Binomische Formeln - aiMOOC

Einleitung

Binomische Formeln sind wichtige Rechenregeln der Algebra. Du verwendest sie, um Produkte aus zwei zweigliedrigen Termen schnell auszumultiplizieren oder Terme rückwärts zu faktorisieren. Besonders häufig brauchst Du sie in der Sekundarstufe I, beim Umformen von Termen, beim Lösen von Gleichungen, beim Kopfrechnen und später bei quadratischen Gleichungen.

Ein Binom ist ein Term mit zwei Gliedern, zum Beispiel $a + b$ , $x - 3$ oder $2 m + 5 n$ . Die drei binomischen Formeln beschreiben, was passiert, wenn solche Binome miteinander multipliziert werden. Mit der MediaWiki-Extension Math kannst Du die Formeln gut lesbar darstellen:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Warum sind binomische Formeln nützlich?

Die binomischen Formeln sind keine Tricks, sondern Kurzformen des Distributivgesetzes. Sie helfen Dir, wiederkehrende Rechenmuster schneller zu erkennen. Wenn Du etwa $(x + 4)^{2}$ siehst, musst Du nicht jedes Mal vollständig ausmultiplizieren. Du kannst direkt die erste binomische Formel anwenden:

$(x + 4)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = x^{2} + 8 x + 16$

Genauso wichtig ist die umgekehrte Richtung. Aus $x^{2} + 8 x + 16$ kannst Du wieder $(x + 4)^{2}$ machen. Diese Umformung nennt man Faktorisieren. Sie ist später wichtig beim Lösen von Gleichungen, beim Kürzen von Brüchen mit Variablen und bei der quadratischen Ergänzung.

Datei:Binomial theorem visualisation.svg

Die Abbildung zeigt anschaulich, dass die Ausdrücke einer binomischen Potenz aus mehreren Teilflächen oder Teilkörpern zusammengesetzt werden können. Für Klasse 7–8 ist besonders die quadratische Version wichtig: Ein großes Quadrat mit Seitenlänge $a + b$ besteht aus einem Quadrat $a^{2}$ , zwei Rechtecken $a b$ und einem Quadrat $b^{2}$ .

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=-laNxxdV5QY |500|center}}

Grundlagen

Terme, Faktoren und Potenzen

Um die binomischen Formeln sicher zu verwenden, brauchst Du einige Grundbegriffe:

Term: Ein mathematischer Ausdruck, zum Beispiel $3 x + 5$ .
Variable: Ein Platzhalter für Zahlen, zum Beispiel $x$ , $a$ oder $b$ .
Faktor: Ein Bestandteil einer Multiplikation, zum Beispiel sind in $2 a b$ die Bestandteile $2$ , $a$ und $b$ Faktoren.
Potenz: Eine wiederholte Multiplikation, zum Beispiel bedeutet $a^{2}$ dasselbe wie $a \cdot a$ .
Klammerrechnung: Beim Rechnen mit Klammern muss beachtet werden, dass eine Potenz über einer Klammer die ganze Klammer betrifft.

Ein häufiger Fehler besteht darin, $(a + b)^{2}$ fälschlich als $a^{2} + b^{2}$ zu schreiben. Das ist falsch, weil die Klammer zweimal als Faktor vorkommt:

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$

Beim Ausmultiplizieren entstehen vier Teilprodukte:

$(a + b) (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Da $a \cdot b$ und $b \cdot a$ gleich sind, entstehen zwei gleiche gemischte Produkte:

$a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Die drei binomischen Formeln im Überblick

Name	Formel	Bedeutung	Beispiel
Erste binomische Formel	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	Quadrat einer Summe	$(x + 5)^{2} = x^{2} + 10 x + 25$
Zweite binomische Formel	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$	Quadrat einer Differenz	$(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x + 25$
Dritte binomische Formel	$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$	Produkt aus Summe und Differenz	$(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25$

Die Buchstaben $a$ und $b$ sind Platzhalter. Du darfst für sie Zahlen, Variablen oder ganze Terme einsetzen. Wichtig ist, dass Du die Bestandteile richtig erkennst.

Erste binomische Formel

Formel und Bedeutung

Die erste binomische Formel lautet:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Sie beschreibt das Quadrat einer Summe. Wenn zwei Terme addiert und anschließend quadriert werden, entstehen drei Bestandteile:

Quadrat des ersten Terms: $a^{2}$
Doppeltes Produkt beider Terme: $2 a b$
Quadrat des zweiten Terms: $b^{2}$

Du kannst Dir die Formel geometrisch vorstellen. Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ hat den Flächeninhalt $(a + b)^{2}$ . Teilt man dieses Quadrat in Teilflächen, entstehen ein Quadrat mit $a^{2}$ , zwei Rechtecke mit jeweils $a b$ und ein Quadrat mit $b^{2}$ . Zusammen ergibt das $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Beispiel mit Zahlen

Berechne $2 3^{2}$ mithilfe der ersten binomischen Formel.

$2 3^{2} = (20 + 3)^{2}$

$(20 + 3)^{2} = 2 0^{2} + 2 \cdot 20 \cdot 3 + 3^{2}$

$= 400 + 120 + 9 = 529$

Die Formel hilft also auch beim Kopfrechnen.

Beispiel mit Variablen

Multipliziere $(3 x + 2)^{2}$ aus.

Hier ist $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$(3 x + 2)^{2} = (3 x)^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 2 + 2^{2}$

$= 9 x^{2} + 12 x + 4$

Achte darauf, dass beim Quadrieren von $3 x$ sowohl die Zahl als auch die Variable quadriert werden:

$(3 x)^{2} = 3^{2} \cdot x^{2} = 9 x^{2}$

Zweite binomische Formel

Formel und Bedeutung

Die zweite binomische Formel lautet:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Sie beschreibt das Quadrat einer Differenz. Der Unterschied zur ersten binomischen Formel liegt im Vorzeichen des gemischten Glieds. Beim Quadrat von $a - b$ entsteht $- 2 a b$ .

Die Herleitung zeigt den Grund:

$(a - b)^{2} = (a - b) (a - b)$

$= a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b$

$= a^{2} - a b - a b + b^{2}$

$= a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Beispiel mit Zahlen

Berechne $9 8^{2}$ .

$9 8^{2} = (100 - 2)^{2}$

$(100 - 2)^{2} = 10 0^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^{2}$

$= 10000 - 400 + 4 = 9604$

Hier siehst Du, wie die zweite binomische Formel Kopfrechnen erleichtern kann.

Beispiel mit Variablen

Multipliziere $(4 x - 7)^{2}$ aus.

Hier ist $a = 4 x$ und $b = 7$ .

$(4 x - 7)^{2} = (4 x)^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 7 + 7^{2}$

$= 16 x^{2} - 56 x + 49$

Ein typischer Fehler wäre $16 x^{2} - 49$ . Das wäre falsch, weil das gemischte Glied $- 56 x$ fehlt.

Datei:BinomischeMinus.png

Dritte binomische Formel

Formel und Bedeutung

Die dritte binomische Formel lautet:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Sie beschreibt das Produkt aus einer Summe und der passenden Differenz. Das Besondere ist: Die gemischten Produkte heben sich gegenseitig auf.

$(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2}$

Da $- a b + a b = 0$ gilt, bleibt:

$a^{2} - b^{2}$

Deshalb nennt man das Ergebnis auch Differenz von Quadraten.

Datei:Difference of two squares.svg

Beispiel mit Zahlen

Berechne $51 \cdot 49$ .

$51 \cdot 49 = (50 + 1) (50 - 1)$

$= 5 0^{2} - 1^{2}$

$= 2500 - 1 = 2499$

Die dritte binomische Formel eignet sich besonders gut, wenn zwei Faktoren gleich weit von einer runden Zahl entfernt sind.

Beispiel mit Variablen

Multipliziere $(2 x + 9) (2 x - 9)$ aus.

Hier ist $a = 2 x$ und $b = 9$ .

$(2 x + 9) (2 x - 9) = (2 x)^{2} - 9^{2}$

$= 4 x^{2} - 81$

Es gibt kein gemischtes Glied, weil es sich bei der dritten binomischen Formel weghebt.

Binomische Formeln rückwärts anwenden

Faktorisieren mit binomischen Formeln

Beim Ausmultiplizieren gehst Du von einer Klammerform zur Summenform:

$(x + 6)^{2} = x^{2} + 12 x + 36$

Beim Faktorisieren gehst Du den umgekehrten Weg:

$x^{2} + 12 x + 36 = (x + 6)^{2}$

Dafür musst Du Muster erkennen. Die erste und zweite binomische Formel liefern immer drei Glieder. Das erste und das letzte Glied sind Quadrate. Das mittlere Glied ist das doppelte Produkt der beiden Grundterme.

Muster der ersten binomischen Formel erkennen

Prüfe den Term $x^{2} + 14 x + 49$ .

Das erste Glied ist ein Quadrat:

$x^{2} = (x)^{2}$

Das letzte Glied ist ein Quadrat:

$49 = 7^{2}$

Das mittlere Glied muss $2 \cdot x \cdot 7 = 14 x$ sein. Das passt.

Also gilt:

$x^{2} + 14 x + 49 = (x + 7)^{2}$

Muster der zweiten binomischen Formel erkennen

Prüfe den Term $x^{2} - 18 x + 81$ .

Das erste Glied ist $x^{2}$ . Das letzte Glied ist $81 = 9^{2}$ . Das mittlere Glied ist negativ:

$- 18 x = - 2 \cdot x \cdot 9$

Also gilt:

$x^{2} - 18 x + 81 = (x - 9)^{2}$

Muster der dritten binomischen Formel erkennen

Prüfe den Term $25 x^{2} - 64$ .

Hier gibt es zwei Quadrate mit einem Minuszeichen dazwischen:

$25 x^{2} = (5 x)^{2}$

$64 = 8^{2}$

Also gilt:

$25 x^{2} - 64 = (5 x + 8) (5 x - 8)$

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehlendes gemischtes Glied

Der häufigste Fehler lautet:

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

Das ist falsch. Richtig ist:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Du kannst Dir merken: Beim Quadrat einer Summe oder Differenz entstehen immer drei Glieder. Das mittlere Glied ist bei der ersten Formel positiv und bei der zweiten Formel negativ.

Falsches Vorzeichen

Bei der zweiten binomischen Formel ist nur das gemischte Glied negativ:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Das letzte Glied $b^{2}$ ist positiv, weil $(- b) \cdot (- b) = b^{2}$ gilt.

Falsches Quadrieren von Produkten

Wenn ein Term wie $3 x$ quadriert wird, musst Du beide Faktoren quadrieren:

$(3 x)^{2} = 9 x^{2}$

Nicht richtig wäre $3 x^{2}$ , denn dabei wäre die Zahl $3$ nicht quadriert worden.

Verwechslung der dritten Formel

Die dritte binomische Formel gilt nur, wenn die beiden Klammern fast gleich sind, aber einmal ein Plus und einmal ein Minus enthalten:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Für $(a + b) (a + c)$ darfst Du sie nicht verwenden, weil die zweiten Glieder nicht entgegengesetzt gleich sind.

Strategien zum sicheren Anwenden

Schrittfolge beim Ausmultiplizieren

Wenn Du eine binomische Formel anwenden willst, kannst Du so vorgehen:

Erkennen: Prüfe, ob eine der drei Formen vorliegt.
Zuordnen: Bestimme, welcher Term $a$ und welcher Term $b$ ist.
Einsetzen: Setze $a$ und $b$ in die passende Formel ein.
Vereinfachen: Quadriere sorgfältig und fasse gleichartige Terme zusammen.
Kontrollieren: Prüfe die Vorzeichen und das gemischte Glied.

Entscheidungshilfe

Gegebene Form	Passende Formel	Ergebnisstruktur
$(a + b)^{2}$	Erste binomische Formel	Drei Glieder, mittleres Glied positiv
$(a - b)^{2}$	Zweite binomische Formel	Drei Glieder, mittleres Glied negativ
$(a + b) (a - b)$	Dritte binomische Formel	Zwei Glieder, Differenz von Quadraten

Anwendungen

Kopfrechnen

Die binomischen Formeln helfen, schwierige Quadrate oder Produkte geschickt zu berechnen.

Beispiel:

$4 1^{2} = (40 + 1)^{2} = 4 0^{2} + 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^{2} = 1600 + 80 + 1 = 1681$

Beispiel:

$67 \cdot 73 = (70 - 3) (70 + 3) = 7 0^{2} - 3^{2} = 4900 - 9 = 4891$

Terme vereinfachen

In der Algebra treten häufig Terme auf, die sich mit binomischen Formeln vereinfachen lassen.

Beispiel:

$(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2}$

Zuerst beide Klammern ausmultiplizieren:

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

$(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$

Dann einsetzen:

$(x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} - 6 x + 9)$

$= x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} + 6 x - 9 = 12 x$

Geometrie und Flächeninhalte

Die erste binomische Formel kann als Flächenzerlegung verstanden werden. Ein Quadrat mit Seitenlänge $a + b$ besteht aus vier Teilflächen: $a^{2}$ , $a b$ , $a b$ und $b^{2}$ . Dadurch entsteht die Formel $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Die dritte binomische Formel beschreibt die Differenz zweier Quadratflächen. Wenn Du von einem großen Quadrat mit Flächeninhalt $a^{2}$ ein kleineres Quadrat mit Flächeninhalt $b^{2}$ entfernst, bleibt $a^{2} - b^{2}$ . Diese Restfläche kann zu einem Rechteck mit den Seitenlängen $a + b$ und $a - b$ umgelegt werden.

Vorbereitung auf quadratische Gleichungen

Später wirst Du Terme wie $x^{2} + 10 x + 25$ verwenden, um Gleichungen zu lösen. Weil

$x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$

gilt, kannst Du die Gleichung

$x^{2} + 10 x + 25 = 0$

als

$(x + 5)^{2} = 0$

schreiben. Daraus erkennt man sofort:

$x = - 5$

Damit bereiten die binomischen Formeln auf die quadratischen Gleichungen und die quadratische Ergänzung vor.

Übungsbeispiele mit Lösungen

Ausmultiplizieren

Aufgabe	Lösung	Verwendete Formel
$(x + 8)^{2}$	$x^{2} + 16 x + 64$	Erste binomische Formel
$(x - 4)^{2}$	$x^{2} - 8 x + 16$	Zweite binomische Formel
$(x + 11) (x - 11)$	$x^{2} - 121$	Dritte binomische Formel
$(2 x + 3)^{2}$	$4 x^{2} + 12 x + 9$	Erste binomische Formel
$(5 x - 1)^{2}$	$25 x^{2} - 10 x + 1$	Zweite binomische Formel
$(7 x + 2) (7 x - 2)$	$49 x^{2} - 4$	Dritte binomische Formel

Faktorisieren

Aufgabe	Lösung	Begründung
$x^{2} + 6 x + 9$	$(x + 3)^{2}$	$9 = 3^{2}$ und $6 x = 2 \cdot x \cdot 3$
$x^{2} - 20 x + 100$	$(x - 10)^{2}$	$100 = 1 0^{2}$ und $- 20 x = - 2 \cdot x \cdot 10$
$x^{2} - 49$	$(x + 7) (x - 7)$	Differenz zweier Quadrate
$9 x^{2} + 30 x + 25$	$(3 x + 5)^{2}$	$9 x^{2} = (3 x)^{2}$ und $25 = 5^{2}$
$16 x^{2} - 81$	$(4 x + 9) (4 x - 9)$	Differenz zweier Quadrate

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt das Quadrat einer Summe? (Erste binomische Formel) (!Zweite binomische Formel) (!Dritte binomische Formel) (!Punkt-vor-Strich-Regel)

Welche Formel beschreibt das Quadrat einer Differenz? (Zweite binomische Formel) (!Erste binomische Formel) (!Dritte binomische Formel) (!Kommutativgesetz der Addition)

Welche Formel beschreibt das Produkt aus Summe und passender Differenz? (Dritte binomische Formel) (!Erste binomische Formel) (!Zweite binomische Formel) (!Prozentrechnung)

Was ist das Ergebnis von x plus 4 zum Quadrat? (x Quadrat plus 8x plus 16) (!x Quadrat plus 16) (!x Quadrat plus 4x plus 16) (!x Quadrat plus 8x plus 4)

Was ist das Ergebnis von x minus 6 zum Quadrat? (x Quadrat minus 12x plus 36) (!x Quadrat minus 36) (!x Quadrat plus 12x plus 36) (!x Quadrat minus 6x plus 36)

Was ist das Ergebnis von x plus 9 mal x minus 9? (x Quadrat minus 81) (!x Quadrat plus 81) (!x Quadrat minus 18x plus 81) (!x Quadrat plus 18x minus 81)

Welches Glied fehlt oft beim falschen Quadrieren einer Summe? (Doppeltes Produkt) (!Letztes Quadrat) (!Erstes Quadrat) (!Gleichheitszeichen)

Was entsteht beim Quadrieren von 3x? (9x Quadrat) (!3x Quadrat) (!6x) (!9x)

Welche Klammerform gehört zu x Quadrat plus 10x plus 25? (x plus 5 zum Quadrat) (!x minus 5 zum Quadrat) (!x plus 10 zum Quadrat) (!x plus 25 zum Quadrat)

Welche Klammerform gehört zu 4x Quadrat minus 49? (2x plus 7 mal 2x minus 7) (!4x plus 7 mal 4x minus 7) (!2x minus 7 zum Quadrat) (!4x minus 49 zum Quadrat)

Memory

Erste Formel	Quadrat einer Summe
Zweite Formel	Quadrat einer Differenz
Dritte Formel	Differenz zweier Quadrate
Gemischtes Glied	Doppeltes Produkt
Faktorisieren	Klammerform herstellen
Ausmultiplizieren	Klammern auflösen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Quadrat einer Summe	Erste binomische Formel
Quadrat einer Differenz	Zweite binomische Formel
Summe mal Differenz	Dritte binomische Formel
Doppeltes Produkt	Gemischtes Glied
Klammern bilden	Faktorisieren
Klammern auflösen	Ausmultiplizieren

...

Kreuzworträtsel

Binom	Wie nennt man einen Term mit zwei Gliedern?
Quadrat	Wie heißt eine zweite Potenz anschaulich?
Differenz	Wie nennt man das Ergebnis einer Subtraktion?
Faktor	Wie heißt ein Bestandteil einer Multiplikation?
Faktorisieren	Wie heißt das Umformen eines Terms in eine Produktform?
Distributivgesetz	Welches Rechengesetz begründet das Ausmultiplizieren?

LearningApps

Lückentext

Die

sind Rechenregeln der Algebra. Ein

ist ein Term mit zwei Gliedern. Bei der ersten binomischen Formel entsteht das Quadrat einer

. Bei der zweiten binomischen Formel ist das gemischte Glied

. Die dritte binomische Formel liefert eine Differenz von

. Das gemischte Glied heißt so, weil es aus dem Produkt der beiden

entsteht. Beim Ausmultiplizieren werden Klammern

. Beim Faktorisieren wird ein Term in eine

umgewandelt. Ein häufiger Fehler ist, das Glied

zu vergessen. Die binomischen Formeln beruhen auf dem

.

Offene Aufgaben

Leicht

Formelplakat: Gestalte ein übersichtliches Plakat mit den drei binomischen Formeln, je einem Zahlenbeispiel und je einem Beispiel mit Variablen.
Fehlersuche: Erfinde fünf falsche Rechnungen zu binomischen Formeln und erkläre schriftlich, worin jeweils der Fehler liegt.
Kopfrechnen: Suche zehn Quadratzahlen, die Du mithilfe der ersten oder zweiten binomischen Formel schneller berechnen kannst.
Merksatz: Formuliere zu jeder binomischen Formel einen eigenen Merksatz in Alltagssprache.

Standard

Geometrische Darstellung: Zeichne ein Quadrat mit Seitenlänge $a + b$ und beschrifte die Teilflächen so, dass die erste binomische Formel sichtbar wird.
Rechenweg erklären: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler den Unterschied zwischen $(a - b)^{2}$ und $a^{2} - b^{2}$ anhand eigener Beispiele.
Faktorisierungsübung: Sammle zehn Terme, die sich mit binomischen Formeln faktorisieren lassen, und ordne sie den drei Formeln zu.
Lernvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine binomische Formel herleitest und an zwei Aufgaben anwendest.

Schwer

Quadratische Ergänzung: Recherchiere, wie die erste binomische Formel bei der quadratischen Ergänzung verwendet wird, und löse dazu zwei selbst gewählte Beispiele.
Anwendungsproblem: Entwickle eine Sachaufgabe aus der Geometrie, bei der eine binomische Formel zum Berechnen einer Fläche nötig ist.
Beweisvergleich: Vergleiche eine algebraische Herleitung und eine geometrische Herleitung der ersten binomischen Formel. Beurteile, welche für Dich verständlicher ist.
Umformungskette: Erstelle eine längere Termumformung mit mindestens drei binomischen Formeln und dokumentiere jeden Schritt nachvollziehbar.

type=create break=no preload=CHAT GPT TEXT HIER EINFÜGEN default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>

Lernkontrolle

Begründung statt Auswendiglernen: Erkläre, warum $(a + b)^{2}$ nicht gleich $a^{2} + b^{2}$ ist. Nutze dazu eine Rechnung und eine Flächenvorstellung.
Transfer Kopfrechnen: Berechne $10 2^{2}$ , $7 9^{2}$ und $63 \cdot 57$ mithilfe binomischer Formeln. Erkläre jeweils, warum Deine Zerlegung sinnvoll ist.
Fehleranalyse: Eine Person schreibt $(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 25$ . Analysiere den Fehler und verbessere die Rechnung vollständig.
Rückwärtsdenken: Entscheide, welche der Terme $x^{2} + 16 x + 64$ , $x^{2} - 64$ , $9 x^{2} - 24 x + 16$ und $4 x^{2} + 25$ mit binomischen Formeln faktorisiert werden können. Begründe Deine Entscheidungen.
Geometrischer Transfer: Beschreibe, wie man die dritte binomische Formel mit zwei Quadratflächen und einem Rechteckmodell veranschaulichen kann.
Strategievergleich: Vergleiche das vollständige Ausmultiplizieren mit der Anwendung einer binomischen Formel. Wann ist welche Methode übersichtlicher?
Alltagsbezug: Finde eine Situation aus Messen, Bauen, Flächenberechnung oder Kopfrechnen, in der eine binomische Formel hilfreich sein kann, und löse sie.

OERs zum Thema

Links

Binomische Formeln

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

aiMOOCs

aiMOOC Projekte

THE MONKEY DANCE

{{#ev:youtube | https://youtu.be/rFhZlg38Zf8?si=9KdMNZYRkRD81YTo%7C 500 | center}}

The Monkey Dance | aiMOOCs

Trust Me It's True: #Verschwörungstheorie #FakeNews
Gregor Samsa Is You: #Kafka #Verwandlung
Who Owns Who: #Musk #Geld
Lump: #Trump #Manipulation
Filth Like You: #Konsum #Heuchelei
Your Poverty Pisses Me Off: #SozialeUngerechtigkeit #Musk
Hello I'm Pump: #Trump #Kapitalismus
Monkey Dance Party: #Lebensfreude
God Hates You Too: #Religionsfanatiker
You You You: #Klimawandel #Klimaleugner
Monkey Free: #Konformität #Macht #Kontrolle
Pure Blood: #Rassismus
Monkey World: #Chaos #Illusion #Manipulation
Uh Uh Uh Poor You: #Kafka #BerichtAkademie #Doppelmoral
The Monkey Dance Song: #Gesellschaftskritik
Will You Be Mine: #Love
Arbeitsheft
And Thanks for Your Meat: #AntiFactoryFarming #AnimalRights #MeatIndustry

{{#ev:youtube | https://youtu.be/Ob7etf9QuBo?si=t_NBA71bWg3Rq3LI%7C 500 | center}}

type=create break=no preload=MOOCit Vorlage default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>

Hallo, ich bin NOAH. Frag mich zum aktuellen Lerninhalt oder wähle unten eine schnelle Hilfe.