Das Assoziativgesetz anwenden - Rechnen
Das Assoziativgesetz anwenden - Rechnen
Einleitung
Das Assoziativgesetz ist ein wichtiges Rechengesetz für das sichere und geschickte Rechnen. Es wird auch Verbindungsgesetz genannt, weil es beschreibt, wie Du Zahlen beim Rechnen miteinander verbinden darfst. Wenn eine Verknüpfung assoziativ ist, darfst Du die Klammern anders setzen, ohne dass sich das Ergebnis verändert.
Im Schulrechnen brauchst Du das Assoziativgesetz vor allem bei der Addition und bei der Multiplikation. Es hilft Dir, Aufgaben übersichtlicher zu machen, günstige Zahlenpaare zu bilden und Kopfrechnen schneller auszuführen. Wichtig ist: Beim Assoziativgesetz änderst Du nur die Klammerung, aber nicht die Reihenfolge der Zahlen. Wenn Du Zahlen vertauschst, verwendest Du zusätzlich das Kommutativgesetz.
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Grundidee des Assoziativgesetzes
Beim Assoziativgesetz geht es um die Frage: Welche Rechnung führe ich zuerst aus? Normalerweise zeigen Klammern, welcher Teil eines Terms zuerst berechnet wird. Bei einer reinen Addition oder einer reinen Multiplikation darfst Du die Klammern jedoch anders setzen.
Für die Addition gilt:
(a + b) + c = a + (b + c)
Für die Multiplikation gilt:
(a · b) · c = a · (b · c)
Das bedeutet: Die Reihenfolge der Zahlen bleibt gleich, aber Du darfst entscheiden, welche benachbarten Zahlen Du zuerst zusammenfasst. Genau dadurch kannst Du oft leichter rechnen.
Beispiel zur Addition
Nimm die Aufgabe:
(17 + 3) + 40
Zuerst rechnest Du die Klammer:
20 + 40 = 60
Nach dem Assoziativgesetz darfst Du die Klammer anders setzen:
17 + (3 + 40)
Dann rechnest Du zuerst:
3 + 40 = 43
Danach:
17 + 43 = 60
Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. Das zeigt: Bei einer reinen Addition darfst Du die Klammern verändern.
Beispiel zur Multiplikation
Nimm die Aufgabe:
(5 · 2) · 9
Zuerst rechnest Du:
10 · 9 = 90
Du darfst aber auch anders klammern:
5 · (2 · 9)
Dann rechnest Du:
2 · 9 = 18
Danach:
5 · 18 = 90
Auch hier bleibt das Produkt gleich. Bei einer reinen Multiplikation darfst Du also die Klammerung verändern.
Das Assoziativgesetz beim Kopfrechnen
Das Assoziativgesetz ist besonders nützlich beim Kopfrechnen. Du kannst Zahlen so zusammenfassen, dass einfache Zwischenrechnungen entstehen. Besonders hilfreich sind Zahlen, die zusammen eine runde Zahl ergeben, zum Beispiel 10, 20, 50, 100 oder 1000.
Beispiel:
125 + 75 + 30
Du kannst zuerst die benachbarten Zahlen 125 und 75 verbinden:
(125 + 75) + 30 = 200 + 30 = 230
Bei der Multiplikation kannst Du günstige Faktoren verbinden:
4 · 25 · 6
Du kannst zuerst 4 und 25 verbinden:
(4 · 25) · 6 = 100 · 6 = 600
Das ist oft leichter als von links nach rechts ohne Plan zu rechnen.
Schrittfolge zum Anwenden
| Schritt | Frage | Beispiel |
|---|---|---|
| 1. Operation prüfen | Handelt es sich nur um Addition oder nur um Multiplikation? | 8 + 12 + 30 |
| 2. Zahlenfolge beibehalten | Bleiben die Zahlen in derselben Reihenfolge? | 8, 12, 30 |
| 3. Günstige Klammer setzen | Welche benachbarten Zahlen ergeben eine einfache Zwischenzahl? | (8 + 12) + 30 |
| 4. Ergebnis vergleichen | Bleibt das Ergebnis gleich? | 20 + 30 = 50 |
Was das Assoziativgesetz nicht erlaubt
Das Assoziativgesetz gilt nicht allgemein für jede Grundrechenart. Bei der Subtraktion und bei der Division darfst Du Klammern nicht beliebig verschieben, weil sich das Ergebnis ändern kann.
Beispiel zur Subtraktion:
(20 - 8) - 2 = 12 - 2 = 10
Aber:
20 - (8 - 2) = 20 - 6 = 14
Die Ergebnisse sind verschieden. Deshalb ist die Subtraktion nicht allgemein assoziativ.
Beispiel zur Division:
(24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2
Aber:
24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8
Auch hier sind die Ergebnisse verschieden. Deshalb ist die Division nicht allgemein assoziativ.
Abgrenzung zum Kommutativgesetz
Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz werden oft gemeinsam verwendet, sind aber nicht dasselbe.
Beim Assoziativgesetz veränderst Du die Klammerung:
(a + b) + c = a + (b + c)
Beim Kommutativgesetz veränderst Du die Reihenfolge:
a + b = b + a
Wenn Du geschickt rechnest, nutzt Du manchmal beide Gesetze zusammen. Dann musst Du aber erkennen können, welches Gesetz welchen Schritt begründet.
Typische Fehler und wie Du sie vermeidest
Ein häufiger Fehler besteht darin, das Assoziativgesetz auf Aufgaben mit Subtraktion oder Division zu übertragen. Prüfe deshalb immer zuerst, ob nur Addition oder nur Multiplikation vorkommt. Ein zweiter Fehler besteht darin, Zahlen beim Umklammern heimlich zu vertauschen. Das wäre dann nicht nur das Assoziativgesetz, sondern auch das Kommutativgesetz. Ein dritter Fehler ist, Punktrechnung vor Strichrechnung zu vergessen. Bei gemischten Termen musst Du die Rechenregeln beachten, bevor Du Klammern veränderst.
Merksatz
Beim Assoziativgesetz darfst Du bei einer reinen Addition oder reinen Multiplikation die Klammern anders setzen. Die Zahlen bleiben in derselben Reihenfolge, und das Ergebnis bleibt gleich.
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Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was beschreibt das Assoziativgesetz beim Rechnen? (Man darf bei geeigneten Rechnungen die Klammern anders setzen) (!Man darf jede Zahl beliebig verändern) (!Man muss immer von rechts nach links rechnen) (!Man darf Plus und Minus immer vertauschen)
Bei welchen Grundrechenarten gilt das Assoziativgesetz im Schulrechnen besonders? (Addition und Multiplikation) (!Subtraktion und Division) (!Addition und Subtraktion) (!Division und Multiplikation)
Was darf beim Anwenden des Assoziativgesetzes nicht verändert werden? (Die Reihenfolge der Zahlen) (!Die Schreibgröße der Zahlen) (!Die Farbe der Klammern) (!Die Anzahl der Rechenhefte)
Welche Aussage passt zur Aufgabe 6 plus 4 plus 10? (Man kann 6 und 4 zuerst zusammenfassen) (!Man muss 4 und 10 immer streichen) (!Man darf aus Plus immer Minus machen) (!Man darf die 10 beliebig ersetzen)
Warum ist das Assoziativgesetz beim Kopfrechnen hilfreich? (Es ermöglicht günstige Zahlenpaare) (!Es ersetzt das Einmaleins vollständig) (!Es macht aus jeder Aufgabe eine Textaufgabe) (!Es verbietet Zwischenrechnungen)
Welche Rechnung zeigt, dass Subtraktion nicht allgemein assoziativ ist? (Klammern können bei Minus das Ergebnis verändern) (!Minusaufgaben haben immer dasselbe Ergebnis) (!Minus ist immer leichter als Plus) (!Bei Minus gibt es keine Zahlen)
Was ist der Unterschied zwischen Assoziativgesetz und Kommutativgesetz? (Das Assoziativgesetz verändert Klammern, das Kommutativgesetz die Reihenfolge) (!Beide Gesetze bedeuten immer genau dasselbe) (!Das Kommutativgesetz verändert nur die Schriftart) (!Das Assoziativgesetz gilt nur für Uhrzeiten)
Welche Aussage zur Multiplikation ist richtig? (Bei reiner Multiplikation darf man Klammern anders setzen) (!Bei reiner Multiplikation sind Klammern immer verboten) (!Multiplikation funktioniert nur ohne Faktoren) (!Bei Multiplikation muss das Ergebnis kleiner werden)
Was solltest Du zuerst prüfen, bevor Du das Assoziativgesetz anwendest? (Ob nur eine geeignete Rechenart vorkommt) (!Ob die Aufgabe möglichst lang aussieht) (!Ob alle Zahlen gleich groß sind) (!Ob die Aufgabe eine Überschrift hat)
Welche Formulierung ist ein guter Merksatz? (Klammern ändern, Reihenfolge behalten, Ergebnis bleibt gleich) (!Zahlen ändern, Klammern löschen, Ergebnis raten) (!Immer teilen, nie multiplizieren, dann stimmt es) (!Erst das Ergebnis wählen, dann die Aufgabe suchen)
Memory
| Assoziativgesetz | Klammern anders setzen |
| Addition | Summen umklammern |
| Multiplikation | Produkte umklammern |
| Subtraktion | Nicht allgemein erlaubt |
| Division | Klammern entscheidend |
| Kopfrechnen | Geschickt bündeln |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Klammern verändern | Assoziativgesetz |
| Summanden verbinden | Addition |
| Faktoren verbinden | Multiplikation |
| Reihenfolge tauschen | Kommutativgesetz |
| Klammern nicht beliebig | Subtraktion und Division |
Kreuzworträtsel
| Assoziativgesetz | Wie heißt das Rechengesetz, bei dem die Klammerung bei geeigneten Rechnungen verändert werden darf? |
| Addition | Bei welcher Grundrechenart gilt das Gesetz zusammen mit der Multiplikation? |
| Multiplikation | Bei welcher Grundrechenart gilt das Gesetz zusammen mit der Addition? |
| Klammern | Welche Zeichen zeigen an, was zuerst gerechnet wird? |
| Subtraktion | Bei welcher Grundrechenart gilt das Gesetz nicht allgemein? |
| Kopfrechnen | Wobei hilft geschicktes Bündeln von Zahlen besonders? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Klammern setzen: Schreibe fünf Additionsaufgaben mit drei Zahlen auf und setze die Klammern jeweils auf zwei verschiedene Arten.
- Rechenwege vergleichen: Berechne drei Aufgaben einmal mit der linken und einmal mit der rechten Klammerung und vergleiche die Ergebnisse.
- Zahlenpaare finden: Suche in zehn Additionsaufgaben günstige benachbarte Zahlenpaare, die zusammen eine runde Zahl ergeben.
- Fehlersuche: Erkläre an zwei Beispielen, warum man bei Subtraktion Klammern nicht beliebig verschieben darf.
Standard
- Kopfrechnen: Entwickle eine eigene Strategie für fünf Aufgaben, bei denen das Assoziativgesetz das Kopfrechnen erleichtert.
- Rechengesetze vergleichen: Erstelle eine Tabelle mit je drei Beispielen zum Assoziativgesetz und zum Kommutativgesetz.
- Mathematisch begründen: Begründe in eigenen Worten, warum sich bei reiner Addition das Ergebnis trotz anderer Klammerung nicht verändert.
- Erklärvideo planen: Entwirf ein kurzes Drehbuch für ein Lernvideo, in dem Du das Assoziativgesetz mit Alltagsgegenständen erklärst.
Schwer
- Transferaufgabe: Untersuche fünf gemischte Terme und entscheide, an welchen Stellen das Assoziativgesetz angewendet werden darf und an welchen nicht.
- Beweisidee: Formuliere eine anschauliche Begründung, warum das Assoziativgesetz für die Multiplikation natürlicher Zahlen gilt.
- Unterrichtsmaterial: Gestalte ein Arbeitsblatt mit Lösungen, das zwischen Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz unterscheidet.
- Mathematik im Alltag: Finde drei Alltagssituationen, in denen geschicktes Bündeln beim Rechnen hilft, und stelle sie als Textaufgaben dar.
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Lernkontrolle
- Rechenstrategie begründen: Du erhältst mehrere Additions- und Multiplikationsaufgaben. Erkläre jeweils, welche Klammerung das Rechnen erleichtert und warum.
- Fehleranalyse: Untersuche eine Lösung, in der Klammern bei Subtraktion falsch verschoben wurden. Beschreibe den Fehler und korrigiere ihn.
- Gesetzvergleich: Vergleiche Assoziativgesetz und Kommutativgesetz an einem eigenen Beispiel und erkläre den Unterschied in einem kurzen Text.
- Alltagsproblem modellieren: Erfinde eine Einkaufssituation, in der mehrere gleiche oder ähnliche Beträge geschickt zusammengefasst werden können.
- Transferleistung: Entscheide bei fünf gemischten Termen, welche Rechengesetze anwendbar sind, und begründe Deine Entscheidung nachvollziehbar.
Lernnachweis
Für einen Lernnachweis zum Thema Das Assoziativgesetz anwenden solltest Du zeigen, dass Du das Gesetz nicht nur auswendig kennst, sondern sinnvoll anwenden kannst.
- Du kannst das Assoziativgesetz in eigenen Worten erklären.
- Du kannst bei Addition und Multiplikation Klammern korrekt anders setzen.
- Du kannst begründen, warum sich das Ergebnis bei geeigneten Rechnungen nicht verändert.
- Du kannst erklären, warum das Gesetz bei Subtraktion und Division nicht allgemein gilt.
- Du kannst das Assoziativgesetz vom Kommutativgesetz unterscheiden.
- Du kannst Rechenwege so wählen, dass sie für Kopfrechnen und schriftliches Rechnen sinnvoll sind.
- Du kannst eigene Aufgaben entwickeln und die Lösungsschritte verständlich darstellen.
OERs zum Thema
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