe musst Du schriftlich lösen. Viele Aufgaben kannst Du durch geschicktes Zerlegen berechnen. Eine gute Strategie ist, zuerst die ganzen Zahlen und danach die Nachkommastellen zu betrachten.

Strategie: Zerlegen

$\mathrm{3,6}+\mathrm{2,8}=3+2+\mathrm{0,6}+\mathrm{0,8}=5+\mathrm{1,4}=\mathrm{6,4}$

Diese Strategie hilft, weil Du die Bedeutung der Stellenwerte nutzt. Bei der Subtraktion kannst Du ebenfalls zerlegen:

$\mathrm{7,5}-\mathrm{2,3}=7-2+\mathrm{0,5}-\mathrm{0,3}=\mathrm{5,2}$

Strategie: Ergänzen bis zur glatten Zahl

Manche Aufgaben sind leichter, wenn Du bis zu einer ganzen Zahl ergänzt.

$\mathrm{4,75}+\mathrm{2,25}=\mathrm{4,75}+\mathrm{0,25}+2=5+2=7$

Bei einer Subtraktion kannst Du die Differenz als Abstand denken:

$\mathrm{8,00}-\mathrm{5,75}=\mathrm{2,25}$, denn von $\mathrm{5,75}$ bis $\mathrm{6,00}$ sind es $\mathrm{0,25}$ und von $\mathrm{6,00}$ bis $\mathrm{8,00}$ sind es $\mathrm{2,00}$.

Überschlag und Kontrolle

Ein Überschlag hilft Dir zu prüfen, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist. Du rundest die Zahlen grob und rechnest mit einfachen Werten. Beispiel: Bei $\mathrm{12,48}+\mathrm{3,91}$ kannst Du überschlagen: $\mathrm{12,5}+4\approx \mathrm{16,5}$. Das genaue Ergebnis $\mathrm{16,39}$ passt dazu.

Bei einer Subtraktion kannst Du auch eine Probe machen: Wenn $\mathrm{9,4}-\mathrm{2,65}=\mathrm{6,75}$, dann muss $\mathrm{6,75}+\mathrm{2,65}=\mathrm{9,4}$ gelten. Die Addition ist also die Umkehroperation der Subtraktion.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Viele Fehler entstehen nicht durch schwierige Rechnungen, sondern durch ungenaues Aufschreiben. Besonders gefährlich ist es, die Zahlen rechtsbündig wie natürliche Zahlen untereinanderzuschreiben, ohne auf das Komma zu achten. Dann stehen Zehntel vielleicht unter Hundertsteln, und das Ergebnis wird falsch.

Fehler 1: Kommata nicht untereinander

Falsch wäre zum Beispiel, $\mathrm{2,5}+\mathrm{0,37}$ so zu behandeln, als stünden $25$ und $37$ untereinander. Richtig ist: $\mathrm{2,5}=\mathrm{2,50}$, also $\mathrm{2,50}+\mathrm{0,37}=\mathrm{2,87}$.

Fehler 2: Nullen falsch einschätzen

Die Zahlen $\mathrm{4,8}$ und $\mathrm{4,08}$ sehen ähnlich aus, haben aber verschiedene Werte. $\mathrm{4,8}$ bedeutet vier Ganze und acht Zehntel. $\mathrm{4,08}$ bedeutet vier Ganze und acht Hundertstel. Daher gilt $\mathrm{4,8}>\mathrm{4,08}$.

Fehler 3: Ergebnis nicht überschlagen

Wenn Du $\mathrm{6,2}-\mathrm{1,95}$ rechnest, sollte das Ergebnis etwas größer als $4$ sein, weil $\mathrm{6,2}-2=\mathrm{4,2}$. Ein Ergebnis wie $\mathrm{5,75}$ wäre nicht plausibel. Der genaue Wert ist $\mathrm{4,25}$.

Alltagsbezüge

Dezimalzahlen kommen in vielen Alltagssituationen vor. Beim Einkaufen rechnest Du mit Euro und Cent, beim Sport mit Zeiten und Weiten, beim Kochen mit Massen und Volumen, in der Naturwissenschaft mit Messwerten. Wer Dezimalzahlen sicher addieren und subtrahieren kann, kann Rechnungen prüfen, Wechselgeld kontrollieren und Daten sinnvoll auswerten.

Beispiel Einkauf: Du kaufst ein Heft für Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}45\,€} , einen Stift für Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 0{,}85\,€} und einen Radiergummi für Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 0{,}70\,€} . Dann gilt $\mathrm{1,45}+\mathrm{0,85}+\mathrm{0,70}=\mathrm{3,00}$. Wenn Du mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5{,}00\,€} bezahlst, bekommst Du Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5{,}00 - 3{,}00 = 2{,}00\,€} zurück.

Schritt-für-Schritt-Methode

1. Aufgabe: Lies genau, ob addiert oder subtrahiert werden soll.
2. Komma: Markiere gedanklich oder schriftlich die Kommata.
3. Stellenwert: Schreibe die Zahlen stellengerecht untereinander.
4. Null: Ergänze fehlende Nachkommastellen mit Nullen.
5. Rechenverfahren: Rechne von rechts nach links.
6. Ergebnis: Setze das Komma an die richtige Stelle.
7. Probe: Überschlage oder prüfe mit der Umkehroperation.

Mini-Training mit Lösungen

Aufgabe	Rechenweg	Ergebnis
$\mathrm{2,35}+\mathrm{4,12}$	Hundertstel, Zehntel und Einer stellengerecht addieren	$\mathrm{6,47}$
$\mathrm{8,6}+\mathrm{0,75}$	$\mathrm{8,60}+\mathrm{0,75}$	$\mathrm{9,35}$
$\mathrm{5,00}-\mathrm{2,48}$	Nullen ergänzen und entbündeln	$\mathrm{2,52}$
$\mathrm{12,3}-\mathrm{4,85}$	$\mathrm{12,30}-\mathrm{4,85}$	$\mathrm{7,45}$
$\mathrm{0,99}+\mathrm{0,01}$	Hundertstel ergänzen zu einem Ganzen	$\mathrm{1,00}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen besonders wichtig? (Die Kommata stehen genau untereinander) (!Die Zahlen werden immer ohne Komma gerechnet) (!Die längere Zahl muss immer oben stehen) (!Die Nachkommastellen werden von links nach rechts gerechnet)

Welche Schreibweise hat denselben Wert wie 3,7? (3,70) (!3,07) (!37,0) (!0,37)

Was ist das Ergebnis von 2,45 plus 1,30? (3,75) (!2,75) (!3,15) (!4,75)

Was ist das Ergebnis von 5,20 minus 1,47? (3,73) (!4,27) (!3,83) (!2,73)

Warum darf man bei 4,5 die Zahl 4,50 schreiben? (Weil eine Null am Ende der Nachkommastellen den Wert nicht verändert) (!Weil jede Null in einer Dezimalzahl überflüssig ist) (!Weil 4,50 größer als 4,5 ist) (!Weil das Komma dadurch verschwindet)

Welche Zahl ist größer? (4,8) (!4,08) (!0,48) (!4,008)

Was ist ein sinnvoller Überschlag für 6,2 minus 1,95? (Ungefähr 4,2) (!Ungefähr 8,2) (!Ungefähr 6,0) (!Ungefähr 1,0)

Welche Rechnung prüft das Ergebnis von 9,4 minus 2,65 gleich 6,75? (6,75 plus 2,65 gleich 9,4) (!9,4 plus 2,65 gleich 6,75) (!6,75 minus 2,65 gleich 9,4) (!2,65 minus 9,4 gleich 6,75)

Was bedeutet die 4 in der Zahl 12,345? (4 Hundertstel) (!4 Zehntel) (!4 Einer) (!4 Tausendstel)

Was ist das Ergebnis von 0,99 plus 0,01? (1,00) (!0,100) (!0,98) (!1,99)

Memory

Komma	trennt ganze Zahl und Nachkommastellen
Zehntel	erste Stelle nach dem Komma
Hundertstel	zweite Stelle nach dem Komma
Addition	Zusammenrechnen von Werten
Subtraktion	Abziehen eines Wertes
Überschlag	grobe Kontrolle des Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Kommata untereinander schreiben	Stellengerecht rechnen
Fehlende Stellen mit Nullen ergänzen	Unterschiedliche Nachkommastellen
Von rechts nach links rechnen	Schriftliches Verfahren
Komma im Ergebnis setzen	Ergebnisdarstellung
Mit Überschlag prüfen	Kontrolle

...

Kreuzworträtsel

Komma	Welches Zeichen trennt bei einer Dezimalzahl den ganzen Anteil vom gebrochenen Anteil?
Zehntel	Wie heißt die erste Stelle nach dem Komma?
Summe	Wie nennt man das Ergebnis einer Addition?
Differenz	Wie nennt man das Ergebnis einer Subtraktion?
Null	Welche Ziffer darf am Ende von Nachkommastellen ergänzt werden, ohne den Wert zu verändern?
Probe	Wie nennt man eine Rechnung zur Kontrolle des Ergebnisses?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim schriftlichen Rechnen mit Dezimalzahlen müssen die genau untereinander stehen. Fehlende Nachkommastellen darfst Du mit ergänzen, ohne den Wert der Zahl zu verändern. Die erste Stelle nach dem Komma heißt . Die zweite Stelle nach dem Komma heißt . Beim Addieren erhältst Du als Ergebnis eine . Beim Subtrahieren erhältst Du als Ergebnis eine . Ein hilft Dir zu prüfen, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist. Bei der Subtraktion kannst Du mit der kontrollieren, ob Dein Ergebnis stimmt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwerttafel: Zeichne eine Stellenwerttafel mit Einer, Zehnteln und Hundertsteln und trage fünf selbst gewählte Dezimalzahlen ein.
2. Einkauf: Erstelle einen kleinen Kassenbon mit drei Preisen und berechne den Gesamtpreis.
3. Nullen ergänzen: Schreibe zehn Dezimalzahlen jeweils in drei gleichwertigen Schreibweisen, zum Beispiel $\mathrm{2,5}=\mathrm{2,50}=\mathrm{2,500}$.
4. Zahlenstrahl: Zeichne einen Zahlenstrahl von $0$ bis $2$ und markiere mindestens acht Dezimalzahlen.

Standard

1. Schriftliche Addition: Erfinde fünf Additionsaufgaben mit Dezimalzahlen und löse sie sauber untereinander.
2. Schriftliche Subtraktion: Erfinde fünf Subtraktionsaufgaben, bei denen Du Nullen ergänzen musst, und erkläre Deinen Rechenweg.
3. Fehlersuche: Schreibe drei absichtlich falsche Rechnungen mit Dezimalzahlen auf und verbessere sie mit einer Begründung.
4. Alltagsproblem: Entwickle eine Textaufgabe zu Geld, Länge oder Gewicht, in der Dezimalzahlen addiert und subtrahiert werden.

Schwer

1. Mathematische Erklärung: Erkläre mit eigenen Worten, warum $\mathrm{4,7}$ denselben Wert hat wie $\mathrm{4,70}$, aber nicht wie $\mathrm{4,07}$.
2. Strategievergleich: Löse drei Aufgaben schriftlich und halbschriftlich und vergleiche, welche Methode schneller oder sicherer ist.
3. Interview: Befrage zwei Personen, wo sie im Alltag Dezimalzahlen verwenden, und stelle die Ergebnisse als kurze Präsentation dar.
4. Lernvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo oder eine Bilderfolge, die zeigt, wie man $\mathrm{8,3}-\mathrm{2,75}$ richtig berechnet.

Lernkontrolle

1. Begründung: Erkläre, warum man Dezimalzahlen nicht einfach rechtsbündig untereinanderschreiben darf, wenn man sie addiert oder subtrahiert.
2. Transfer: Du bekommst Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 10{,}00\,€} und kaufst Dinge für Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2{,}45\,€} , Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}80\,€} und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 3{,}75\,€} . Entwickle zwei verschiedene Rechenwege, um das Rückgeld zu bestimmen.
3. Fehleranalyse: Eine Person rechnet $\mathrm{5,4}-\mathrm{2,75}=\mathrm{3,35}$. Untersuche die Rechnung, finde den Fehler und erkläre die richtige Lösung.
4. Modellieren: Beschreibe eine Alltagssituation, in der die Rechnung $\mathrm{12,50}-\mathrm{8,75}$ sinnvoll vorkommt, und löse sie mit einer passenden Einheit.
5. Vergleich: Vergleiche die Aufgaben $\mathrm{3,6}+\mathrm{2,4}$ und $\mathrm{3,06}+\mathrm{2,04}$. Erkläre, warum die Ergebnisse unterschiedlich sind, obwohl ähnliche Ziffern vorkommen.
6. Argumentieren: Begründe, warum ein Überschlag ein wichtiges Werkzeug ist, obwohl er nicht immer das genaue Ergebnis liefert.
7. Darstellen: Zeige mit einer Stellenwerttafel, warum $\mathrm{0,9}+\mathrm{0,15}=\mathrm{1,05}$ gilt.

Links

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