Zum Inhalt springen

Brüche dividieren - aiMOOC

Aus MOOCsWiki Staging



Brüche dividieren - aiMOOC



Einleitung

Brüche dividieren ist ein wichtiger Teil der Bruchrechnung. Wenn Du Brüche dividierst, fragst Du meistens: Wie oft passt ein bestimmter Anteil in einen anderen Anteil? Zum Beispiel bedeutet 34:14: Wie oft passt ein Viertel in drei Viertel? Die Antwort ist 3, denn drei Viertel bestehen aus drei Viertelstücken.

Beim Dividieren von Brüchen hilft Dir eine einfache und sehr wichtige Regel: Du teilst durch einen Bruch, indem Du mit seinem Kehrwert multiplizierst. Aus ab:cd wird also abdc. Dabei dürfen die Nenner nicht 0 sein, und der Bruch, durch den geteilt wird, darf ebenfalls nicht 0 sein.

In diesem aiMOOC lernst Du, was Division mit Brüchen bedeutet, wie Du den Kehrwert sicher bildest, wie Du mit ab:cd rechnest, wie Du sinnvoll kürzt und wie Du typische Fehler vermeidest. Die Formeln sind mit der MediaWiki-Extension Math gesetzt, damit Brüche klar und mathematisch sauber dargestellt werden.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=Z_voa7rnihA |500|center}}


Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was die Division von Brüchen bedeutet. Du kannst den Kehrwert eines Bruchs bilden, Brüche durch Brüche dividieren, Ergebnisse kürzen und gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln. Außerdem kannst Du beurteilen, ob ein Ergebnis sinnvoll ist, und eigene Aufgaben zum Dividieren von Brüchen entwickeln.


Grundwissen: Was ist ein Bruch?

Ein Bruch beschreibt einen Anteil, eine Teilung oder ein Verhältnis. Der obere Teil eines Bruchs heißt Zähler, der untere Teil heißt Nenner. In 35 ist 3 der Zähler und 5 der Nenner. Der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler zeigt, wie viele dieser Teile betrachtet werden.

Ein Bruch kann kleiner als 1, gleich 1 oder größer als 1 sein. Der Bruch 23 ist kleiner als 1, weil zwei Drittel weniger als ein Ganzes sind. Der Bruch 55 ist gleich 1. Der Bruch 74 ist größer als 1, weil sieben Viertel aus einem ganzen Viertelkreis und drei weiteren Vierteln bestehen.


Was bedeutet Dividieren?

Die Division kann als Aufteilen oder als Messen verstanden werden. Beim Aufteilen fragst Du: Wie viel bekommt jede Person? Beim Messen fragst Du: Wie oft passt eine bestimmte Menge in eine andere Menge?

Beim Dividieren von Brüchen ist die Messvorstellung besonders hilfreich. Beispiel: 34:14 bedeutet: Wie oft passt 14 in 34? Da drei Viertel aus drei einzelnen Vierteln bestehen, gilt:

34:14=3

Ein weiteres Beispiel: 2:12 bedeutet: Wie viele halbe Stücke passen in zwei Ganze? In ein Ganzes passen zwei Hälften. In zwei Ganze passen vier Hälften. Also gilt:

2:12=4

Diese Beispiele zeigen: Wenn Du durch einen kleinen Bruch teilst, kann das Ergebnis größer werden. Das ist kein Fehler, sondern passt zur Frage Wie oft passt dieser kleine Teil hinein?


Der Kehrwert

Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, indem Du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von 25 ist 52. Der Kehrwert von 73 ist 37. Der Kehrwert von 4 ist 14, denn 4 kann als 41 geschrieben werden.

Wichtig ist: Der Bruch 0 hat keinen Kehrwert. Man darf nicht durch 0 dividieren. Deshalb ist eine Aufgabe wie 35:0 nicht erlaubt.

Der Kehrwert ist so wichtig, weil ein Bruch und sein Kehrwert miteinander multipliziert immer 1 ergeben, sofern der Bruch nicht 0 ist:

2552=1010=1


Die Regel zum Dividieren von Brüchen

Die wichtigste Regel lautet:

ab:cd=abdc

Dabei gilt: b0, c0 und d0. In Worten heißt das:

Bruch durch Bruch: Ersten Bruch beibehalten, Divisionszeichen in Multiplikationszeichen ändern, zweiten Bruch umdrehen.

Danach multiplizierst Du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner:

abdc=adbc

Beispiel:

34:25=3452=158

Das Ergebnis 158 kann auch als gemischte Zahl geschrieben werden:

158=178


Schrittfolge beim Dividieren von Brüchen

  1. Erster Bruch: Schreibe den ersten Bruch unverändert ab.
  2. Kehrwert: Bilde vom zweiten Bruch den Kehrwert.
  3. Multiplikation: Ersetze die Division durch eine Multiplikation.
  4. Kürzen: Kürze, wenn es möglich und sinnvoll ist.
  5. Ergebnis: Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
  6. Kontrolle: Prüfe, ob das Ergebnis zur Aufgabe passt.

Beispiel mit allen Schritten:

56:109

Ersten Bruch beibehalten:

56

Kehrwert des zweiten Bruchs bilden:

109910

Mit dem Kehrwert multiplizieren:

56910

Vor dem Multiplizieren kürzen:

510=12 und 96=32

Dann bleibt:

1232=34

Also gilt:

56:109=34


Beispiele


Beispiel 1: Bruch durch Bruch

Berechne:

35:12

Du behältst den ersten Bruch bei und multiplizierst mit dem Kehrwert von 12:

35:12=3521

Nun multiplizierst Du:

3251=65

Das Ergebnis lautet:

65=115


Beispiel 2: Bruch durch ganze Zahl

Berechne:

56:2

Die ganze Zahl 2 kannst Du als 21 schreiben:

56:21

Nun multiplizierst Du mit dem Kehrwert:

5612=512

Also gilt:

56:2=512

Das passt zur Vorstellung: Wenn fünf Sechstel auf zwei gleich große Teile verteilt werden, ist jeder Teil fünf Zwölftel groß.


Beispiel 3: Ganze Zahl durch Bruch

Berechne:

3:34

Schreibe 3 als Bruch:

31:34

Multipliziere mit dem Kehrwert:

3143

Kürze 3 mit 3:

1141=4

Also gilt:

3:34=4

Das bedeutet: Drei Viertel passen viermal in drei Ganze.


Beispiel 4: Gemischte Zahl durch Bruch

Berechne:

112:34

Zuerst wandelst Du die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um:

112=32

Dann rechnest Du:

32:34=3243

Nun kannst Du kürzen:

33=1 und 42=2

Also bleibt:

12=2

Das Ergebnis lautet:

112:34=2


Kürzen vor dem Multiplizieren

Beim Dividieren von Brüchen entsteht nach dem Bilden des Kehrwerts eine Multiplikation von Brüchen. Vor dem Multiplizieren kannst Du oft kürzen. Das macht die Rechnung einfacher und verhindert große Zahlen.

Beispiel:

815:49

Mit dem Kehrwert multiplizieren:

81594

Jetzt kannst Du über Kreuz kürzen:

84=2 und 915=35

Dann rechnest Du:

2531=65

Also gilt:

815:49=65


Ergebnisse prüfen

Du kannst Dein Ergebnis prüfen, indem Du die Umkehraufgabe verwendest. Wenn gilt:

34:12=32

dann muss auch gelten:

3212=34

Denn die Multiplikation mit dem Divisor führt zurück zum Dividend. Diese Kontrolle hilft Dir, Rechenfehler zu finden.

Eine zweite Kontrolle ist die Größenvorstellung. Wenn Du durch einen Bruch kleiner als 1 teilst, wird das Ergebnis größer als der erste Bruch. Beispiel:

12:14=2

Das ist sinnvoll, denn ein Viertel passt zweimal in eine Hälfte.


Typische Fehler

Ein häufiger Fehler ist, beide Brüche umzudrehen. Das ist falsch. Nur der zweite Bruch wird umgedreht. Der erste Bruch bleibt stehen.

Falsch:

34:25=4352

Richtig:

34:25=3452

Ein weiterer Fehler ist, das Divisionszeichen stehen zu lassen und trotzdem den Kehrwert zu bilden. Auch das ist falsch. Wenn Du den Kehrwert bildest, musst Du zur Multiplikation wechseln.

Falsch:

34:52

Richtig:

3452

Ein dritter Fehler ist, gemischte Zahlen nicht zuerst umzuwandeln. Beim Rechnen mit Brüchen ist es sicherer, gemischte Zahlen zuerst als unechte Brüche zu schreiben.


Darstellung mit der MediaWiki-Extension Math

Mit der MediaWiki-Extension Math kannst Du Brüche im Wiki klar darstellen. Ein Bruch wie 34 wird mit dem Befehl <math>\frac{3}{4}</math> geschrieben. Eine vollständige Rechnung kann so aussehen:

34:25=3452=158

Für Lernende ist diese Darstellung hilfreich, weil Zähler, Nenner, Rechenzeichen und Ergebnis deutlich voneinander unterschieden werden. Besonders beim Dividieren von Brüchen wird sichtbar, dass aus der Division eine Multiplikation mit dem Kehrwert wird.


Merksatz

Beim Dividieren von Brüchen bleibt der erste Bruch stehen. Du multiplizierst mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Danach kürzt und multiplizierst Du.

Kurz geschrieben:

ab:cd=abdc


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Was machst Du beim Dividieren durch einen Bruch? (Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren) (!Beide Brüche addieren) (!Beide Zähler subtrahieren) (!Den ersten Bruch umdrehen und weiter dividieren)




Welcher Bruch ist der Kehrwert von 2/5? (5/2) (!2/5) (!2/10) (!5/5)




Was ist 3/4 : 1/2? (3/2) (!3/8) (!1/2) (!2/3)




Welche Aussage ist richtig? (Beim Dividieren von Brüchen bleibt der erste Bruch stehen) (!Beim Dividieren von Brüchen werden immer beide Brüche umgedreht) (!Beim Dividieren von Brüchen werden nur die Nenner multipliziert) (!Beim Dividieren von Brüchen darf man nie kürzen)




Was ist der Kehrwert von 7? (1/7) (!7/1) (!0/7) (!7/7)




Warum ist 1/2 : 1/4 gleich 2? (Weil ein Viertel zweimal in eine Hälfte passt) (!Weil ein Viertel größer als eine Hälfte ist) (!Weil man die Nenner addiert) (!Weil jeder Bruch durch sich selbst geteilt wird)




Was ist 5/6 : 2? (5/12) (!10/6) (!5/3) (!7/6)




Welche Rechnung gehört zu 2/3 : 4/5? (2/3 mal 5/4) (!2/3 mal 4/5) (!3/2 mal 5/4) (!2/3 plus 5/4)




Was musst Du mit einer gemischten Zahl vor dem Bruchrechnen meistens tun? (In einen unechten Bruch umwandeln) (!In eine Dezimalzahl runden) (!Den Nenner weglassen) (!Den Zähler verdoppeln)




Welche Aufgabe ist nicht erlaubt? (3/5 : 0) (!3/5 : 1/2) (!4 : 2/3) (!7/8 : 1)





Memory

Kehrwert Zähler und Nenner vertauschen
Dividend Zahl, die geteilt wird
Divisor Zahl, durch die geteilt wird
Kürzen Bruch vereinfachen
Unechter Bruch Zähler ist größer als der Nenner
Gemischte Zahl Ganze Zahl mit Bruchanteil





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Erster Bruch bleibt stehen Ausgangsbruch
Zweiter Bruch wird umgedreht Kehrwert
Division wird Multiplikation Rechenzeichen
Gemeinsame Faktoren werden gestrichen Kürzen
Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner Bruchmultiplikation
Ergebnis wird auf Sinn geprüft Kontrolle






Kreuzworträtsel

Kehrwert Wie heißt der Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind?
Zaehler Wie heißt die obere Zahl eines Bruchs?
Nenner Wie heißt die untere Zahl eines Bruchs?
Division Wie heißt die Rechenart des Teilens?
Kuerzen Wie nennt man das Vereinfachen eines Bruchs?
Bruch Wie heißt eine Zahlendarstellung mit Zähler und Nenner?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Dividieren von Brüchen bleibt der

unverändert. Der zweite Bruch wird durch seinen

ersetzt. Danach wird aus der Division eine

. Ein Kehrwert entsteht, wenn man

vertauscht. Der Bruch, durch den geteilt wird, darf nicht

sein. Vor dem Multiplizieren kann man oft

. Bei einer gemischten Zahl ist es sinnvoll, sie zuerst in einen

umzuwandeln. Wenn man durch einen Bruch kleiner als eins teilt, kann das Ergebnis

werden. Eine Kontrolle gelingt, indem man das Ergebnis wieder mit dem

multipliziert. Stimmen Rückrechnung und Ausgangswert überein, ist die Rechnung wahrscheinlich

.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Kehrwert-Karten: Schreibe zehn Brüche auf Karteikarten und notiere auf der Rückseite jeweils den passenden Kehrwert.
  2. Bruchkreis: Zeichne einen Kreis, teile ihn in Viertel, Achtel oder Drittel und erkläre mündlich, wie oft ein Teilstück in ein größeres Stück passt.
  3. Merksatz-Plakat: Gestalte ein kleines Plakat mit dem Merksatz zum Dividieren von Brüchen und einem eigenen Beispiel.
  4. Fehler finden: Erfinde drei falsche Rechnungen zum Dividieren von Brüchen und markiere, an welcher Stelle der Fehler passiert.


Standard

  1. Rechenweg erklären: Erkläre die Aufgabe 45:23 Schritt für Schritt in ganzen Sätzen.
  2. Alltagsaufgabe: Formuliere eine Textaufgabe, in der eine Menge durch Bruchteile aufgeteilt oder gemessen wird.
  3. Kürzstrategie: Suche fünf Aufgaben, bei denen man vor dem Multiplizieren kürzen kann, und erkläre den Vorteil.
  4. Partnerkontrolle: Tausche Aufgaben mit einer Partnerin oder einem Partner und prüfe die Lösungen mit der Umkehraufgabe.


Schwer

  1. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du die Regel mit dem Kehrwert an mindestens zwei Beispielen erklärst.
  2. Forscherfrage: Untersuche, warum das Ergebnis größer werden kann, wenn man durch einen Bruch kleiner als 1 teilt.
  3. Aufgabensammlung: Erstelle eine Sammlung mit zwölf Aufgaben in drei Schwierigkeitsstufen und schreibe zu jeder Aufgabe einen vollständigen Lösungsweg.
  4. Mathe-Unterricht planen: Entwirf eine kurze Unterrichtsphase, in der jüngere Lernende das Dividieren von Brüchen mit Zeichnungen verstehen können.



<inputbox>

type=create break=no preload=CHAT GPT TEXT HIER EINFÜGEN default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>


Text bearbeiten Bild einfügen Video einbetten Interaktive Aufgaben erstellen



Lernkontrolle

  1. Begründen: Erkläre mit einer Zeichnung und einer Rechnung, warum 34:14=3 gilt.
  2. Vergleichen: Vergleiche die Aufgaben 23:2 und 23:12. Beschreibe, warum die Ergebnisse unterschiedlich groß sind.
  3. Fehleranalyse: Eine Schülerin rechnet 35:27=5372. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
  4. Transfer: Entwickle eine Alltagssituation, die zur Aufgabe 2:13 passt, und löse sie mit Worten und mit einer Rechnung.
  5. Strategieentscheidung: Entscheide bei drei selbst gewählten Aufgaben, ob Du vor dem Multiplizieren kürzen würdest. Begründe Deine Entscheidung.
  6. Rückwärts denken: Erfinde eine Divisionsaufgabe mit Brüchen, deren Ergebnis 2 ist, und zeige die Kontrolle durch Multiplikation.




OERs zum Thema



Links


aiMOOC-Projekte





Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland Bücher Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Mittlere Reife

  1. Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler
  2. Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert

Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).

Bayern

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.

Berlin/Brandenburg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann
  4. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.

Bremen

Abitur

  1. Nach Mitternacht - Irmgard Keun
  2. Mario und der Zauberer - Thomas Mann
  3. Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing

Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).

Hamburg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun

Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).

Hessen

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  4. Der Prozess - Franz Kafka

Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.

Niedersachsen

Abitur

  1. Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun
  3. Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist
  4. Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist

Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).

Nordrhein-Westfalen

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.

Saarland

Abitur

  1. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  2. Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz
  3. Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann

Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).

Sachsen (berufliches Gymnasium)

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane
  4. Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht
  5. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  6. Der Trafikant - Robert Seethaler

Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.

Sachsen-Anhalt

Abitur

  1. (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)

Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.

Schleswig-Holstein

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.

Thüringen

Abitur

  1. (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)

Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.

Mecklenburg-Vorpommern

Abitur

  1. (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)

Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.

Rheinland-Pfalz

Abitur

  1. (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)

Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.




aiMOOCs



aiMOOC Projekte












THE MONKEY DANCE



{{#ev:youtube | https://youtu.be/rFhZlg38Zf8?si=9KdMNZYRkRD81YTo%7C 500 | center}}

The Monkey DanceaiMOOCs

  1. Trust Me It's True: #Verschwörungstheorie #FakeNews
  2. Gregor Samsa Is You: #Kafka #Verwandlung
  3. Who Owns Who: #Musk #Geld
  4. Lump: #Trump #Manipulation
  5. Filth Like You: #Konsum #Heuchelei
  6. Your Poverty Pisses Me Off: #SozialeUngerechtigkeit #Musk
  7. Hello I'm Pump: #Trump #Kapitalismus
  8. Monkey Dance Party: #Lebensfreude
  9. God Hates You Too: #Religionsfanatiker
  10. You You You: #Klimawandel #Klimaleugner
  11. Monkey Free: #Konformität #Macht #Kontrolle
  12. Pure Blood: #Rassismus
  13. Monkey World: #Chaos #Illusion #Manipulation
  14. Uh Uh Uh Poor You: #Kafka #BerichtAkademie #Doppelmoral
  15. The Monkey Dance Song: #Gesellschaftskritik
  16. Will You Be Mine: #Love
  17. Arbeitsheft
  18. And Thanks for Your Meat: #AntiFactoryFarming #AnimalRights #MeatIndustry


© The Monkey Dance on Spotify, YouTube, Amazon, MOOCit, Deezer, ...

{{#ev:youtube | https://youtu.be/Ob7etf9QuBo?si=t_NBA71bWg3Rq3LI%7C 500 | center}}



Text bearbeiten Bild einfügen Video einbetten Interaktive Aufgaben erstellen

<inputbox>

type=create break=no preload=MOOCit Vorlage default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>